误差原理第一章 基本概念
01第一章 检测技术基本概念
B 1 若 则可能含有变化的系统误差。 1 2A n
3.粗大误差
在对重复测量所得一组测量值进行数据处理之前, 首先应将 具有粗大误差的可疑数据找出来加以剔除。但绝对不能凭主观意 愿对数据任意进行取舍, 而是要有一定的根据。因此要对测量数 据进行必要的检验。
完整描述应包括：估计值（比值+误差）、测量单位、 不确定度等。
二、 测量方法
测量方法：实现被测量与标准量比较得出比值的方法。
测量方法分类
根据获得途径可分为直接测量、间接测量、组合测量； 根据测量方式可分为偏差式测量、零位法测量、微差法测量； 根据被测量变化快慢可分为静态测量、动态测量； 根据测量的精度因素情况可分为等精度测量、非等精度测量；
3）准则检查法：
马利科夫判据：将残余误差前后各半分两组，若“Σ vi
前”与“Σ vi后”之差明显不为零，则可能含有线性系
统误差。
阿贝检验法则：检查残余误差是否偏离正态分布，若偏 离，则可能存在变化的系统误差。将测量值的残余误差 按测量顺序排列，设 A v 2 v 2 v 2 1 2 n
检测技术的基本概念
本章学习测量的基本概念、测量方 法、误差分类、测量结果的数据统计处
理，传感器的基本特性等。他们是检测
与转换技术的理论基础。
第一节 一、测量
测量的基本概念及方法
测量：以确定被测量值为目的的一系列操作。 将被测量与同种性质的标准量进行比较，确定被测 量对标准量的倍数的一系列操作。
x n u
特点：可以获得比较高的测量精度, 但测量过程比较复杂, 费 时较长, 不适用于测量迅速变化的信号。
误差理论第一章绪论
①在近似加减运算中，各运算数据以小数位数最少的数据为 准，其余各数据可多取一位小数，但最后结果应与小数位数 最少的数据位数相同。
②在乘除运算中，各运算数据以有效位数最少的数据位数为 准，其余各数据要比有效位数最少的数据位数多取一位数字， 而最后结果应与有效位数最少的数据位数相同。
③平方或开方运算，可按乘除运算处理。 12
三、误差分类 按误差的特点和性质，误差可分为系统误差、差：在同一条件下，多次测量同一量值时， 误差的绝对值符号保持不变，或在条件改变时，按一定规 律变化的误差。（如常用的杆秤）
①按对误差掌握的程度分：已定系统误差（误差的绝对值 和符号已确定）；未定系统误差（误差的绝对值和符号未 能确定，但范围可估计出）。
15000 15080.3 80.3 0.4%
20000
20000
二、误差来源
（一）测量装置误差：①标准量具误差（如标准电阻、标准
砝码）； ②仪器误差（如天平、压力表、温度计）；③附件
误差（如测长仪的标准环规）
5
（二）环境误差：各种环境因素与规定的标准状态不一致 而引起的误差（如温度、湿度、振动等） （三）方法误差：由测量方法不完善而引起的。（如间接 测量圆直径） （四）人员误差：由测量人员的习惯或疲劳原因等引起的 误差。
§1-1 研究误差的意义
误差存在的必然性和普遍性：由于实验方法、实验设备的不 完善、周围环境的影响、人们认识能力的限制，使得测量和 实验所得的数据和被测量的真值之间，不可避免存在差异。 尽管科技发展和人们认识水平的提高可使误差控制的很小， 但终究不能完全消除，这种必然性和普遍性已为大量实践所 证明。
（三）粗大误差：超出在规定条件下预期的误差，又称 “寄生误差”，此误差值较大，明显歪曲测量结果（如 人员因素、有缺陷的仪器等）
数值分析课件 第一章 绪论
1 e 0 1 x n e 0 d I n x 1 e 0 1 x n e 1 d x e 1 1 ( ) I n n n 1 1
公式一：I n 1 e [ x n e x 1 0 n 0 1 x n 1 e x d x ] 1 n I n 1
I01 e 01exdx11 e0.63212 记为0I5 0* 6 此公式精确成
初始的小扰动 |E 0|0.51 0 8迅速积累，误差呈递增趋势。 造成这种情况的是不稳定的算法 /* unstable algorithm */ 我们有责任改变。
公式二： I n 1 n I n 1 I n 1 n 1 ( 1 I n )
方法：先估计一个IN ,再反推要求的In ( n << N )。 注 意在e此理(N 公论1 式上1)与等公价IN 式。一N 1 1
)
0 .0 6 6 8 7 0 2 2 0
I
12
1 (1 13
I
13
)
0 .0 7 1 7 7 9 2 1 4
I
11
1 (1 12
I
12
)
0 .0 7 7 3 5 1 7 3 2
I
10
1 11
(1
I
11
)
0 .0 8 3 8 7 7 1 1 5
I
1
1 2
(1
I
2
)
0 .3 6 7 8 7 9 4 4
0
2! 3! 4!
