第一讲定解问题优秀课件
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（Gauss）公式得
由于时间间隔[t1,t2]及区域V是任意的，且被 积函数是连续的，因此在任何时刻t，在Ω内
任意一点都有
t1 t2V c u t x k u x y k u y z k u z d v d t 0 .
(1.2.6)
第一讲定解问题
第一章 绪论
第一节 引言
1. 数理方程发展历史、与其他学科的关系、研 究现状
2. 数理方程及其定解问题的求解方法 经典解、数值解、广义解。
第二节 基本概念
微分方程：含有未知函数的导数或微分的等式
分类
按自变量的个数，分为常微分方程和偏微分 方程；
按未知函数及其导数的次数，分为线性微分 方程和非线性微分方程；线性微分方程按未 知函数及其导数的系数是否变化分为常系数 和变系数微分方程，按自由项是否为零分为 齐次方程和非齐次方程；
第三节 三类典型方程的导出
一、 波动方程 均匀弦的微小横振动方程 推广
二、热传导方程 热传导方程 推广
三、 稳定场方程
一、 波动方程的建立
例1、弦的振动
条件：均匀柔软有弹性的细弦，受初始小扰动在平 衡位置附近做振幅极小的横振动。不受外力影响。 研究对象：u ( x , t ) 线上某点在 t 时刻沿纵向的位移。
简化假设：
(1)弦是柔软的，弦上的任意一点的张力沿弦的切线方向。 (2)振幅极小， 张力与水平方向的夹角很小。
牛顿运动定律：
横向： Tco s T'co s'
纵向： T s in T 's in'g d s m ay
其中：cos1cos'1
sin tan u(x,t)
x
sin ' tan ' u(x dx,t)
需的热量为
Q 2 Vc[ u ( x ,y ,z ,t1 ) u ( x ,y ,z ,t2 ) ] d v t1 t2Vc u td v d t
其中k=k(x, y, z)是物体在M(x, y, z)处
的热传导系数，取正值。我们规定
外法线方向n所指的那一侧为dS的正
侧。上式中负号的出现是由于热量
令：a 2
T
2tu2 a2
u2 x2
g………一维波动方程
自由项 ------非齐次方程
忽略重力作用：
2u t2
a2
u2 x2
------齐次方程
t
设作用在该弧段上的外力密度函数为 F (x,t) ，那
末该弧段 M M 在时刻 t 所受沿轴方向的外力近
似地等于 F(x,t)x. ，于是纵向方程为
三者成正比, 即
dQk udSdt, n
对于Ω内任一封闭曲面S，设其所包围的空间
t 区域为V，那么从时刻t1到时刻 2经曲面S流出的热
量为
Q1
t2 t1
S
k udSdt n
设物体的比热为c(x, y, z)，密度为ρ(x, y, z)，则在
区域V内，温度由u(x, y, z, t1)变化到u(x, y, z, t2)所
T ( u ( x x ,t) u ( x ,t) ) F ( x ,t) x u x ,
x
x
tt
由微分中值定理得
T u ( x x ,t) x F ( x ,t) x u x 0,1.
x x
tt
消去 x , 并取x0极限得
Tu(x,t)F(x,t)u,
xx
tt
即 ua2u f(x,t),0xL,t0,
方程(1.2.6)称为非均匀的各向同性体的热传
导方程，如果物体是均匀的，此时k, c及ρ均
为常数
c u t x k u x y k u y z k u z .
