一种曲率新算法及其在图像处理中的应用
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= a1 a2 … an , 则链码 A A
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= a1a 2… ana 1 a2 …a n 一定是闭合曲线, 并且它所围成的面积是所要 2S =
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求的弓形面积的 2 倍, 即
∑a
i0
( y i - 1 + ( 1/ 2) ai 2 ) ,
( 3)
图 1 八方向 Freeman 链码 图 2 数字弧 图 3 计算面积 图 4 圆弧拟合
除曲率外 , 同时还可以得到曲线的其它几何参量, 如 P 点处的弓长增量 t, 可取作一段圆弧长度 的 1/ M . 若要计算整条曲线上每一点的曲率, 也可由上述方法用递推形式来加速 , 因为在数字弧上两 相邻弓形的面积仅相差 2 个三角形, 如图 4. 文献 [ 1] 对已有的算法作了比较, 其结果见图 5( a) ～ ( e) . 用于测试的是一个半径为 25 的数字圆 ( 即每一点的曲率固定为 1/ 25) . 求得的曲率 k 的偏倚与位置有关, 记为 B ( ) , 其中 是圆心到所求点 半径与水平方向的夹角. B ( ) = ( k - 1/ 25) / ( 1/ 25) . 显然, 方法 2 的效果较好一些 . 其余方法的偏倚 均 相当大 . 用本文的方法做同样的测试 , 其实验结果如图 5( f ) 所示. 由图 5( f ) 可见 , 在取样点 M = 6 [ 1] 较少时, 算法的性能仅次于上述的方法 2; 而当取样点数较多时, 本文算法的性能比以上 5 种方法 都要好 . 尤其是 , 方法 1～ 5 都需要做平滑运算. 如方法 2 是为检查心脏造型而设计的[ 2] . 在每一位置 做平滑时的取样点为 100, 这显然是相当费用时的. 由于本文的方法不需要如文献[ 1] 中方法所要求的 低通运算, 而把平滑隐含在面积计算中 , 故运算效率比以上各种方法都要高.
如图 3 所示. 其中 y i 是第 i 点的 y 坐标. 由于图形是闭合的 , 所以 y i - 1 是任意的, 可以取为 0. ai 0 和 a i 2 分别是 ai 在链码 0 和 2 方向的分量 , 为 0, 1 或- 1.
收稿日期 : 2000-01-27. 作者简介 : 王植鑫 ( 1940～ ) , 男 , 教授 .
) )
=
A1 A2 A
2 1
1
1 2 2
x( ) y( )
A
,源自文库
( 6)
式中 x , y , x , y 都是由单位周期延拓成的周期函数 . 这是一个由基底 x 和 y 张成的线性空间 , 利用 Gram-Schmidt 正交过程, 将其化为一对正交基底 { 1, 2 } , 即 1 = x , 1 = 1 / ‖ 1‖ , ( 7)
2 2
1 - ( L / 2R ) 2 , 0 ≤
2
≤ / 2, ≤ ,
R - R arcsin L / 2R + L R / 2
1 - ( L / 2R ) , / 2 <
( 1)
式中 = arcsin L / 2R 是圆心角的一半 . 若已知 S 和 L , 就可从 ( 1) 式求出曲率半径 R . ( 1) 式是一个超越方程, 不能写出 R 的解析表达式 , 但可采用查表来解 . 为此 , 先将参数归一化 . 记 s = S / L 2, r = R / L , k = K L . ( 2) 由几何关系易知, 这组参数表征了一个与原弓形相似但缩小了 L 倍的弓形, 它所对应的弦长恒为 1. 如事先对许多 r 值, 计算相对应的 s , 就建立了一张 s ∽r 倒排表 . 表 1 示出该表的一部分 .
