线性矩阵不等式3

0 0
由引理3.1，对于所有满足FTFI的实矩阵F，上式成 立，当且仅当存在标量ε>0,使得如下不等式成立
rX T qX X A BK M M T 0
1
百度文库
qX A BK X rX
0 0 T 0 X E1 E2 K
E1 E2 K X 0
Y+MFE+ETFTMT<0 Y+εMMT+ε-1ETE<0
不等式两边分别数乘ε， 并记 V X ,W KV 得
rV MM T qV VAT W T BT 0 T rV E1V E2W E1V E2W qV AV BW
则称D是一个线性矩阵不等式区域(简记为LMI区域)。 矩阵值函数 f D s L sM sM T
称为LMI区域D的特征函数, s 是复数变量。 特征函数 f D s 的取值是m m维的Hermite矩阵，
f D s 0 表示矩阵 f D s 是负定的。
定理4-5 对于给定的LMI区域圆盘D(q,r)，如果存在对 称正定矩阵X，使得如下不等式成立
为使闭环系统的动态性能满足一定的要求，考虑复平面上如下所 示圆盘 D q, r ： 阻尼比
Im
2 1 q / r 12
衰减振荡频率 d r d n 1
自然振荡频率
q r n q r
2 12

r r -q
Re
调节时间 4 q r ts 4 n 4 q r 闭环系统特征值 D q, r
设计状态反馈控制律
u t Kx t
闭环系统可写为 x A BK MF t E1 E 2 K x = Ax （4-2）
y Cx
A = A BK MF t E1 E2 K
二次D-稳定性
D s : L sM sM T 0 , 如果存在 定理4-2 给定LMI区域
T
复平面上半径为r，中心在(-q,0)的圆盘D(r, q)
Im
D r , q s : s q s q r 2 0
r
Re
由r>0可推出:
q
s q s q r 2 0
r q s q s 0 r
x A + A x B + B u y Cx
不确定参数矩阵 A B MF t E1 E2
M , E1 和 E 2
（4-3）
是反映不确定性结构的常数矩阵，
。
F t 是时变的不确定矩阵，且满足 F T t F t I
T
0 0
矩阵A的所有特征值均在圆盘D(q,r)的充分必要条件 是存在对称正定矩阵X，使得
rX qX XAT qX AX 0 rX
推论 给定两个LMI区域D1和D2，矩阵A同时是D1稳定和D2-稳定的充分必要条件是存在一个对称正 定阵X，使得
M D1 A, X 0,M D2 A, X 0
基于LMI的 区域极点配置理论
问题的提出
精确的极点配置必须以精确的数学模型为 依据 由于不确定性及各种扰动的存在，使得精 确的极点配置不可实现 精确的极点配置并非是唯一的途径，将系 统的闭环极点配置在复平面上的一个适当 区域，即可保证系统的动态特性和稳态特 性
Im
r

