第十二章 二阶电路的时域分析
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t=0时开关闭合，分析电路 中的暂态过程。
5
2018/10/13
- uC+
一、 响应uC与iL
uC与iL确定的步骤
+ uR -
iS
1、建立关于uC的电路方程
换路后的电路如右图所示
S
(t 0)
R
C
iL L
L
+
-
uL
在图示参考方向下，电路的KVL方程为
- uC+
uR (t ) uL (t ) uC (t ) 0
L R0 2 C (12 19)
0
t
i(t )
为临界电阻
2018/10/13 22
3、 ，电路呈现欠阻尼
2 2 0
2 0
R 2 1 L 当 ，也就是( ) （即R )时， 2L LC C
将上式代入到iL中，化简后得
初始电流I0引起的零输入响应
U0 I0 s2t s1t iL (e e ) ( s1e s1t - s2e s2t ) L( s1 s2 ) s1 s2
t0
(12 11)
注意
初始电压U0引起的零输入响应
式（12-9）与式（12-11）指出，式中前一项是 由电容器上的初始电压U0引起的零输入响应，后一 2018/10/13 项是由电感器中的初始电流 I0引起的零输入响应。 13
d 2 uC duC LC 2 RC uC 0 dt dt
t0
(12 1a)
通解为
uCh A1e A2e
s1t
s 2t
式中A1、A2是积分常数，由电路初始条件确定。
s1、s2仅决定于电路结构与元件参数，它们是电 路的固有频率或自然频率。 注意 在二阶电路中，没有时间常数的概念。
du C uR Ri L iL C dt 将上述关系以uC作为应变量代入KVLLeabharlann Baidu程，经整理后 得 2018/10/13 6
式中
di L uL L dt
d 2 uC duC LC 2 RC uC 0 dt dt
t0
(12 1a)
这是一个常系数齐次线性二阶微分方程。 其初始条件为
2018/10/13 12
上式中s1s2由 得
2 2 0
s1 2 02 2 2 s1 0
2 2 0 2 0
(12 4)
1 s1s2 ( )( ) LC
(12 10)
2
y Ae
pt
b b 2 4ac p1, 2 2a 4a
当特征方程有不同的实根 p1、p2 时:
y A1e
p1t
A2e
p2t
当特征方程有相同的实根 p 时:
y ( A1 A2t )e
ye
2018/10/13
pt
当特征方程有共轭的复根 p1,2 j :
2018/10/13
α 、ω 0、s1、s2的单位都是1/s。
9
4、写出全解
uC uCP uCh A1e A2e
s1t
s2t
t0
(12 5)
5、确定常数A1、A2 将上式中令t=0+，代入初始条件， uC (0 ) U 0
得
uC (0 ) A1 A2 U 0
(12 11)
在tm处，iL有一极值。令上式 在t= tm处的一阶导数为零，得
diL dt
t t m
iL
0 U0 ( s2e s2t s1e s1t ) 0 L( s1 s2 ) t t
m
tm
iL (t )
t
上式，在s1-s2≠0时，有
2018/10/13
s2 e
s2t m
s1e
I0 te C
R t 2L
t0
(12 17)
U0 iL te 2018/10/13 L
R t 2L
R I 0 (1 t )e 2L
R t 2L
t0
(12 18)
21
R uC U 0 (1 t )e 2L
R t 2L
I0 te C
R t 2L
t0
(12 6)
duC dt
t 0
在t=0+处，对（12-5）式 对t求导，代入初始条件， 有
0
1 I0 C
duC dt
( A1s1e s1t A2 s2 e s2t )
0
2018/10/13
1 A1s1 A2 s2 I 0 C
(12 7)
10
联立式（12-6）、（12-7）
(12 6) uC (0 ) A1 A2 U 0 1 A1s1 A2 s2 I 0 (12 7) C I0 得积分常数为 U 0 s2 C A1 s1 s2 I0 U 0 s1 C A2 s1 s2 注意
重点
1.用经典法分析二阶电路 2.二阶电路的零输入响应有几种表现形式？ 特点？ 难点 不同特征根的响应讨论
