知识讲解_《圆锥曲线与方程》全章复习与巩固(基础)(文)
29知识讲解_《圆锥曲线与方程》全章复习与巩固(提高)(理)
《圆锥曲线与方程》全章复习与巩固【学习目标】（1）掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质。
（2）掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质． （3）掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质． （4）掌握直线与圆锥曲线的位置关系及综合应用. 【知识网络】【要点梳理】要点一：圆锥曲线的标准方程和几何性质 1．椭圆： （1）椭圆概念平面内与两个定点1F 、2F 的距离的和等于常数2a （大于21||F F ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c 叫椭圆的焦距。
若M 为椭圆上任意一点，则有21||||2MF MF a +=。
椭圆的标准方程为：22221x y a b +=（0a b >>）（焦点在x 轴上）或12222=+bx a y （0a b >>）（焦点在y 轴上）。
要点诠释：①上方程中,a b 的大小0a b >>，其中222b a c =-；②在22221x y a b +=和22221y x a b+=两个方程中都有0a b >>的条件，要分清焦点的位置，只要看2x 和2y 的分母的大小。
例如椭圆221x y m n+=（0m >，0n >，m n ≠）当m n >时表示焦点在x 轴上的椭圆；当m n <时表示焦点在y 轴上的椭圆。
（2）椭圆的性质①范围：由标准方程22221x y a b+=知||x a ≤，||y b ≤，说明椭圆位于直线x a =±，y b =±所围成的矩形里；直线与圆锥曲线的位置关系 圆锥曲线 曲线与方程圆锥曲线与方程 椭圆的定义及标准方程椭圆椭圆的几何性质 双曲线的定义及标准方程 双曲线 双曲线的几何性质抛物线的定义及标准方程抛物线抛物线的几何性质②对称性： 椭圆关于x 轴、y 轴和原点对称。
这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心；③顶点： 1(0,)B b -，2(0,)B b ，1(,0)A a -，2(,0)A a 是椭圆的四个顶点。
(精品讲义)第2部分复习课(二)圆锥曲线与方程word版含答案2
复习课(二) 圆锥曲线与方程圆锥曲线的定义及标准方程会涉及，是高考解析几何的必考内容．椭圆、双曲线、抛物线的定义及标准方程椭圆双曲线抛物线定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F 1F 2|且大于零)的点的轨迹平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )距离相等的点的轨迹标准 方程x 2a 2＋y 2b 2＝1或 y 2a 2＋x 2b 2＝1 (a >b >0)x 2a 2－y 2b 2＝1或 y 2a 2－x 2b 2＝1 (a >0，b >0) y 2＝2px 或 y 2＝－2px 或 x 2＝2py 或 x 2＝－2py (p >0)关系 式a 2－b 2＝c 2a 2＋b 2＝c 2[典例] (1)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1，0)，离心率等于12，则C 的方程是( )A ．x 23＋y 24＝1B ．x 24＋y 23＝1C ．x 24＋y 22＝1D ．x 24＋y 23＝1(2)已知抛物线y 2＝8x的准线过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为________________．[解析] (1)右焦点为F (1,0)说明两层含义：椭圆的焦点在x 轴上；c ＝1．又离心率为c a ＝12，故a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3，故椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，故选D ． (2)由题意可知抛物线的准线方程为x ＝－2，∴双曲线的半焦距c ＝2．又双曲线的离心率为2，∴a ＝1，b ＝3，∴双曲线的方程为x 2－y 23＝1． [答案] (1)D (2)x 2－y 23＝1 [类题通法]求圆锥曲线方程的一般步骤一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤． (1)定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置．(2)定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0)．(3)定量——由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小． 1．(天津高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线过点(2，3)，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝47x 的准线上，则双曲线的方程为( )A ．x 221－y 228＝1B ．x 228－y 221＝1C ．x 23－y 24＝1D ．x 24－y 23＝1解析：选D 由双曲线的渐近线y ＝ba x 过点(2，3)，可得3＝ba×2．①由双曲线的焦点(－a 2＋b 2，0)在抛物线y 2＝47x 的准线x ＝－7上，可得 a 2＋b 2＝7．②由①②解得a ＝2，b ＝3， 所以双曲线的方程为x 24－y 23＝1．2．(全国卷Ⅰ)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．解析：由题意知a ＝4，b ＝2，上、下顶点的坐标分别为(0,2)，(0，－2)，右顶点的坐标为(4,0)．由圆心在x 轴的正半轴上知圆过点(0,2)，(0，－2)，(4,0)三点．设圆的标准方程为(x －m )2＋y 2＝r 2(0<m <4，r >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋4＝r 2，?4－m ?2＝r 2，解得⎩⎨⎧m ＝32，r 2＝254.所以圆的标准方程为⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝254． 答案：⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝2543．方程x 24－t ＋y 2t －1＝1表示曲线C ，给出以下命题：①曲线C 不可能为圆； ②若1<t <4，则曲线C 为椭圆； ③若曲线C 为双曲线，则t <1或t >4；④若曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆，则1<t <52．其中真命题的序号是________(写出所有正确命题的序号)．解析：显然当t ＝52时，曲线为x 2＋y 2＝32，方程表示一个圆；而当1<t <4，且t ≠52时，方程表示椭圆；当t <1或t >4时，方程表示双曲线；而当1<t <52时，4－t >t －1>0，方程表示焦点在x 轴上的椭圆，故③④为真命题．答案：③④圆锥曲线的几何性质试卷中一般以选择题或者填空题的形式考查圆锥曲线的几何性质(主要是椭圆和双曲线的离心率)，在解答题中与圆锥曲线方程的其他知识一起进行综合考查．椭圆、双曲线、抛物线的几何性质椭圆 双曲线 抛物线 标准方程 x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0) x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0) y 2＝2px (p >0)关系式 a 2－b 2＝c 2 a 2＋b 2＝c 2图形 封闭图形无限延展，有渐近线无限延展，没有渐近线对称性 对称中心为原点 无对称中心 两条对称轴一条对称轴顶点 四个 两个 一个 离心率 0<e <1 e >1 e ＝1 准线方程x ＝－p 2决定形状的因素e 决定扁平程度e 决定开口大小2p 决定开口大小[典例] (1)(山东高考)已知双曲线E ：x a 2－y b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________．(2)已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为________． [解析] (1)如图，由题意知|AB |＝2b 2a ，|BC |＝2c ． 又2|AB |＝3|BC |，∴2×2b 2a ＝3×2c ，即2b 2＝3ac ，∴2(c 2－a 2)＝3ac ，两边同除以a 2并整理得2e 2－3e －2＝0，解得e ＝2(负值舍去)．(2)设椭圆C 1和双曲线C 2的离心率分别为e 1和e 2，则e 1＝a 2－b 2a ，e 2＝a 2＋b 2a ．因为e 1·e 2＝32，所以a 4－b 4a 2＝32，即⎝⎛⎭⎫b a 4＝14，∴b a ＝22．故双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±22x ，即x ±2y ＝0．[答案] (1)2 (2)x ±2y ＝0 [类题通法]求解离心率三种方法(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x 轴上还是y 轴上都有关系式a 2－b 2＝c 2(a 2＋b 2＝c 2)以及e ＝ca ，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法．(2)方程法：建立参数a 与c 之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法．(3)几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观．1．如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．其四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A ． 2B ． 3C ．32D ．62解析：选D 焦点F 1(－3，0)，F 2(3，0)， 在Rt △AF 1F 2中，|AF 1|＋|AF 2|＝4， |AF 1|2＋|AF 2|2＝12，所以可解得|AF 2|－|AF 1|＝22， 故a ＝2，所以双曲线的离心率e ＝32＝62，选D ． 2．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于________．解析：不妨设A 在x 轴上方，由于AB 过F 2且垂直于x 轴，因此可得A ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，B ⎝⎛⎭⎫c ，－b2a ，由OD ∥F 2B ，O 为F 1F 2的中点可得D ⎝⎛⎭⎫0，－b 22a ，所以AD ＝⎝⎛⎭⎫－c ，－3b 22a ，F B 1＝⎝⎛⎭⎫2c ，－b2a ，又AD ⊥F 1B ，所以AD ·F B 1＝－2c 2＋3b 42a 2＝0，即3b 4＝4a 2c 2，又b 2＝a 2－c 2，所以可得3(a 2－c 2)＝2ac ，两边同时除以a 2，得3e 2＋2e －3＝0，解得e ＝33或－3，又e ∈(0,1)，故椭圆C 的离心率为33．答案：333．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为2c ，右顶点为A ，抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ．若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c ，且|FA |＝c ，则双曲线的渐近线方程为________．解析：c 2＝a 2＋b 2，①由双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c 知， 双曲线过点⎝⎛⎭⎫c ，－p 2，即c 2a 2－p24b2＝1．② 由|FA |＝c ，得c 2＝a 2＋p 24，③ 由①③得p 2＝4b 2．