《自动控制理论教学课件》四频率分析法

2020/4/26
第四讲 控制系统频域法分析
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频率响应：系统对正弦输入信号的稳态响应。
频率特性：稳态正弦输出量复数符号与相应的输入量复数
符号之比。
G( j) Y ( j) R( j)
可以证明：对于稳定的系统，用j代替系统传递函数中的 s，就可得到系统的频率特性，即
G( j) G(s) |s j
变为/n，相当于横坐标移过－lgn的距离。因 此当惯性环节的时间常数T变化时，对数幅频特 性及相频特性左右移动，但形状不变。
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第四讲 控制系统频域法分析源自22惯性环节的极坐标图 为一个半圆。
半圆的圆心坐标为 （1/2，0），半径 为1/2。
P(
)
1
1
2T
2
Q(
)
1
T 2T
2
P()
L() 20 lg 2T 2 40 lg T
当频率增大10倍时：
L() 40lg10T (40lg T 40)
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T＝1时： L（ ）＝0
即低频渐近线和高频渐近 线的转角频率为＝1/T。
用渐近线代替精确对数幅 频特性时会带来误差，误 差的大小和值有关， 值 很小时，误差较大。
G2 ( j) A2 ()e j2 ()
A1 ( )
1
A2 ()
L1() L2 () 1() 2 ()
只要把积分环节、惯性环节、振荡环节的对数频率特性曲 线上下倒过来，就得到微分环节的对数频率特性。
微分环节具有高通滤波器特性，对高频干扰较敏感。
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微分环节的对数频率特性 （a）纯微分环节 （b）比例微分环节 （c）二阶微分环节
当值较小时，对数幅频特 性有一高峰，称谐振峰。
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第四讲 控制系统频域法分析 振荡环节的对数频率特2性6
谐振频率r：
A()
1
(1 2T 2 )2 (2T )2
dA()
4T 43 4T 2 (2 2 1)
d
|r 2
(1 2T 2 )2 (2T )2 3 |r 0
r
典型环节的频率特性
比例环节的频率特性 积分环节的频率特性 惯性环节的频率特性 振荡环节的频率特性 微分环节的频率特性 延迟环节的频率特性
第四讲 控制系统频域法分析
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对数坐标图或伯德（Bode）图
对数坐标图由对数幅频特性和 对数相频特性两幅图组成。
对数幅频特性是A（）的对 数值L（ ）＝20lg A（） 和频率的关系曲线。
1 2
2
Q
2
()
1 2
2
惯性环节的极坐标图
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振荡环节的频率特性
传递函数：
1
G(s) 1 2Ts T 2s2
1 0
频率特性：
G(
j
)
1
2
(
1
jT )
(
jT
)
2
A()e j()
幅频特性： A()
1
(1 2T 2 )2 (2T )2
相频特性：
惯性环节
1/(Ts 1)
二阶微分环节 T 2s2 2Ts 1 振荡环节 1/(T 2s2 2Ts 1)
T 0,0 1
T 0,0 1
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设两个环节的传递函数为G1(s)、G2(s)：
G1(s)＝1/G2(s)
频率特性：
G1( j) A1()e j1()
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频率特性：
G( j) j G( j) 1 jT G( j) (1 T 22 ) j2 T
微分环节的极坐标图
()
arc
tan( 1
2T 2T
2
)
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对数幅频特性：
L() 20lg A() 20lg (12T 2 )2 (2T )2
低频段（ T<<1 ）：低频渐近线为一条0dB的水平线。
L() 20lg1 0
高频段（ T>>1 ）：高频渐近线为－40dB/dec。
自动控制理论
第四讲 控制系统的频率法分析
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第四讲 控制系统频域法分析
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控制系统的分析方法
时域法： 通过求解系统微分方程的时间解来 分析、研究控制系统的性能； 频域法： 通过系统的频率特性图形来分析、 研究控制系统的性能。
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频域分析法的特点
1
j
1
1
j
e2
j
对数幅频特性：
L() 20lg A() 20lg
相频特性： () 2
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积分环节的对数频率特性
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积分环节的 极坐标图为 一与负虚轴 重合的直线。
积分环节的极坐标图
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惯性环节的频率特性
第四讲 控制系统频域法分析
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利用频率特性通频带的概念，可以设计出既满足 系统动态性能指标，又能使不希望有的噪声减小 到满意程度的系统。
频率特性也是一种数学模型，而且系统或元部件 的频率特性可以用实验的方法测定。对于难于用 机理法建立数学模型的系统或元部件非常实用。
频率法不仅适用于线性系统，还可以应用于某些 非线性系统。是广大工程技术人员熟悉并广泛使 用的有效方法。
G( j) A()e j ( )
极坐标图
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对数幅相图以角频率为参数绘制，它将 对数幅频特性和相频特性组合成一张图。
纵坐标表示对数幅值（dB），横坐标表 示相应的相位（）
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比例环节的频率特性
比例环节的传递函数及频率特性为：
传递函数： G(s) 1 1 Ts
频率特性：G( j) 1
1 jT () arctanT
1
e j ()
1 2T 2
对数幅频特性：L() 20lg A() 20lg 1 (T )2
相频特性： () arctanT
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为简化作图，分段用渐近线 近似代替对数幅频特性：
系统或环节的单位阶跃响应（频率特性和阶跃过渡函数的
关系式）：
y(t)
A(0) 2
1
0
A() sin(t
)d
上式说明单位阶跃输入作用下的暂态响应，可以用稳态的 频率特性来描述。
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典型环节的频率特性
概述
极坐标图或奈奎斯特（Nyquist） 图 对数坐标图或伯德（Bode）图
A() A1() A2 ()...An () L() 20lg A() L1() L2 () ... Ln ()
() 1() 2 () ... n ()
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极坐标图或奈奎斯特（Nyquist）图
当从0变到时，向量G（j）的端点将绘出一条曲线， 这条曲线称为G（j） 的极坐标图或乃奎斯特图。
相频特性是相位（ ）和频 率的关系曲线。
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对数幅频特性的坐标
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当系统由许多环节组成时，系统的频率特性为环节频率特 性的乘积：
G( j) G1( j)G2 ( j)...Gi ( j)...Gn ( j) Gi ( j) Ai ()e ji ()
在绘制系统的对数频率特性时，只需将各个环节的对数坐 标图进行加减即可。
20lg 1 (T )2 (20lg T ) 20lg 2 0 3.01dB
当需要绘制精确对数幅频 特性时，可按误差曲线对 近似曲线加以修正。
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惯性环节对数幅频特性 用渐近线时的误差曲线21
惯性环节具有低通滤波器特性。
在对数幅频特性和相频特性中，是以与T的乘积 T的形式出现的。当时间常数变为nT， 变为 /n时，T保持不变，幅值和相角就不变。
1 T
1 2 2
(0 0.707)
谐振峰值Mr：Mr A()max 2
1
1 2
(0 0.707)
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谐振环节 的Mr与的曲线
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A()
1
1
(1 2T 2 )2 (2T )2 1 4T 4 2T 2 (4 2 2)
G(s) K
G( j) K
A() K L() 20lg K
() 0
比例环节的对数幅频特性为一水平线。K>1，在0dB线以 上； K<1，在0dB线以下。
相频特性与横坐标轴重合。
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积分环节的频率特性
传递函数：
G(s) 1 s
频率特性：
G( j)
R-L串联电路 （惯性环节）
5
•
定义：
G( j)
I
•
A()e j()