2018/10/13
1
知 识 复 习
1、二阶齐次微分方程的通解形式
ay' 'by'c 0
通解:
特征方程为：
y Ae
2
pt
ap bp c 0
b b 2 4ac 特征根： p1, 2 2a 4a 2018/10/13
电流为
I0 duC d U0 s2t s1t s1t s2t C iL C C ( s1e s2e ) (e - e ) dt dt s1 s2 s1 s2 CU 0 I0 s2t s1t ( s1s2e s1s2e ) ( s1e s1t - s2e s2t ) t0 s1 s2 s1 s2
uC u L i L
U0
uC ( t )
uL ( t )
0
tm
t
' m
iL (t )
t
C中放出能量，一部分转移到L中， 另一部分供R上热耗；
在t t m时，uC、 iL 都减少，C与L放 出能量供R上热耗。
2018/10/13 19
2、 ，电路呈现临界阻尼
2 2 0
R 2 1 L 当 ，也就是( ) （即R )时， 2L LC C
( j ) t
e
t
( A1 cost A2 sin t )
3
2、欧拉公式
e cos j sin
j
e j cos j sin
e j e j sin j2
e j e j cos 2
2018/10/13 4
(12 17)
R t U 0 2RL t R iL te I 0 (1 t )e 2 L L 2L
t0
uC i L
I0 U0
uC ( t )
(12 18)
当将uC与iL波形都画出来时， 可以看出放电过程仍然是非周 期性的，暂态过程处于临界状 态。电路为临界阻尼。 定义
2
可以得到
电路有两个不相等的固有频率s1与s2，且s1与s2是 两个不相等的负实数。
2018/10/13 14
（ 1 ）电容电压uC
为了简化分析，设式（12-9）中I0=0。 I0 U0 uC ( s1e s2t s2e s1t ) C (e s1t - e s2t ) t0 s1 s2 s1 s2 U0 s2t s1t u ( s e s e ) t0 (12 12) 得 C 1 2 s1 s2
U0 ( s2e s2t s1e s1t ) t0 (12 15) s1 s2 在tm’处，uL有一极值。令上式在t= tm’处的一阶 导数为零，得 uL U0 du L uL ( t ) ' 2 s2t 2 s1t ( s2 e s1 e ) 0 tm ' dt t tm s1 s2 ' t t
t0 (12 12)
U0 s2t s1t uC ( s1e s2e ) s1 s2
这表明，在任一时刻t，有uC>0，电容器始终处于 放电状态，暂态过程是非周期性放电。电路为过阻 尼。 uC
U0
uC ( t )
0
2018/10/13
t
16
（2）电流iL
I0 0 U0 I0 s2t s1t iL (e e ) ( s1e s1t - s2e s2t ) t0 L( s1 s2 ) s1 s2 U0 得 iL (e s2t e s1t ) t0 (12 13) L( s1 s2 )
(12 8)
常数A1、A2不仅与电路初始状态有关，而且， 还与电路结构、元件参数有关。 2018/10/13 11
将积分常数代入uC的全解中，可得零输入响应uC为
I0 U0 uC ( s1e s2t s2e s1t ) C (e s1t - e s2t ) s1 s2 s1 s2 t0 (12 9)
二、 电路不同参数值时暂态过程分析 在RLC串联电路中，由于元件参数的不同，电路的 暂态过程有三种不同的性状。
1、 ，电路呈现过阻尼
2 2 0
R 2 1 L 当 ，也就是( ) 时，即R 2 , 2L LC C
2 2 0
从
R 1 R s1， 2 2L 2 L LC
LCs RCs 1 0
2
R 1 R s1， 2 2 L 2 L LC
2
(12 3a)
(12 3b)
α 称为衰减常数 ω 0为RLC串联电路 的谐振角频率
(12 4)
8
于是
2018/10/13
s1 2 02 2 2 s2 0
2 2 0
R 1 R 从 s1， 2 2L 2 L LC R s1 s2 (12 16) 2L
2
可以得到
则有