④ 将④代入②，得c 2a 2＝2．∴a 2＋b 2a2＝2，即ba ＝1，故双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，即x ±y ＝0． 答案：x ±y ＝0直线与圆锥曲线的位置关系这使得解析几何试题具有广泛的命题背景，当直线与圆锥曲线问题综合时就产生了如：直线与圆锥曲线的位置关系(相交、相切、相离)，直线与曲线交汇产生的一些几何量的范围和最值，动直线(或曲线)过定点等一系列热点问题，这些热点问题都是高考所重视的．直线与圆锥曲线有关的问题(1)直线与圆锥曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中变量y (或x )得到关于变量x (或y )的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式Δ，则有：Δ>0?直线与圆锥曲线相交于两点；Δ＝0?直线与圆锥曲线相切于一点；Δ<0?直线与圆锥曲线无交点．(2)直线l 截圆锥曲线所得的弦长|AB |＝?1＋k 2??x 1－x 2?2或⎝⎛⎭⎫1＋1k 2?y 1－y 2?2，其中k 是直线l 的斜率，(x 1，y 1)，(x 2，y 2)是直线与圆锥曲线的两个交点A ，B 的坐标，且(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2，x 1＋x 2，x 1x 2可由一元二次方程的根与系数的关系整体给出．[典例] 已知椭圆的一个顶点为A (0，－1)，焦点在x 轴上，若右焦点到直线x －y ＋22＝0的距离为3．(1)求椭圆的方程；(2)设椭圆与直线y ＝kx ＋m (k ≠0)相交于不同的两点M ，N ，当|AM |＝|AN |时，求m 的取值范围． [解] (1)依题意可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2＝1(a >1)，则右焦点F (a 2－1，0)，由题设，知|a 2－1＋22|2＝3，解得a 2＝3，故所求椭圆的方程为x 23＋y 2＝1．(2)设点P 为弦MN 的中点，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 23＋y 2＝1，得(3k 2＋1)x 2＋6mkx ＋3(m 2－1)＝0， 由于直线与椭圆有两个交点， 所以Δ>0，即m 2<3k 2＋1， ① 所以x P ＝x M ＋x N 2＝－3mk3k 2＋1， 从而y P ＝kx P ＋m ＝m3k 2＋1， 所以k AP ＝y P ＋1x P ＝－m ＋3k 2＋13mk ，又|AM |＝|AN |，所以AP ⊥MN ，则－m ＋3k 2＋13mk ＝－1k ，即2m ＝3k 2＋1， ②把②代入①得2m >m 2， 解得0<m <2， 由②得k 2＝2m －13>0， 解得m >12，故所求m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，2． [类题通法]有关直线与圆锥曲线综合问题的求解方法(1)将直线方程与圆锥曲线方程联立，化简后得到关于x (或y )的一元二次方程，则直线与圆锥曲线的位置关系有三种情况：①相交：Δ>0?直线与椭圆相交；Δ>0?直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有Δ>0，如当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故Δ>0是直线与双曲线相交的充分不必要条件；Δ>0?直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有Δ>0，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故Δ>0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，而不是必要条件．②相切：Δ＝0?直线与椭圆相切；Δ＝0?直线与双曲线相切；Δ＝0?直线与抛物线相切． ③相离：Δ<0?直线与椭圆相离；Δ<0?直线与双曲线相离；Δ<0?直线与抛物线相离．(2)直线与圆锥曲线的位置关系，涉及函数、方程、不等式、平面几何等诸多方面的知识，形成了求轨迹、最值、对称、取值范围、线段的长度等多种问题．解决此类问题应注意数形结合，以形辅数的方法；还要多结合圆锥曲线的定义，根与系数的关系以及“点差法”等．1．平面上一机器人在行进中始终保持与点F (1,0)的距离和到直线x ＝－1的距离相等．若机器人接触不到过点P (－1,0)且斜率为k 的直线，则k 的取值范围是________．解析：设机器人所在位置为A (x ，y )，依题意得点A 在以F (1,0)为焦点，x ＝－1为准线的抛物线上，该抛物线的标准方程为y 2＝4x ．过点P (－1,0)，斜率为k 的直线为y ＝k (x ＋1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋k 得ky 2－4y ＋4k ＝0． 当k ＝0时，显然不符合题意；当k ≠0时，依题意得Δ＝(－4)2－4k ·4k <0，化简得k 2－1>0，解得k >1或k <－1，因此k 的取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)． 答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)2．平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)右焦点的直线x ＋y －3＝0交M 于A ，B两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12．(1)求M 的方程；(2)C ，D 为M 上两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积的最大值． 解：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，则x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，y 2－y 1x 2－x 1＝－1， 由此可得b 2?x 2＋x 1?a 2?y 2＋y 1?＝－y 2－y 1x 2－x 1＝1．因为x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，y 0x 0＝12，所以a 2＝2b 2．又由题意知，M 的右焦点为(3，0)，故a 2－b 2＝3． 因此a 2＝6，b 2＝3． 所以M 的方程为x 26＋y 23＝1．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x 26＋y 23＝1解得⎩⎨⎧x ＝433，y ＝－33或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝ 3.因此|AB |＝463． 由题意可设直线CD 的方程为y ＝x ＋n ⎝⎛⎭⎫－533<n <3，设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋n ，x 26＋y 23＝1得3x 2＋4nx ＋2n 2－6＝0． 于是x 3,4＝－2n ±2?9－n 2?3．因为直线CD 的斜率为1， 所以|CD |＝2|x 4－x 3|＝439－n 2．由已知，四边形ACBD 的面积S ＝12|CD |·|AB |＝8699－n 2．当n ＝0时，S 取得最大值，最大值为863．所以四边形ACBD 面积的最大值为863．1．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率是( )A ．2B ． 3C ． 2D ．32解析：选C 由题可知y ＝b a x 与y ＝－b a x 互相垂直，可得－b a ·ba ＝－1，则a ＝b ．由离心率的计算公式，可得e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a2＝2，e ＝2． 2．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝±4xB ．y 2＝±8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝8x解析：选B 由题可知抛物线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫a 4，0，于是过焦点且斜率为2的直线的方程为y ＝2⎝⎛⎭⎫x －a 4，令x ＝0，可得点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，－a 2，所以S △OAF ＝12×|a |4×|a |2＝4，得a ＝±8，故抛物线的方程为y 2＝±8x ．3．已知一动圆P 与圆O ：x 2＋y 2＝1外切，而与圆C ：x 2＋y 2－6x ＋8＝0内切，则动圆的圆心P 的轨迹是( )A ．双曲线的一支B ．椭圆C ．抛物线D ．圆解析：选A 由题意，知圆C 的标准方程为(x －3)2＋y 2＝1，则圆C 与圆O 相离，设动圆P 的半径为R ．∵圆P 与圆O 外切而与圆C 内切，∴R >1，且|PO |＝R ＋1，|PC |＝R －1．又|OC |＝3，∴|PO |－|PC |＝2<|OC |，即点P 在以O ，C 为焦点的双曲线的右支上．4．我们把由半椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(x ≥0)与半椭圆y 2b 2＋x 2c 2＝1(x <0)合成的曲线称作“果圆”(其中a 2＝b 2＋c 2，a >b >c >0)，如图所示，其中点F 0，F 1，F 2是相应椭圆的焦点．若△F 0F 1F 2是边长为1的等边三角形，则a ，b 的值分别为( )A ．72，1 B ．3，1 C ．5,3D ．5,4解析：选A ∵|OF 2|＝b 2－c 2＝12，|OF 0|＝c ＝3|OF 2|＝32，∴b ＝1，∴a 2＝b 2＋c 2＝1＋34＝74，得a＝72． 5．已知抛物线的方程为y 2＝4x ，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为d 1，到直线l 的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值为( )A ．522＋2 B ．522＋1C ．522－2 D ．522－1 解析：选D 因为抛物线的方程为y 2＝4x ，所以焦点坐标为F (1,0)，准线方程为x ＝－1．因为点P 到y 轴的距离为d 1，所以到准线的距离为d 1＋1．又d 1＋1＝|PF |，所以d 1＋d 2＝d 1＋1＋d 2－1＝|PF |＋d 2－1．焦点F 到直线l 的距离记为d ，则d ＝|1－0＋4|2＝52＝522，而|PF |＋d 2≥d ＝522，所以d 1＋d 2＝|PF |＋d 2－1≥522－1，即d 1＋d 2的最小值为522－1．6．双曲线与椭圆4x 2＋y 2＝64有公共焦点，它们的离心率互为倒数，则双曲线方程为( ) A ．y 2－3x 2＝36 B ．x 2－3y 2＝36 C ．3y 2－x 2＝36 D ．3x 2－y 2＝36解析：选A 由4x 2＋y 2＝64得x 216＋y 264＝1， c 2＝64－16＝48， ∴c ＝43，e ＝438＝32． ∴双曲线中，c ′＝43，e ′＝23＝c ′a ′． ∴a ′＝32c ′＝6，b ′2＝48－36＝12． ∴双曲线方程为y 236－x 212＝1，即y 2－3x 2＝36．7．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，其上一点P (3，y )到两焦点的距离分别是6．5和3．5，则该椭圆的标准方程为________．解析：由椭圆的定义，知2a ＝6．5＋3．5＝10，a ＝5．又⎩⎪⎨⎪⎧?3＋c ?2＋y 2＝6.52，?3－c ?2＋y 2＝3.52，解得c ＝52， 从而b 2＝a 2－c 2＝754， 所以椭圆的标准方程为x 225＋4y 275＝1．答案：x 225＋4y 275＝18．