11/1e111 e1 x 2d1x11 1 3 2! 50 3! 7 4! 9
取 01ex2dxS4 ,
S4
R4 /* Remainder */
则 R 44 1 !1 9 由 留5 1 !下1 部1 分1 称为截断误差 /* Truncation Error */
第一章_误差与范数
∧
Er ( x) ≤
∧
1 × 10 − ( n −1 ). 2 a1
反之，若 x 的相对误差限满足：
Er (x) ≤
∧
1 2 ( a 1 + 1)
× 10
− ( n −1)
,
则 x 至少具有 n 位有效数字。 ，相对误差限就越小 ，即近似数 的 可见有效数字的位数越多 有效数字的位数越多， 相对误差限就越小， 即近似数的 ，用这个近似数去近似代替准确值的精度就越高 。 有效位数越多 有效位数越多， 用这个近似数去近似代替准确值的精度就越高。 例 为使 20 的近似值的相对误差小于 1%,问至少应取几位 有效数字？ 解
∧
x−x
∧
x
≤δ ，
则称 δ 为近似值 x 的相对误差限，相对误差是无量纲的数，通常 用百分比表示，称为百分误差。 例 求 x = 3 .14 与 π 的相对误差限。 解 由于 3.1415 < π < 3.1416 ，因此
∧
∧
|
x− π
∧
|≤|
x
3.14 − 3.1416 |< 0.00051 3.14
根据“数值计算”的特点，首先应注意掌握数值计算方法
的基本原理和思想，注意方法处理的技巧及其与计算机的 密切结合，重视 误差分析 、收敛性 及稳定性 的基本理论； 其次还要注意方法的使用条件，通过各种方法的比较，了解 各种方法的异同及优缺点。
2
§1.1 误差的来源
在数值计算过程中，估计计算结果的精确度是十分重要的工 作， 而影响精确度的因素是各种各样的误差， 它们可分为两大类：
有区别的，前者只有 3 位有效数字，而后者则具有 4 位有效数字。
∧ ∧
误差ppt第一章
特点与性质
粗大 误差
1.2.2 误差分类
1.系统误差（Systematic Error） 系统误差（ 系统误差 ） 定义： 定义：在同一条件下，多次重复测量同一量值时，绝对值 例如： 例如：用天平计量物体质量时，砝码的质量偏差[绝对值和符号保持不
变]；用千分表读数时，表盘安装偏心引起的示值误差[按某一确定 规律变化]；刻线尺的温度变化引起的示值误差[在条件改变时，按 某一确定规律变化]。 实际估计系统误差常用适当次数的重复测量的算术平均值减去约定真值 来表示，也称为测量器具的偏移 偏畸 偏移或偏畸 偏移 偏畸（Bias）。 由于系统误差具有一定的规律性，因此可以根据其产生原因，采取一定的 技术措施，设法消除或减小；也可以在相同条件下对已知约定真值的标准 器具进行多次重复测量的办法，或者通过多次变化条件下的重复测量的办 法，设法找出其系统误差的规律后，对测量结果进行修正。
1.2.2 误差来源
测量方法误差 由于测量方法的不完善引起的误差，如 采用近似的测量方法、计算公式等原因所 引起的误差，又称为理论误差。
如用均值电压表测量交流电压时，其读数是按 照正弦波的有效值进行刻度，由于计算公式 α = KFU =πU / 2 2 中出现无理数 π 和 2，故 取近似公式 α ≈1.11 ，由此产生的误差即为理论 U 误差。
标准器件误差
设计测量装置 时，由于采用 近似原理所带 来的工作原理 误差 组成设备的 主要零部件 的制造误差 与设备的装 配误差
仪器误差
设备出厂 时校准与 定度所带 来的误差
附件误差
数字式仪 器所特有 的量化误 差
读数分辨 力有限而 造成的读 数误差
1.2.2 误差来源
测量环境误差 指各种环境因素与规定的标准状态不一致而 造成的误差。
第一章误差分析的基本概念
计算方法-1 -第一章 误差分析的基本概念§ 1误差的来源1. 误差概念:精确值与近似值之差称为误差，也叫绝对误差。
2. 产生误差的主要原因① 模型误差：在解决实际问题时，在一定条件下抓住主要因素将现实系统理想化的数学描述称为实 际问题的数学模型，这种数学描述常常是近似的，数学模型与实际系统之间存在误差，这种误差称为模 型误差。
② 观测误差：数学模型中往往含有一些由观测得到的物理量（如温度、电阻、长度）或由物理量估 算出的模型参数，这些观测物理量或模型参数常常与实际数据存在误差。
这种由观察产生的误差称为观 测误差。
③ 截断误差：数值计算中用有限运算近似代替无穷过程产生的误差。
例如计算一个无穷次可微函数 的函数值时，理论上只要能算出这个函数的泰勒级数值即可，但是实际工程上仅用泰勒级数中前面有限 项来近似计算函数值，而舍去高阶无穷小量。
这个被舍的高阶无穷小量正是截断误差。
④ 舍入误差：计算中按四舍五入进行舍入而引起的误差或因计算机字长有限，数据在内存中存放时 进行了舍入而引起的误差。
