北师大版第一章三角形的证明复习学案

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初中数学_三角形证明的复习教学设计学情分析教材分析课后反思

北师大版初中数学八下第一章《三角形的证明复习课》教学设计北师大版初中数学八年级下册第一章三角形的证明复习课第一课时一、学生学情分析学生在本章学习并证明完成了全部8条基本事实，并学习了三类特殊的三角形------等腰三角形，等边三角形，直角三角形。

通过对这三类三角形性质和判定的探索与证明积累了一定的探索经验，并继续深入学习证明的方法和格式；多数学生已经了解证明的必要性，具备了证明命题是否成立的探索经验的基础.同时已经具备了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力.再将文字语言与图形语言，符号语言转换方面也有了很大提升。

八年级学生已有合情推理，慢慢的侧重于演绎推理，在经历了对八条基本事实时的探究，证明过程中，积累了更多的活动经验。

在学习了本章后，无论是对证明的必要性的体会，对证明严谨性以及证明思路的多样性上都有了长足的进步。

具备自己整理知识，进行知识梳理，逐渐将学习内容纳入知识体系的能力。

二、教学任务分析教科书要求教学活动中应注重让学生体会到证明是原有探索活动的自然延续和必要发展，引导学生从问题出发，根据观察、试验的结果，发现证明的思路.经过一个阶段的学习，有必要对有关知识进行回顾与思考，引导学生回顾总结本章学习的主要内容及其蕴含的数学思想，并思考这些内容获得的过程，帮助学生逐步构建知识体系，养成回顾与反思的学习习惯。

本节课的教学目标是：1．知识目标：在回顾与思考中建立本章的知识框架图，复习有关定理的探索与证明，证明的思路和方法，尺规作图等.2．能力目标：进一步体会证明的必要性，发展学生的初步的演绎推理能力；进一步掌握综合法的证明方法，结合实例体会反证法的含义；提高学生用规范的数学语言表达论证过程的能力.3．情感价值观要求通过积极参与数学学习活动，对数学的证明产生好奇心和求知欲，培养学生合作交流的能力，以及独立思考的良好学习习惯.4．重点与难点重点：1.构建本章知识内容框架，发现其中关联2.通过对典型例题的讲解和课堂练习对所学知识进行复习巩固难点：是本章知识的综合性应用对学生来讲是难点。

(完整版)八年级数学下册第一章三角形证明复习导学案1(新版)北师大版

学习目标第一章三角形的证明 1、掌握等腰三角形、直角三角形的性质及其应用；2、进一步理解互逆命题之间的关系。

知识点一：等腰三角形的性质：等边对等角1、如图1所示，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 在AC 上，且BD ＝BC ＝AD ，那么∠A等于()A ．30°B ．40°C ．45°D ．36°知识点二：等腰三角形“三线合一〞2、在等腰△ABC 中，AB=AC,AD 是BC 边上的高，那么 BD=_________.3、如图2,在△ABC 中,∠BAC=108°，AB=AC,AD⊥B C,垂足为D,∠BAD=_________.知识点三：等腰三角形的判定：等角对等边4、如图3，在等腰梯形 ABCD 中，∠ABC＝2∠ACB，BD 平分∠ABC，AD∥图 12BC ，如下图，那么图中的等腰三角形有()A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个5、一个等腰三角形腰上的高与另一腰的夹角为45°，顶角的度数自图3为________________.知识点四：直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半6、在Rt △ABC 中，∠A=30°，AB=6，BC=_____________.导7、在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB+BC=12cm ，那么AB=_______________.学知识点五：互逆命题8、全等三角形的面积相等,那么其逆命题是()A ．不全等三角形的面积不相等B ．面积不相等的两个三角形不全等C ．面积相等的两个三角形全等D ．全等三角形的面积相等知识点六：直角三角形全等的判定定理：HL 9、如图,四边形ABCD 中,CD ⊥AD ，CB ⊥AB ，AB=AD,求证:CD=CB.1.以下命题的逆命题不正确的选项是( )A.直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方B.两直线平行，内错角相等C.等腰三角形的两个底角相等D. 对顶角相等2.如图，等腰三角形ABC，AB＝AC，假设以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，那么以下结论一定正确的选项是( )A．AE＝ECB．AE＝BE C．∠EBC＝∠BAC D．∠EBC＝∠ABE巩 3.某城市几条道路的位置关系如右以下图所示，AB∥CD，AE与AB固的夹角为48°，假设CF与EF的长度相等，那么∠C的度数为()A．48°B．40°C．30°D．24°作4.如图，0是∠BAC内一点，且点0到AB，AC的距离OE＝0F，那么业AE0≌△AF0的依据是5.在△ABC中，AB=AC,∠C=30°，AB⊥AD，AD=4cm，求BC的长.6.如图，在△ABC中，AB=AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于D，CE⊥DE于点E；假设B、C在DE的同侧〔如下图〕且AD=CE．求证：AB⊥AC.如图，M为△ABC边BC的中点，ME⊥AB于E，MF⊥AC于F．①当AB=AC时，求证：ME=MF②假设ME=MF，试判断AB与AC的大小关系，并证明你的结论．。

北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明1.2.1直角三角形(教案)