已知直线l 与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若OA ·OB ＝－4，则直线l 恒过的定点M 的坐标是________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＋y 1y 2＝－4．当直线l 的斜率不存在时，设其方程为x ＝x 0(x 0>0)，则x 20－4x 0＝－4，解得x 0＝2；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，y 2＝4x ，得ky 2－4y ＋4b ＝0，得y 1y 2＝4b k ，则x 1x 2＝y 21y 2216＝b 2k 2，得b 2k2＋4b k ＝－4，∴b k ＝－2，有b ＝－2k ，直线y ＝kx －2k ＝k (x －2)恒过定点(2,0)．又直线x ＝2也恒过定点(2,0)，得点M 的坐标为(2,0)．答案：(2,0)9．已知A (0，－4)，B (3,2)，抛物线y 2＝x 上的点到直线AB 的最短距离为________． 解析：直线AB 为2x －y －4＝0，设抛物线y 2＝x上的点P (t ，t 2)，d ＝|2t －t 2－4|5＝t 2－2t ＋45＝?t －1?2＋35≥35＝355．答案：35510．如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的长、短轴端点分别为A ，B ，F 1，F 2分别是点F 1，且AB其左、右焦点．从椭圆上一点M 向x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦与OM 是共线向量．(1)求椭圆的离心率e ；(2)设Q 是椭圆上异于左、右顶点的任意一点，求∠F 1QF 2的取值范围． 解：(1)∵F 1(－c,0)，则x M ＝－c ，y M ＝b 2a ， ∴k OM ＝－b 2ac ．由题意，知k AB ＝－b a， ∵OM 与AB 是共线向量，∴－b 2ac ＝－b a ，∴b ＝c ，得e ＝22． (2)设|F 1Q |＝r 1，|F 2Q |＝r 2，∠F 1QF 2＝θ，∴r 1＋r 2＝2a ．又|F 1F 2|＝2c ，由余弦定理，得cos θ＝r 21＋r 22－4c 22r 1r 2＝?r 1＋r 2?2－2r 1r 2－4c 22r 1r 2＝a 2r 1r 2－1≥a 2⎝⎛⎭⎫r 1＋r 222－1＝0， 当且仅当r 1＝r 2时等号成立，∴cos θ≥0，∴θ∈⎝⎛⎦⎤0，π2． 11．如图，焦距为2的椭圆E 的两个顶点分别为A ，B ，且AB 与n＝(2，－1)共线．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)若直线y ＝kx ＋m 与椭圆E 有两个不同的交点P 和Q ，且原点O 总在以PQ 为直径的圆的内部，求实数m 的取值范围．解：(1)因为2c ＝2，所以c ＝1，又AB ＝(－a ，b )，且AB ∥n ，所以2b ＝a ，所以2b 2＝b 2＋1，所以b 2＝1，a 2＝2，所以椭圆E 的标准方程为x 22＋y 2＝1． (2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，把直线方程y ＝kx ＋m 代入椭圆方程x 22＋y 2＝1， 消去y ，得(2k 2＋1)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0， 所以x 1＋x 2＝－4km 2k 2＋1，x 1x 2＝2m 2－22k 2＋1， Δ＝16k 2－8m 2＋8>0，即m 2<2k 2＋1，(*)因为原点O 总在以PQ 为直径的圆的内部， 所以OP ·OQ <0， 即x 1x 2＋y 1y 2<0，又y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2＝m 2－2k 22k 2＋1，由2m 2－22k 2＋1＋m 2－2k 22k 2＋1<0得m 2<23k 2＋23， 依题意且满足(*)得m 2<23， 故实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－63，63． 12．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝32，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4． (1)求椭圆的方程；(2)设直线l 与椭圆相交于不同的两点A ，B ．已知点A 的坐标为(－a,0)，点Q (0，y 0)在线段AB 的垂4，求y 0的值． 解：(1)由e ＝c a ＝32，得3a 2＝4c 2． 再由c 2＝a 2－b 2，得a ＝2b ．由题意可知12×2a ×2b ＝4，即ab ＝2． 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ，ab ＝2，得a ＝2，b ＝1． 所以椭圆的方程为x 24＋y 2＝1． (2)由(1)可知A (－2,0)．设B 点的坐标为(x 1，y 1)，直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)．联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ?x ＋2?，x 24＋y 2＝1消去y 并整理，得 (1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋(16k 2－4)＝0．由－2x 1＝16k 2－41＋4k 2，得x 1＝2－8k 21＋4k 2． 从而y 1＝4k 1＋4k 2． 设线段AB 的中点为M ，则M 的坐标为⎝⎛⎭⎫－8k 21＋4k 2，2k 1＋4k 2． 以下分两种情况：①当k ＝0时，点B 的坐标为(2,0)，线段AB 的垂直平分线为y 轴，(－2，－y 0)(2，－y 0)．4，得y 0＝±22．②当k ≠0时，线段AB 的垂直平分线方程为y －2k 1＋4k 2＝－1k ⎝⎛⎭⎫x ＋8k 21＋4k 2． 令x ＝0，解得y 0＝－6k 1＋4k 2． 由＝(－2，－y 0)，＝(x 1，y 1－y 0)． ·＝－2x 1－y 0(y 1－y 0)＝－2×?2－8k 2?1＋4k 2＋6k 1＋4k 2⎝⎛⎭⎫4k 1＋4k 2＋6k 1＋4k 2 ＝4×?16k 4＋15k 2－1??1＋4k 2?2＝4， 整理得7k 2＝2，故k ＝±147．所以y 0＝±2145． 综上，y 0＝±22或y 0＝±2145．。
(完整版)《圆锥曲线》主要知识点
圆锥曲线与方程知识要点一、椭圆方程. 1、椭圆的定义：平面内与两个定点尸卜F 2,点P 满足IP 用+1尸/2∣=2α>2∣,则点P 的轨迹是 平面内与两个定点尸八F 2,点尸满足IP 居|+|Pq=2z=∣FE ∣,则点尸的轨迹是 平面内与两个定点尸I 、F 2,点P 满足IPFJ+1PKI=2〃<忻八|，则点P 的轨迹是 2X 2V 2若户是椭圆：-τ+J=I 上的点为焦点，若NF1P 户产氏则AT//2的面积为ab3、点与椭圆、直线与椭圆的位置关系9 2⑴点Pa0,比)与椭圆E+g=1(α>b>0)的位置关系：①点尸在椭圆上O;②点P 在椭圆内部=;③点P 在椭圆外部Q.(2)直线尸履+〃?与椭圆，+方=1(α>Z>O)的位置关系判断方法:消y 得一个一元二次方程是： _____________________________________________________v（3）弦长公式：设直线方程为），=履+加（%0）,椭圆方程为/+方=1（α>b>0）或方+∕=1（α>b>0）,直线与椭圆的两个交点为A（X1，yι）,3（X2，）力则∣A8∣=N（为一7）2+（小一”）2,Λ∖AB∖=7（X1X2）2+（如一g）2=<1+F∙d（X1-X2）2=y∣I+*7（X1+切）4_¥1囚，或HB1=d（i>1⅛2）+（上_1）2=[]+、•'（%_"）2=^1+.XJ（>1+>2）2_领/其中，即+“2,汨M 或“+”，V”的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y或X后得到关于X或y的一元二次方程得到.2 2（4）直线/：y=Ax+m与椭圆：二+与=1（α>/?>0）的两个交点为Aa1，y）,8（如力），a'b~弦A8的中点M（X0，州），则2=（用X0,州表示）二、双曲线方程.1、双曲线的定义：平面内与两个定点尸I、F2,点尸满足归/JTPgh2々<囚尸21则点尸的轨迹是平面内与两个定点尸卜尸2，点尸满足仍PJTPW=2α>巴川，则点P的轨迹是平面内与两个定点尸1、尸2，点P满足归尸]|-|尸/』=2〃=|尸尸小则点P的轨迹是21等轴双曲线：双曲线“2_,2=±『称为等轴双曲线，其渐近线方程为,离心率《=2 2（2）共渐近线的双曲线系方程：二-1?=”之0°）的渐近线方程为_________________a~Zr如果双曲线的渐近线为±±2=0时，它的双曲线方程可设为 ____________________ .ab(3)从双曲线一个焦点到一条渐近线的距离等于.3、直线与双曲线的位置关系r2V2(1)一般地，设直线/：y=kxΛ-m……①双曲线C：^-p=1(α>O,bX))……②把①代入②得关于X的一元二次方程为.①当〃一"仆=O时，直线/与双曲线的渐近线,直线与双曲线C.②当/一/炉和时，/>0=直线与双曲线有公共点，此时称直线与双曲线:/=0=直线与双曲线有公共点，此时称直线与双曲线：/<0=直线与双曲线公共点,此时称直线与双曲线.注意：直线和双曲线只有一个公共点时，直线不一定与双曲线相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，只有一个交点.AB的中点M(xo>h)，则A=(用必，yo表示)三、抛物线方程.1、抛物线的定义平面内与一个定点尸和一条定直线/(不经过点F)的点的轨迹叫做抛物线.点尸叫做抛物线的,直线/叫做抛物线的.思考1：平面内与一个定点F和一条定直线/(/经过点F),点的轨迹是2、抛物线的性质:3、抛物线的焦点弦的性质1.如图，A8是抛物线y2=2pMp>0)过焦点尸的一条弦，设Aa∣,》)、8(及，工)，AB的中点MX°，并)，相应的准线为/.(1)以AB为直径的圆必与准线/的位置关系是:(2)HB1=(焦点弦长用中点M的坐标表示)；(3)若直线AB的倾斜角为α,则∣A8∣=(焦点弦长用倾斜角为α表示)；如当α=90。
(完整版)圆锥曲线知识点归纳总结
完整版)圆锥曲线知识点归纳总结1.圆锥曲线的定义和构造圆锥曲线是在平面上由一个固定点（焦点）和一个固定直线（准线）决定的点集。
三种经典的圆锥曲线分别为椭圆、抛物线和双曲线。
构造圆锥曲线需要确定焦点和准线的位置以及确定参数值。
2.椭圆的特性椭圆是圆锥曲线中最常见的一种形式，由两个焦点和一个大于等于焦距的参数决定。
椭圆的离心率小于1，且离心率等于焦点到准线的距离除以准线长度。
椭圆的焦缩比为焦点到椭圆上某一点的距离与该点到准线的距离的比值。
重要公式：椭圆的标准方程为(x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1；焦缩比为e = c/a，其中c^2 = a^2 – b^2.3.抛物线的特性抛物线是圆锥曲线中的一种形式，由一个焦点和一个参数决定。
抛物线的离心率为1，焦缩比为1.抛物线的轴是准线，顶点是焦点和准线的交点。
重要公式：抛物线的标准方程为(x^2/4a) = y。
4.双曲线的特性双曲线是圆锥曲线中的一种形式，由两个焦点和一个焦距决定。
双曲线的离心率大于1，离心率等于焦点到准线的距离除以准线长度。
双曲线的焦缩比为c^2 = a^2 + b^2.重要公式：双曲线的标准方程为(x^2/a^2) – (y^2/b^2) = 1.5.圆锥曲线的应用圆锥曲线在数学和物理学中都有广泛的应用。
椭圆的应用包括轨道运动、天体力学以及密码学等领域。
抛物线的应用包括抛物面反射器、人工卫星的轨道设计等。
双曲线的应用包括电磁波的传播、双曲线钟的标定等。
6.圆锥曲线的性质圆锥曲线有许多共同的性质，如对称性、切线性质和焦点性质等。
对称性：椭圆和双曲线关于x轴和y轴都有对称性，抛物线关于y轴有对称性。
切线性质：圆锥曲线上任意一点的切线与焦点到该点的连线垂直。
焦点性质：圆锥曲线上的任意一点到焦点的距离与焦缩比成正比。
此文档总结了圆锥曲线的定义、特性、应用和性质等重要知识点，并提供了相关公式和图示。
熟悉了这些知识后，我们可以更加深入地理解和应用圆锥曲线的概念。
圆锥曲线复习课课件
