2020届广西南宁市高三一模摸底数学(理科)试题(带答案解析)
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得分
三、解答题
17．为了检测某种零件的一条生产线的生产过程，从生产线上随机抽取一批零件，根据其尺寸的数据得到如图所示的频率分布直方图，若尺寸落在区间 之外，则认为该零件属“不合格”的零件，其中 ,s分别为样本平均数和样本标准差，计算可得 （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.
（1）求样本平均数的大小；
7．A
【解析】
【分析】
先由函数解析式可得函数 为奇函数，再结合奇函数图像的性质逐一检验即可得解.
【详解】
解：由已知可得函数 的定义域为 ，且 ，则函数 为奇函数，则函数 的图象应该关于原点对称，排除C和D，当 时， ，排除B，故A正确.
故选：A.
【点睛】
本题考查了函数的奇偶性，重点考查了奇函数的性质，属基础题.
故选：A
【点睛】
本题主要考查等比数列的通项和求和公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
6．B
【解析】
【分析】
根据 求出 再根据 也在直线 上，求出b的值，即得解.
【详解】
因为 ，所以
所以 ，
又 也在直线 上，
所以 ，
解得
所以 .
故选：B
【点睛】
本题主要考查导数的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
（2）若一个零件的尺寸是100cm，试判断该零件是否属于“不合格”的零件.
18．如图，在三棱柱 中， 平面ABC.
（1）证明：平面 平面
（2）求二面角 的余弦值.
19． 分别为 的内角 的对边.已知 .Fra bibliotek（1）若 ，求 ；
（2）已知 ，当 的面积取得最大值时，求 的周长.
20．已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）若函数 在区间 上的最小值为 ，求m的值.
21．如图，已知抛物线 ： 与圆 ： （ ）相交于 ， ， ， 四个点，
（1）求 的取值范围；
（2）设四边形 的面积为 ，当 最大时，求直线 与直线 的交点 的坐标.
22．在直角坐标系中，已知圆 ，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线 平分圆M的周长.
① 在 上单调递增；
②
③ 在 上没有零点；
④ 在 上只有一个零点.
其中所有正确结论的编号是（）
A．②④B．①③C．②③D．①②④
第II卷（非选择题)
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分
二、填空题
13．已知两个单位向量 满足 ，则向量 与 的夹角为_____________.
14．设 是公差不为0的等差数列 的前n项和，且 ，则 ______.
故当 时， ，
于是有 ，
则 .
故选：C
【点睛】
本题主要考查二项式展开式的通项和系数问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
5．A
【解析】
【分析】
根据两个已知条件求出数列的公比和首项，即得 的值.
【详解】
设等比数列 的公比为q.
由 ，得 ，解得 或 .
因为 .且数列 递增，所以 .
又 ，解得 ，
故 .
绝密★启用前
2020届广西南宁市高三一模摸底数学（理科)试题
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
题号
一
二
三
总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题)
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人
得分
一、单选题
1．已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2﹣4x﹣5＜0}，则A∩B＝（ ）
A． B． C． D．
9．执行如图所示的程序框图，若输出的 ，则①处应填写（）
A． B． C． D．
10．已知点 为双曲线 的右焦点，直线 与双曲线交于A，B两点，若 ，则 的面积为（）
A． B． C． D．
11．已知函数 ，则不等式 的解集为（）
A． B． C． D．
12．已知 ，函数 在区间 内没有最值，给出下列四个结论：
8．C
【解析】
【分析】
分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 ,再利用向量法求异面直线EF与BD所成角的余弦值.
，
故选：D.
【点睛】
本题考查集合的交集运算，属于基础题.
2．D
【解析】
【分析】
先化简得 再求 得解.
【详解】
所以 .
故选：D
【点睛】
本题主要考查复数的运算和模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
3．A
【解析】
【分析】
通过方差公式分析可知方差没有改变，中位数、众数和平均数都发生了改变.