uC (t ) A1e
st
A2te
st
式中的两个常数A1，A2由初始条件iL(0+)和 uC(0+) 确定。
2018/10/13 20
s1t m
0
得
s1 ln s2 tm s2 s1
17
（3）电感电压uL
U0 由 iL (e s2t e s1t ) t0 (12 13) L( s1 s2 ) diL d U0 s2t s1t L (e e ) 得 uL L dt dt L( s1 s2 )
uC (0 ) U 0
2、确定特解
duC dt
0
1 I0 C
(12 1b)
其次方程没有特解，即uCP=0。
2018/10/13 7
d 2 uC duC LC 2 RC uC 0 dt dt
t0
(12 1a)
3、确定通解 其特征方程为 其特征根为 定义
R 2L 1 0 LC
第一节 RLC串联电路的零输入响应
问题的提出
一阶电路是单纯的吸收或释放能量的响应 二阶电将将出现动态元件之间的能量交换 RLC串联电路的简单物理过程分析 例
+ uR -
iS
S
(t 0)
R
C
+
L
左图电路中，设开关S闭 合前的瞬间，有
-
uL
uC (0 ) U 0 , iC (0 ) I 0 ,
uC (t ) A1e
代入初始条件
st
A2te
st
uC (0 ) U 0
可得 于是有
duC dt
0
1 I0 C
(12 1b)
A1 U 0 A R U 1 I 2 0 0 2L C
R t 2L
R uC U 0 (1 t )e 2L
在正参数电路中，s1 , s2是不相等的负实根， s2t s1t s e ， s e 且有 s2 s1 ，这样有 1 2
(12 9)
s1 s2 0
s1e s2e 0
s2t s1t
2018/10/13
0
s1e s2t s2 e s1t
t
15
s1 s2 0
s1e s2t s2e s1t 0
m
2 ln( s / s ) 1 2 得 tm 2t m s2 s1 2018/10/13
'
0
t
18
（4）暂态过程中的能量转换
从右图中可以看出，
在t 0 ，有uC (0 ) U 0，
2 CU 0 wC (0 ) ，iL (0 ) 0； 2 在（0，t m )内，uC 减少， iL 增加，
5
2018/10/13
- uC+
一、 响应uC与iL
uC与iL确定的步骤
+ uR -
iS
1、建立关于uC的电路方程
换路后的电路如右图所示
S
(t 0)
R
C
iL L
L
+
-
uL
在图示参考方向下，电路的KVL方程为
- uC+
uR (t ) uL (t ) uC (t ) 0
L R0 2 C (12 19)
0
t
i(t )
为临界电阻
2018/10/13 22
3、 ，电路呈现欠阻尼
2 2 0
2 0
R 2 1 L 当 ，也就是( ) （即R )时， 2L LC C
将上式代入到iL中，化简后得
初始电流I0引起的零输入响应
U0 I0 s2t s1t iL (e e ) ( s1e s1t - s2e s2t ) L( s1 s2 ) s1 s2
t0
(12 11)
注意
初始电压U0引起的零输入响应
式（12-9）与式（12-11）指出，式中前一项是 由电容器上的初始电压U0引起的零输入响应，后一 2018/10/13 项是由电感器中的初始电流 I0引起的零输入响应。 13
d 2 uC duC LC 2 RC uC 0 dt dt
t0
(12 1a)
通解为
uCh A1e A2e
s1t
s 2t
式中A1、A2是积分常数，由电路初始条件确定。
s1、s2仅决定于电路结构与元件参数，它们是电 路的固有频率或自然频率。 注意 在二阶电路中，没有时间常数的概念。
du C uR Ri L iL C dt 将上述关系以uC作为应变量代入KVLLeabharlann Baidu程，经整理后 得 2018/10/13 6
式中
di L uL L dt
d 2 uC duC LC 2 RC uC 0 dt dt
t0
(12 1a)
这是一个常系数齐次线性二阶微分方程。 其初始条件为
2018/10/13 12
上式中s1s2由 得
2 2 0
s1 2 02 2 2 s1 0
2 2 0 2 0
(12 4)
1 s1s2 ( )( ) LC