x ( t ) y ( t) - x ( t ) y ( t) 实际上就是曲率 k ( t) , 即 d = k ( t) dt . ( 5) 由于本文的方法可以直接计算曲率 k ( t ) , 故利用 ( 5) 式进行变换更为方便. 基于曲率的仿射不变轮廓 识别算法如下 : — 63 —
令 C= ( x ( ) , y ( ) ) 和 C′ = ( x ( ) , y ( ) ) 分别是仿射变换前后同一闭合曲线的自然参数方程经( 5) 式变换的结果 , 并且它们的弧长均已归一化到单位长度 , 令 0 是使它们正确仿射对应的位移, 即 x( y( 0 0
表 1 s∽ r 倒排表 ( 部分 ) s r 0. 155 0. 670 0. 156 0. 668 0. 157 0. 665 0. 158 0. 663 0. 159 0. 660 0. 160 0. 658
由 s 查找到相应的 r 以后, 便可用( 2) 式返算求得曲率半径. 为求得 面积 S 和弦长 L , 设目标轮廓已 用 F reeman 链 码表示 , 这样 计算就相 当简单 . 八方 向 Fr eeman 链码如图 1 所示. 图 2 为数字弧 , 图 2 中的曲线链码为 A = a1a 2… an . 记 a 1 = ( a 1+ 4) m od , A
图 5 不同方法 的结果比较
2 基于曲率的仿射不变轮廓识别 文献[ 3] 使用了仿射不变量 式中 t 和 d = x ( t ) y ( t) - x ( t) y ( t ) d t, ( 4) 分别是变换前后的弧长参量 . 利用了 B 条曲线拟合目标轮廓以计算方向导数 . ( 4) 式中的
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2001 年 N o .
4月
吉 林 大 学 自 然 科 学 学 报
A CTA SC IE N TIA R U M N A TU RA LIU M U N IV ERS IT A T IS J ILIN EN SIS
第 2 期
2001-04
2
研究简报
一种曲率新算法及其在图像处理中的应用
王 植 鑫
2
= y - ( y , 1)
2
1
,
2
=
2
/ ‖ 2‖ , 计算 4 组内积:
( 8)
其中内积 〈 y , 1〉 =
y( t) ∫
1
( t ) dt , 范数‖x ‖ = 〈 x, x 〉 . 对于不同的弧长变量 ), ),
1 1
x 1( ) = 〈 x( y 1( ) = 〈 y( 并相应在每一点
[ 4]
考
文
献
[ 1 ] W or ring M , Smeulders A W M . T he Accuracy and P recision o f Cur vatur e Estimatio n M et ho ds [ J] . I ntl Conf on
A New Sort of Curvature Algorithm and Its Application to Image Treatment
Patt Recog , 1992, C: 139 ～ 142. [ 2 ] Dunca n J S, Smeulder s A , L ee F . M easur em ent o f End Diast olic Shape Defor mity U sing Bending Energ y [ J] . I n Comp uter s in Car diology , 1988, C ( 2) : 8 ～ 15. [ 3 ] Cyg anski D , V az P F . A L ineal Sig nal Deco mpo sition A ppr oach to A ffine I nv ariant Conto ur I dentif icatio n [ J ] . Pr oc SPI E , 1991, 1607 ( 1) : 98～ 109. [ 4 ] Dor st L , Smeulder s A W M . Best Linea r U nbiased Est imato rs fo r P r operties for Dig itized Str aig ht [ J] . I E EE T r ans, PA M I 8, 1986, 276 ～ 282, 676.
[ 2]
( )〉 , x 2 ( ) = 〈 x( ( )〉 , y 2( ) = 〈 y( -
) , 2( ) 〉 , ) , 2( ) 〉 , ( 9)
处计算反映识别程度的参量 :
2 2 2 2 2 = [ x2 1 ( ) + x 2( ) + y 1 ( ) + y 2 ( ) ] / [ ‖x ‖ + ‖ y ‖ ] .