3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了直角三角形的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对直角三角形的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
-直角三角形的斜边上的中线性质及其在解决问题中的应用。
-实际问题中直角三角形的识别和运用勾股定理解决方法。
举例：讲解直角三角形的判定方法时，可以列举一些常见的直角三角形图形，如等腰直角三角形、含30°或60°角的直角三角形等，强调如何快速识别直角三角形。
2.教学难点
-难点内容：勾股定理的理解和应用，直角三角形的斜边上的高的计算。
-难点解析：
-勾股定理的理解：学生需要理解定理背后的几何关系和代数表达，以及如何在实际问题中灵活运用。
-直角三角形的斜边上的高的计算：学生需要掌握如何利用直角三角形的性质和勾股定理来求解斜边上的高。
-问题解决中的难点：将实际问题抽象为直角三角形问题，以及如何选择合适的数学方法解决问题。
举例：
-勾股定理的应用难点：可以设计一些复杂的实际问题，如测量距离、计算斜边长度等，指导学生如何将问题转化为直角三角形的边长计算。
同学们，今天我们将要学习的是《直角三角形》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过直角三角形的情况？”比如，我们常见的红领巾，它的形状就是一个直角三角形。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索直角三角形的奥秘。
在实践活动中，学生们通过测量和计算，亲自验证了勾股定理，这样的教学方式有助于加深学生对定理的理解。但同时，我也注意到操作过程中部分学生存在粗心大意的问题，导致计算结果出现偏差。在以后的教学中，我要加强学生对细节的关注，培养他们的耐心和细致。

北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明复习课教学设计

-三角形的基本性质和判定方法的理解与应用。
-三角形证明方法的掌握，尤其是几何证明和代数证明的综合运用。
-能够运用三角形的相关定理解决实际问题，如计算面积、求解角度等。
2.教学难点：
-理解并灵活运用三角形证明中的逻辑推理过程。
-将实际问题转化为数学模型，运用三角形知识进行解决。
-对不同类型题目中三角形性质的识别和应用。
-布置一次家庭作业，让学生在家中寻找含有三角形的物体，并运用所学知识进行分析和解释，培养学生的观察能力和实践能力。
5.反思与总结：
-要求学生针对本次作业的完成情况，进行自我反思，总结在三角形证明方面的优点和不足，为后续学习制定合理的计划。
-教师对学生的作业进行批改和评价，给予针对性的指导和建议，帮助学生提高。
-逐步引导学生掌握三角形的判定方法，并运用到具体题目中。
-介绍三角形证明方法，结合具体例题，讲解证明步骤和技巧。
（三）学生小组讨论
1.教学活动设计：
-将学生分成小组，每组选择一个三角形证明的例题进行讨论。
-学生在讨论过程中，互相分享解题思路，共同探讨证明方法。
2.教学目标：
-培养学生的合作意识和团队精神，提高交流表达能力。
-让学生通过讨论，加深对三角形证明方法的理解，提高解题能力。
（四）课堂练习
1.教学内容：
-设计不同难度和类型的三角形证明题目，让学生在课堂上进行练习。
-针对学生的解答，给予及时的反馈和指导，帮助学生纠正错误，巩固知识点。
2.教学过程：
-学生独立完成练习题，教师巡回指导，关注学生的解题过程。
-对典型错误进行剖析，引导学生找出错误原因，提高解题技巧。
-完成课后拓展阅读，了解三角形在数学竞赛中的应用，拓宽知识视野。

北师大版数学八年级上册第1章全等三角形学案

12.1 全等三角形学习目标1、了解全等三角形的有关概念，理解并掌握全等三角形的性质；2、能够准确辩认全等三角形的对应元素（对应顶点、对应边、对应角）学习重点：全等三角形性质的应用及准确辩认全等三角形的对应边、对应角.学习难点：理解全等三角形边、角之间的对应关系学法指导：观察思考，动手操作，参与概念的形成过程学习过程一、学前准备1、对于两条线段或两个角来说：如果它们的大小相等，那么放在一起能够；如果它们放在一起能够重合，那么它们的大小 .2、生活中的图片讨论：(1)从上面的片断中你有什么感受?(2)你能再举出生活中的一些类似例子吗?二、合作探究1、全等形、全等三角形的有关概念（1）观察思考：每组中的两个图形有什么特点？（形状，大小 .）①②③（2）请再举出类似的例子（至少3个）.（3）由此，你发现上述图形的共同特征是：完全相同——放在一起能够 .（4）进而得出概念：叫做全等形.类似的，叫做全等三角形.2. 对应顶点，对应边和对应角用半透明的纸描绘下图中左边的△ABC，然后按要求在三个图中依次操作．体验“平移、翻折、旋转前后的两个图形全等”．你发现变换前后的两个三角形有什么关系？结论：一个图形经过平移、翻折、旋转后，变化了，但、都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形。