(12 10)
2
y Ae
pt
b b 2 4ac p1, 2 2a 4a
当特征方程有不同的实根 p1、p2 时:
y A1e
p1t
A2e
p2t
当特征方程有相同的实根 p 时:
y ( A1 A2t )e
ye
2018/10/13
pt
当特征方程有共轭的复根 p1,2 j :
2018/10/13
α 、ω 0、s1、s2的单位都是1/s。
9
4、写出全解
uC uCP uCh A1e A2e
s1t
s2t
t0
(12 5)
5、确定常数A1、A2 将上式中令t=0+，代入初始条件， uC (0 ) U 0
得
uC (0 ) A1 A2 U 0
(12 11)
在tm处，iL有一极值。令上式 在t= tm处的一阶导数为零，得
diL dt
t t m
iL
0 U0 ( s2e s2t s1e s1t ) 0 L( s1 s2 ) t t
m
tm
iL (t )
t
上式，在s1-s2≠0时，有
2018/10/13
s2 e
s2t m
s1e
I0 te C
R t 2L
t0
(12 17)
U0 iL te 2018/10/13 L
R t 2L
R I 0 (1 t )e 2L
R t 2L
t0
(12 18)
21
R uC U 0 (1 t )e 2L
R t 2L
I0 te C
R t 2L
t0
(12 6)
duC dt
t 0
在t=0+处，对（12-5）式 对t求导，代入初始条件， 有
0
1 I0 C
duC dt
( A1s1e s1t A2 s2 e s2t )
0
2018/10/13
1 A1s1 A2 s2 I 0 C
(12 7)
10
联立式（12-6）、（12-7）
(12 6) uC (0 ) A1 A2 U 0 1 A1s1 A2 s2 I 0 (12 7) C I0 得积分常数为 U 0 s2 C A1 s1 s2 I0 U 0 s1 C A2 s1 s2 注意
重点
1.用经典法分析二阶电路 2.二阶电路的零输入响应有几种表现形式？ 特点？ 难点 不同特征根的响应讨论
2018/10/13
1
知 识 复 习
1、二阶齐次微分方程的通解形式
ay' 'by'c 0
通解:
特征方程为：
y Ae
2
pt
ap bp c 0
b b 2 4ac 特征根： p1, 2 2a 4a 2018/10/13
电流为
I0 duC d U0 s2t s1t s1t s2t C iL C C ( s1e s2e ) (e - e ) dt dt s1 s2 s1 s2 CU 0 I0 s2t s1t ( s1s2e s1s2e ) ( s1e s1t - s2e s2t ) t0 s1 s2 s1 s2
uC u L i L
U0
uC ( t )
uL ( t )
0
tm
t
' m
iL (t )
t
C中放出能量，一部分转移到L中， 另一部分供R上热耗；
在t t m时，uC、 iL 都减少，C与L放 出能量供R上热耗。
2018/10/13 19
2、 ，电路呈现临界阻尼
2 2 0
R 2 1 L 当 ，也就是( ) （即R )时， 2L LC C
( j ) t
e
t
( A1 cost A2 sin t )
3
2、欧拉公式
e cos j sin
j
e j cos j sin
e j e j sin j2
e j e j cos 2
2018/10/13 4
(12 17)
R t U 0 2RL t R iL te I 0 (1 t )e 2 L L 2L
t0
uC i L
I0 U0
uC ( t )
(12 18)
当将uC与iL波形都画出来时， 可以看出放电过程仍然是非周 期性的，暂态过程处于临界状 态。电路为临界阻尼。 定义
2
可以得到
电路有两个不相等的固有频率s1与s2，且s1与s2是 两个不相等的负实数。
2018/10/13 14
（ 1 ）电容电压uC
为了简化分析，设式（12-9）中I0=0。 I0 U0 uC ( s1e s2t s2e s1t ) C (e s1t - e s2t ) t0 s1 s2 s1 s2 U0 s2t s1t u ( s e s e ) t0 (12 12) 得 C 1 2 s1 s2
