浅谈有关概率论的几个有趣的随机偶然问题

浅谈有关概率论的几个有趣的

随机偶然问题

摘要概率论是数学中的一门基础学科，不仅可以研究古老难题，解决应试的需求，更广泛应用于现实生活中的各个方面。尤其在解决带有偶然性的问题时，其独特的思维方法使得问题浅显易懂，从而变的简单易解。现实生活中那些趣味性的随机问题更离不开概率论的思想。

关键词概率论偶然性趣味性随机

On probability on the several interesting

random chance problem

Abstract Probability thoery is a basic study in mathematics.Not only can be studied old problem, should try to solve the demand, the more widely used in real life in all aspects.Especially in solving the problem with contingency, its unique thinking methods make simple problem, thus become simple easy solution.Real life those interesting problems more from probability theory of random thoughts.

Keywords probability thoery；contingency；interesting；random

2002年8月在北京举行国际数学家大会（ICM2002）期间，陈省身大师为儿童题词，写下了“数学好玩”4个大字。也许这会让很多学生不解，数学如何好玩？更有学生会坦言在所有学科里面最让人头疼的就是数学，它怎么可能会好玩？陈省身先生之所以说它好玩是因为他是数学大师，他乐于其中。然而我们这种出于对应试需求的一种学习当然会认为它枯燥、难理解等等。其实不然，陈省身大师在他十几岁的时候就觉得数学好玩，他是因为觉得好玩才专研其中，并不是因为专研其中才觉得数学好玩的。这就如同世间上的很多事情，只有感受体验才能食髓知味。就比方酒，“酒仙”李白写到“但得此中味，勿为醒着传”，不体会是不能理解诗人所传达的意境与乐趣的。

概率论是研究随机现象的数量规律学科。17、18世纪，数学获得了巨大的进步。数学家们冲破了古希腊的演绎框架，向自然界和社会生活的多方面汲取灵感，至此数学领域里出现了众多崭新的生长点。概率论就是这一时期"使欧几里得几何相形见绌"的若干重大成就之一。早在16世纪，意大利学者卡丹与塔塔里亚等人就已经开始从数学角度研究赌博问题。他们的研究不仅包含赌博还涉及到当时的人口、保险业等，但由于卡丹等人的思想未引起重视，概率概念的要旨也不明

确，于是很快被人淡忘了。真正的概率论的历史开始于17世纪中叶，最初概率论是起源于对赌博问题的研究。据说，1654年左右爱好赌博的法国人梅雷（A.G.C.de Mere,1610-1685）写信向帕斯卡（B.Pascal,1623-1662）请教。两个赌徒相约赌若干局，谁先赢s 局就算赢，现在一个人赢了a （a

数学的有趣性体现于此，它能把生活中的问题转化为数学问题，用数学的思想与方法解决。与上述案例大致相同的一例有关概率论的赌博游戏就是著名的两个吸收壁的随机游戏问题，也叫做赌徒输光问题。原题如下：

设袋中有a 个白球b 个黑球。甲、乙两赌徒分别有n 元、m 元，他们不知道袋中哪种球多。他们约定：每次有放回从袋中摸一个球，如果摸到白球甲给乙11元，如果摸到黑球，乙给甲1元，知道两个人有一个人输光为止。求甲输光的概率。由题知，甲赢1元的概率为b

a b p +=，输1元的概率为p q -=1，设n y 为甲输光的概率，t x 表示赌t 次（摸t 次球）后甲的赌金，τ=inf {}m n x x t t t +==或0:，即τ表示最终摸球次数。如果{}=+==m n x x t t t 或0:Φ

（Φ为空集），则令τ=∞。

设A=“第一局（次）甲赢”，则P(A)=p ，q A P =)(，且在第一局甲赢的条件下（因为甲有n+1元）甲最终输光的概率为1+n y ，在第1局甲输的条件下甲最终输光的概率为1-n y ，由全概率公式，得齐次一元二阶常系数差分方程与界条件 11-++=n n n qy py y (1) 0,10==+m n y y (2) 解具有边界条件（2）的差分方程（1）有两种方法，其解分别介绍如下。 解法一：

令n n y λ=，由（1）得关于λ的代数方程

q p q p +=+2)(λλ （3） （Ⅰ）当)(b a p q ≠≠即时，方程（3）有两个解p q =

=21,1λλ，故方程（1）有两个特解：1与（

p

q ），从而方程（1）通解为 n n q p C C y )(21+= 由边界条件（2）得

m n m n m n p q C p q p

q C +++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=11,1)(21

故得 m n n

n p q p q y +⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111 (Ⅱ) 当p=q 时，方程（3）有两个相等的解121==λλ，故方程（1）有通解n C C y n 21+=，再由边界条件（2）得

n

m C C +-==1,121 从而得 m

n n y n +-

=1 综合（Ⅰ）与（Ⅱ）得 ⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧=+-≠---+=q p m n n q p p q p q y m n n n ,1,)(1)(11 （4）

解法二：

（Ⅰ）当q p ≠时，由方程（1）得

()11-+-=-n n n n y y p q y y （递推）