（1）把两个全等三角形重合在一起，叫做对应顶点，叫做对应边，叫做对应角.（2）△ABC与△DEF全等，记作△ABC △DEF,读作△ABC △DEF.（注意：记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置.）3、全等三角形的性质（1）把你自制的一对全等三角形纸片重合，你发现对应边、对应角有什么关系？（2）全等三角形的性质.全等三角形的相等；全等三角形的相等（3）如图，△ABC与△ADC全等，请用数学符号表示出这两个三角形全等，并写出相等的边和角.AC4、确定全等三角形的对应边、对应角（1）如图，将△ABC沿直线BC平移得到△DEF.B C E F那么，对应顶点是，对应边是，对应角是 .（3）确定全等三角形的对应边、对应角还有哪些规律？三、巩固练习1、教科书P32练习1.2、教科书P32练习2.四、课堂小结1. 这节课在动手实际操作中，得到了全等三角形的哪些知识？2. 找全等三角形对应元素的方法有哪些？五、当堂清1、下列说法：①全等三角形的对应边相等，对应角相等；②全等三角形的周长相等，面积也相等；③面积相等的三角形是全等三角形；④周长相等的三角形是全等三角形，正确的说法是（）A ②③B ③④C ①②D ①②③2、△ABC≌△DEF，∠A的对应角是∠D，∠B的对应角∠E，则∠C与_______是对应角；AB与_______是对应边，BC与_______是对应边，AC与_______是对应边.3、如图△ ABD ≌△CDB，若AB=4，AD=5，BD=6，求BC、CD的长.参考答案：1.C 2. ∠F，DE，EF，DF 3.5,4六、学习反思12.2.1 利用三边判定三角形全等学习目标1、理解三角形全等的“边边边”的条件，并利用其解决问题；2、理解作一个角等于已知角的理由．学习重点：三角形全等条件的探索过程. 学习难点：寻找判定三角形全等的条件．学习过程：一、学习准备 1.全等三角形的定义2.全等三角形的性质．3.已知△ABC ≌△A ′B ′C ′，找出其中相等的边与角．C 'B 'A 'C BA二、合作探究探究一：先任意画一个△ABC ，再画一个△A'B'C'，使△ABC 与△A'B'C'，满足上述条件中的一个或两个．你画出的△A'B'C'与△ABC 一定全等吗?1．只给一个条件（一组对应边相等或一组对应角相等），•画出的两个三角形一定全等吗？只给定一条边时：只给定一个角时：2．给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况，每种情况下作出的三角形一定全等吗？分别按下列条件做一做．①三角形一内角为30°，一条边为3cm．②三角形两内角分别为30°和50°．③三角形两条边分别为4cm、6cm．探究二：给出三个条件画三角形，你能说出有几种可能的情况吗？归纳：有种可能．即：．先任意画出一个△A'B'C'，使A'B'＝AB，B'C'＝BC，C'A'＝CA，把画好的△A'B'C'剪下，放到△ABC上，它们全等吗?三、例题讲解例l，如下图△ABC是一个钢架，AB＝AC，AD是连接点A与BC中点D的支架，求证△ABD≌△ACD．ADB C尺规作图：已知：∠BAC．求作：∠B'A'C' ,使∠B'A'C'=∠BAC．四、巩固练习教科书P37练习1教科书P37练习2五、课堂小结1. 这节课在动手实际操作中，得到了全等三角形的哪些知识？2. 找全等三角形对应元素的方法有哪些？六、当堂清1.如图，ABC △中，AB AC =，EB EC =，则由“SSS ”可以判定（）Ａ．ABD ACD △≌△ Ｂ．ABE ACE △≌△ Ｃ．BDE CDE △≌△ Ｄ．以上答案都不对2.下列结论错误的是（）Ａ．全等三角形对应角所对的边是对应边Ｂ．全等三角形两条对应边所夹的角是对应角Ｃ．全等三角形是一种特殊三角形Ｄ．如果两个三角形都与另一个三角形全等，那么这两个三角形也全等3.小明用四根竹棒扎成如图所示的风筝框架，已知AB CD =，AD CB =，下列判断不正确的是（）(第3题) (第4题)A ．A C ∠=∠B ．ABC CDA ∠=∠ C ．ABD CDB ∠=∠ D ． ABD C ∠=∠4.如图，ABC △中，AB AC =，AE CF =，BE AF =，则E ∠=∠________，CAF ∠=∠__________． 5．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝60°，将△ABC 绕着点A 顺时针旋转40°后得到△ADE ，则∠BAE 的度数为__________．A CDBA EB D CABCDE6.如图，AB=DE，AC=DF，BF=EC，△ABC和△DEF全等吗？请说明理由．参考答案：1.B 2.C 3.D 4.F ABE 5. 100° 6.全等七、学习反思利用两边夹角判定三角形全等【学习目标】1、理解三角形全等“边角边”的内容．2、会运用“SＡS”识别三角形全等，为证明线段相等或角相等创造条件．3、经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、•归纳获得数学结论的过程．【重点】掌握一般三角形全等的判定方法SＡS【难点】运用全等三角形的判定方法解决证明线段或角相等的问题一,学前准备1. 回顾判定三角形全等的方法”SSS”二，探究活动活动1：探索三角形全等的条件1、如图，AC、BD相交于O，AO、BO、CO、DO的长度如图所标，△ABO和△CDO是否能完全重合呢？为什么？从上面的例子可以引起我们猜想：如果两个三角形有两边和它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等．2、上述猜想是否正确呢？不妨按上述条件画图并作如下的实验：(1)读句画图：①画∠DAE＝45°，②在AD、AE上分别取 B、C，使 AB＝3.1cm， AC＝2.8cm．③连结BC，得△ABC．④按上述画法再画一个△A＇B＇C＇．(2)把△A＇B＇C＇剪下来放到△ABC上，观察△A＇B＇C＇与△ABC是否能够完全重合？总结得出：相等的两个三角形全等(简称“边角边”或“SAS”)活动2 ：（全等三角形判定的简单应用）1、如图，已知AD∥BC，AD＝CB．求证：△ABC≌△CDA．（提示：要证明两个三角形全等，已具有两个条件，一是AD＝CB(已知)，二是___________，还能再找一个条件吗？可以小组交流后再完成）证明：2、如图，已知AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2．求证：△ABD≌ACE．（完成后小组交流展示，比比书写过程谁写得好）课堂练习1、已知：如图，AB＝AC，F、E分别是AB、AC的中点．求证：△ABE≌△ACF．2、已知：点A、F、E、C在同一条直线上， AF＝CE，BE∥DF，BE＝DF．求证：AB∥CD3、思考：如果“两边及其中一边的对角对应相等，那么这两个三角形全等吗？”画一画：三角形的两条边分别为4cm和3cm，长度为3cm的边所对的角为30度,画出这个三角形，把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，由此你发现了什么？利用两角一边判定三角形全等通过学生动手操作动脑思考等活动主动探索，发现规律；互动合作，解决问题学生动手画图、剪贴探索三角形全等的“角边角”判定方法及“角角边使用说明【学习目标】1．三角形全等的条件：角边角、角角边．2．三角形全等条件小结．3．掌握三角形全等的“角边角”“角角边”条件．4．能运用全等三角形的条件，解决简单的推理证明问题．【教学重点】已知两角一边的三角形全等探究．【教学难点】灵活运用三角形全等条件证明．【学习过程】一、复习回顾1、三角形全等的判定Ⅰ、三角形全等的判定II的内容是什么？2、判断两个三角形全等的推理过程，叫做________________.3、证明三角形全等的步骤：①准备条件：证全等时要用的间接条件要先证好；②书写证明三角形全等三步骤：⑴写出在哪两个三角形中⑵摆出三个条件用大括号括起来⑶写出全等结论③写出最终要证得的结论此步骤不是一成不变的，同学们应根据做题经验灵活掌握4、已知：如图，AB＝AC，F、E分别是AB、AC的中点．求证：△ABE≌△ACF．二、活动探究思考探究5的结果反映了什么规律？我们可以得出一个判定两个三角形全等的方法：__________________________________________（可以简写成“边角边”或者“________”[例1]如下图，D在AB上，E在AC上，AB=AC，∠B=∠C．求证：AD=AE．DCABE利用斜边、直角边判定直角三角形全等学习目标：掌握三角形全等的判定（5）HL 学习方法：自我学习，小组合作学习一、自主学习（一）复习小测1、如图，在□ABCD 中，BD 是对角线，AE⊥BD于E,CF⊥BD于F ，求证BE=DF.（二）阅读书本P35-P37，并思考下列几个问题.1、如图，已知Rt △ABC ，∠C=90°，求作Rt △C B A ''',使∠C '=90°， AB C B ='',AB B A ='',那么C B A Rt ABC Rt '''△与△全等吗？得出判定直角三角形全等的方法：的两个直角三角形全等.2、如图，已知AC ⊥BC,BD ⊥AD,AC=BD.求证BC=AD.二、研学释疑1、如图，BE,CD 是△ABC 的高，要证明△BCD ≌△CBE,还需增加一个条件，理由是，或增加一个条件，理由是 .2、书本P37，练习23、要将图中的∠MON 平分，小明设计了如下方案：在射线OM,ON 上分别取OA=OB,过点A 作DA ⊥OM 交ON 于D,过点B 作EB ⊥ON 交OM 于E,AD,EB 交于C,过点O,C 作射线OC,即为∠MON 的平分线，试说明这样做的理由.CBABACD三、实践探究1、在C B A Rt ABC Rt '''△与△中，∠C=∠C '=90°，下列条件中能判定两三角形全等的有（） ①C A AC ''=,∠A=∠A '； ②C A AC ''=，B A AB ''=； ③C A AC''=，C B BC ''= ； ④B A AB ''=,∠A=∠A '.A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2、如图，AD 是△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于F ，且有BF=AC,FD=CD. 求证：（1）△BFD ≌△ACD ；（2）BE ⊥AC.四、拓展延伸如图，在△ABC中，已知D 是BC 的中点，DE⊥AC，DF⊥AB ,垂足非别是E ，F ，DE=DF ，求证AB=AC.五、小结:HLFE DCBACOEDBNMA。