将问题转化为函数问题，利用函数的性质和图像，求解相关 问题。
05
圆锥曲线的问题与挑战
圆锥曲线中的难题与挑战
圆锥曲线中的复杂计算
圆锥曲线问题往往涉及大量的计算和复杂的数学公式，需要学生 具备较高的数学计算能力和逻辑思维能力。
圆锥曲线中的抽象概念
圆锥曲线问题常常涉及到抽象的概念和性质，需要学生具备较好的 数学基础和空间想象力。
利用圆锥曲线的参数方程，将问 题转化为参数的取值范围或最值 问题，简化计算。
圆锥曲线的特殊解题方法
焦点三角形法
利用圆锥曲线的焦点三角形，结合正 弦定理、余弦定理等，求解相关问题 。
切线法
通过圆锥曲线的切线性质，结合导数 和切线斜率，求解相关问题。
圆锥曲线的综合解题方法
数形结合法
将几何性质与代数表达式相结合，通过数形结合的方法，直 观地解决问题。
作用。
光线的弯曲程度与圆锥曲线的离 心率有关，离心率越大，光线弯
曲程度越明显。
圆锥曲线的对称性质
圆锥曲线具有对称性，包括中 心对称、轴对称和面对称等。
圆具有中心对称和轴对称，椭 圆和双曲线只有中心对称，抛 物线只有轴对称。
对称性是圆锥曲线的一个重要 性质，在解决几何问题时具有 广泛应用。
03
圆锥曲线的应用
路，提高解题能力。
培养数学思维
学生应注重培养数学思维，提高 逻辑推理能力和空间想象力，以
便更好地解决圆锥曲线问题。
如何进一步深化对圆锥曲线的研究
研究圆锥曲线的性质
01
学生可以进一步研究圆锥曲线的性质和特点，探索其内在规律
和数学之美。
探索圆锥曲线与其他数学领域的联系
02
学生可以探索圆锥曲线与其他数学领域之间的联系，例如与代
高二圆锥曲线与方程知识点
高二圆锥曲线与方程知识点在高二数学学习中，圆锥曲线与方程是一个重要的知识点，它涉及到二元一次方程、抛物线、椭圆和双曲线等内容。
掌握这些知识点不仅能够帮助我们解决实际问题，也是高中数学学习的基础。
本文将从二元一次方程和三种圆锥曲线入手，详细介绍高二圆锥曲线与方程的相关知识点。
一、二元一次方程1. 二元一次方程的基本形式是：Ax + By + C = 0，其中A、B、C是已知数，且A和B不同时为零。
2. 当A和B同时为零时，方程没有解。
3. 当A或B有且只有一个为零时，方程有唯一解。
4. 当A和B都不为零时，方程有无数解，这类方程表示一条直线。
二、抛物线1. 抛物线的标准方程是：y = ax² + bx + c，其中a≠0，a、b、c为常数。
2. 抛物线开口方向由a的正负决定，a>0表示抛物线开口向上，a<0表示抛物线开口向下。
3. 抛物线的顶点坐标为(-b/2a, c-b²/4a)。
4. 抛物线的对称轴与x轴平行，方程为x = -b/2a。
三、椭圆1. 椭圆的标准方程是：(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1，其中a、b分别表示椭圆长半轴和短半轴的长度，(h, k)表示椭圆的中心坐标。
2. 椭圆是关于x轴和y轴对称的。
3. 椭圆的焦点到中心的距离称为焦距，焦距的长度等于椭圆的长半轴长度。
4. 椭圆的离心率ε = c/a，其中c表示焦距的长度。
四、双曲线1. 双曲线的标准方程是：(x-h)²/a² - (y-k)²/b² = 1，其中a、b分别表示双曲线横轴和纵轴的半轴长度，(h, k)表示双曲线的中心坐标。
2. 双曲线是关于x轴和y轴对称的。
3. 双曲线的焦点到中心的距离称为焦距，焦距的长度等于双曲线的横半轴长度。
4. 双曲线的离心率ε = c/a，其中c表示焦距的长度。
五、总结通过学习高二圆锥曲线与方程的知识点，我们可以应用它们解决一些实际问题。
《圆锥曲线》第一章基础知识篇
Word-可编辑圆锥曲线目录共分成四大章: 基础知识篇, 技巧套路篇, 题型结论篇, 极点极线篇第一章基础知识篇 .4§1椭圆 .41.1 椭圆的定义(和比积) .41.2 椭圆的方程 .61.3 椭圆的基本参数 .8方程和基本参数 10第一定义 10离心率 .11参数方程 . 12构造椭圆解题 .14综合题 . 15§2双曲线 .232.1 双曲线的定义(和比积) .232.2 双曲线的方程 . 242.3 双曲线的基本参数 .25第一定义 . 26方程和基本参数 .28通径 . 30离心率 .31千里之行，始于足下渐近线 .33渐近线勾股三角形 . 34渐近线与焦点圆的交点 . 40构造双曲线解题 . 41综合题 . 432.4 等轴双曲线 . 492.5 双曲线的渐近线专题 . 53渐近线的常用性质四条 . 53渐近三角形 . 61§ 3 离心率专题 . 653.1 离心率 vs 定值 . 65直译型 . 65直接利用定义 691先补焦点再利用第一定义 .75利用平几知识 .81算两次 .93用尺子量 .96和抛物线混合 .97点差法相关 .99其他类型 .993.2 离心率 vs 范围 104朽木易折，金石可镂利焦半径的有界性 104利用椭圆双曲线坐标的有界性 107双曲线的渐近线 109米勒定理 .110其他类型 .112§4焦点三角形专题 1264.1 椭圆的焦点三角形 . 126面积公式(算多次) . 126张角最大与拓展 129焦点三角形 vs 正弦定理 133焦点三角形 vs 角平分线定理 . 135椭圆焦点三角形外接圆与内切圆的半径比 . 136 4.2 双曲线的焦点三角形 137面积公式(算多次) 137焦点三角形 vs 内切圆(包括相关平几知识补充) 140双焦点三角形 vs 内切圆 1434.3 椭圆焦点三角形的内心和旁心轨迹 1444.4 双曲线的内心轨迹 146§5圆锥曲线的光学性质 1495.1 光学性质 1495.2 焦点在圆雉曲线切线上的射影轨迹 1545.3 以圆雉曲线焦半径为直径的圆 162千里之行，始于足下5.4 光学性质的拓展二 164§6焦半径专题(第二定义) 1676.1 焦半径的代数式 . 1676.2 焦半径的极坐标式 . 1736.3 最短的焦点弦一通径? . 1736.4 焦半径和椭圆的短轴圆 .1746.5 以焦半径为直径的圆 . 1776.6 以焦点弦为直径的圆 . 1786.7 焦半径 vs 焦点弦的综合题 . 178§7 第一二定义与距离和最短 1837.1 三点共线(利用第一定义转化) 1837.2 垂线段最短(利用第二定义转化) 186§ 8 抛物线 .1888.1 抛物线的定义 .1888.2 抛物线的基本参数 .188方程的求解 .189定义的应用 . 191点、直线、抛物线模型 . 195酒杯小球 . 196罗列组合 .200综合题 .2018.3 抛物线的定长动弦 .207朽木易折，金石可镂8.4 抛物线的焦点弦模型 .2108.5 抛物线的点差法一一中点斜率公式 .2198.6 抛物线的等比性质和取负替换性质 .226斜率比值 .2298.7 抛物线的定点三角形面积公式 .2318.8 抛物线的两点式直线方程 .2348.9 抛物线的切线专题(极点极线) .2498.10 抛物线两条切线的交点一双切线模型 .2528.11 阿基米德三角形 .264第一章基础知识篇§1椭圆1.1 椭圆的定义(和比积)1. 第一定义之“和”平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数2F (大于|F1F2| ) 的点的轨迹; 其中,两个定点称做椭圆的焦点, 焦点间的距离叫做焦距.椭圆方程的推导设F(F,F)是椭圆上随意一点,焦点F1(−F,0)和F2(F,0) ,由上述椭圆的定义可得: √(F+F)2+F2+√(F−F)2+F2=2F ,将这个方程移项,两边平方得: F2−FF=F√(F−F)2+F2 ,两边再平方, 收拾得: F2F2+F2F2=1(F>F>0) .注 (1) 2F>|F1F2|表示椭圆; (2) 2F=|F1F2|表示线段F1F2 ; (3) 2F<|F1F2|不存在轨迹.千里之行，始于足下2. 第二定义之 “比”平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数 F (0<F <1) 的点的轨迹,其中,定点为焦 点,定直线叫做准线,常数 F 叫做离心率.椭圆方程的推导 设 F (F ,F ) 是椭圆上随意一点,定点为 F 1(−F ,0) ,定直线为 F =F 2F,常数 F =FF ,由 上述椭圆的定义可得:√(F −F )2+F 2|F 2F−F |=FF ,直译变形即可.例 在平面直角坐标系中,若方程 F (F 2+F 2+2F +1)=(F −2F +3)2 表示的曲线为椭圆,则 F 的取值范 围是 ( ) .A. (0,1)B. (1,+∞)C. (0,5)D. (5,+∞) 答案 选 D.解 将方程变形为:√F 2+(F +1)2|F −2F +3√1+4|=√5F ,此式可看成动点 (F ,F ) 到定点 (0,−1) 与到直线F −2F +3=0 的距离之比为 √5F,按照椭圆的定义,只须 √5F<1 即可.3. 第三定义之 “积”已知坐标轴上关于原点对称的两个定点,那么,到这两定点连线的斜率之积为定值 F 2−1(0<F <1) 的点 的轨迹是椭圆,其中,定点为短轴或长轴顶点. 【求轨迹的话,得去掉两个定点 ! 】椭圆方程的推导 设 F (F ,F ) 是椭圆上随意一点,两个定点为 F 1(−F ,0)、F 2(F ,0) ,定直线为 F =F 2F, 常数 F =FF ,由上述椭圆的定义可得: 将 F 2F 2+F 2F 2=1(F >F >0) ,变形成F 2(F −F )(F +F )=−F 2F 2 ,于是可得,椭 圆上动点到两顶点 (−F ,0)、(F ,0) 的连线的斜率之积等于常数.注 这个定义有 bug, 可以不必深究, 你只需要清晰地知道, 第三定义实质是对称点点差法的一个特 例而已, 后面的双曲线也是类似!朽木易折，金石可镂例 (1)已知圆 (F +2)2+F 2=36 的圆心为 F ,设 F 为圆上任一点,且点 F (2,0) ,线段 FF 的垂直平分 线交 FF 于点 F ,则动点 F 的轨迹是 ( ) .A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线(2)已知圆 (F +2)2+F 2=1 的圆心为 F ,设 F 为圆上任一点,且点 F (2,0) ,线段 FF 的垂直平分线交 FF 于点 F ,则动点 F 的轨迹是 ( ) .A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线 答案 (1) 选 B; (2)选 C.例 (1) 已知 △FFF 的顶点 F 、F 在椭圆 F 23+F 2=1 上,顶点 F 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一 个焦点在 FF 边上,则 △FFF 的周长是 ( ) .A. 2√3B. 6C. 4√3D. 12(2)(2023年年 四川文理)如图,把椭圆 F 225+F 216=1 的长轴 FF 分成 8 分,过每个分点作 F轴的垂线交椭圆的 上半部分于 F 1、F 2、⋯、F 7 七个点, F 是椭圆的一个焦点,则 |F 1F |+|F 2F |+⋯+|F 7F |= .答案 (1) 选 C; (2)35.解 (1) 利用定义易得 △FFF 的周长是 4F =4√3 . (2) 构造另一个焦点, 利用对称性, 或倒序相加!1.2 椭圆的方程1. 椭圆的标准方程 {F 2F 2+F 2F 2=1(F >F >0)⇔中心在原点,焦点在F 轴上;F2F 2+F 2F 2=1(F >F >0)⇔中心在原点,焦点在F 轴上.千里之行，始于足下例 (1) 已知椭圆F 2F+F 217=1 的焦距为 8,则这个椭圆的方程是 (2) 已知椭圆方程 F 24+F 2F=1 的离心率 F =√33,则 F =解 (1) F >17⇒F =33;F <17⇒F =1 ; (2) 4>F ⇒F =83;4<F ⇒F =6 . 例 (2023年年 湖北理) 设集合 F ={(F ,F )| F 24+F 216=1},F ={(F ,F )∣F =3F } ,则 F ∩F 的子集的个数是 ( ) .A. 4B. 3C. 2D. 1 解 两个交点, 故选 A.例 若方程 (9−F )F 2+(F −4)F 2=1 表示椭圆,则实数 F 的取值范围是 解 4<F <9 且 F ≠132 .2. 椭圆的参数方程 {F 2F 2+F 2F 2=1(F >F >0)⇔{F =F cos FF =F sin F ;F 2F 2+F 2F 2=1(F >F >0)⇔{F =F cos F F =F sin F. 注 (1) 参数方程中的参数 F 不是所谓的 “椭圆心角”,而是物理上的离心角,可结合离心率理解; 同时, 要和圆的参数方程中的圆心角分开.