高中数学不等式的应用

不等式性质的应用

不等式的性质是解不等式、证明不等式的基础和依据。教材中列举了不等式的性质，由这些性质是可以继续推导出其它有关性质。教材中所列举的性质是最基本、最重要的，对此，不仅要掌握性质的内容，还要掌握性质的证明方法，理解掌握性质成立的条件，把握性质之间的关联。只有理解好，才能牢固记忆及正确运用。

1．不等式性质成立的条件

运用不等式的基本性质解答不等式问题，要注意不等式成立的条件，否则将会出现一些错误。对表达不等式性质的各不等式，要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说每条性质是否具有可逆性。

例1：若0<

A ．

b a 11> B ．a

b a 11>- C ．||||b a > D ．22b a > 解：∵0<->-b a 。

由b a -<-11，b

a 11>，∴（A ）成立。 由0<<

b a ，||||b a >，∴（C ）成立。

由0>->-b a ，2

2)()(b a ->-，22b a >，∴（D ）成立。

∵0<->-a b a ，

)(1

1b a a --<-，b

a a ->11，∴（B ）不成立。 故应选B 。

例2：判断下列命题是否正确，并说明理由。 （1）若0<

分析：解决这类问题，主要是根据不等式的性质判定，其实质就是看是否满足性质所需要的条件。 解：（1）错误。当0=c 时不成立。 （2）正确。∵02

≠c 且02

>c ，在22c

b c a >两边同乘以2

c ，不等式方向不变。∴b a >。 （3）错误。b

a b a 1

1<⇔

>，成立条件是0>ab 。 （4）错误。b a >，bd ac d c >⇔>，当a ，b ，c ，d 均为正数时成立。

2．不等式性质在不等式等价问题中的应用 例3：下列不等式中不等价的是（ ） （1）2232

>-+x x 与0432

>-+x x

（2）13

8112++>++

x x x 与82>x （3）35

7354-+>-+x x x 与74>x （4）

023

>-+x

x 与0)2)(3(>-+x x A ．（2） B ．（3） C ．（4） D ．（2）（3） 解：（1）0432232

2

>-+⇒>-+x x x x 。

（2）482>⇒>x x ，44,11

812>⇒>-≠⇒++>++x x x x x x 。 （3）47357354>⇒-+>-+

x x x x 且3≠x ，4

7

74>⇒>x x 。 （4）不等式的解均为}23|{<<-x x

∴应选B 。

3．利用不等式性质证明不等式

利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式。解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的八条性质并注意在解题中灵活准确地加以应用。

例4：若0>>b a ，0<

d

b e

c a e ->-。 分析：本题考查学生对不等式性质的掌握及灵活应用。注意性质的使用条件。 解：∵0<<

d c ，0>->-d c ，又0>>b a ∴0>->-d b c a ，故d

b c a -<-1

1。 而0

d

b e

c a e ->- 4．利用不等式性质求范围

利用几个不等式的范围来确定某个不等式的范围是一类常见的综合问题，对于这类问题要注意：“同向（异向）不等式的两边可以相加（相减）”，这种转化不是等价变形，在一个解题过程中多次使用这种转化时，就有可能扩大真实的取值范围，解题时务必小心谨慎，先建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性不等关系的运算，求得待求的范围”，是避免犯错误的一条途径。

例5：若二次函数)(x f 图像关于y 轴对称，且2)1(1≤≤f ，4)2(3≤≤f ，求)3(f 的范围。

解：设c ax x f +=2

)(（0≠a ）。

⎩⎨

⎧+=+=c a f c a f 4)2()1(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧

-=-=⇒3)

2()1(43)1()2(f f c f f a 3

)

1(5)2(83)2()1(4)1(3)2(39)3(f f f f f f c a f -=-+

-=+=

∵2)1(1≤≤f ，4)2(3≤≤f ，

∴10)1(55≤≤f ，32)2(824≤≤f ，27)1(5)2(814≤-≤f f ，

∴

93)

1(5)2(8314≤-≤f f ， 即9)3(3

14

≤≤f 。 5．利用不等式性质，探求不等式成立的条件

不等式的性质是不等式的基础，包括五个性质定理及三个推论，不等式的性质是解不等式和证明不等式的主要依据，只有正确地理解每条性质的条件和结论，注意条件的变化才能正确地加以运用，利用不等式的性质，寻求命题成立的条件是不等式性质的灵活运用。

例6：已知三个不等式：①0>ab ；②b

a >；③ad bc >。以其中两个作条件，余下一个作结论，则可组成_____________个正确命题。

解：对命题②作等价变形：

0>-⇔>ab

ad bc b d a c 于是，由0>ab ，ad bc >，可得②成立，即①③⇒②；

若0>ab ，

0>-ab ad

bc ，则ad bc >，故①②⇒③； 若ad bc >，

0>-ab

ad

bc ，则0>ab ，故②③⇒①。 ∴可组成3个正确命题。

例7：已知b a >，b

b a a 1

1->-

同时成立，则ab 应满足的条件是__________。 解：∵ab ab b a b b a a )1)(()1()1(+-=---，由b a >知

0)

1(>+ab

ab ， 从而0)1(>+ab ab ，∴0>ab 或1-

不等式的证明

不等式的证明是高中数学的一个难点，证明方法多种多样，近几年高考出现较为形式较为活跃，证明中经常需与函数、数列的知识综合应用，灵活的掌握运用各种方法是学好这部分知识的一个前提，下面我们将证明中常见的几种方法作一列举。

注意ab b a 22

2

≥+的变式应用。常用2

222b

a b a +≥

+ (其中+∈R b a ,)来解决有关根式不等式的问题。 1、比较法

比较法是证明不等式最基本的方法，有做差比较和作商比较两种基本途径。 1 已知a,b,c 均为正数，求证：

a

c c b b a c b a +++++≥++111212121 证明：∵a,b 均为正数， ∴

0)

(4)(44)()(14141)(2

≥+=+-+++=+-+-b a ab b a ab ab b a a b a b b a b a b a 同理

0)(414141)(2

≥+=+-+-c b bc c b c b c b ，0)

(41

4141)(2

≥+=+-+-c a ac a c a c a c 三式相加，可得

01

11212121≥+-+-+-++a

c c b b a c b a ∴a

c c b b a c b a +++++≥++111212121 2、综合法

综合法是依据题设条件与基本不等式的性质等，运用不等式的变换，从已知条件推出所要证明的结论。 2 a 、b 、),0(∞+∈c ，1=++c b a ，求证：

31222≥

++c b a