第一章三角形的证明 1.1等腰三角形 2课时导学案(最新北师大版)

1.1 等腰三角形第一课时一、课前准备：1、有的三角形叫做等腰三角形，相等的两边叫做，腰与底边的夹角叫做；的三角形是等边三角形。

2、公理、定理、证明公理：公认的称为公理。

定理：经过证明的称为定理。

证明：的过程称为证明。

3、证明的一般步骤是：根据题意；根据条件、结论，结合图形；经过分析，找出由已知推出求证的途径，。

对假命题的判断，只要举来证明即可。

二、学习目标：1、了解作为证明基础的几条公理、定理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式。

2、掌握等腰三角形的性质。

3、结合实例体会反正法的含义。

三、自学提示： 1、你知道吗？全等三角形的判定及性质（见课本P2想一想） 2、你发现了吗？（1）把探究1中剪出的△ABC 沿折痕AD 对折，根据得到的信息，填入右表：（2）从上表中你能发现等腰三角形的角有什么样的特点吗？底边上的中线，高线，顶角平分线有什么样的特点吗？（3）你能证明你所得到的结论吗？求证：等腰三角形的两个底角相等。

已知： ΔABC 中，AB=AC.求证： ∠B= ∠C.证明：.等腰三角形的性质：性质1 等腰三角形的两个底角（简写成“ ” ）；性质2 等腰三角形的顶角的、底边上的、底边上的相互。

【我是小翻译】请将等腰三角形性质（文字语言）“翻译”成图形和符号语言。

B五、夯实基础：1.等腰三角形一个底角为70°,它的顶角为______.2.等腰三角形的顶角为100°，它的底角为______.3.等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角为___________.4.等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为__________________.5.在△ABC 中，AB=AC ，∠1=∠2=55°，则BD=5，CD=____。

6.在△ABC 中，AB=AC ，BM=CM ，∠BAM=35°，则∠CAM=_____°，∠AMB=_____°。

北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明复习课(教案)

突破方法：通过多种类型的题目，让学生掌握不同面积计算方法的适用场景，提高学生的数学运算能力。
（4）综合应用能力的培养：学生在解决实际问题时，往往不知道如何运用三角形的知识进行分析和解决。
突破方法：设计一些与实际生活相关的题目，让学生学会将实际问题转化为三角形问题，培养学生的数据分析观念和创新能力。
四、教学流程
举例：分析不同题目中给出的条件，判断哪些条件可以应用哪种全等三角形的判定方法。
（3）等腰三角形的性质与判定：重点掌握等腰三角形的底角相等、底边中线、高、角平分线重合的性质，并能应用于解决问题。
举例：通过实际图形，让学生找出等腰三角形的性质，并利用这些性质解决相关问题。
（4）相似三角形的判定与性质：掌握相似三角形的判定方法，了解相似三角形的性质，如对应角相等、对应边成比例等。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调全等三角形的SSS、SAS等判定方法和相似三角形的性质。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与三角形证明相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用模型或纸片来演示全等和相似三角形的性质。
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要复习的是《三角形的证明》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要证明三角形全等或相似的情况？”比如，在制作家具或搭建模型时，我们经常需要确定两个三角形的全等关系。这个问题与我们将要复习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索三角形证明的奥秘。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要复习三角形全等和相似的基本概念。全等三角形是指在大小和形状上完全相同的两个三角形，而相似三角形是指形状相同但大小不一定相同的两个三角形。这些概念在解决几何问题时至关重要。