(2) 椭圆的参数方程 vs 标准方程椭圆的参数方程在数据计算上偶尔会有很大的优势, 尤其是求解最值、相关参数的范围判断等相关题 型; 同时, 后面在 “直线与圆锥曲线” 和 “圆锥曲线与圆锥曲线” 章节, 还会有相关的串讲应用.例 (1)求椭圆 F 2F 2+F 2F 2=1(F >F >0) 的内接矩形的面积及周长的最大值. (2) 设点 F (F ,F ) 在椭圆 F 216+F 29=1 ,试求点 F 到直线 F +F −5=0 的距离 F 的最大值和最小值.答案 (1) F max =2FF ,F max =4√F 2+F 2 ; (2) F min =0,F max =2 .朽木易折，金石可镂3. 椭圆的普通式方程 FF 2+FF 2=1(F >0,F >0,F ≠F ) 【括号中的限制亦是 “充要条件” 1 注 (1) 焦点的位置判断 当 F <F 时,焦点在 F 轴上; 当 F >F 时,焦点在 F 轴上.(2) 使用技巧 在求椭圆的标准方程时, 偶尔不知道焦点在哪一个坐标轴上, 此时, 可尝试使用椭圆的 普通式方程,利用用待定系数法求出 F 、F 的值即可; 椭圆的普通式方程可有效的避免焦点位置的分类讨 论, 同时, 也可以简化运算.例 (1) 倘若方程 F 2+FF 2=2 表示焦点在 F 轴上的椭圆,那么实数 F 的取值范围是 (2) 已知方程 (2−F )F 2+FF 2=2F −F 2 表示焦点在 F 轴上的椭圆,则实数 F 的取值范围.答案 (1) (0,1) ; (2) 当 2F −F 2≠0 时,有 F 2F +F 22−F =1 . 因为方程表示焦点在 F 轴上的椭圆,所以 F >2−F >0 ,即 1<F <2 . 故实数 F 的取值范围是 1<F <2 .例 (1) 求过两点 (2,−√2),(−1,√142) ,中央在原点,焦点在坐标轴上的椭圆的方程. (2) 求过两点 F 1(√6,1),F 2(−√3,−√2) ,中央在原点,焦点在坐标轴上的椭圆的方程. 答案 (1) F 28+F 24=1 ; (2) F 29+F 23=1 .4. 椭圆的定义式方程(1)第一定义: √(F +F )2+F 2+√(F −F )2+F 2=2F ; (2)第二定义:√(F −F )2+F 2|F 2F−F |=FF .注 因为有些题目会给出此类定义方程作为条件, 因此, 要熟知其中的参数含义, 并能疾驰转化为标 准方程.5. 椭圆的极坐标方程 见后面 “圆雉曲线之极坐标方程” 的章节!6. 同离心率式的椭圆方程注重一点即可,即离心率相同,但焦点可以在不同的坐标轴; 因此,和椭圆 F 2F 2+F 2F 2=1(F >F >0) 有相 同离心率的椭圆方程可设为: F 2F 2+F 2F 2=F (F >0) 或 F 2F 2+F 2F 2=F (F >0) .千里之行，始于足下例 (1) 求和椭圆 9F 2+F 2=81 有相同离心率且过点 (3,9) 的椭圆方程.(2) 求和椭圆F 2225+F 2125=1 有相同离心率且通径 (过焦点且垂直于长轴的直线与椭圆所交的线段) 长等 于 5 的椭圆方程.(3) 求和椭圆 F 24+F 2=1 有相同离心率,且与直线 3F +2√7F −16=0 相切的椭圆方程. 答案 (1) F 218+F 2162=1 ; (2) 4F 281+4F 245=1 ; (3) 设所求椭圆方程为 F 24+F 2=F (F >0) ,解得F =4 ,故所 求椭圆方程为 F 216+F 24=1 .7. 共焦点式的椭圆方程和椭圆 F 2F 2+F 2F 2=1(F >F >0) 有相同焦点的椭圆方程可设为: F 2F 2−F +F 2F 2−F =1(F 2>F ) (形式(1); F 2F +F 2F −(F 2−F 2)=1(F >F 2−F 2) (形式(2)).注 上述形式相对照较繁琐, 实际上, 直接计算, 列出两个方程求解更容易. 例 (1)求与椭圆 4F 2+9F 2=36 有相同焦点,且过点 (3,−2) 的椭圆的标准方程为 (2) 过点 (√3,−√5) ,且与椭圆 F 225+F 29=1 有相同焦点的椭圆的标准方程为答案 (1) F 215+F 210=1 ; (2) F 220+F 24=1 ;法一 利用第一定义,结合点到直线的距离公式,直接求出 F =2√5 ,又 F =4 ,故 F =2 ; 法二 设椭圆的标准方程为 F 2F 2+F 2F 2=1(F >F >0) ,则 F 2−F 2=16 ,又 (−√5)2F 2+(√3)2F 2=1 ,解这两个方 程组即可!1.3 椭圆的基本参数1. 对称性 标准方程的图形,不仅关于 F 轴和 F 轴轴对称,同时,还关于原点中央对称.2. 顶点 F 1(−F ,0),F 2(F ,0),F 1(0,−F ),F 2(0,F ) ,或 F 1(−F ,0),F 2(F ,0),F 1(0,−F ),F 2(0,F ) .朽木易折，金石可镂3. 长轴和短轴 长轴为 2F ,短轴为 2F ,注重区别长半轴为 F ,短半轴为 F .4. 焦点 F 1(−F ,0),F 2(F ,0) ; 或 F 1(0,−F ),F 2(0,F ) .5. 焦距 |F 1F 2|=2F (F >0) ,同时,半焦距 F 、长半轴为 F 和短半轴为 F 是一组勾股数,满意关系式: F 2=F 2−F 2.注 对于基本概念要扎实控制, 一定要区别长轴、短轴、焦距, 和长半轴、短半轴、半焦距; 尤其在 大题中, 一定要看清!6. 离心率 F =FF (0<F <1) ; 离心率越大,椭圆越扁. 【 cos∠椭圆的离心率是描述椭圆扁平程度的一个重要数据. 因为 F >F >0 ,所以 F 的取值范围是 0<F <1 ; (1 F 越临近 1,则 F 就越临近 F ,从而 F =√F 2−F 2 越小,因此椭圆越扁; (2)反之, F 越临近于 0,F 就越临近 0,从而 F 越临近于 F ,这时椭圆就越临近于圆.注 如图,点 F 位于短轴的顶点,(1)当 F =√22 时,有 ∠F 1FF 2=F2,亦有 F 2=F 2; (2)当 F =√5−12,即黄金分割比时,有 ∠F 1FF =F2 ; 容易证实如下:cos∠FF 1F =F =|FF 1||FF 1|=F F +F =11+F⇒F 2+F −1=0. 例 (2000 年全回联赛)在椭圆 F 2F 2+F 2F 2=1(F >F >0) 中,记左焦点为 F ,右顶点为 F ,短轴上方的端点 为 F . 若该椭圆的离心率为√5−12,则 ∠FFF =千里之行，始于足下答案 90∘ . 7. (1)准线 F =±F 2F; 或 F =±F 2F; (2)焦准距 F =F 2F−F =F 2F; (3)通径 2FF =2F 2F(F 为焦准距),8. 焦半径 椭圆上的点到焦点的距离; 设 F (F 0,F 0) 为椭圆上的一点, F 1 在负半轴, F 2 在正半轴;A. 越临近于圆 B. 越扁C. 先临近于圆后越扁D. 先越扁后临近于圆 答案 选 D.解 因为焦点在 F 轴上,故 4F >F 2+1 ,解得 2−√3<F <2+√3 . 又 −F 2+14F=F 2−1 ,即 4(F 2−1)=−(F +1F ) ,利用对勾函数的性质可知: F (F )=F +1F在 (2−√3,1) 上 ↘ , 在 (1,2+√3) 上 ↗ ,因此, F 关于 F 先增大后减小.例 (2023年年 湖北文理压轴) 如图所示, “嫦娥一号” 探月卫星沿地月转移轨道飞向月球, 在月球附近一点 F 轨进入以月球球心 F 为一个焦点的椭圆轨道 I 绕月翱翔,之后卫星在 F 点第二次变轨进入仍以 F 为一个 焦点的椭圆轨道 II 绕月翱翔,总算卫星在 F 点第三次变轨进入以 F 为圆心的圆形轨道III 绕月翱翔,若用 2F 1 和 2F 2 分离表示椭轨道 I 和 II 的焦距,用 2F 1 和 2F 2 分离表示椭圆轨道 I 和 II 的长轴的长,给出下列式子: (1) F 1+F 1=F 2+F 2 ; (2) F 1−F 1=F 2−F 2 ; (3) F 1F 2>F 1F 2 ; (4) F 1F 1<F2F 2.其中准确式子的序号是 ( ) . A. (1)(3) B. (2)(3) C. (1)(4) D. (2)(4)答案 选 B.朽木易折，金石可镂解 焦点 F 到顶点 F 的距离不变,易知(2)准确; 从轨道 I 、II 、II 可知,椭圆越来越圆,总算变为圆, 结合椭圆的离心率变化逻辑 “越大越扁, 越小越圆”, 显然(3)准确, 故应选 B.参数方程例 (2023年年 上海大压轴) 记椭圆 F 24+FF 24F +1=1 围成的区域(含边界)为 F F (F =1,2,⋯) ,当点 (F ,F ) 分离 在 F 1、F 2、⋯ 上时, F +F 的最大值分离是 F 1、F 2、⋯ ,则 lim F →+∞F F =( ) .A. 0B. 14 C. 2 D. 2√2 答案 选.。
高考数学总复习讲座第八讲复习圆锥曲线方程
第八讲 复习圆锥曲线方程一、本讲进度《圆锥曲线方程》复习 二、本讲主要内容1、三种圆锥曲线：椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质等。
2、直线和圆锥曲线位置关系。
3、求轨迹方程的常规方法。
三、复习指导1、上一章已经复习过解析几何的基本问题之一：如何求曲线（点的轨迹）方程。
它一般分为两类基本题型：一是已知轨迹类型求其方程，常用待定系数法，如求直线及圆的方程就是典型例题；二是未知轨迹类型，此时除了用代入法、交轨法、参数法等求轨迹的方法外，通常设法利用已知轨迹的定义解题，化归为求已知轨迹类型的轨迹方程。
因此在求动点轨迹方程的过程中，一是寻找与动点坐标有关的方程（等量关系），侧重于数的运算，一是寻找与动点有关的几何条件，侧重于形，重视图形几何性质的运用。
在基本轨迹中，除了直线、圆外，还有三种圆锥曲线：椭圆、双曲线、抛物线。
2、三种圆锥曲线的研究（1）统一定义，三种圆锥曲线均可看成是这样的点集：⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=0e ,e d |PF ||P ，其中F 为定点，d 为P 到定直线的距离，F ∉，如图。
因为三者有统一定义，所以，它们的一些性质，研究它们的一些方法都具有规律性。
当0<e<1时，点P 轨迹是椭圆；当e>1时，点P 轨迹是双曲线；当e=1时，点P 轨迹是抛物线。
（2）椭圆及双曲线几何定义：椭圆：{P||PF 1|+|PF 2|=2a ，2a>|F 1F 2|>0，F 1、F 2为定点}，双曲线{P|||PF 1|-|PF 2||=2a ，|F 1F 2|>2a>0，F 1，F 2为定点}。
（3）圆锥曲线的几何性质：几何性质是圆锥曲线内在的，固有的性质，不因为位置的改变而改变。
①定性：焦点在与准线垂直的对称轴上椭圆及双曲线中：中心为两焦点中点，两准线关于中心对称；椭圆及双曲线关于长轴、短轴或实轴、虚轴成轴对称，关于中心成中心对称。
②定量：椭 圆双 曲 线 抛 物 线焦 距 2c长轴长 2a —— 实轴长 ——2a短轴长 2b 焦点到对应 准线距离 P=2c b 2p通径长 2·ab 22p 离心率 ac e =1基本量关系a 2=b 2+c2C 2=a 2+b 2（4举焦点在x 轴上的方程如下：论，又关注图形的几何性质，以简化运算。
最新圆锥曲线与方程知识点总结优秀名师资料