【详解】
4．若 的展开式中 的系数为150，则 （）
A．20B．15C．10D．25
5．设递增的等比数列 的前n项和为 ，已知 ， ，则 （）
A．9B．27C．81D．
6．已知函数 的图象在点 处的切线方程是 ，则 （）
A．2B．3C．-2D．-3
7．函数 的部分图象大致为（）
A． B． C． D．
8．如图， 平面ABCD，ABCD为正方形，且 ，E，F分别是线段PA，CD的中点，则异面直线EF与BD所成角的余弦值为（）
由题可知，中位数和众数、平均数都有变化.
本次和上次的月考成绩相比，成绩和平均数都增加了50，所以 没有改变，
根据方差公式 可知方差不变.
故选：A
【点睛】
本题主要考查样本的数字特征，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
4．C
【解析】
【分析】
通过二项式展开式的通项分析得到 ，即得解.
【详解】
由已知得 ，
15．已知 ， 分别是椭圆 ： （ ）的左、右焦点，过左焦点 的直线与椭圆 交于 、 两点，且 , ，则椭圆的离心率为__________．
16．如图，在长方体 中， ，E，F，G分别为 的中点,点P在平面ABCD内，若直线 平面EFG，则线段 长度的最小值是________________.
评卷人
（1）求圆M的半径和圆M的极坐标方程；
（2）过原点作两条互相垂直的直线 ，其中 与圆M交于O，A两点， 与圆M交于O，B两点，求 面积的最大值.
23．已知正实数 满足 .
（1）求 的最小值.
（2）证明：
参考答案
1．D
【解析】
【分析】
解一元二次不等式化简集合 ,再由集合的交集运算可得选项.
【详解】
因为集合
A．{﹣2，﹣1，0}B．{﹣1，0，1，2}C．{﹣1，0，1}D．{0，1，2}
2．若复数z满足 ，则 （）
A． B． C． D．
3．某校8位学生的本次月考成绩恰好都比上一次的月考成绩高出50分，则以该8位学生这两次的月考成绩各自组成样本，则这两个样本不变的数字特征是（）
A．方差B．中位数C．众数D．平均数
三、解答题
17．为了检测某种零件的一条生产线的生产过程，从生产线上随机抽取一批零件，根据其尺寸的数据得到如图所示的频率分布直方图，若尺寸落在区间 之外，则认为该零件属“不合格”的零件，其中 ,s分别为样本平均数和样本标准差，计算可得 （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.
（1）求样本平均数的大小；
7．A
【解析】
【分析】
先由函数解析式可得函数 为奇函数，再结合奇函数图像的性质逐一检验即可得解.
【详解】
解：由已知可得函数 的定义域为 ，且 ，则函数 为奇函数，则函数 的图象应该关于原点对称，排除C和D，当 时， ，排除B，故A正确.
故选：A.
【点睛】
本题考查了函数的奇偶性，重点考查了奇函数的性质，属基础题.
故选：A
【点睛】
本题主要考查等比数列的通项和求和公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
6．B
【解析】
【分析】
根据 求出 再根据 也在直线 上，求出b的值，即得解.
【详解】
因为 ，所以
所以 ，
又 也在直线 上，
所以 ，
解得
所以 .
故选：B
【点睛】
本题主要考查导数的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
（2）若一个零件的尺寸是100cm，试判断该零件是否属于“不合格”的零件.
18．如图，在三棱柱 中， 平面ABC.
（1）证明：平面 平面
（2）求二面角 的余弦值.
19． 分别为 的内角 的对边.已知 .Fra bibliotek（1）若 ，求 ；
（2）已知 ，当 的面积取得最大值时，求 的周长.
20．已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）若函数 在区间 上的最小值为 ，求m的值.
21．如图，已知抛物线 ： 与圆 ： （ ）相交于 ， ， ， 四个点，
（1）求 的取值范围；
（2）设四边形 的面积为 ，当 最大时，求直线 与直线 的交点 的坐标.
22．在直角坐标系中，已知圆 ，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线 平分圆M的周长.