九年级数学下册：第一章直角三角形的边角关系复习教案(北师大版)

第1章直角三角形的边角关系课题回顾与思考教具目标(一)教学知识点1．经历回顾与思考，建立本章的知识框架图．2．利用计算器，发现同角的正弦、余弦、正切之间的关系。

3．进一步体会直角三角形边角关系在现实生活中的广泛应用．(二)能力训练要求1．体会数形之间的联系，逐步学会利用数形结合的思想分析问题和解决问题．2．进一步体会三角函数在现实生活中的广泛应用，增强应用数学的意识．(三)情感与价值观要求1．在独立思考问题的基础上，积极参与对数学问题的讨论，敢于发表自己的观点．并尊重与理解他人的见解，在交流中获益．2．认识到数学是解决现实问题的重要工具，提高学习数学的自信心．教学重点1．建立本章的知识结构框架图．2．应用三角函数解决现实生活中的问题，进一步理解三角函数的意义．教学难点应用三角函数解决问题教学方法探索——发现法教具准备多媒体演示、计算器教学过程Ⅰ．回顾、思考下列问题，建立本章的知识框架图[师]直角三角形的边角关系，是现实世界中应用广泛的关系之一．通过本章的学习，我们知道了锐角三角函数在解决现实问题中有着重要的作用．如在测量、建筑、工程技术和物理学中，人们常常遇到距离、高度、角度的计算问题，—般来说，这些实际问题的数量关系往往归结为直角三角形中边和角的关系．利用锐角三角函数解决实际问题是本章的重要内容，很多实际问题穿插于各节内容之中．[问题门举例说明，三角函数在现实生活中的应用．[生]例如：甲、乙两楼相距30 m，甲楼高40 m，自甲楼楼顶看乙楼楼顶．仰角为30°，乙楼有多高?(结果精确到1 m)解：根据题意可知：3乙楼的高度为30tn30°=40+30×3=40+103≈57(m)，即乙楼的高度约为57 m．[生]例如，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距180 m的P和Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正南方向，在Q南偏西50°的方向，求河宽(结果精确到1 m)．解：根据题意，∠TPQ＝90°，∠PQT=90°-50°＝40°，PQ＝180 m．则：PT就是所求的河宽．在Rt△TPQ中，PT=180×tan40°=180×0．839≈151 m，即河宽为151 m．[师]三角函数在现实生活中的应用很广泛，下面我们来看一个例子．多媒体演示如图．MN表示某引水工程的一段设计路线从M到N的走向为南偏东30°，在M的南偏东60°的方向上有一点A，以A为圆心，500 m为半径的圆形区域为居民区，取MN上的另一点B，测得BA 的方向为南偏东75°，已知MB＝400 m，通过计算回答，如果不改变方向，输水路线是否会穿过居民区?[师生共析]解：根据题意可知∠CMB=30°，∠CMA＝60°，∠EBA＝75°，MB=400 m，输水路线是否会穿过居民区，关键看A 到MN 的最短距离大于400 m 还是等于400 m ，于是过A 作AD ⊥MN ．垂足为D ．∵BE//MC ．∴∠EBD ＝∠CMB ＝30°．∴∠ABN=45°．∠AMD ＝∠CMA-∠CMB ＝60°-30°=30°．在Rt △ADB 中，∠ABD ＝45°，∴tan45°＝BD AD ，BD ＝︒45tan AD ＝AD ，在Rt △AMD 中．∠AMD=30°，tan30° =MD AD ，MD ＝︒30tan AD =3AD ， ∵MD=MD-BD ，即 3AD-AD ＝400， AD-200(3+1)m>400m ．所以输水路线不会穿过居民区．[师]我们再来看[问题2]任意给定一个角，用计算器探索这个角的正弦、余弦、正切之间的关系．例如∠α＝25°，sin α、cos α、tan α的值是多少?它们有何关系呢?[生]sin25°≈0．4226，cos25°≈0．9063，tan25°≈0．4663．而︒︒25cos 25sin ≈0．4663．我们可以发现ααcos sin ＝tan α． [师]这个关系是否对任意锐角都成立呢?我们不妨从三角函数的定义出发来推证一下．[师生共析]如图，在Rt △ABC 中． ∠C ＝90°，∵sinA ＝ABBC cosA ＝AB AC tanA ＝ACBC ， ∴ACBC AC AB AB BC AB AC AB BC A A =⋅=÷=cos sin =tanA, tanA=A A cos sin . 这就是说，对于任意锐角A ，∠A 的正弦与余弦的商等于∠A 的正切．[师]下面请同学们继续用计算器探索sin α，cos α之间的关系．[生]sin 225°≈0．1787,cos 225°≈0．8213，可以发现：sin 225°+cos 225°≈0．1787+0．8213＝1．[师]我们可以猜想任意锐角都有关系：sin 2α+cos 2α＝1，你能证明吗?[师生共析]如上图．sinA= AB BC ，cosA=ABAC sin 2A+cos 2A ＝2222222AB AC BC AB AC AB BC +=+，根据勾股定理，得BC 2+AC 2＝AB 2，∴sin 2A+cos 2A ＝1，这就是说,对于任意锐角A ，∠A 的正弦与余弦的平方和等于1．[师]我们来看一个例题，看是否可以应用上面的tanA 、sinA 、cosA 之间的关系．已知cosA=53，求sinA ．tanA ． [生]解：根据sin 2A+cos 2A ＝1．得sinA ＝.54)53(1cos 122=-=-A tanA=345354cos sin ==A A . [生]我还有另外一种解法,用三角函数的定义来解．解：∵cosA ＝.53=∠斜边的邻边A 设∠A 的邻边＝3k ．斜边＝5k ．则∠A 的对边＝.4)3()5(22k k k =-∴sinA=.5454==∠k k A 斜边的邻边 tanA=.3434==∠∠k k A A 的邻边的对边 [师]问题3：你能应用三角函数解决哪些问题?