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初三数学圆的性质定理

1、圆的对称性：圆是轴对称图形，任一条直径所在的直线都是它的对称轴.

2、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.

3、垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

4、垂径定理的应用：

①用直尺和圆规平分一条弧. 作法是过圆心作弧所对弦的垂线，理由是垂径定理；

②在利用垂径定理计算或证明时，我们通常将其化为一个直角三角形的边和角，这

个特殊直角三角形的三边分别是半径、弦的一半和圆心到弦的垂线段.

例 1、如图，已知以点O 为公共圆心的两个同心圆，大圆的弦AD 交小圆于 B、C.

(1)求证： AB=CD

(2)如果 AD=6cm ， BC=4cm ，求圆环的面积 .

1.圆周角定义：顶点在圆周上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.

2.圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的

圆心角的一半 .

3.推论：①同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧一定相等. ②半圆（或直径）所对

圆周角是直角， 90°的圆周角所对的弦是直径 .

③如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形.

4．圆的内接四边形：

①定义：如果一个多边形的所有顶点都在同一圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，

这个圆叫做这个多边形的外接圆.

②圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补.

例2、如图， AB 是⊙ O 的直径， BC 是弦， OD ⊥BC 于 E，交 BC 于 D. 若 BC=8 ， ED=2 ，求⊙O 的半径 .

解：

1、如图，已知AB 是⊙ O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 P，CD=10cm ，AP ∶PB=1 ∶5，那么⊙ O 的半径是（

）

2、圆的半径为13cm ，两弦 AB ∥CD ， AB=24cm ， CD=10cm ，则两弦AB 、CD 的距离是）

（

A． 7cm B ．17cm C ．12cm

D．7cm 或

17cm

3、如下图所示， AB 是⊙ O 的一条固定直径，它把⊙ O 分成上、下两个半圆，自上半圆上一点 C 作弦CD⊥AB ，∠ OCD 的平分线交⊙ O 于点 P，当点 C 在上半圆（不包括 A 、）B 两点）移动时，点P（

A．到 CD 的距离保持不变B．位置不变 C．平分D．随点 C 的移动而移动

4、如上中图， BD 是⊙ O 的直径，弦 AC 、BD 相交于点 E，则下列结论不成立的是（）

A．∠ ABD= ∠ACD B ．C．∠ BAE= ∠BDC D．∠ABD=∠BDC

5、如上右图，⊙O 的直径 CD 过弦 EF 的中点 G，∠ EOD=40 °，则∠ DCF 等于）

（

A． 80 ° B ．50° C． 40 ° D ． 20 °

6、如下图， A 、B、 C 是⊙ O 上三点，∠ACB=40 °，则∠ ABO 等于 __________ 度．

7、如上左二图，△ABC 的顶点都在⊙O 上，∠ C=30 °， AB=2cm ，则⊙ O 的半径为 __________cm ．

8、如上左三图，在平面直角坐标系中，P 是经过 O（ 0， 0）， A（0， 2）， B（2， 0）的圆上的一个动点（ P 与 O、A、B 不重合），则∠OAB=，∠ OPB=．

9、如右上图，△ABC 内接于⊙ O ，∠ B= ∠OAC ， OA=8cm ，则AC=__________cm．

10、如图，△ABC 内接于⊙ O ，∠ BAC=120 °， AB=AC ， BD 为⊙ O 的直径， AD=6 ，BC=．

则

11、如图，⊙ O 中的弦 AB 、 CD 互相垂直于E，AE=5cm ，BE=13cm ，O 到 AB 的距离为．求⊙O 的

半径及 O 到 CD 的距离．

12、如图，某地有一座圆弧形的拱桥，桥下水面宽为 7.2m ，拱顶高出水面 2.4m ，现有一艘宽 3m ，船舱顶部为正方形并高出水面 2m 的货船要经过这里，此时货船能顺利通过这座拱桥吗？请说明理由．

13、如图， AB 为⊙ O 的直径， BD 是⊙ O 的弦，延长到 C ，使 BD ＝DC，连接 AC 交⊙ O 于点 F，点 F 不与

点A 重合．

（1） AB 与 AC 的大小有什么关系？为什么？

（2）按角的大小分类，请你判断△ ABC 属于哪一类三角形，并说明理由．

一、确定圆的条件

(1)因为作圆实质上是确定圆心和半径，要经过已知点 A 作圆，只要圆心确定下来，半径就随之

A 所连的线段为半径就可以作一个

确定了下来．所以以点 A 以外的任意一点为圆心，以这一点与点

圆．由于圆心是任意的．因此这样的圆有无数个．如图 (1) ．

(2) 已知点 A、 B 都在圆上，它们到圆心的距离都等于半径．因此圆心到 A、B 的距离相等．根据前面提到过的线段的垂直平分线的性质可知，线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，则

圆心应在线段AB 的垂直平分线上．在AB 的垂直平分线上任意取一点，都能满足到A、B 两点的距离

相等，所以在AB 的垂直平分线上任取一点都可以作为圆心，这点到 A 的距离即为半径，圆就确定下

来了．由于线段AB 的垂直平分线上有无数点，因此有无数个圆心，作出的圆有无数个．如图(2) ．

(3)要作一个圆经过 A、B、C 三点，就是要确定一个点作为圆心，使它到三点的距离相等．因为

到A、B 两点距离相等的点的集合是线段AB 的垂直平分线，到 B 、C 两点距离相等的点的集合是线段

BC 的垂直平分线，这两条垂直平分线的交点满足到A、B、 C 三点的距离相等，就是所作圆的圆心．因为两条直线的交点只有一个，所以只有一个圆心，即只能作出一个满足条件的圆．

过不在同一条直线上的三点确定一个圆

2、经过三角形三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做

三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．

因为画圆的关键是确定圆心和半径，所以作三角形的外接圆时，只要找三边垂直平分线的交点，

这就是圆心，以这点到三角形任一顶点间的距离为半径就可作出三角形的外接圆．

3、利用尺规过不在同一条直线上的三个点作圆的方法

作法图示

1．连结 AB 、 BC

2．分别作 AB 、BC 的垂直

平分线 DE 和 FG ，DE 和

FG 相交于点 O

3．以 O 为圆心， OA 为半径作

圆

⊙O 就是所要求作的圆