3. 举例说明例1设一根铝棒在温度t 时的实际长度为L t ,在t=0 C 时的实际长度为 L o ,用i t 来表示铝棒在温度为t 时的长度计算值，并建立一个数学模型： I tL °（1「.t ）,其中a 是由实验观察得到的常数:-二（0.0000238 ± 0.0000001 ） 1/ C,称L t —I t 为模型误差，0.0000001/ C 是a 的观测误差。
这个问题中模型 误差产生的原因是：实际上 L t 与t 2有微弱关系，也就是说模型未能完全反映物理过程。
为了计算近似值，可取前面有限项计算•如取前面五项计算，计算过程中与计算结果都取五位小数得e ~1+1 + 1/2+1/6+1/24疋2.7083, e 取五位小数时的准确值为~ =2.71828，于是截断误差为：□0' —:2.71828 -2.7083 = 0.00995 n总n !这表明：只要在计算中采用了有限步运算近似代替无限步运算的方法，截断误差就一定存在。
误差理论与数据处理-第一章误差的基本概念ppt课件.ppt
病原体侵 入机体 ，消弱 机体防 御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
第二节 测量误差的定义及基本概念
一、测量误差
定义
δ＝x-a
测量误差
被测量 的真值
测量结果
病原体侵 入机体 ，消弱 机体防 御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
根据测量条件是否发生变化分类
等权测量
指在测量过程中，测量仪器、测量方法、测量条 件和操作人员都保持不变。因此，对同一被测量进 行的多次测量结果可认为具有相同的信赖程度，应 按同等原则对待。
不等权测量
指测量过程中测量仪器、测量方法、测量条件或 操作人员某一因素或某几因素发生变化，使得测量结 果的信赖程度不同。对不等权测量的数据应按不等权 原则进行处理。
δ≤2.5％×[0.1－（－0.1）]＝0.005（MPa） 引用误差专用于仪器仪表误差的描述。
病原体侵 入机体 ，消弱 机体防 御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
第三节 测量误差的来源
为了减小测量误差，提高测量准确度，就必须了解误差 来源。而误差来源是多方面的，在测量过程中，几乎所有 因素都将引入测量误差。
测量方法误差
病原体侵 入机体 ，消弱 机体防 御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
按测量结果的获取方式分类
直接测量
指被测量与该标准量直接进行比较的 测量，指该被测量的测量结果可以直接 由测量仪器输出得到，而不再需要经过
第一章误差
数的相对误差。
r* 0 , 使 如果 存在
er ( x)
* r
r* 为近似数 成立，则称正数
x 的相对误
*
差限，常用百分数表示。
例如 比较两个近似数：
x1 100 2
（4）舍入误差：由于计算机计算字长限制，自动
进行四舍五入而产生的误差。
误差是不可避免的，要做到与实际问题的绝对 准确是办不到的。因此，我们主要研究怎样尽量设 法减少截断误差和舍入误差，提高计算精度。
例如 在计算机上计算
1 3 1 5 1 7 1 9 sin x x x x x x 3! 5! 7! 9!
、
避免两接近的近似数相减！
e xy x y max e x , e y , er xy er x er y ;
x y e x x e y e , 2 y y
k sk ak x0 , k 0,1, , n 解、算法一： n P k 0 sk
算法二：
Tn an , Tk x0Tk 1 ak , k n 1, n 2, , 2,1,0 P T0
二、选择算法数值稳定性较好的算法 例2：计算积分
n 位有效数字。
准确数有无限位有效数字。
练习:
若 x 3.14159265 ，分别判断下列近似
数有几位有效数值 。
1、x1 3.1382673
三位有效数值
三位有效数值
2、x2 3.1410673
一、基本内容及基本要求 第一章、绪论了解数值分析的研究对象与特点。了解误差来源与分类,会求有效数字;
p2
( x)
拉
or
牛
0.25x2
0.75x 1;
2 0.3
p2 (0.3)
保证两位有效数字
1.2475;
2 0.3
p2 (0.3)
0.6660 3!
(0.3
max f
1)(0.3 0)(0.3 1) 0.03030. (x) 2(ln 2)3 0.6660
1 x1Biblioteka 7、P59, 4.P59, 6,8.
8、设f (x) x6 x4 3x 1,求f [20,21, ,26 ]和f [20,21, ,27 ].
答：(1)1, (2) 0.