[生]锐角三角函数反映了直角三角形的边角关系．凡是属于直角三角形的问题或可以转化为直角三角形的问题，都可以用三角函数来解决．[师]我们知道在直角三角形中，除直角外，有两个锐角．两条直角边以及斜边共5个元素，它们之间的关系很丰富．如图：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ．(1)边的关系：a 2+b 2=c 2(勾股定理)：(2)角的关系：∠A+∠B ＝90； (3)sinA=c a ，cosA=c b ，tanA=b a ；sinB=c b ，cosB=c a ，tanB=ab ．利用三角形的全等和直角三角形全等，以及作图，我们知道：当一直角边和斜边确定时，直角三角形唯一确定，即直角三角形的一直角边和斜边已知，则直角三角形中其他元素都可以求出．同学们不妨试一试．[生]例如Rt △ABC 中，∠C ＝90°．a ＝4，c=8求b ，∠A 及∠B解：∵a ＝4，c ＝8，根据勾股定理可得 b=3422=-a c .∵sinA=c a =2184=， ∴∠A ＝30°．又∵∠A+∠B ＝90°，∴∠B ＝60°．[师]很好，是不是只要知道直角三角形除直角外的两个元素，其余元素就都可以求出呢?[生甲]可以．[生乙]不可以．例如Rt △ABC 中，∠c ＝90°，∠A ＝25°．∠B=65°．这样的直角三角形有无数多个，是不唯一确定的，所以其余的元素无法确定．[生丙]我认为已知直角三角形中除直角外的两个元素．其中至少有一个边，就可以求出其余元素．[师]很好，我们来做一个练习．多媒体演示：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别是∠A ，∠B 、∠C 的对边．(1)已知a ＝3，b ＝3，求C ，∠A ，∠B ．(2)已知b ＝5，c ＝10，求a ，∠A ，∠B ．(3)已知∠A=45°，c ＝8，求a ，b ，∠B ．[生]解：(1)根据勾股定理c ．=23332222=+=+b a .又∵tanA ∴∠A=b a =33=1, ∴∠A=45°．又∵∠A+∠B ＝90，∴∠B ＝45°．(2)根据勾股定理，得a=355102222=-=-b c ,又∵sinB ＝21105==c b ∴∠B=30°．又∵∠A+∠B=90°∴∠A=60°.(3)∵sinA=ca ∴=csinA=8×sin45°=42, 又∵cosA ＝c b ∴b=c ·cosA ＝8×cos45°=42，又∵∠A+∠B ＝90°，∴∠B=45°．[师]实践证明，在直角三角形中，已知除直角外的两个元素(至少有一个是边)，利用直角三角形中特殊的边的关系、角的关系、边角关系，就可求出其余所有元素．因此，在现实生活中，如测量、建筑、工程技术和物理学中，常遇到的距离、高度、角度都可以转化到直角三角形中，这些实际问题的数量关系往往就归结为直角三角形中边和角的关系问题．接下来，我们看问题4：如何测量一座楼的高度?你能想出几种办法?[生]有四种方法：第一种：用太阳光下的影子来测量．因为在同一时刻，物体的高度与它的影子的比值是一个定值．测量出物体的高度和它的影子的长度，再测出高楼在同一时刻的影子的长度．利用物体的高度：物体影子的长度＝高楼的高度，高楼影子的长度．便可求出高楼的高．第二种：在地面上放一面镜子，利用三角形相似，也可以测量出楼的高度．第三种：用标杆的方法．第四种：利用直角三角形的边角关系求楼的高度．[师]下面就请同学们对本章的内容小结，建立本章内容框架图．[师生共析]本章内容框架如下：Ⅱ．随堂练习1．计算(1)︒-︒︒-︒45cos 60sin 45sin 30cos (2)sin 230°+2sin60°+tan45°-tan60°+cos 230°；(3)原式＝.60tan 60tan 60tan 212︒-︒+︒-解：（1）原式=22232223--=1；（2）原式=（21）2+2×23+1-3+（23）2； =4331341+-++ =1+1=2（3）原式=︒-︒-60tan )60tan 1(2＝｜1-tan60°｜-tan60°＝tan60°-1-tan60°＝-1．2．如图，大楼高30 m ，远处有一塔BC ，某人在楼底A 处测得塔顶的仰角为60°，爬到楼顶D 测得塔顶的仰角为30°，求塔高BC 及楼与塔之间的距离AC(结果19确到0．0l m)．解：没AC=x ，BC ＝y ，在Rt △ABC 中，tan60°=xy ，① 在Rt △BDE 中．tan30°=x y 30-，② 由①得y ＝3x ，代入②得33=xx 303 . x=153≈25．98(m)．将x ＝153代入y=3x=3×153 ＝45(m)．所以塔高BC 为45 m ，大楼与塔之间的距离为25．98 m ．Ⅲ．课时小结本节课针对回顾与思考中的四个问题作了研讨，并以此为基础，建立本章的知识框植架结构图．进一步体验三角函数在现实生活中的广泛应用．Ⅳ．课后作业复习题A 组1，2，5，6，8B 组2．3，4，5，6Ⅴ．活动与探究如图．AC 表示一幢楼，它的各楼层都可到达；BD 表示一个建筑物，但不能到达．已知AC 与BD 地平高度相同，AC 周围没有开阔地带，仅有的测量工具为皮尺(可测量长度)和测角器(可测量仰角、俯角和两视线间的夹角)．(1)请你设计一个测量建筑物BD 高度的方案，要求写出测量步骤和必要的测量数据(用字母表示)，并画出测量示意图：(2)写出计算BD 高度的表达式．[过程]利用测量工具和直角三角形的边角关系来解决．这里的答案不唯一，下面只写出一种方法供参考．[结果]测量步骤(如图)：①用测角器在A 处测得D 的俯角α；②用测角器在A 处测得B 的仰角β ③用皮尺测得AC=am ．(2)CD=αtan a ,BE=αtan a ·tan β, BD=a+αβtan tan a . 板书设计回顾与思考本章内容结构框架图:。