二、热传导问题
所谓热传导就是由于物体内 部温度分布的不均匀, 热量要 从物体内温度较高的点处流 向温度较低的点处. 热传导问 题归结为求物体内部温度分 布规律
三维热传导方程的导出
设物体在Ω内无热源. 在Ω中任取一闭曲面 S， 以函数u(x, y,z,t )表示物体在t 时刻, M = M (x, y,z ) 处的温度. 根据Fourier 热传导定律, 在无穷小时段dt 内流过物体的一个无穷小面 积dS 的热量dQ 与时间dt 、曲面面积dS 以及 物体温度u 沿曲面dS 的外法线n 的方向导数
按方程中未知函数导数的最高阶数，分为一 阶、二阶和高阶微分方程。
微分方程的基本概念例题
ut 4uxx5x , 二阶线性非齐次偏微分方程 y"pyqy0, 二阶线性齐次常微分方程
y'a22yxlnx , 一阶线性非齐次常微分方程
utt 4uxx5f (x,t) , 二阶线性非齐次偏微分方程 3yy"xy'2y2x2 , 二阶非线性非齐次常微分方程 x2u2y2u2z2u2 0, 二阶线性齐次偏微分方程
由温度高的地方流向温度低的地方。
故当 u 0
时，
பைடு நூலகம்
n
向-n方向流去。
热量实际上是
根据热量守恒定律，有
Q2 Q1
即
Vc[u (x ,y ,z ,t1 ) u (x ,y ,z ,t2 )]d vt1 t2Sk u n d S d t
假设函数u(x, y, z, t)关于x, y, z具有二阶连续偏导 数，关于t具有一阶连续偏导数，那么由高斯
x
M'
T'
'
M
gds
T
x
x dx x
T T'
其中： m d s
T u(x xdx,t)u (x x,t) gdsm a
2u (x,t) a t2
ds dx
T u (x x d x ,t) u (x x ,t) g d x 2 u ( tx 2 ,t)d x
tt
xx
推广: 三维情况--位移u成为空间变量x,y,z 和时间t的函数, 忽略外力作用, 此时方 程
u t t ( x , y , z ， t ) T ( u x x u y y u z z )
u t t ( r , t ) T u u t t ( r , t ) a 2 u
其中： u (x x d x ,t) u (x x ,t) x u (x x ,t) d x 2 u ( x x 2 ,t)d x
Tu 2(xx2,t)gdx2u(tx2,t)dx
Tu 2x (x2,t)gdx2u (tx 2,t)dx
T u2x(x2,t)g2u(tx2,t)
由于时间间隔[t1,t2]及区域V是任意的，且被 积函数是连续的，因此在任何时刻t，在Ω内
任意一点都有
t1 t2V c u t x k u x y k u y z k u z d v d t 0 .
(1.2.6)
第一讲定解问题
第一章 绪论
第一节 引言
1. 数理方程发展历史、与其他学科的关系、研 究现状
2. 数理方程及其定解问题的求解方法 经典解、数值解、广义解。
第二节 基本概念
微分方程：含有未知函数的导数或微分的等式
分类
按自变量的个数，分为常微分方程和偏微分 方程；
按未知函数及其导数的次数，分为线性微分 方程和非线性微分方程；线性微分方程按未 知函数及其导数的系数是否变化分为常系数 和变系数微分方程，按自由项是否为零分为 齐次方程和非齐次方程；
第三节 三类典型方程的导出
一、 波动方程 均匀弦的微小横振动方程 推广
二、热传导方程 热传导方程 推广
三、 稳定场方程
一、 波动方程的建立
例1、弦的振动
条件：均匀柔软有弹性的细弦，受初始小扰动在平 衡位置附近做振幅极小的横振动。不受外力影响。 研究对象：u ( x , t ) 线上某点在 t 时刻沿纵向的位移。
简化假设：
(1)弦是柔软的，弦上的任意一点的张力沿弦的切线方向。 (2)振幅极小， 张力与水平方向的夹角很小。
牛顿运动定律：
横向： Tco s T'co s'
纵向： T s in T 's in'g d s m ay
其中：cos1cos'1
sin tan u(x,t)
x
sin ' tan ' u(x dx,t)
需的热量为
Q 2 Vc[ u ( x ,y ,z ,t1 ) u ( x ,y ,z ,t2 ) ] d v t1 t2Vc u td v d t
其中k=k(x, y, z)是物体在M(x, y, z)处
的热传导系数，取正值。我们规定
外法线方向n所指的那一侧为dS的正
侧。上式中负号的出现是由于热量
令：a 2
T
2tu2 a2
u2 x2
g………一维波动方程
自由项 ------非齐次方程
忽略重力作用：
2u t2
a2
u2 x2
------齐次方程
t
设作用在该弧段上的外力密度函数为 F (x,t) ，那
末该弧段 M M 在时刻 t 所受沿轴方向的外力近
似地等于 F(x,t)x. ，于是纵向方程为
三者成正比, 即
dQk udSdt, n
对于Ω内任一封闭曲面S，设其所包围的空间
t 区域为V，那么从时刻t1到时刻 2经曲面S流出的热
量为
Q1
t2 t1
S
k udSdt n
设物体的比热为c(x, y, z)，密度为ρ(x, y, z)，则在
区域V内，温度由u(x, y, z, t1)变化到u(x, y, z, t2)所
T ( u ( x x ,t) u ( x ,t) ) F ( x ,t) x u x ,
x
x
tt
由微分中值定理得
T u ( x x ,t) x F ( x ,t) x u x 0,1.