W ANG Zhix in
( Dep ar tment of Electr onic S cience, T aiz hou T eacher ' s College , L inhai , 317000, P . R . China )
Abstract: T he rel at ions betw een t he arc and t he chord lengt h spread by a cur ve w ere used to crank o ut a t able t o be looked-up, which simpl if ies t he cur vature acquisit ion int o t he operat ion of chain code and looking -up t he t able . T his algo rithm all excels the f orm er cur vature al gorit hm . And it obt ains f air ly sat isf act ory eff ect in t arg et ident ificat ion o f resist ing af fine dist ort ion. Keywords: curvat ure; chain code; cont our; al gorit hm — 64 —
( 台州师范专科学校电 子科学系 , 临海 317000)
提要: 利用曲线所张成的弓形与弦长之间的关系制成查表, 将曲率求取简化为可以递推的链 码和查表运算. 这种算法的精度、速度和稳定性等综合性能均优于以往的曲率算法, 该法在 抗仿射失真的目标识别上取得较满意的效果. 关键词: 曲率; 链码 ; 轮廓 ; 算法 中图分类号: T P335 文献标识码: A 文章编号 : 0529-0279( 2001) 02-0062-03 曲率计算广泛应用于图像处理中 , 如形状描述、字符识别、 角点检测和目标识别等. 文献[ 1] 对曲 率计算列举了 5 种算法. 但这些算法的计算量都相当大 , 特别对于低分辨率的图像( 如只有几十个像素 的图像) , 采用文献[ 1] 的方法就非常困难 . 对于这类图像处理, 需要一种更具有鲁棒性能和较高精度 的曲率计算方法. 1 曲率快速算法 若已知某弓形的面积为 S , 弦长为 L , 所在圆半径为 R , 圆弧曲率 K = 1/ R , 可得 S( L , R) = R 2arcsin L / 2R - L R / 2
— 62 —
我们的目的是用一个与图 2 中阴影部分具有相等面积和弧长的弓形来拟合原始数字曲线, 如图 4 所示. 若要计算 P 点处的曲率 , 则取其所在曲线上最近邻域中的 M 个点( 图中 M = 8) , 以最外侧两点 的距离作为弦长, 按上述方法计算的弓形面积 , 经( 2) 式归一化后查表计算曲率.
可以证明 , 当 = 0 时, = max . 将目标轮廓与已知的各种样本进行上述运算, 取
m ax
所对应的类别作为分类结果 .
对于低分辨率的图像, 实际上采用了缝间边缘四方向 Freeman 链码表示其轮廓. 若直接采用数字 边缘累加和作为曲线弧长, 其估计总体上是有偏差的 , 局部弧长估计的不确定性可能较大地劣化最 终的识别结果. 为避免这一因素的不利影响, 必须在确定弧长变量 时, 对目标轮廓曲线进行重新抽 样 . 本文计算曲率的方法很容易求出弧长增量 , 将轮廓上每一点算得的弧长增量 t 累加作为“ 真实” 的 弧长, 以它为基准归一化到区间 [ 0, 1] , 再对参数作等间隔抽样. 例如, 取抽样间隔为 0. 005, 根据重 新取的控制点 , 在每一位置插值得到曲率, 然后利用 ( 9) 式计算 . 对分别属于四类的 32 幅图像采用“ 留 一法” 实验, 结果表明 , 识别率达到了 94% . 参
= a1 a2 … an , 则链码 A A
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= a1a 2… ana 1 a2 …a n 一定是闭合曲线, 并且它所围成的面积是所要 2S =
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求的弓形面积的 2 倍, 即
∑a
i0
( y i - 1 + ( 1/ 2) ai 2 ) ,
( 3)
图 1 八方向 Freeman 链码 图 2 数字弧 图 3 计算面积 图 4 圆弧拟合
除曲率外 , 同时还可以得到曲线的其它几何参量, 如 P 点处的弓长增量 t, 可取作一段圆弧长度 的 1/ M . 若要计算整条曲线上每一点的曲率, 也可由上述方法用递推形式来加速 , 因为在数字弧上两 相邻弓形的面积仅相差 2 个三角形, 如图 4. 文献 [ 1] 对已有的算法作了比较, 其结果见图 5( a) ～ ( e) . 用于测试的是一个半径为 25 的数字圆 ( 即每一点的曲率固定为 1/ 25) . 求得的曲率 k 的偏倚与位置有关, 记为 B ( ) , 其中 是圆心到所求点 半径与水平方向的夹角. B ( ) = ( k - 1/ 25) / ( 1/ 25) . 显然, 方法 2 的效果较好一些 . 其余方法的偏倚 均 相当大 . 用本文的方法做同样的测试 , 其实验结果如图 5( f ) 所示. 由图 5( f ) 可见 , 在取样点 M = 6 [ 1] 较少时, 算法的性能仅次于上述的方法 2; 而当取样点数较多时, 本文算法的性能比以上 5 种方法 都要好 . 尤其是 , 方法 1～ 5 都需要做平滑运算. 如方法 2 是为检查心脏造型而设计的[ 2] . 在每一位置 做平滑时的取样点为 100, 这显然是相当费用时的. 由于本文的方法不需要如文献[ 1] 中方法所要求的 低通运算, 而把平滑隐含在面积计算中 , 故运算效率比以上各种方法都要高.