0
Re

S , r , x iy : x , x jy r , xtg y
应用Schur 补，得
rV MM T T T T qV VA W B 0 qV AV BW rV E1V E2W T E1V E2W 0 I 0
定理得证。
具有区域极点约束的输出反馈控制器设计
考虑如下线性不确定系统
则u(t)=WV-1x(t)为闭环系统(4-2)具有圆盘极点约束的 鲁棒控制律，且闭环系统系统(4-2)是二次D-稳定的。
证明：由定理4.3 ，知
rX qX XAT qX AX 0 rX
将 A = A BK MF t E1 E2 K 代入得
A nn 是D-稳定的充分必要条件是存在一个对称正定
实矩阵 X nn ，使得
M D A, X 0
其中：
M D A, X L X M AX M AX
T T
证明：仅证充分性。假定存在对称阵X满足MD(A,X)<0.
n 设λ是矩阵A的任意特征值，v , 且有 v H A v H .
主要内容
LMI区域的描述 D-稳定性分析 具有区域极点约束的状态反馈控制器设计 具有区域极点约束的输出反馈控制器设计
LMI区域的描述
定义 对复平面中的区域D，如果存在一个实对称矩阵 ，使得 L mm 和实矩阵 M mm
D s : L sM sM T 0
rX qX XAT qX AX 0 rX
则不确定系统(4-2)是二次D-稳定的。
非LMI
定理4-4 对于给定的LMI区域圆盘D(q,r)，如果存在对 称正定矩阵V，矩阵W，标量ε>0，使得如下线性矩阵 不等式成立
rV MM T T T T qV VA W B 0 qV AV BW rV E1V E2W T E1V E2W 0 I 0
具有区域极点约束的状态反馈控制器设计
考虑如下线性不确定系统
x A + A x B + B u y Cx
不确定参数矩阵 A B MF t E1 E2
M , E1 和 E 2
（4-1）
是反映不确定性结构的常数矩阵，
。
F t 是时变的不确定矩阵，且满足 F T t F t I
二 、复平面上半径为r，中心在(-q,0)的圆盘D(r, q) 对于圆盘D(r, q)，其特征函数是
r f D r ,q s q q 0 1 0 1 s 0 0 s 0 0 r
T
T
M D A, X L X M AX M AX rX qX 0 AX 0 0 0 XAT qX rX qX AX rX qX XAT rX
qX A BK X rX 0 T M F 0 E1 E2 K X F M T T 0 X E1 E2 K rX T qX X A BK
应用Kronecker乘积的性质，可得
1.1 A A 2. A B C D AC BD
1 A A; A B C D AC BD
1 v M A, X 1 v 1 v L X M AX M L v Xv M v AXv M v Xv L + M + M
T
L
M
如图阴影部分所示：
Im
θ
Re
y Dcs s x jy : x, y , tg x
相应的特征值函数
sin s s cos s s f Dcs s cos s s sin s s sin s cos cos sin s cos sin cos sin
n jd
D－稳定性分析
定义 对复平面中给定的LMI区域D和实矩阵 A nn , 如果实矩阵A的所有特征值都位于区域D中，即
A D ，则称实矩阵A是D-稳定的。
D s : L sM sM T 0 , 则实矩阵 定理4-1给定LMI区域
H D H H H H T
vH A v H
T
T
1 v v AX v
AX
H T T
v H Xvf D
由MD(A,X)<0和X>0可推出
f D 0, 即 D.
由于 A 的任意性，根据D-稳定的定义，
一个对称正定实矩阵 X nn ，使得对所有允许的参数 不确定矩阵 A nn，都有
M D A, X L X M AX M AX 0
T T
则称不确定系统(4-2)是二次D-稳定的。
二次D-稳定性定理的应用
定理4-3 对于给定的LMI区域圆盘D(q,r)，如果存在对 称正定矩阵X，使得如下不等式成立
可得矩阵A是D-稳定的（必要性的证明请见书 第102页） 。定理得证。
D稳定性定理的应用
一、 LMI区域为左半开复平面
对于左半开复平面，其特征函数是 f D s s s
则
M D A, X 1 AX 1 XAT AX XAT
由D稳定性定理，可得，矩阵A的所有特征值均在 左半开复平面的充分必要条件是存在对称正定矩阵 X，使得 AX XAT 0 Lyapunov不等式
注意： LMI区域是凸的 LMI区域是关于复平面上的实轴对称的
常见的LMI区域
左半开复平面
Im
相应的特征值函数
fD s s s
Re
fD s 0
Re s 0
Im
相应的特征值函数
f D s 2 s s
Re

fD s 0
Re s
左半复平面的垂直条形区域
Im
Dvs s : h1 Re s h2
0 h1 h2 Re
相应的特征值函数
2h1 s s f Dvs s 0 2h1 0 1 0 1 0 s 0 1 s 0 1 s s 2h2 0 2h2 0
设计静态输出反馈控制律
u t Ky t = KCx t
闭环系统可写为 x A BKC MF t E1 E 2 KC x = Ax
（4-4）
y Cx
A = A BKC MF t E1 E2 KC
因此，相应的特征值函数可写为：
r f D r , q s q s
q s r q 0 1 0 1 q r s 0 0 s 0 0 r
T
L
M
区域极点配置与动态性能指标之间的关系