9、设Tk (x)是k次切比雪夫多项式，证明 （1）Tm[Tn (x)] Tmn(x); （2）Tmn (x) Tmn (x) 2Tm (x)Tn (x);
117.992
1 117.992
1,
1
1 107. 2
1 117.992
0.008475
2
,
2
0.2106.
x2
1 x1
0.008475
1
2,
1 2
1
2
1 106. 2
x2
1 x1
0.008475，有四位有效数字.
3、用十进制3位数字解方程组
0.780x 0.563y 0.217, 0.457x 0.330y 0.127.
(准确解x 1, y 1)
再用6位数字求解，计算结果说明什么？
解：(1)
0.780x 0.563y 0.217,
(0.330 0.563 0.586) y 0.127 0.217 0.586.
0.780x 0.563y 0.217,
误差基本概念
R1 R2
R
（2）R不变，将可调标准电阻箱Rn
替换成Rx接入电桥，调Rn使电桥平衡
则
Rn
R1 R2
R
（3）∴Rx=Rn，消除了桥臂参数的
系统误差。
2 正负误差补偿法：（用于消除恒定系统误差）
在不同的试验条件下进行两次测量，使其读数一 次为正，一次为负，则两次读数的平均值将与恒 定系统误差无关。 例如：为了消除恒定直流外磁场对仪表读数的影响。
相对误差
￡1-2 误差的来源与分类
一、 误差的来源
1 装备误差：
①标准器误差：如标准电阻，标准砝码的标称值误差。 ②仪表误差：测量所用工具的误差。 ③装备、附件误差：如谐波，不对称，非工频，引线、安装、
布置不合理等。
2 方法误差：（理论误差）
①测量方法理论根据不完善。 ②采用了近似公式等。
3 人员误差：测量人员的感觉器官或运动器官不完善
相对误差=绝对真误差/真值×100% ≈绝对真误差/给出值×100%
r x x x0 x
r越小，准确度越高。
3、引用误差
引用误差=绝对误差/满刻度值×100%
即：
rn
x xN
ห้องสมุดไป่ตู้
100 %
例如：电流表，满刻度为5A，测量值4A，实际值为4.02A
4 4.02 则： rn 5 100% 0.4%
可将仪表转过180度进行两次测量，然后取平 均值。 3 对称观测法 用测量数据的对称关系消除系统误差的方法。
例：谐振频率的测量
❖ 若通过测量U0来确定f0 会产生较大误差（∵峰 值处电压变化平坦）
❖ 若在某—U1 下，测试
f1 和f2
f1
1 2
误差第一章
误差理论与数据处理开课学院：主讲教师：联系电话：E-mail:关于任课教师秦岚, 1983年9月-1994年6月在重庆大学获精密仪器及机械专业学士、硕士和博士学位，长期从事精密仪器及机械学科的科研和教学工作。
2001年12月晋升教授，2004年7月任博导，2011年晋三级教授。
现为重庆市“322重点人才”工程人选、重庆市学术技术带头人。
先后担任重庆大学光电工程学院副院长（1996-1999）、党委书记（1999-2010）、重庆市发改委副主任（2001-2003，挂职）、重庆大学数学与统计学院党委书记（2010—）、大连理工大学校长助理（201204-201207，挂职）。
先后兼任全国高等学校机电类专业教学指导委员会委员，中国仪器仪表学会机械量测试仪器分会第四届理事会副理事长，全国测量误差与不确定度研究会副理事长，中国计量测试学会第五届理事会理事，全国互换性与测量技术研究会常务理事、副秘书长等。
1994年至今担任本课程主讲教师。
本课程的意义20042006我和费先生的特殊友谊20132009费业泰: 误差理论是仪器科学特有的基础理论1、误差理论贯穿仪器及测试系统的始末。
在仪器设计、制造、使用及测试结果处理与评定等五大环节，误差理论均起着指导与保证作用。
2、误差理论在仪器科学人才培养中是必不可少重要内容。
过去的教学计划中测试技术课程为主要课程，而有关误差理论内容则占全课程约1/3 学时。
根据国外高校相关专业很早巳开设有关误差理论课程，我国高校1978年首次设置该课程. 30年来讲授误差课程高校专业已很普遍，但仪器学科专业该课程体系、内容最为全面系统。
3、误差理论在科学技术与工程实践中具有重要作用。
任何科学与工程对可靠性、准确度具有要求，这是普遍性问题.不仅其实验和实践过程需要测试，而本身在系统设计、建造和运行控制也需要一定的误差理论作指导。
结论：误差理论是仪器科学的重要基础理论，也是科学与工程技术具有遍普意义的必不可少基础理论之一，而仪器科学领域学术研究所建立误差理论的严谨学术体系与全面系统内容，则是其他科学与工程技术应用误差理论的依据，充分表明误差理论是仪器科学特有的基础理论。
误差
▪ 第一章 误差和精度的基本概念▪ 误差公理① 测量结果都具有误差，误差自始自终存在于一切科学实验和测量的过程之中。
② 误差是不相等的，即误差具有不确定性。
③ 误差一般是未知的，因为真值是未知的。
因此研究误差通常从残余误入手 。
④ 由于误差的不确定性，所以可以把误差看成是随机变量，可以利用概率论与数理统计学来研究误差。
注：由于误差的不可避免性，对测量误差的分析和处理就成为测量工作中的重要问题。
