弦长公式例题

弦长公式

若直线b kx y l +=:与圆锥曲线相交与A 、B 两点，),(),,2211y x B y x A （则 弦长221221)()(y y x x AB -+-=

221221)()(kx kx x x -+-= 2121x x k -+= 2122124)(1x x x x k -++=

例题1：已知直线1+=x y 与双曲线14

:2

2=-y x C 交于A 、B 两点，求AB 的弦长 解：设),(),,2211y x B y x A （ 由⎪⎩

⎪⎨⎧=-+=14122y x x y 得224(1)40x x -+-=得23250x x --= 则有⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧-==+35322121x x x x 得， 23

83209424)(1212212=+=-++=x x x x k AB 练习1：已知椭圆方程为1222=+y x 与直线方程2

1:+=x y l 相交于A 、B 两点，求AB 的弦长

解：设 ),(),,2211y x B y x A （ 联立方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=12

2122y x x y 得03462=-+x x 则⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧-=-=+21

322121x x x x 3

112)21(4)32(24)(12212212=-⨯--=-++=∴x x x x k AB

练习2：设抛物线x y 42=截直线m x y +=2所得的弦长AB 长为53，求m 的值 分析：联立直线与抛物线的方程，化简，根据根与系数的关系，求弦长 解: 设),(),,2211y x B y x A （ 联立方程:⎩⎨⎧+==m

x y x y 242得0)44(422=+-+m x m x

则⎪⎩

⎪⎨⎧=-=+412

2121m x x m x x 53)1(54)(122212212=--=-++=m m x x x x k AB

4-=∴m

例题2：已知抛物线32+-=x y 上存在关于直线0=+y x 对称相异的两点A 、B ，求弦长AB

分析：A 、B 两点关于直线0=+y x 对称，则直线AB 的斜率与已知直线斜率的积为1-且AB 的中点在已知直线上

解：B A 、 关于0:=+y x l 对称 1-=⋅∴AB l k k 1-=l k 1=∴AB k

设直线AB 的方程为b x y += ，),(),,2211y x B y x A （

联立方程⎩⎨⎧+-=+=32

x y b

x y 化简得032=-++b x x

121-=+∴x x AB ∴中点)21

,21(b M +--在直线0=+y x 上

1=∴b 022=-+∴x x

则 ⎩⎨⎧-=-=+21

2121x x x x

238)1(24)(12212212=+-=-++=∴x x x x k AB