① 在 上单调递增；
②
③ 在 上没有零点；
④ 在 上只有一个零点.
其中所有正确结论的编号是（）
A．②④B．①③C．②③D．①②④
第II卷（非选择题)
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分
二、填空题
13．已知两个单位向量 满足 ，则向量 与 的夹角为_____________.
14．设 是公差不为0的等差数列 的前n项和，且 ，则 ______.
故当 时， ，
于是有 ，
则 .
故选：C
【点睛】
本题主要考查二项式展开式的通项和系数问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
5．A
【解析】
【分析】
根据两个已知条件求出数列的公比和首项，即得 的值.
【详解】
设等比数列 的公比为q.
由 ，得 ，解得 或 .
因为 .且数列 递增，所以 .
又 ，解得 ，
故 .
绝密★启用前
2020届广西南宁市高三一模摸底数学（理科)试题
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
题号
一
二
三
总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题)
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人
得分
一、单选题
1．已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2﹣4x﹣5＜0}，则A∩B＝（ ）
A． B． C． D．
9．执行如图所示的程序框图，若输出的 ，则①处应填写（）
A． B． C． D．
10．已知点 为双曲线 的右焦点，直线 与双曲线交于A，B两点，若 ，则 的面积为（）
A． B． C． D．
11．已知函数 ，则不等式 的解集为（）
A． B． C． D．
12．已知 ，函数 在区间 内没有最值，给出下列四个结论：
8．C
【解析】
【分析】
分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 ,再利用向量法求异面直线EF与BD所成角的余弦值.
，
故选：D.
【点睛】
本题考查集合的交集运算，属于基础题.
2．D
【解析】
【分析】
先化简得 再求 得解.
【详解】
所以 .
故选：D
【点睛】
本题主要考查复数的运算和模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
3．A
【解析】
【分析】
通过方差公式分析可知方差没有改变，中位数、众数和平均数都发生了改变.
【详解】
4．若 的展开式中 的系数为150，则 （）
A．20B．15C．10D．25
5．设递增的等比数列 的前n项和为 ，已知 ， ，则 （）
A．9B．27C．81D．
6．已知函数 的图象在点 处的切线方程是 ，则 （）
A．2B．3C．-2D．-3
7．函数 的部分图象大致为（）
A． B． C． D．
8．如图， 平面ABCD，ABCD为正方形，且 ，E，F分别是线段PA，CD的中点，则异面直线EF与BD所成角的余弦值为（）
由题可知，中位数和众数、平均数都有变化.
本次和上次的月考成绩相比，成绩和平均数都增加了50，所以 没有改变，
根据方差公式 可知方差不变.
故选：A
【点睛】
本题主要考查样本的数字特征，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
4．C
【解析】
【分析】
通过二项式展开式的通项分析得到 ，即得解.
【详解】
由已知得 ，
15．已知 ， 分别是椭圆 ： （ ）的左、右焦点，过左焦点 的直线与椭圆 交于 、 两点，且 , ，则椭圆的离心率为__________．
16．如图，在长方体 中， ，E，F，G分别为 的中点,点P在平面ABCD内，若直线 平面EFG，则线段 长度的最小值是________________.
评卷人
（1）求圆M的半径和圆M的极坐标方程；
（2）过原点作两条互相垂直的直线 ，其中 与圆M交于O，A两点， 与圆M交于O，B两点，求 面积的最大值.
23．已知正实数 满足 .
（1）求 的最小值.
（2）证明：
参考答案
1．D
【解析】
【分析】
解一元二次不等式化简集合 ,再由集合的交集运算可得选项.
【详解】
因为集合
A．{﹣2，﹣1，0}B．{﹣1，0，1，2}C．{﹣1，0，1}D．{0，1，2}
2．若复数z满足 ，则 （）
A． B． C． D．
3．某校8位学生的本次月考成绩恰好都比上一次的月考成绩高出50分，则以该8位学生这两次的月考成绩各自组成样本，则这两个样本不变的数字特征是（）
A．方差B．中位数C．众数D．平均数