误差估计过大，会造成不必要的浪费，误差估计过小，会使测量准确度低，导致实验失败或影响产口 质量。
只有在准确估计测量误码差，合理使用实验设备，正确选用测量方法，严格控制测量 环境条件的情况下，才能获得与测量准确度要求相适应的测量结果。
2. 测量设备误差包括标准器件误差，装置误差，附件误差标准器件误差是指设计测量装置时，由于采用近似原理所带来的工作原理误差 。
一般要求标准器件的误差占总误差的1/3～1/10。
装置误差是指设备出厂时校准与定度所带来的误差 。
附件误差是指元器件老化、磨损、疲劳所造成的误差 。
3.测量方法误差指使用的测量方法不完善，或采用近似的计算公式等原因所引起的误差 ，又称为理论误差4.测量环境误差指各种环境因素与要求条件不一致而造成的误差。
5. 测量人员误差测量人员的工作责任心、技术熟练程度、生理感官与心理因素、测量习惯等的不同而引起的误差。
6.误差的来源主要有：(1) 仪器误差:零部件变形及其不稳定性，信号处理电路的随机噪声等。
(2) 环境误差:温度、湿度、气压的变化，光照强度、电磁场变化等。
(3) 人员误差:瞄准、读数不稳定，人为操作不当等。
（4）方法误差：指使用的测量方法不完善，或采用近似的计算公式等原因所引起的误差 ，又称为理论误差。
7.绝对误差 0x x x -=∆（绝对误差=测得值-被测量的真值，常用约定真值代替 ）特点：① 绝对误差是一个具有一定的大小、符号及单位的量。
单位：给出了被测量的量纲，其单位与测得值相同。
误差理论与数据处理习题(上)
第一章基本概念例题例1 在万能测长仪上，测量某一被测件的长度为50mm，已知其最大绝对误差为1μm，试问该被测件的真实长度为多少？解：L = 50mm δ= 0.001mm 故L0= L ±δ = 50.000 ± 0.001mm例2 用两种方法测量长度为50mm 的被测件，分别测得50.005mm；50.003mm。
试评定两种方法测量精度的高低。
解：因对相同的被测量，可用绝对误差的大小来评定其两种测量方法之精度高低。
绝对误差小者，其测量精度高。
第一种方法的绝对误差为：δ1 = (50.005 −50.000)mm = 0.005mm第二种方法的绝对误差为：δ2 = (50.003−50.000 )mm = 0.003mm∵δ2<δ1故第二种方法的测量精度高。
例3若某一量值Q 用乘积ab 表示，而a 与b 是各自具有相对误差f a和f b的被测量，试求量值Q 的相对误差。
解：式中a0、b0分别为a、b的真值。
则因此，Q 的相对误差约为f a+ f b。
例4若某一测量值Q用a与b的商a / b表示，而a与b 是各自具有相对误差f a和f b 的被测量，试求量值Q 的相对误差。
解：则因此，Q 的相对误差约为f a +f b。
例5通过电阻R 的电流I 产生热量（单位J）Q = I2Rt 式中的t 为通过电流的持续时间，已知I 与R 测量的相对误差为1%，t 测量的相对误差为5%，试求Q 的相对误差。
解：例6某一正态分布的随机误差δ的标准差为σ＝0.002mm，求误差值落在±0.O05mm以外的概率。
解:误差落入[—0.O05，O.O05]范围内的概率为而δ落在±0.O05mm以外的概率则为例7某一随机误差δ服从正态分布，其标准差为σ＝0.06N，给定∣δ∣≤a 的概率为0.9，试确定a的值。
解: 由对称区间概率计算公式可得由概率积分表可查得则习题1-1研究误差的意义是什么？误差理论研究的主要内容是什么？1-2什么叫测量误差？什么叫修正值？含有误差的某一测得值经过修正后，能否得到被测量的真值？为什么？1-3误差的绝对值与绝对误差是否相同？为什么？1-4测得某三角块的三个角度之和为180°00′02″，试求测量的绝对误差和相对误差。
第一章数值分析(误差分析)
* e x x * e r * * x x x x* er 则称η 为 x* 的相对误差限。 x
如果
这时 x=10,
x*=10±1;
2019/3/13
第一章 绪论与误差分析
2
本章内容安排
1. 目的意义：了解计算数学的背景知识；掌握误 差的基本知识 2.重 点：误差来源、误差表示、误差传播 及算法设计原则 3.难 点：有效数字 4.内容分配： 第 1 次：§1 计算数学研究的对象和内容 第
§2 误差的来源和分类 2 次：§3 误差的表示 §4 误差的传播 §5 算法设计的若干原则
由于计算机的字长有限，参加运算的数据以及计算结 果在计算机上存放时，计算机会按舍入原则舍去每个数据 字长之外的数字，从而产生误差，这种误差称为舍入误差 或计算误差。 例如，在十进制十位的限制下，会出现 (1.000002)2-1.000004=0
这个结果是不准确的，准确的结果应是 (1.000002)2-1.000004 =1.000004000004-1.000004=4×10-12 这里所产生的误差就是计算舍入误差。 在数值分析中，一般总假定数学模型是准确的，因而 不考虑模型误差和观测误差，主要研究截断误差和舍入误 差对计算结果的影响。
则有误差限 |x-x*|≤1= εx ,