U0 ( s2e s2t s1e s1t ) t0 (12 15) s1 s2 在tm’处，uL有一极值。令上式在t= tm’处的一阶 导数为零，得 uL U0 du L uL ( t ) ' 2 s2t 2 s1t ( s2 e s1 e ) 0 tm ' dt t tm s1 s2 ' t t
t0 (12 12)
U0 s2t s1t uC ( s1e s2e ) s1 s2
这表明，在任一时刻t，有uC>0，电容器始终处于 放电状态，暂态过程是非周期性放电。电路为过阻 尼。 uC
U0
uC ( t )
0
2018/10/13
t
16
（2）电流iL
I0 0 U0 I0 s2t s1t iL (e e ) ( s1e s1t - s2e s2t ) t0 L( s1 s2 ) s1 s2 U0 得 iL (e s2t e s1t ) t0 (12 13) L( s1 s2 )
(12 8)
常数A1、A2不仅与电路初始状态有关，而且， 还与电路结构、元件参数有关。 2018/10/13 11
将积分常数代入uC的全解中，可得零输入响应uC为
I0 U0 uC ( s1e s2t s2e s1t ) C (e s1t - e s2t ) s1 s2 s1 s2 t0 (12 9)
二、 电路不同参数值时暂态过程分析 在RLC串联电路中，由于元件参数的不同，电路的 暂态过程有三种不同的性状。
1、 ，电路呈现过阻尼
2 2 0
R 2 1 L 当 ，也就是( ) 时，即R 2 , 2L LC C
2 2 0
从
R 1 R s1， 2 2L 2 L LC
LCs RCs 1 0
2
R 1 R s1， 2 2 L 2 L LC
2
(12 3a)
(12 3b)
α 称为衰减常数 ω 0为RLC串联电路 的谐振角频率
(12 4)
8
于是
2018/10/13
s1 2 02 2 2 s2 0
2 2 0
R 1 R 从 s1， 2 2L 2 L LC R s1 s2 (12 16) 2L
2
可以得到
则有
uC (t ) A1e
st
A2te
st
式中的两个常数A1，A2由初始条件iL(0+)和 uC(0+) 确定。
2018/10/13 20
s1t m
0
得
s1 ln s2 tm s2 s1
17
（3）电感电压uL
U0 由 iL (e s2t e s1t ) t0 (12 13) L( s1 s2 ) diL d U0 s2t s1t L (e e ) 得 uL L dt dt L( s1 s2 )
uC (0 ) U 0
2、确定特解
duC dt
0
1 I0 C
(12 1b)
其次方程没有特解，即uCP=0。
2018/10/13 7
d 2 uC duC LC 2 RC uC 0 dt dt
t0
(12 1a)
3、确定通解 其特征方程为 其特征根为 定义
R 2L 1 0 LC
第一节 RLC串联电路的零输入响应
问题的提出
一阶电路是单纯的吸收或释放能量的响应 二阶电将将出现动态元件之间的能量交换 RLC串联电路的简单物理过程分析 例
+ uR -
iS
S
(t 0)
R
C
+
L
左图电路中，设开关S闭 合前的瞬间，有
-
uL
uC (0 ) U 0 , iC (0 ) I 0 ,
uC (t ) A1e
代入初始条件
st
A2te
st
uC (0 ) U 0
可得 于是有
duC dt
0
1 I0 C
(12 1b)
A1 U 0 A R U 1 I 2 0 0 2L C
R t 2L
R uC U 0 (1 t )e 2L
在正参数电路中，s1 , s2是不相等的负实根， s2t s1t s e ， s e 且有 s2 s1 ，这样有 1 2
(12 9)
s1 s2 0
s1e s2e 0
s2t s1t
2018/10/13
0
s1e s2t s2 e s1t
t
15
s1 s2 0
s1e s2t s2e s1t 0
m
2 ln( s / s ) 1 2 得 tm 2t m s2 s1 2018/10/13
'
0
t
18
（4）暂态过程中的能量转换
从右图中可以看出，
在t 0 ，有uC (0 ) U 0，
2 CU 0 wC (0 ) ，iL (0 ) 0； 2 在（0，t m )内，uC 减少， iL 增加，