新北师大版八年级数学下册《一章三角形的证明 1. 等腰三角形等边三角形的判定》教案_3

第一章三角形的证明等边三角形的判定1．知识目标理解等边三角形的判别条件及其证明，理解含有30º角的直角三角形性质及其证明，并能利用这两个定理解决一些简单的问题。

2．能力目标①经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维．②经历实际操作，探索含有30º角的直角三角形性质及其推理证明过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理的能力；③在具体问题的证明过程中，有意识地渗透分类讨论、逆向思维的思想，提高学生的能力。

3．情感与价值观要求①积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．②在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心.教学重点①等边三角形判定定理的发现与证明.②含30°角的直角三角形的性质定理的发现与证明.4．教学难点①含30°角的直角三角形性质定理的探索与证明.②引导学生全面、周到地思考问题.二、教学过程学具准备：两个带30度角的三角板。

本节课设计了六个教学环节：第一环节：提问问题，引入新课；第二环节：自主探索；第三环节：实际操作提出问题；第四环节：变式训练巩固新知；第五环节：畅谈收获课时小结；第六环节：布置作业。

第一环节：提问问题，引入新课活动内容：教师回顾前面等腰三角形的性质和判定定理的基础上，直接提出问题：等边三角形作为一种特殊的等腰三角形，具有哪些性质呢？又如何判别一个三角形是等边三角形呢？从而引入新课。

一个三角形满足什么条件时便成为等边三角形?你认为有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗?你能证明你的结论吗?把你的证明思路与同伴交流．(教师应给学生自主探索、思考的时间，然后让其展示)第二环节：自主探索活动内容：学生自主探究等腰三角形成为等边三角形的条件，并交流汇报各自的结论，教师适时要求学生给出相对规范的证明，概括出等边三角形的判别条件。

对于等腰三角形中有一个角为60度的两种情况，教师可以进一步提出要求：能否用更简捷的语言描述这个结论吗?从而引导学生得出：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

新北师大版八年级数学下册《一章三角形的证明复习题》教案_9

）
Ａ． 1 个
Ｂ． 2 个
Ｃ． 3 个
Ｄ． 4 个
二、填空题
11．“等边对等角”的逆命题是 ______________________________ ． 12．在△ ABC中，边 AB、 BC、 AC的垂直平分线相交于 P，则 PA、 PB、 PC的大小关系是
.
13．已知⊿ ABC 中，∠ A = 900 ，角平分线 BE、 CF 交于点 O，则∠ BOC =
教学内容
∠ B=1 2
∠ C 中，能确定△
ABC
是直角三角形的条件有（
）
A、1 个
B、2 个
C、3 个
D、4 个
10．已知：如图，ＡＢ＝ＡＣ，∠Ａ＝ 36°，ＡＢ的垂直平分线交ＡＣ于Ｄ，
则下列结论：①∠Ｃ＝ 72°；②ＢＤ是∠ＡＢＣ的平分线；③△ＡＢＤ是
等腰三角形；④△ＢＣＤ是等腰三角形，其中正确的有（
D. 以上答案都不对
5．如图， D 在 AB 上， E 在 AC 上，且∠ B=∠ C，那么补充下列一个条件后，仍无法判断
△ ABE ≌△ ACD 的是（
）
A. AD=AE
B. ∠ AEB= ∠ ADC
C. BE=CD
D. AB=AC.
6．已知，如图，在△ ABC 中， OB 和 OC 分别平分∠ ABC 和∠ ACB ，过 O 作 DE∥ BC ，分别交
自主合作探究
课型
2课时
练习题
教学时数
第 2 课时
是否采用多媒体备课总数
复习课是
第课时
课堂教学过程设计
教学内容
一、选择题
1．一个等腰三角形的顶角是 120°，则它的底角度数是（

新北师大版数学八年级下第一章三角形的证明导学案(良心出品必属精品)

第一章三角形的证明第一节等腰三角形（一）模块一预习反馈（P2—P6）一.知识点1、两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS。

（论证）2、全等三角形的对应边相等，对应角相等。

3、等腰三角形性质定理： _________________________ （等边对等角）。

（论证）4、推论（三线合一）：____________________________ 。

（论证）5、等边三角形性质定理： _________________________ 。

（论证）论证要求（画图、写出已知、模块二基础训练1.如图，已知/ D = / C,Z A = / B,且AE = BF。

求证：AD = BG2.如图，在△ ABC中, AB = AC, ADLAC/ BAC = 100 求/ 1、/ 3、/ B的度数。

3.如图，在△ ABC中, D为AC上一点，并且AB = AD, 求DB = DC,若/ C = 29/ A。

模块三能力提升1. 填空:(1)如图，在△ ABC中, AB = AC,点D在AC上，且BD = BC = AD。

请找出所有的等腰三角形 ______________ 。

（2）______________________________________________ 等腰三角形的顶角为50°,则它的底角为___________________ 。

（3）等腰三角形的一个角为40°,则另两个角为__________（4）等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°2. 如图，在△ ABC中, AB = AC, D是BC边上的中点，且DEI AB DF L AG求证：/ 1 = / 2模块四：课下练习☆能力提升1. △ ABC中，A吐AC, / A= 50°, P是厶ABC 内一点，且/ PBC=/ACP 求/ BPC的度数2. 已知：如图，在△ ABC中, A吐AC，BD,。