圆锥曲线与方程知识点总结圆锥曲线与方程1(掌握椭圆的定义、标准方程、简单的几何性质、了解椭圆的参数方程( 2(掌握双曲线的定义、标准方程、简单的几何性质( 3(掌握抛物线的定义、标准方程、简单的几何性质(的初步应用(3(有关直线与圆锥曲线位置关系问题，是高考的重热点问题，这类问题常涉及圆锥曲线的性质和直线的基本知识以及线段中点、弦长等，分析这类问题时，往往要利用数形结合思想和“设而不求”的方法、对称的方法及韦达定理，多以解答题的形式出现( 4(求与圆锥曲线有关的参数或参数范围问题，是高考命题的一大热点，这类问题综合性较大，运算技巧要求较高;尤其是与平面向量、平面几何、函数、不等式的综合，特别近年出现的解析几何与平面向量结合的问题，是常考常新的试题，将是今后高考命题的一个趋势(第1课时椭圆1(椭圆的两种定义(1) 平面，之间的距离叫做焦距(注:?当2a,|F1F2|时，P(?当2a,|F1F2|时，P点的轨迹不存在( (2) 椭圆的第二定义:到的距离的距离之比是常数e，且定点F是椭圆的，定直线的点的轨迹叫椭圆(常数e是 ( 2(椭圆的标准方程(1) 焦点在x轴上，中心在原点的椭圆标准方程是:y2a圆锥曲线是高中数学的一个重要 > >0，且(2) 焦点在y轴上，中心在原点的椭圆标准方程是其中a，b满足: ( ，3(椭圆的几何性质(对x2a2进行讨论)(1) ? x ?y ?(2) 对称性:对称轴方 ;对称中心为 (3) 焦，长半轴短半轴长准线方程: (e越接近1，e (4) 离心率:，，;越接近0，椭圆越接近于 ( (5) 焦半径公式:设F1,F2分别为椭圆的左、右焦点，P(x0,y0)是椭圆上一点，则(? 点P(3，4)在椭圆上，?(6) 椭圆的参数(4(焦点三角形应注意以下关系: (1) 定义:r1，r2,2a(2) 余弦定理:r12，r22,,(2c)2(3) 面积:,,?2c| y0 |(其中P(x0,y0)为椭圆上一点，|PF1|,r1，|PF2|,r2，?F1PF2,例1.求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)两个焦点的坐标分别是(,4，0)，(4，0)，椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10;(2)两个焦点的坐标分别是(0，,2)、(0，2)，并且椭圆经过点1212解得a2,45或a2,5 又a,c，? a2,5舍去. 故所求椭圆的方程为x2y2法二:利用?PF1F2是直角三角形，求得c,5(以下同方法一) (2)由焦半径公式: | PF1|,a，ex,3，| PF2 |,a,ex,3,12535535×3,4 ×3,212? ,| PF1 |?| PF2 |,×4×25,2035,); 22x2y2变式训练2:已知P(x0,y0)是椭圆(a,b,0)上的任ab意一点，F1、F2是焦点，求证:以PF2为直径的圆必和以椭圆长轴为直径的圆相设以PF2为直径的圆心为A，半径为r.?F1、F2为焦点，所以由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a，|PF2|=2r?|PF1|+2r=2a，即|PF1|=2(a,r)连结OA，由三角形中位线定理，知 |OA|= (3)长轴长是短轴长的3倍，并且椭圆经过点A(-3 变式训练1:根据下列条件求椭圆的标准方程 (1) 和椭圆1x2y2共准线，且离心率为(22420425和，过P33(2) 已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点(例2. 点P(3, 4)是椭圆x2a211故以PF2为直径的圆必和以长轴为直径的圆相运用椭圆的定义结合三角形中位线定理，使题目得证。
(完整版)圆锥曲线方程知识点总结
§8.圆锥曲线方程 知识要点一、椭圆方程.1. 椭圆方程的第一定义：为端点的线段以无轨迹方程为椭圆21212121212121,2,2,2F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==+=+=+ ⑴①椭圆的标准方程：i. 中心在原点，焦点在x 轴上：)0(12222 b a by ax=+. ii. 中心在原点，焦点在y 轴上：)0(12222b a b x a y=+.②一般方程：)0,0(122 B A By Ax =+.③椭圆的标准方程：12222=+b y a x 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x （一象限θ应是属于20πθ ）.⑵①顶点：),0)(0,(b a ±±或)0,)(,0(b a ±±.②轴：对称轴：x 轴，y 轴；长轴长a 2，短轴长b 2.③焦点：)0,)(0,(c c -或),0)(,0(c c -.④焦距：2221,2b a c c F F -==.⑤准线：c a x 2±=或ca y 2±=.⑥离心率：)10( e ace =.⑦焦点半径：i. 设),(00y x P 为椭圆)0(12222b a b y a x =+上的一点，21,F F 为左、右焦点，则ii.设),(00y x P 为椭圆)0(12222 b a a y b x =+上的一点，21,F F 为上、下焦点，则由椭圆第二定义可知：)0()(),0()(0002200201 x a ex x ca e pF x ex a c a x e pF -=-=+=+=归结起来为“左加右减”.注意：椭圆参数方程的推导：得→)sin ,cos (θθb a N 方程的轨迹为椭圆. ⑧通径：垂直于x 轴且过焦点的弦叫做通经.坐标：,(2222a b c a b d -=和,(2ab c ⑶共离心率的椭圆系的方程：椭圆)0(12222 b a b y a x =+的离心率是)(22b a c ace -==，方程t t b y a x (2222=+是大于0的参数，)0 b a 的离心率也是ac e =我们称此方程为共离心率的椭圆系方程.⑸若P 是椭圆：12222=+b y a x 上的点.21,F F 为焦点，若θ=∠21PF F ，则21F PF ∆的面积为2tan2θb （用⇒-=+=0201,ex a PF ex a PF ⇒-=+=0201,ey a PF ey a PF二、双曲线方程.1. 双曲线的第一定义：以无轨迹方程为双曲线21212121212121,222F F F F a PF PF F Fa PF PF F F a PF PF ==-=-=- ⑴①双曲线标准方程：)0,(1),0,(122222222 b a b x a y b a b y a x =-=-.一般方程：)0(122 AC Cy Ax =+.⑵①i. 焦点在x 轴上：顶点：)0,(),0,(a a - 焦点：)0,(),0,(c c - 准线方程c a x 2±= 渐近线方程：0=±b y a x 或02222=-by a x ii. 焦点在y 轴上：顶点：),0(),,0(a a -.焦点：),0(),,0(c c -.准线方程：ca y 2±=.渐近线方程：0=±bxa y 或02222=-b x a y ，参数方程：⎩⎨⎧==θθtan sec b y a x 或⎩⎨⎧==θθsec tan a y b x .②轴y x ,为对称轴，实轴长为2a , 虚轴长为2b ，焦距2c. ③离心率ace =.④准线距c a 22（两准线的距离）；通径ab 22.⑤参数关系ac e b a c =+=,222. ⑥焦点半径公式：对于双曲线方程12222=-b y a x （21,F F 分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点）“长加短减”原则：（与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号）aex MF a ex MF -=+=0201 构成满足a MF MF 221=-M a ex F M '--='01aey F M aey F M aey MF aey MF -'-='+'-='+=-=02010201 ⑶等轴双曲线：双曲线222a y x ±=-称为等轴双曲线，其渐近线方程为y asin α,)bsin α)N 的轨迹是椭圆λ=-2222b y a x 与λ-=-2222b y a x 互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：02222=-by a x .⑸共渐近线的双曲线系方程：)0(2222≠=-λλb y a x 的渐近线方程为02222=-b y a x 如果双曲线的渐近线为0=±b ya x 时，它的双曲线方程可设为)0(2222≠=-λλby a x .例如：若双曲线一条渐近线为x y 21=且过21,3(-p 解：令双曲线的方程为：)0(422≠=-λλy x ，代入)21,3(-得2822=-y x ⑹直线与双曲线的位置关系：区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条；区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条；区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条；区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线.小结：1.过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条.2.若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入”“∆法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号.⑺若P 在双曲线12222=-by a x ，则常用结论1：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b.2：P 到焦点的距离为m = n ，则P 到两准线的距离比为m ︰n. 简证：ePF e PF d d 2121= = n m .h i ng 三、抛物线方程.3. 设0 p ，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：注：①x c by ay =++2顶点)244(2aba b ac --.②)0(22≠=p px y 则焦点半径2P x PF +=;)0(22≠=p py x 则焦点半径为2P y PF +=.③通径为2p ，这是过焦点的所有弦中最短的.④px y 22=（或py x 22=）的参数方程为⎩⎨⎧==pt y pt x 222（或⎩⎨⎧==222pt y ptx ）（t 为参数）.四、圆锥曲线的统一定义..4. 圆锥曲线的统一定义：平面内到定点F 和定直线l 的距离之比为常数e 的点的轨迹.当10 e 时，轨迹为椭圆；当1=e 时，轨迹为抛物线；当1 e 时，轨迹为双曲线；当0=e 时，轨迹为圆（ace =，当b a c ==,0时）.5. 圆锥曲线方程具有对称性. 例如：椭圆的标准方程对原点的一条直线与双曲线的交点是关于原点对称的.因为具有对称性，所以欲证AB=CD, 即证AD 与BC 的中点重合即可.注：椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质椭圆双曲线抛物线1．到两定点F 1,F 2的距离之和为定值2a(2a>|F 1F 2|)的点的轨迹1．到两定点F 1,F 2的距离之差的绝对值为定值2a(0<2a<|F 1F 2|)的点的轨迹定义2．与定点和直线的距离之比为定值e 的点的轨迹.（0<e<1）2．与定点和直线的距离之比为定值e 的点的轨迹.（e>1）与定点和直线的距离相等的点的轨迹.标准方程12222=+b y a x (b a >>0)12222=-b y a x (a>0,b>0)y 2=2px方程参数方程为离心角）参数θθθ(sin cos ⎩⎨⎧==b y a x 为离心角）参数θθθ(tan sec ⎩⎨⎧==b y a x ⎩⎨⎧==pt y pt x 222(t 为参数)范围─a ≤x ≤a ，─b ≤y ≤b|x| ≥ a ，y ∈R x ≥0中心原点O （0，0）原点O （0，0）顶点(a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─b)(a,0), (─a,0)(0,0)对称轴x 轴，y 轴；长轴长2a,短轴长2bx 轴，y 轴;实轴长2a, 虚轴长2b.x 轴焦点F 1(c,0), F 2(─c,0)F 1(c,0), F 2(─c,0))0,2(p F 焦距2c （c=22b a -）2c （c=22b a +）离心率)10(<<=e ace )1(>=e ace e=1准线x=c a 2±x=ca 2±2p x -=渐近线y=±ab x 焦半径exa r ±=p通径ab 22a b 222p焦参数c a 2ca 2P1.方程y 2=ax 与x 2=ay 的焦点坐标及准线方程.2.共渐近线的双曲线系方程.。
圆锥曲线与方程知识点详细
圆锥曲线与方程知识点详细圆锥曲线是高中数学中的重要内容，包括椭圆、双曲线和抛物线。
它们在数学、物理等领域都有着广泛的应用。
接下来，让我们详细了解一下圆锥曲线与方程的相关知识点。
一、椭圆1、定义平面内与两个定点$F_1$、＄F_2$的距离之和等于常数（大于$｜F_1F_2|＄）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。
2、标准方程焦点在$x$轴上：＄＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝1$（＄a ＞ b ＞ 0$），其中$a$为椭圆的长半轴长，＄b$为椭圆的短半轴长，＄c ＝＼sqrt{a^2 b^2}＄为半焦距。