如图 3 所示. 其中 y i 是第 i 点的 y 坐标. 由于图形是闭合的 , 所以 y i - 1 是任意的, 可以取为 0. ai 0 和 a i 2 分别是 ai 在链码 0 和 2 方向的分量 , 为 0, 1 或- 1.
收稿日期 : 2000-01-27. 作者简介 : 王植鑫 ( 1940～ ) , 男 , 教授 .
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A1 A2 A
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x( ) y( )
A
,源自文库
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式中 x , y , x , y 都是由单位周期延拓成的周期函数 . 这是一个由基底 x 和 y 张成的线性空间 , 利用 Gram-Schmidt 正交过程, 将其化为一对正交基底 { 1, 2 } , 即 1 = x , 1 = 1 / ‖ 1‖ , ( 7)
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1 - ( L / 2R ) 2 , 0 ≤
2
≤ / 2, ≤ ,
R - R arcsin L / 2R + L R / 2
1 - ( L / 2R ) , / 2 <
( 1)
式中 = arcsin L / 2R 是圆心角的一半 . 若已知 S 和 L , 就可从 ( 1) 式求出曲率半径 R . ( 1) 式是一个超越方程, 不能写出 R 的解析表达式 , 但可采用查表来解 . 为此 , 先将参数归一化 . 记 s = S / L 2, r = R / L , k = K L . ( 2) 由几何关系易知, 这组参数表征了一个与原弓形相似但缩小了 L 倍的弓形, 它所对应的弦长恒为 1. 如事先对许多 r 值, 计算相对应的 s , 就建立了一张 s ∽r 倒排表 . 表 1 示出该表的一部分 .
x ( t ) y ( t) - x ( t ) y ( t) 实际上就是曲率 k ( t) , 即 d = k ( t) dt . ( 5) 由于本文的方法可以直接计算曲率 k ( t ) , 故利用 ( 5) 式进行变换更为方便. 基于曲率的仿射不变轮廓 识别算法如下 : — 63 —
令 C= ( x ( ) , y ( ) ) 和 C′ = ( x ( ) , y ( ) ) 分别是仿射变换前后同一闭合曲线的自然参数方程经( 5) 式变换的结果 , 并且它们的弧长均已归一化到单位长度 , 令 0 是使它们正确仿射对应的位移, 即 x( y( 0 0
表 1 s∽ r 倒排表 ( 部分 ) s r 0. 155 0. 670 0. 156 0. 668 0. 157 0. 665 0. 158 0. 663 0. 159 0. 660 0. 160 0. 658
由 s 查找到相应的 r 以后, 便可用( 2) 式返算求得曲率半径. 为求得 面积 S 和弦长 L , 设目标轮廓已 用 F reeman 链 码表示 , 这样 计算就相 当简单 . 八方 向 Fr eeman 链码如图 1 所示. 图 2 为数字弧 , 图 2 中的曲线链码为 A = a1a 2… an . 记 a 1 = ( a 1+ 4) m od , A
图 5 不同方法 的结果比较
2 基于曲率的仿射不变轮廓识别 文献[ 3] 使用了仿射不变量 式中 t 和 d = x ( t ) y ( t) - x ( t) y ( t ) d t, ( 4) 分别是变换前后的弧长参量 . 利用了 B 条曲线拟合目标轮廓以计算方向导数 . ( 4) 式中的
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吉 林 大 学 自 然 科 学 学 报
A CTA SC IE N TIA R U M N A TU RA LIU M U N IV ERS IT A T IS J ILIN EN SIS
第 2 期
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研究简报
一种曲率新算法及其在图像处理中的应用
王 植 鑫
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= y - ( y , 1)
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/ ‖ 2‖ , 计算 4 组内积:
( 8)
其中内积 〈 y , 1〉 =
y( t) ∫
1
( t ) dt , 范数‖x ‖ = 〈 x, x 〉 . 对于不同的弧长变量 ), ),
1 1
x 1( ) = 〈 x( y 1( ) = 〈 y( 并相应在每一点
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考
文
献
[ 1 ] W or ring M , Smeulders A W M . T he Accuracy and P recision o f Cur vatur e Estimatio n M et ho ds [ J] . I ntl Conf on
A New Sort of Curvature Algorithm and Its Application to Image Treatment
Patt Recog , 1992, C: 139 ～ 142. [ 2 ] Dunca n J S, Smeulder s A , L ee F . M easur em ent o f End Diast olic Shape Defor mity U sing Bending Energ y [ J] . I n Comp uter s in Car diology , 1988, C ( 2) : 8 ～ 15. [ 3 ] Cyg anski D , V az P F . A L ineal Sig nal Deco mpo sition A ppr oach to A ffine I nv ariant Conto ur I dentif icatio n [ J ] . Pr oc SPI E , 1991, 1607 ( 1) : 98～ 109. [ 4 ] Dor st L , Smeulder s A W M . Best Linea r U nbiased Est imato rs fo r P r operties for Dig itized Str aig ht [ J] . I E EE T r ans, PA M I 8, 1986, 276 ～ 282, 676.
