高二选修1-1导数知识点总结

导数及其应用

1、导数的几何意义：

函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率

)(0x f '，

相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-。若函数在0x 处的导数不存在，则说明斜率不存在，切线的方程为0x x =．

注：（1）知切点求切线：求导、求斜率、代方程。

（2）未给切点求切线：设点、求导数、写方程、将已知点代入、联立方程组求切点横坐标、反代得纵坐标、将切点坐标代入所设切线方程。

2、导数定义：()f x 在点0x 处的导数记作x

x f x x f x f y x x x ∆-∆+='='→∆=)()(lim )(00000；．

又称：函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率：

()()2121f x f x x x --3、常见函数的导数公式：

①'C 0=；②1')(-=n n nx

x ；③x x cos )(sin '=；④x x sin )(cos '-=；⑤a a a x x ln )('=；⑥x x e e =')(；⑦a x x a ln 1)(log '=；⑧x

x 1)(ln '=4、导数运算法则：()

1()()()()f x g x f x g x '''±=±⎡⎤⎣⎦；()2()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''⋅=+⎡⎤⎣⎦；

()3()()()()()()()()()20f x f x g x f x g x g x g x g x '⎡⎤''-=≠⎢⎥⎡⎤⎣⎦⎣⎦．

5、函数的单调性：

在某个区间(),a b 内，若()0f x '>，则函数()y f x =在这个区间内单调递增；若()0f x '<，则函数()y f x =在这个区间内单调递减．

6、函数的极值：

(1)极值定义：

极值是在0x 附近所有的点，都有)(x f ＜)(0x f ，则)(0x f 是函数)(x f 的极大值；极值是在0x 附近所有的点，都有)(x f ＞)(0x f ，则)(0x f 是函数)(x f 的极小值.

(2)求函数()y f x =的极值的方法是：解方程()0f x '=．当()00f x '=时：

①如果在0x 附近的左侧)('x f ＞0，右侧)('x f ＜0，那么)(0x f 是极大值；②如果在0x 附近的左侧)('x f ＜0，右侧)('x f ＞0，那么)(0x f 是极小值.

注：（1）导数值为零是函数极值点的必要不充分条件！即极值点处导数必为零；而导数为零处未必取得极值。

（2）极值点是使函数取得极值的x 的值，不可理解成一个点。同样函数的零点也不是一个点，而是使函数的值为零的x 的值。

8、复合函数的求导方法：

对于两个函数()y f u =和()u g x =，若通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，则称这个函数为函数()y f u =和()u f x =的复合函数，记作()()y f g x =．复合函数()()y f g x =的导数与函数()y f u =，()u g x =的导数间的关系是

x u x y y u '''=⋅．

9、求可导函数的极值步骤：

①求导数)(x f '；

②求方程0)(='x f 的根；

③列表：检验)(x f '在方程0)(='x f 根的左右的符号，如果左正右负,那么函数()y f x =在这个根处取得极大值；如果左负右正,那么函数()y f x =在这个根处取得极小值；

10、求可导函数最值的步骤：

①求0)(='x f 的根；

②把导数的根对应的函数值与区间端点函数值比较,最大的为最大值,最小的是最小值。

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