习题集

1-2试以主应力表示八面体上的应力分量，并证明它们是坐标变换时的不变量。 解：主坐标系下， 则斜面上的正应力为 八面体切应力

即主应力分量是坐标变换的不变量

1-6 已知物体内某点的应力分量为x σ=y σ=20MPa ，xy τ=10MPa ，其余应力分量为零，试求主应力大小和方向。

解：z y x I σσσ++=1=40MPa

2

222)(zx yz xy x z z y y x I τττσσσσσσ+++++-==-300 MPa 2

2232xy

z zx y yz x zx yz xy z y x I τστστστττσσσ---+==0 03004023=+-σσσ 1σ=30MPa

2σ=10 MPa 3σ=0

求1σ的方向，将1σ代入到

求得

， 或

同理2σ的方向与1σ的方向相同

1-7已知变形时一点应力状态如图1-34所示，单位为MPa ，是回答下列问题？ （1）注明主应力； （2）分解该张量； （3）给出主变形图；

（4）求出最大剪应力，给出其作用面。

()()⎩⎨⎧=-+=+-03020100m 103020m l l ()()()⎪⎭

⎪

⎬⎫

=-++=+-+=++-000n m l n m l n m l z yz xz zy y xy zx yx x σστττσστττσσ⎪⎩⎪⎨⎧=+==10

22m l n m l ⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧===22m 022n l ⎪⎪

⎩

⎪

⎪⎨⎧

===2

2-m 022-n l 31===n m l ()1

m 3212322213

131I n m l n ==++=++=σσσσσσσσ()()()2

221

322232222212l n n m m l n σσσσσστ-+-+-=()()()'

2213232221863

131I =-+-+-=σσσσσστ

解：（1）注明主应力如下图所示：

（2）分解该张量；

（3）给出主变形图

（4）最大剪应力12

7

52

3

113±=+-±

=-±=σστ MPa 其作用面为

1-8已知物体内两点的应力张量为a 点1σ=40 MPa ，2σ=20 MPa ，3σ=0；b 点：y x σσ==30

⎪⎪

⎪

⎭

⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫

⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---10000000160006000

6700060

005＋＝

MPa ，xy τ=10 MPa ，其余为零，试判断它们的应力状态是否相同。 解：a 点MPa I 603211=++=σσσ

)(1332212σσσσσσ++-=I =-800 MPa 3213σσσ=I =0

z y x I σσσ++=1=60 MPa

2

222)(zx yz xy x z z y y x I τττσσσσσσ+++++-==-800 MPa 2

2232xy

z zx y yz x zx yz xy z y x I τστστστττσσσ---+==0 其特征方程一样，则它们的应力状态相同。

1-10 某材料进行单向拉伸试验，当进入塑性状态时的断面积F=100mm 2，载荷为P=6000N ； （1）求此瞬间的应力分量、偏差应力分量与球分量； （2）画出应力状态分解图，写出应力张量； （3）画出变形状态图。 解：（1）6

6000

6010010

MPa σ-=

=⋅ 则160a MP σ=，02=σ；30σ=； 应力分量为

偏差应力分量为40000-20

000-20⎛⎫ ⎪

⎪ ⎪⎝⎭ 球应力分量为200002000020⎛⎫ ⎪

⎪ ⎪⎝⎭

（2）应力状态分解图为

⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

600020004000000＝0200＋0-200000002000-20

=

+

（3）画出变形状态图

1-11试证明对数变形为可比变形，工程相对变形为不可比变形。 证明：设某物体由l 0延长一倍后尺寸变为2l 0.其工程变形为 如果该物体受压缩而缩短一半，尺寸变为0.5l 0，则工程变形为 物体拉长一倍与缩短一半时，物体的变形程度应该一样。而用工程变形表示拉压程度则数值相差悬殊。因此工程变形失去可以比较的性质。 用对数变形表示拉压两种不同性质的变形程度，不失去可以比较的性质。拉长一倍的对数变形为

缩短一半的对数变形为

所以对数变形满足变形的可比性。

1-12已知压缩前后工件厚度分别为H=10mm 和h=8mm ，压下速度为900mm/s ，试求压缩时的平均应变速率。 解：压缩的平均应变速率

2v 2900

=

=

=100m/s h

10+8

y

H ε⨯+ 1-13轧制宽板时，厚向总的对数变形为InH/h=0.357，总的压下率为30%，共轧

%100%1002=⨯-=L

L L e %50%1005.0-=⨯-=L

L L e 2ln 5.0ln -==L

L

ε2ln 2ln ==L

L ε

两道次，第一道次的对数变形为0.223；第二道次的压下率为0.2，试求第二道次的对数变形和第一道次的压下率。 解：

由对数变形的可加性：12+=εεε

则第二道次的对数变形为21=-=0.357-0.223=0.134εεε

压下率：

则

第一道次的压下率为

1

100%12.5%H H h -⨯=

1-14，轧板时某道轧制前后的轧件厚度分别为H=10mm ，h=8mm ，轧辊圆周速度v=2000mm/s ，轧辊半径R=200.试求该轧制时的平均应变速率。 解：轧制时的平均应变速率为：

2v

h 22000108

=

22.22m /H+h 10+8200

H s R ε-⨯-⋅=⋅=

1-15

已

知

应

力

状

态

的

6

个

分

量

y yz zx z 7,4，=0，=4a ，=-8a ，=-15a x xy MPa MPa MP MP MP στσττσ=-=-。画出应力状态图，写出应力张量。

解：

应力张量为7-4-8-40

4-8415⎛⎫- ⎪

⎪ ⎪-⎝⎭

100%30%

H H h

-⨯=11

100%20%h h h

-⨯=154

h h =7

10

h H =