x x
tt
消去 x , 并取x0极限得
Tu(x,t)F(x,t)u,
xx
tt
即 ua2u f(x,t),0xL,t0,
方程(1.2.6)称为非均匀的各向同性体的热传
导方程，如果物体是均匀的，此时k, c及ρ均
为常数
c u t x k u x y k u y z k u z .
二、热传导问题
所谓热传导就是由于物体内 部温度分布的不均匀, 热量要 从物体内温度较高的点处流 向温度较低的点处. 热传导问 题归结为求物体内部温度分 布规律
三维热传导方程的导出
设物体在Ω内无热源. 在Ω中任取一闭曲面 S， 以函数u(x, y,z,t )表示物体在t 时刻, M = M (x, y,z ) 处的温度. 根据Fourier 热传导定律, 在无穷小时段dt 内流过物体的一个无穷小面 积dS 的热量dQ 与时间dt 、曲面面积dS 以及 物体温度u 沿曲面dS 的外法线n 的方向导数
按方程中未知函数导数的最高阶数，分为一 阶、二阶和高阶微分方程。
微分方程的基本概念例题
ut 4uxx5x , 二阶线性非齐次偏微分方程 y"pyqy0, 二阶线性齐次常微分方程
y'a22yxlnx , 一阶线性非齐次常微分方程
utt 4uxx5f (x,t) , 二阶线性非齐次偏微分方程 3yy"xy'2y2x2 , 二阶非线性非齐次常微分方程 x2u2y2u2z2u2 0, 二阶线性齐次偏微分方程
由温度高的地方流向温度低的地方。
故当 u 0
时，
பைடு நூலகம்
n
向-n方向流去。
热量实际上是
根据热量守恒定律，有
Q2 Q1
即
Vc[u (x ,y ,z ,t1 ) u (x ,y ,z ,t2 )]d vt1 t2Sk u n d S d t
假设函数u(x, y, z, t)关于x, y, z具有二阶连续偏导 数，关于t具有一阶连续偏导数，那么由高斯
x
M'
T'
'
M
gds
T
x
x dx x
T T'
其中： m d s
T u(x xdx,t)u (x x,t) gdsm a
2u (x,t) a t2
ds dx
T u (x x d x ,t) u (x x ,t) g d x 2 u ( tx 2 ,t)d x
tt
xx
推广: 三维情况--位移u成为空间变量x,y,z 和时间t的函数, 忽略外力作用, 此时方 程
u t t ( x , y , z ， t ) T ( u x x u y y u z z )
u t t ( r , t ) T u u t t ( r , t ) a 2 u
其中： u (x x d x ,t) u (x x ,t) x u (x x ,t) d x 2 u ( x x 2 ,t)d x
Tu 2(xx2,t)gdx2u(tx2,t)dx
Tu 2x (x2,t)gdx2u (tx 2,t)dx
T u2x(x2,t)g2u(tx2,t)