虽然εy是εx 的3倍，但在1000内差3显然比10内差1更精确 些。这说明一个近似值的精确程度除了与绝对误差有关 外，还与精确值的大小有关，所以这时可以用相对误差 来比较这两个近似数的准确度。
2019/3/13 19
第一章 绪论与误差分析
e x x 定义1 .2 记 er x x 则称其为近似值 x *的相对误差。 由于 x 未知， 实际使用时总是将 x * 的相对误差取为
数值计算方法第一章误差的基本知识
推理证明能力； 5、认真进行数值计算的训练。
§1.2 误差知识
一、误差的来源及其分类 二、误差的度量 三、误差的传播
一、误差来源及其分类
1) 模型误差（描述误差） 反映实际问题有关量之间的计算公式
（数学模型）通常是近似的。
x1*
x
0 .0 00 5 9
0.005
1 1013 2
3位有效数字，非有效数
x
* 2
x
0 .0 00 4 0
0.0005
1 1014 2
Remark2: 相对误差及相对误差限是无量纲的，但绝对 误差以及绝对误差限是有量纲的。
3.有效数字
为了规定一种近似数的表示法，使得用它表示的 近似数自身就直接指示出其误差的大小。为此需要引 出有效数字和有效数的概念。
定义：设 x 的近似值 x* 有如下标准形式
x* 10m 0.x1x 2 x n x n1 x p ，
本课程主要内容
鉴于实际问题的复杂性，通常将其具体地分解 为一系列子问题进行研究，本课程主要涉及如下几 个方面问题的求解算法： 非线性方程的近似求解方法； 线性代数方程组的求解方法； 函数的插值近似和数据的拟合近似； 积分和微分的近似计算方法； 常微分方程初值问题的数值解法； 矩阵特征值与特征向量的近似计算方法； ……
第一章 绪 论
内容提要
§1.1 引 言 §1.2 误差的度量与传播 §1.3 选用算法时应遵循的原则
§1.1 引 言
课程特点
数值分析或数值计算方法主要是研究如何 运用计算机去获得数学问题的数值解的理论和 方法。
对那些在经典数学中，用解析方法在理论 上已作出解的存在，但要求出他的解析解又十 分困难，甚至是不可能的这类数学问题，数值 解法就显得不可缺少，同时有十分有效。
01第一章误差理论与数据处理01
Luminous
L
intensity发光强度
Second秒
s
Metre米
m
Kilogram千克 kg
Ampere安培 A
- in terms of the period of the Cs hyperfine transition铯原子超精细跃迁的周期
- distance travelled by light in 1/299792548 of a second 光在1/299 792 458 秒的时间内运动的距离
a second 光在 1/299 792 458 秒时间内运 动的距离
- in terms of the mass of the international
prototype K 国际原器的质量， K
- in terms of the force between wires carrying
current带电导线之间的力
Quantity symbol 量 符号
Base unit symbol 基本单位 符号
Proposed new definition 建议新定义
Time时间
t
Length长度
x
Mass质量
m
Electric
i
current 电流
Thermodynamic T temperature热力学温度
Amount
笔式记录仪 光线示波器 磁带记录仪 电子示波器 半导体存储器 显示器 磁卡
数据处理器 频谱分析仪
FFT 实时信号分析仪 计算机
被测对象 传感器
中间变换 测量装置
显示及 记录装置
实验结果 处理装置
9
四、测量方法分类
误差理论与数据处理知识总结
第一章绪论1.1研究误差的意义1.1.1研究误差的意义为：1）正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减小误差2）正确处理测量和试验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于真值的数据3）正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，以便在最经济条件下，得到理想的结果。
1.2误差的基本概念1.2.1误差的定义：误差是测得值与被测量的真值之间的差。
1.2.2绝对误差：某量值的测得值之差。
1.2.3相对误差：绝对误差与被测量的真值之比值。
1.2.4引用误差：以仪器仪表某一刻度点的示值误差为分子，以测量范围上限值或全量程为分母，所得比值为引用误差。
1.2.5误差来源：1）测量装置误差 2）环境误差 3）方法误差 4）人员误差1.2.6误差分类：按照误差的特点，误差可分为系统误差、随机误差和粗大误差三类。
1.2.7系统误差：在同一条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号保持不变，或在条件改变时，按一定规律变化的误差为系统误差。