焦点在$y$轴上：＄＼frac{y^2}｛a^2} ＋＼frac{x^2}｛b^2} ＝1$（＄a ＞ b ＞ 0$）。
3、椭圆的性质（1）范围：对于焦点在$x$轴上的椭圆，＄a ＼leq x ＼leq a$，＄b ＼leq y ＼leq b$；对于焦点在$y$轴上的椭圆，＄b ＼leq x ＼leq b$，＄a ＼leq y ＼leq a$。
（2）对称性：椭圆关于$x$轴、＄y$轴和原点对称。
（3）顶点：焦点在$x$轴上的椭圆的顶点为$（＼pm a, 0)＄，＄（0, ＼pm b)＄；焦点在$y$轴上的椭圆的顶点为$（0, ＼pm a)＄，＄（＼pm b, 0)＄。
（4）离心率：＄e ＝＼frac{c}｛a}＄（＄0 ＜ e ＜ 1$），离心率反映了椭圆的扁平程度，＄e$越接近$0$，椭圆越圆；＄e$越接近$1$，椭圆越扁。
二、双曲线1、定义平面内与两个定点$F_1$、＄F_2$的距离之差的绝对值等于常数（小于$｜F_1F_2|＄）的点的轨迹叫做双曲线。
这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距。
2、标准方程焦点在$x$轴上：＄＼frac{x^2}｛a^2} ＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1$，其中$a ＞ 0$，＄b ＞ 0$，＄c ＝＼sqrt{a^2 ＋ b^2}＄。
高中数学第二章圆锥曲线与方程章末复习课ppt课件
C.钝角三角形 D.随m，n变化而变化
类型二 圆锥曲线的性质及其运用
∴ba2＝12，ba＝ 22，
答案 解析
(2)知抛物线y2＝4x的准线与双曲线 代入双曲线方程－可得a2＝15， y2＝1交于A，B两点，点F为抛物 线的焦点，假设△FAB为直角三角形，那么该双曲线的离心率于是c＝ a2＋1＝是56. ____.
类型三 直线与圆锥曲线的位置关系
所以 x1＋x2＝1＋4k22k2，y1＋y2＝k(x1＋x2)－2k＝1－＋22kk2.
(1)求椭圆的规范方程； 解答
所以 AB 的中点坐标为(1＋2k22k2，1＋－2kk2).
(2)过右焦点F2的直线l交椭圆于A，B两点，假设y轴上一点M(0①当k≠0时，，AB的中垂线方程为y－1＋－2kk2＝－1k(x－1＋2k22k2)， )满足 |MA|＝|MB|，求直线l的斜率k的值. 解答
所以 sin ∠F1PF2＝82711，所以
＝12|PF1|·|PF2|·sin ∠F1PF2
S △ F P ＝12×3×9×82711＝4
1
11.即△F1PF2 的面积为 4
F2
11.
跟踪训练 1 已知椭圆xm2＋y2＝1(m>1)和双曲线xn2－y2＝1(n>0)有相同的焦 点 F1，F2，P 是它们的一个交点，则△F1PF2 的形状是
设P为椭圆 xa22＋yb22 ＝1(a>b>0)上恣意一点(不在x轴上)，F1，F2为焦点且 ∠F1PF2＝α，那么△PF1F2为焦点三角形(如图).
1.由双曲线标准方程求其渐近线方程时，最简单实用的办法是：把标准方
程中的 1 换成 0，即可得到两条渐近线的方程.如双曲线Байду номын сангаасx22－by22＝1(a>0，b>0)
高中数学总复习之基础知识要点圆锥曲线方程.doc
高三数学总复习高考复习科目：数学 高中数学总复习（八）复习内容：高中数学第八章-圆锥曲线方程 复习范围：第八章I. 基础知识要点一、椭圆方程.1. 椭圆方程的第一定义：为端点的线段以无轨迹方程为椭圆21212121212121,2,2,2F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==+=+=+πφ⑴①椭圆的标准方程：i. 中心在原点，焦点在x 轴上：)0(12222φφb a b y a x =+. ii. 中心在原点，焦点在y 轴上：)0(12222φφb a bx ay =+.②一般方程：)0,0(122φφB A By Ax =+.③椭圆的标准参数方程：12222=+by ax 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x （一象限θ应是属于20πθππ）. ⑵①顶点：),0)(0,(b a ±±或)0,)(,0(b a ±±.②轴：对称轴：x 轴，y 轴；长轴长a 2，短轴长b 2.③焦点：)0,)(0,(c c -或),0)(,0(c c -.④焦距：2221,2b a c c F F -==.⑤准线：ca x 2±=或c a y 2±=.⑥离心率：)10(ππe ace =.⑦焦点半径： i. 设),(00y x P 为椭圆)0(12222φφb a by ax =+上的一点，21,F F 为左、右焦点，则由椭圆方程的第二定义可以推出. ii.设),(00y x P 为椭圆)0(12222φφb a ay bx =+上的一点，21,F F 为上、下焦点，则由椭圆方程的第二定义可以推出.由椭圆第二定义可知：)0()(),0()(0002200201φπx a ex x ca e pF x ex a ca x e pF -=-=+=+=归结起来为“左加右减”.注意：椭圆参数方程的推导：得→)sin ,cos (θθb a N 方程的轨迹为椭圆⑧通径：垂直于x 轴且过焦点的弦叫做通经.坐标：),(2222a b c a b d -=和⑶共离心率的椭圆系的方程：椭圆)0(12222φφb a by a x =+的离心率是)(22b a c a ce -==，方程t t b y a x (2222=+是大于0的参数，)0φφb a 的离心率也是ace =我们称此方程为共离心率的椭圆系方程.⇒-=+=0201,ex a PF ex a PF ⇒-=+=0201,ey a PF ey a PF asin α,)α)的轨迹是椭圆⑸若P 是椭圆：12222=+b y a x 上的点.21,F F 为焦点，若θ=∠21PF F ，则21F PF ∆的面积为2tan 2θb （用余弦定理与a PF PF 221=+可得）. 若是双曲线，则面积为2cot 2θ⋅b .二、双曲线方程.1. 双曲线的第一定义：的一个端点的一条射线以无轨迹方程为双曲线21212121212121,222F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==-=-=-φπ⑴①双曲线标准方程：)0,(1),0,(122222222φφb a bx ay b a by ax =-=-. 一般方程：)0(122πAC Cy Ax =+.⑵①i. 焦点在x 轴上：顶点：)0,(),0,(a a - 焦点：)0,(),0,(c c - 准线方程c a x 2±= 渐近线方程：0=±bya x 或02222=-by axii. 焦点在y 轴上：顶点：),0(),,0(a a -. 焦点：),0(),,0(c c -. 准线方程：ca y 2±=. 渐近线方程：0=±b xa y 或02222=-b x a y ，参数方程：⎩⎨⎧==θθtan sec b y a x 或⎩⎨⎧==θθsec tan a y b x .②轴y x ,为对称轴，实轴长为2a , 虚轴长为2b ，焦距2c. ③离心率a ce =. ④准线距c a 22（两准线的距离）；通径a b 22. ⑤参数关系ace b a c =+=,222. ⑥焦点半径公式：对于双曲线方程12222=-by ax （21,F F 分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点）“长加短减”原则：aex MF a ex MF -=+=0201 构成满足a MF MF 221=-aex F M a ex F M +-='--='0201（与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径aey F M a ey F M a ey MF a ey MF -'-='+'-='+=-=02010201⑶等轴双曲线：双曲线222a y x ±=-称为等轴双曲线，其渐近线方程为x y ±=，离心率2=e . ⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.λ=-2222b y a x 与λ-=-2222b y a x 互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：02222=-by a x .⑸共渐近线的双曲线系方程：)0(2222≠=-λλby ax 的渐近线方程为02222=-by ax 如果双曲线的渐近线为0=±b ya x 时，它的双曲线方程可设为)0(2222≠=-λλby a x .例如：若双曲线一条渐近线为x y 21=且过)21,3(-p ，求双曲线的方程？ 解：令双曲线的方程为：)0(422≠=-λλy x ，代入)21,3(-得12822=-y x . ⑹直线与双曲线的位置关系：区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条；区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条；区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线.小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条. （2）若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入”“∆法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号. ⑺若P 在双曲线12222=-b y a x ，则常用结论1：P 到焦点的距离为m = n ，则P 到两准线的距离比为m ︰n.简证：ePF e PF d d 2121= = nm . 常用结论2：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b.三、抛物线方程.3. 设0φp ，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：注：①x c by ay =++2顶点)244(2aba b ac --.②)0(22≠=p px y 则焦点半径2P x PF +=;)0(22≠=p py x 则焦点半径为2P y PF +=.③通径为2p ，这是过焦点的所有弦中最短的.④px y 22=（或py x 22=）的参数方程为⎩⎨⎧==pt y pt x 222（或⎩⎨⎧==222pty ptx ）（t 为参数）. 四、圆锥曲线的统一定义..4. 圆锥曲线的统一定义：平面内到定点F 和定直线l 的距离之比为常数e 的点的轨迹. 当10ππe 时，轨迹为椭圆； 当1=e 时，轨迹为抛物线； 当1φe 时，轨迹为双曲线； 当0=e 时，轨迹为圆（ace =，当b a c ==,0时）. 5. 圆锥曲线方程具有对称性. 例如：椭圆的标准方程对原点的一条直线与双曲线的交点是关于原点对称的.因为具有对称性，所以欲证AB=CD, 即证AD 与BC 的中点重合即可.。
圆锥曲线与方程 知识点详细
椭圆1、椭圆的第一定义：平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距。
. 注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ；若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形.2、椭圆的标准方程1）．当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b y a x )0(>>b a ，其中222b a c -=；2）．当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+bx a y )0(>>b a ，其中222b a c -=；注意：①在两种标准方程中，总有a ＞b ＞0，并且椭圆的焦点总在长轴上；②两种标准方程可用一般形式表示：221x y m n+= 或者 mx 2+ny 2=1 。
3、椭圆：12222=+by a x )0(>>b a 的简单几何性质（1）对称性：对于椭圆标准方程12222=+by a x )0(>>b a ：是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。
