第5章回溯法PPT课件

放置方案有C
n n
2种，而这个数字是非常庞大的，直接
枚举肯定会超时。
n皇后问题
考虑到皇后攻击的特性，所有的皇后不能同 行、同列，那么不妨我们先人为规定第k个皇 后在第k行，这样的话我们只要给出每个皇后 所处的列号就可以描述皇后的位置了。如图 放置方式就可以被表示为： 3、1、4、2 即第1个皇后在第3列，第2个 皇后在第1列，……
二、回溯的一般描述
一旦某个j元组（x1，x2，…，xj）违反D中仅涉及 x1，x2，…，xj 的一个约束，就可以肯定，以（x1， x2，…，xj）为前缀的任何n元组
（x1，x2，…，xj，xj+1，…，xn）都不会是问题P 的解。
三、回溯的一般步骤
回溯法正是针对这类问题，利用这类问题的 上述性质而提出来的比枚举法效率更高的算 法。
解问题P的最朴素的方法就是枚举法，即对E 中的所有n元组逐一地检测其是否满足D的全 部约束，显然，其计算量是相当大的。
二、回溯的一般描述
对于许多问题，所给定的约束集D具有完备 性。即i元组（x1，x2，…，xi）满足D中仅 涉及到x1，x2，…，xi的所有约束意味着j （j<i）元组（x1，x2，…，xj）一定也满足D 中仅涉及到x1，x2，…，xj的所有约束。
A2 A1
A
跳马问题
2. 当到达A1点后，又有三条线路可以选择， 于是再任意选择一条，到达B1。
3. 从B1再出发，又有两条线路可以选择，先 选一条，到达C1。
B3
A2 A1
A
B2 C2
C1 B1
跳马问题
4. 从C1出发，可以有三条路径，选择D1。但到了 D1以后，我们无路可走且D1也不是最终目标点， 因此，选择D1是错误的，我们退回C1重新选择 D2。同样D2也是错误的。再回到C1选择D3。 D3只可以到E1，但E1也是错误的。返回D3后， 没有其他选择，说明D3也是错误的，再回到C1。 此时C1不再有其他选择，故C1也是错误的，退回 B1，选择C2进行尝试。
从E-节点可移动到一个新节点。 如果能从当前的E-节点移动到一个新节点，那么这个新
节点将变成一个活节点和新的E-节点，旧的E-节点仍是 一个活节点。 如果不能移到一个新节点，当前的E-节点就“死”了 （即不再是一个活节点），那么便只能返回到最近被考 察的活节点（回溯），这个活节点变成了新的E-节点。 当我们已经找到了答案或者回溯尽了所有的活节点时， 搜索过程结束。
跳马问题
马走日字，当马一开始在黄点时，它下一步 可以到达的点有以下的八个，但由于题目规 定了只能往右走的限制，所以它只能走到四 个绿色点之一。
跳马问题
1. 当马一开始位于左下角的时候，根据规则， 它只有两条线路可以选择（另外两条超出棋 盘的范围），我们无法预知该走哪条，故任 意选择一条，到达A1。
回溯算法（一）
什么是回溯
入口回溯
▪迷宫游戏
回溯
➢什么是回溯法
回溯
▪回溯法是一个既带
有系统性又带有跳跃
性的的搜索算法
回溯
▪回溯法是以深度优先的方式系统地搜索问题 出口 的解, 它适用于解一些组合数较大的问题。
回溯(Trackback)是什么？
为什么回溯？
怎样回溯？
What
Why
How
一、回溯的概念
n皇后问题的解空间就应该是1～n全排列的一部分。
解空间的长度是n。
解空间的组织形式是一棵n叉树，一个可行的解就 是从根节点到叶子节点的一条路径。
控制策略则是当前皇后与前面所有的皇后都不同列 和不同对角线。
三、回溯的一般步骤
开始节点既是一个活节点又是一个E-节点（expansion node、扩展节点）。
实例—n皇后问题
在一个n×n的棋盘上放置n个国际象棋中 的皇后，要求所有的皇后之间都不形成攻 击。请你给出所有可能的排布方案数。
n
4
5
6
7
8
总数
2
10
4
40
92
n皇后问题
对于n皇后问题而言，我们很难找出很合适的方法 来快速的得到解，因此，我们只能采取最基本的枚 举法来求解。
但我们知道，在n×n的棋盘上放置n个棋子的所有
一、回溯的概念
回溯算法是一种有条不紊的搜索问题答案的 方法，是一种能避免不必要搜索的穷举式的 搜索算法，其基本思想就是穷举搜索。常用 于查找问题的解集或符合某些限制条件的最 佳解集。
一、回溯的概念
回溯算法常被用来解决自然数排列问题、皇 后问题、迷宫问题、数的拆分、0/1背包问 题、骑士问题、货船装箱问题和图形覆盖问 题等。
n皇后问题
既然回溯算法是由一个节点开始逐步扩展的， 因此我们采用把皇后一个一个的放到棋盘上 的方式来分析问题。
n皇后问题
首先要把第一个皇后放到棋盘上由于第一个皇后有 n列可以放，因此可扩展出n种情况。先选其中一列 放下这个皇后；
然后开始放第二个皇后。同样第二个皇后也有n列 可以放，因此也能扩展出n种情况，但第二个皇后 可能会和第一个皇后发生攻击，而一旦发生攻击， 就没有必要往下扩展第三个皇后，而如果没有发生 攻击，则继续放第三个皇后；
依此类推，直到n个皇后全都放下后，即得到一组 可行解。
扩展全部完成后即可得到结果。
n皇后问题
1
2
3
4
123
4123 4
12341
234
12341234
1234123412
341234
12341234
12341234
二、回溯的一般描述
可用回溯法求解的问题P，通常要能表达为：对于已知的由n元组 （x1，x2，…，xn）组成的一个状态空间
E={（x1，x2，…，xn）∣xi∈Si ，i=1，2，…，n}，
给定关于Leabharlann Baidu元组中的一个分量的一个约束集D，要求E中满足D的全部约 束条件的所有n元组。其中Si是分量xi的定义域，且 |Si| 有限，i=1， 2，…，n。我们称E中满足D的全部约束条件的任一n元组为问题P的一 个解。
二、回溯的一般描述
像走迷宫这样，遇到死路就回头的搜索思路 就叫做“回溯”。
从问题的某种可能情况出发，搜索所有能到 达的可能情况，然后以其中一种可能的情况 为新的出发点，继续向下探索，当所有可能 情况都探索过且都无法到达目标的时候，再 回退到上一个出发点，继续探索另一个可能 情况，这种不断回头寻找目标的方法称为 “回溯法”。
实例—跳马问题
在n×m棋盘上有一中国象棋中的马：
1. 马走日字； 2. 马只能往右走。
请你找出一条可行路径，使得马可以从棋盘 的左下角（1，1）走到右上角（n，m）。
跳马问题
输入：9 ，5 输出：
(1,1)->(3,2)->(5,1)->(6,3)->(7,1)->(8,3)->(9,5)