1.2.8随机误差：在同一测量条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号以不可预定方式变化的误差称为随机误差。
1.2.9粗大误差：超出在规定条件下预期的误差称为粗大误差。
1.3精度1.3.1精度：反映测量结果与真值接近程度的量，成为精度。
1.3.2精度可分为：1）准确度：反映测量结果中系统误差的影响程度2）精密度：反映测量结果中随机误差的影响程度3）精确度：反映测量结果中系统误差和随机误差综合的影响程度，其定量特征可用测量的不确定度来表示。
1.4有效数字与数据运算1.4.1有效数字：含有误差的任何近似数，如果其绝对误差界是最末位数的半个单位，那么从这个近似数左方起的第一个非零的数字，称为第一位有效数字。
从第一位有效数字起到最末一位数字止的所有数字，不论是零或非零的数字，都叫有效数字。
1.4.2测量结果应保留的位数原则是：其最末一位数字是不可靠的，而倒数第二位数字应是可靠的。
误差理论第一章课后答案
《误差理论与数据处理》第1章习题解答1-7 用二等标准活塞压力计测量某压力得100.2Pa ，该压力用更准确的办法测得为100.5Pa ，问二等标准活塞压力计测量值的误差为多少？【解】：真值＝100.5Pa ，测得值＝100.2Pa绝对误差＝测得值—理论真值＝100.2-100.5＝-0.3Pa1-8在测量某一长度时,读数值为m 31.2,其最大绝对误差为m μ20,试求其最大相对误差。
【解】：最大相对误差≈（最大绝对误差）/测得值，所以： 最大相对误差%1066.8%1002.3110204-6-⨯=⨯⨯≈ 1-9 使用凯特摆时，由公式由公式()22124T h h g +=π给定。
今测出长度()21h h +为()m 00005.004230.1±，振动周期T 为()s 0005.00480.2±。
试求g 及其最大相对误差。
如果()21h h +测出为()m 0005.00422.1±，为了使g 的误差能小于2/001.0s m ，T 的测量必须精确到多少？解：由 ()22124T h h g +=π 令 ()21h h h += 得 222/81053.90480.204230.14s m g =⨯=π 取对数并全微分得：TT h h g g ∆-∆=∆2 g 的最大相对误差为：因为可由得1-10检定2.5级（即引用误差为2.5％）的全量程为l00V 的电压表，发现50V 刻度点的示值误差2V 为最大误差，问该电表是否合格?【解】：依题意，该电压表的示值误差为 2V由此求出该电表的引用相对误差为 %2%1001002=⨯ 因为 2％＜2.5％所以，该电表合格。
【或解】：该电压表合格。
1-11 为什么在使用微安表时，总希望指针在全量程的2/3范围内使用？解：设微安表的量程为n X ~0，测量时指针的指示值为X ，微安表的精度等级为S ，最大误差%S X n ≤，相对误差XS X n %≤，一般情况下n X X ≤，故当X 越接近Xn 相对误差就越小，故在使用微安表时，希望指针在全量程的2/3范围内使用。
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所谓误差就是测量值与被测量的真值之间的的差, 可表示为
误差=测量值－真值
1.绝对误差 误差定义为该量的给出值与其客观真值之差.
真值 在某一时刻或某一位置状态下,某量本身体现出 的客观值或实际值.
误差=给出值－真值 由于误差与给出值有相同的量纲,故该误差又称为 绝对误差.
实际值 满足规定准确度的用来代替真值使用的 量值.
凡是经过测量取得测量结果后，还要求估计出测量 结果的误差确切值，则为精确测量。
2.根据取得测量结果的方法不同，可把测量分为：
(1)直接测量
把被测量与作为测量标准的量直接进行比较,或用预先 按标准校对好的测量仪器对被测量进行测量,通过测量能 直接得到被测量数量大小的测量结果,称此为直接测量. 例如：用米尺测量桌子的长度.
▪ 理论真值 例如，平面三角形三内角之和恒为180°，同 一量值自身之差为零，而自身之比为1；理想电容和电感上， 其电压与电流的相位差为90°；此外，还有理论设计值和理 论公式表达式等等。
▪ 计量学约定真值 国际计量大会决议，例如：(A)长度单 位——米是光在真空中，在1/299792458 s的时间间隔内行 程的长度。(B)质量单位——保存在法国巴黎国际计量局的 铂—铱合金圆柱体的质量是1kg。(c)时间单位——铯—133 原子处于特定的状态(原子基态的两个超精细能级之间的跃 迁)时，辐射出9192631770个周期的电磁波。它所持续的时 间为1s。满足以上条件复现出的量值都是真值。
▪ 工程测量 得到的测量结果精度较低，所用的 测量设备简单，价格便宜，操作也比较简便， 故所付出的代价也比较小。
间接测量可以用下面的一般公 式来表示，即
(3)组合测量
被测量不能通过直接测量或者间接测量得到,而必须 通过直接测量的测量值或者间接测量的测量值建立联立方 程组,才能得到最后的测量结果.这样的测量称为组合测量.