[ 2]
( )〉 , x 2 ( ) = 〈 x( ( )〉 , y 2( ) = 〈 y( -
) , 2( ) 〉 , ) , 2( ) 〉 , ( 9)
处计算反映识别程度的参量 :
2 2 2 2 2 = [ x2 1 ( ) + x 2( ) + y 1 ( ) + y 2 ( ) ] / [ ‖x ‖ + ‖ y ‖ ] .
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( Dep ar tment of Electr onic S cience, T aiz hou T eacher ' s College , L inhai , 317000, P . R . China )
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( 台州师范专科学校电 子科学系 , 临海 317000)
提要: 利用曲线所张成的弓形与弦长之间的关系制成查表, 将曲率求取简化为可以递推的链 码和查表运算. 这种算法的精度、速度和稳定性等综合性能均优于以往的曲率算法, 该法在 抗仿射失真的目标识别上取得较满意的效果. 关键词: 曲率; 链码 ; 轮廓 ; 算法 中图分类号: T P335 文献标识码: A 文章编号 : 0529-0279( 2001) 02-0062-03 曲率计算广泛应用于图像处理中 , 如形状描述、字符识别、 角点检测和目标识别等. 文献[ 1] 对曲 率计算列举了 5 种算法. 但这些算法的计算量都相当大 , 特别对于低分辨率的图像( 如只有几十个像素 的图像) , 采用文献[ 1] 的方法就非常困难 . 对于这类图像处理, 需要一种更具有鲁棒性能和较高精度 的曲率计算方法. 1 曲率快速算法 若已知某弓形的面积为 S , 弦长为 L , 所在圆半径为 R , 圆弧曲率 K = 1/ R , 可得 S( L , R) = R 2arcsin L / 2R - L R / 2
— 62 —
我们的目的是用一个与图 2 中阴影部分具有相等面积和弧长的弓形来拟合原始数字曲线, 如图 4 所示. 若要计算 P 点处的曲率 , 则取其所在曲线上最近邻域中的 M 个点( 图中 M = 8) , 以最外侧两点 的距离作为弦长, 按上述方法计算的弓形面积 , 经( 2) 式归一化后查表计算曲率.
可以证明 , 当 = 0 时, = max . 将目标轮廓与已知的各种样本进行上述运算, 取
m ax
所对应的类别作为分类结果 .
对于低分辨率的图像, 实际上采用了缝间边缘四方向 Freeman 链码表示其轮廓. 若直接采用数字 边缘累加和作为曲线弧长, 其估计总体上是有偏差的 , 局部弧长估计的不确定性可能较大地劣化最 终的识别结果. 为避免这一因素的不利影响, 必须在确定弧长变量 时, 对目标轮廓曲线进行重新抽 样 . 本文计算曲率的方法很容易求出弧长增量 , 将轮廓上每一点算得的弧长增量 t 累加作为“ 真实” 的 弧长, 以它为基准归一化到区间 [ 0, 1] , 再对参数作等间隔抽样. 例如, 取抽样间隔为 0. 005, 根据重 新取的控制点 , 在每一位置插值得到曲率, 然后利用 ( 9) 式计算 . 对分别属于四类的 32 幅图像采用“ 留 一法” 实验, 结果表明 , 识别率达到了 94% . 参