（2）范围：椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足a x ≤，b y ≤。
（3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。
②椭圆12222=+by a x )0(>>b a 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为)0,(1a A -，)0,(2a A ，),0(1b B -，),0(2b B 。
③线段21A A ，21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，a A A 221=,b B B 221=。
a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
《圆锥曲线与方程》全章复习与巩固 编稿：李霞 审稿：张林娟【学习目标】（1）掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质。
（2）掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质． （3）掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质． （4）掌握直线与圆锥曲线的位置关系及综合应用. 【知识网络】【要点梳理】要点一：圆锥曲线的标准方程和几何性质 1．椭圆： （1）椭圆概念平面内与两个定点1F 、2F 的距离的和等于常数2a （大于21||F F ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c 叫椭圆的焦距。
若M 为椭圆上任意一点，则有21||||2MF MF a +=。
椭圆的标准方程为：22221x y a b +=（0a b >>）（焦点在x 轴上）或12222=+bx a y （0a b >>）（焦点在y 轴上）。
要点诠释：①椭圆标准方程中,a b 的大小0a b >>，其中222b a c =-；②在22221x y a b +=和22221y x a b+=两个方程中都有0a b >>的条件，要分清焦点的位置，只要看2x 和2y 的分母的大小。
例如椭圆221x y m n+=（0m >，0n >，m n ≠）当m n >时表示焦点在x 轴上的椭圆；当m n <时表示焦点在y 轴上的椭圆。
（2）椭圆的性质①范围：由标准方程22221x y a b+=知||x a ≤，||y b ≤，说明椭圆位于直线x a =±，y b =±所围成的矩形里；②对称性： 椭圆关于x 轴、y 轴和原点对称。
这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心；直线与圆锥曲线的位置关系 圆锥曲线 曲线与方程圆锥曲线与方程 椭圆的定义及标准方程椭圆椭圆的几何性质 双曲线的定义及标准方程 双曲线 双曲线的几何性质抛物线的定义及标准方程抛物线抛物线的几何性质③顶点： 1(0,)B b -，2(0,)B b ，1(,0)A a -，2(,0)A a 是椭圆的四个顶点。
同时，线段21A A 、21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a 和2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
④离心率：椭圆的焦距与长轴的比ce a=叫椭圆的离心率。
∵0a c >>，∴01e <<，且e 越接近1，c 就越接近a ，从而b 就越小，对应的椭圆越扁；反之，e 越接近于0，c 就越接近于0，从而b 越接近于a ，这时椭圆越接近于圆。
当且仅当a b =时，0c =，两焦点重合，图形变为圆，方程为222x y a +=。
2．双曲线（1）双曲线的概念平面内与两个定点12,F F 的距离的差的绝对值等于常数（小于12||F F 且不等于零）的点的轨迹叫做双曲线.要点诠释：①式中是差的绝对值，在1202||a F F <<条件下；12||||2PF PF a -=时为双曲线的一支；21||||2PF PF a -=时为双曲线的另一支（含1F 的一支）； ②当122||a F F =时，12||||||2PF PF a -=表示两条射线；③当122||a F F >时，12||||||2PF PF a -=不表示任何图形；④两定点12,F F 叫做双曲线的焦点，12||F F 叫做焦距。
（2）双曲线的性质①范围：从标准方程12222=-by a x ，看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线a x ±=的外侧。
即22a x ≥，a x ≥即双曲线在两条直线a x ±=的外侧。
②对称性：双曲线12222=-by a x 关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线12222=-by a x 的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。
③顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。
在双曲线12222=-by a x 的方程里，对称轴是,x y 轴，所以令0=y 得a x ±=，因此双曲线和x 轴有两个交点12(,0),(,0)A a A a -，他们是双曲线12222=-by a x 的顶点。
令0=x ，没有实根，因此双曲线和y 轴没有交点。
注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点），双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。
2）实轴：线段12A A 叫做双曲线的实轴，它的长等于2,a a 叫做双曲线的实半轴长。
虚轴：线段12B B 叫做双曲线的虚轴，它的长等于2,b b 叫做双曲线的虚半轴长。
④渐近线： 渐近线方程：x aby ±=.这两条直线即称为双曲线的渐近线。
从图上看，双曲线12222=-by a x 的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近。
3．抛物线（1）抛物线的概念平面内与一定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F 不在定直线l 上)。
定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线。
方程()022>=p pxy 叫做抛物线的标准方程。
注意：它表示的抛物线的焦点在x 轴的正半轴上，焦点坐标是F （2p,0），它的准线方程是2px -= ；（2）抛物线的性质一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：px y 22-=，py x 22=，py x 22-=.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表：标准方程22(0)y px p =>22(0)y px p =->22(0)x py p =>22(0)x pyp =->图形焦点坐标 (,0)2p (,0)2p - (0,)2p(0,)2p -准线方程 2p x =-2p x =2p y =-2p y =范围 0x ≥ 0x ≤ 0y ≥ 0y ≤ 对称性 x 轴 x 轴 y 轴 y 轴 顶点 (0,0) (0,0) (0,0) (0,0) 离心率1e = 1e =1e = 1e =要点诠释：（1）通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径；（2）抛物线的几何性质的特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线；（3）注意强调p 的几何意义：是焦点到准线的距离。
要点二：直线和圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线有三种位置关系：相交，相切，相离。
o F xy l oxyF lxyoF l1．直线l 与圆锥曲线C 的位置关系判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，将直线l 的方程代入曲线C 的方程，消去y （也可消去x ）得一个关于变量x （或y ）的一元二次方程ax 2+bx+c=0。
①当a ≠0时， 若Δ＞0，则l 与C 相交； 若Δ=0，则l 与C 相切； 若Δ＜0，则有l 与C 相离。
②当a=0时，即得到一个一次方程，若方程有解，则直线l 与C 相交，此时只有一个公共点若C 为双曲线，则l 平行于双曲线的渐近线； 若C 为抛物线，则l 平行于抛物线的对称轴。
2．直线被圆锥曲线截得的弦长公式：斜率为k 的直线被圆锥曲线截得弦AB ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则弦长公式：12|||AB x x =-=当0k ≠时, 弦长公式还可以写成：12|||AB y y =- 要点诠释：（1）当直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时，直线和双曲线、抛物线可能相切，也可能相交。
（2）利用弦长公式求弦长时，应注意应用韦达定理。
要点三：有关圆锥曲线综合题类型 1.求圆锥曲线方程的方法 ①定义法定义法是指先分析、说明动点的轨迹满足某种特殊曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等）的定义或特征，再求出该曲线的相关参量，从而得到轨迹方程.一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤： 定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置，如果位置不确定时，考虑是否多解。
此时注意数形结合，在图形上标出已知条件，检查轴上的点、垂直于轴的直线的位置是否准确等。
定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx 2+ny 2=1(m ＞0,n ＞定量——由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小。
此处注意n 个未知数，列够n 个独立的方程，并注意“点在线上”条件及韦达定理的使用。
②直接法建系→设点→点满足的几何条件坐标化→整理化简成最简形式→证明（可省略，但必须删去增加的或者补上丢失的解）③代入法当题目中有多个动点时，将其他动点的坐标用所求动点P 的坐标y x ,来表示，再代入到其他动点要满足的条件或轨迹方程中，整理即得到动点P 的轨迹方程，称之代入法，也称相关点法、转移法.④参数法x,间建立起联系，参数法是指先引入一个中间变量（参数），使所求动点的横、纵坐标yx,间的直接关系式，即得到所求轨迹方程.然后再从所求式子中消去参数，得到y常见的参数法有：（1）点参数利用点在某曲线上设点（常设“主动点”），以此点为参数，依次求出其他相关量，再列式求解。
如x轴上一动点P，常设P（t，0）；直线x-2y+1=0上一动点P。
除设P（x1,y1）外，也可直接设P（2y,-1,y1）（2）斜率为参数当直线过某一定点P(x0,y0)时，常设此直线为y-y0=k(x-x0)，即以k为参数，再按命题要求依次列式求解等。
（3）角参数当研究有关转动的问题时，常设某一个角为参数，尤其是圆与椭圆上的动点问题。
要点注释：（1）求轨迹方程的一般思路：①若曲线的类型已确定，一般用待定系数法；②若曲线的类型未确定，但曲线上动点的运动在题目中有明确的表述，一般采用直接法；③若动点的变化依赖于另一相关点的变化，一般采用相关点法（代入转移法）；④若动点坐标之间的关系不易找出，一般可采用参数法。
但应注意所列方程个数比参数个数要多一个，才可以消去参数。
（2）求轨迹方程应注意的问题：①求轨迹方程后一定要注意轨迹的纯粹性和完备性；以保证方程的解与曲线上的点具有一一对应的关系, 尤其是题中涉及三角形、斜率、参数方程中参数的限制, 往往使方程产生增根。
②要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念。
2.直线与圆锥曲线相交 --- 弦的有关问题：①韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。