(2)间接测量
被测量不能直接用测量的方法得到,而必须通过一 个或多个直接测量值,利用一定的函数关系运算才能得 到,此种测量称为间接测量.
例如：测物体的运动速率; 牛顿测风速
▪ 精密测量 得到的测量结果精度较高，但它所 用的测量设备精度也高，测量设备对其工作 环境的要求也比较严格，因此所付出的代价 也大。
3.根据测量条件不同,把测量分为: (1)等精度测量
对某一固定被测量进行重复测量,所取得的测量数 据可以认为是在相同的测量精度条件下得到的,这种测 量称为等精度测量.
(2)不等精度测量
对一被测量进行测量得到的数据,其精度可以判定 是不等的,这种测量称为不等精度测量.
1.3 误差(error)的基本概念
“档案尺”变形 --- 较大误差 --- 废弃（1872年米制国际会议） ② 铂铱合金的X形尺 --- 米原器（1889年第一次国际计量大会） --- 中 性面上两端的二条刻线在0C时的长度 --- （1~2）10-7（复现精度）
③ 自然基准（1960年第十一次国际计量大会）--- 废弃米原器 --Kr-86的2p10-5d5能级间跃迁在真空中的辐射波长的1650763.73倍。 --- （0.5~1）10-8（复现精度） ④ “米”新定义（1983年第十七届国际计量大会）--- 光在真空中1s 时间内传播距离的1/299792485 --- 1.310-10 （复现精度）
研究误差的意义
(1)正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以 消除或减小误差。
(2)正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果， 以便在一定条件下得到更接近于真值的数据。
(3)正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和 测量方法，以便在最经济的条件下，得到理想的结 果。
二、基本概念
▪ 测量是研究误差的前提，研究误差的目的就是设法 评价测量结果的可信程度。
结果=数值(被测量与标准的比值)×单位(量纲)
直接测量 L 3.15 cm
测量
数值 单位
间接测量 m r2h
L 3.15
二.测量方法的分类
1.按对测量结果精确度要求的不同,可把测量分为:
(1)工程测量
工程测量是一般工作中所进行的测量,对测量结果只 要求取得测量值就能满足对测量的要求,不需要考虑测量 误差的大小或估计测量值的可信程度. (2)精密测量
▪ 测量的定义 ▪ 测量就是人们借助专门设备，通过实验的方法，
对客观事物取得测量结果的认识过程。 ▪ 三种形式： ▪ 带有单位的数值； ▪ 在固定坐标系中给出的曲线； ▪ 按一定比例给出的图形。
根据实际需要,测量结果不外乎下面三种形式:
(1)带有单位的数值;
(2)在固定的坐标系中给出曲线; (3)按都可以用下式表示:测量
2.相对误差 相对误差=误差/真值
3.引用误差 仪器示值的绝对误差与测量范围上限值或者量
程之比值,以百分数表示.
▪ 真值 在某一时刻和某一位置或状态下，某量本身体现出的 客观值或实际值。
▪ 一般说来，真值是未知的，因此误差也就未知，但绝不意 味真值一定不知道，有些情况下真值是可以知道的，又有些 情况下从相对的意义上来说也是知道的。真值可知的情况有 如下几种：
第一章 基本概念
一、意义
▪ 人类为了认识自然与改造自然，需要不断地对自然 界的各种现象进行测量和研究，由于实验方法和实 验设备的不完善、周围环境的影响，以及受人们认 识能力所限等，测量和实验所得数据与被测量的真 值之间，不可避免地存在着差异，这在数值上表现 为误差。
▪ 随着科学技术的日益发展和人们认识水平的不断 提高，虽可将误差控制得越来起小，但终究不能完 全消除它。误差存在的必然性和普遍性．已为大量 实践所证明，为了充分认识并进而减小或消除误差， 必须对测量过程和科学实验中始终存在着的误差进 行研究。
2、误差的特点
普遍性 --- 所有的测量数据都存在误差 --- 不可避免的 最高基准的测量传递手段（测量仪器/测量方法）--- 不绝对准确
长度：① “米制”建议（18世纪末法国科学院） --- “米” 定义 （1791年法
国国会） --- 通过巴黎的地球子午线长度的四千分之一 --- 铂杆“档案 尺” （1799年）--- 两端之间的距离--- 第一个实物基准