北师大版数学八年级下册第一章三角形证明手拉手模型优秀教学案例

教学案例主要包括以下几个环节：
1.导入：以手拉手游戏导入新课，让学生感受合作的力量，引发对三角形全等证明的兴趣。
2.新课导入：介绍三角形全等的定义和判定方法，引导学生理解全等三角形的性质。
3.实例分析：分析生活中的实例，让学生体会三角形全等证明在实际问题中的应用。
4.小组讨论：让学生分组讨论，探索三角形全等的证明方法，培养学生的合作精神和沟通能力。
3.教师总结全等三角形的定义，并指出本节课的学习目标：掌握三角形全等的判定方法。
（二）讲授新知
1.介绍三角形全等的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS，并通过图示和实例进行讲解。
2.引导学生理解全等三角形的性质，如对应边相等、对应角相等。
3.教师举例说明三角形全等证明在实际问题中的应用，如测量身高、构造图形等。
3.教师对学生的作业进行批改和评价，关注学生的思维过程和问题解决能力，给予积极的鼓励和指导。
五、案例亮点
1.生活实例导入：通过手拉手游戏导入新课，让学生感受合作的力量，引发对三角形全等证明的兴趣。这种贴近生活的实例能够激发学生的学习动机，增加学生的学习兴趣。
2.小组合作探究：在讲授新知后，组织学生进行小组讨论，合作探究三角形全等的证明方法。这种合作学习的方式能够培养学生的团队协作能力和沟通能力，同时促进学生的深入思考和问题解决。
2.学生总结三角形全等的判定方法及其应用，加深对全等三角形性质的理解。
3.教师强调三角形全等证明在实际问题中的重要性，激发学生运用数学知识解决实际问题的兴趣。
（五）作业小结
1.设计具有针对性的作业，巩固学生对三角形全等证明方法的理解，提高学生的数学解题能力。
2.要求学生在作业中运用所学的三角形全等证明方法解决实际问题，培养学生的应用能力。

北师大八年级数学下册教案：第一章三角形的证明复习教案

（4）直角三角形的性质与判定：掌握勾股定理及其应用，能够判断一个三角形是否为直角三角形。
举例：给出一个具体直角三角形的边长，要求学生求解另一条边长。
（5）三角形面积的计算：熟练掌握海伦公式、三角形面积与底和高的关系，能够计算不同类型三角形的面积。
举例：给出一个三角形的三边长，要求学生运用海伦公式计算其面积。
2.教学难点
（1）几何逻辑推理：对于三角形性质与判定的逻辑推理过程，学生可能难以理解，需要教师通过具体实例和图示进行讲解。
难点举例：证明三角形两边之和大于第三边的过程中，学生可能对“反证法”的理解存在困难。
（2）全等三角形的判定：在实际应用中，学生可能难以找到合适的全等条件进行判断，需要教师引导学生如何观察和分析问题。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“三角形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.提升学生的数学建模能力：通过全等三角形、等腰三角形和直角三角形的判定与应用，让学生在实际问题中构建数学模型，增强数学应用意识。
4.培养学生的数学抽象素养：引导学生从具体的三角形实例中抽象出一般性规律，提升数学抽象思维。
5.增强学生的数学运算能力：在三角形面积计算等方面，让学生熟练掌握相关公式，提高运算速度和准确性。
难点举例：在复杂的图形中，学生可能难以发现两个三角形之间的全等关系。
（3）等腰三角形的性质与判定：学生容易忽视等腰三角形底角相等这一性质，导致解题错误。

北师大版八年级下册第一章三角形的证明总复习(教案)

（2）等腰三角形的性质与判定：学生容易忽略等腰三角形的性质，导致解题过程中出现错误。
解决方法：通过大量练习和变式训练，让学生熟练掌握等腰三角形的性质，提高解题正确率。
（3）三角形的外角性质：学生对于外角性质的理解不够深刻，难以运用到实际问题中。
解决方法：结合实际图形和例题，让学生反复练习，逐步加深对外角性质的理解和应用。
4.在总结回顾环节，我发现部分学生对今天学习的知识点掌握不够牢固。为了帮助学生巩固知识，我计划在课后布置一些针对性的练习题，并鼓励学生在课堂上提问，及时解决他们的疑惑。
5.本次教学中，我注意到学生在学习等腰三角形和全等三角形判定时，容易混淆概念。为了帮助学生理清思路，我将在下一节课中进行针对性的复习和讲解，通过对比分析，让学生更好地理解这些概念之间的联系和区别。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“三角形证明在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
举例：通过具体实例，让学生了解和掌握这些特殊点的位置关系及性质，如内心为三角形内切圆的圆心，外心为三角形外接圆的圆心等。
2.教学难点
（1）三角形全等的判定方法：学生容易混淆SSS、SAS、ASA、AAS四种判定方法，难以判断哪些条件可以证明三角形全等。
解决方法：通过对比讲解和练习，让学生明确每种判定方法的条件和特点，提高识别和运用能力。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。

北师大版八年级下册数学练习课件-第1章-三角形的证明复习与巩固1

▪ 证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵DE⊥BC于点E， ∴∠FEB＝∠FEC＝90°，∴∠B＋∠EDB＝∠C ＋∠EFC＝90°，∴∠EFC＝∠EDB.∵∠EDB＝ ∠ADF，∴∠EFC＝∠ADF，∴△ADF是等腰三角形．
12
▪ ★考点2 等边三角形 ▪ 1．如图，在等边三角形ABC中，AB＝2，点D为BC的中点，
的关键．
5
▪ 考点4 线段的垂直平分线
▪ 【典例4】如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝5，AB 的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则△BEC的周
长为( )
▪ A．13
B．14
▪ C．15
D．16
6
▪ 分析：∵DE是AB的垂直平分线， ▪ ∴AE＝BE， ▪ ∴△BEC的周长＝BE＋CE＋BC＝AE＋CE＋BC＝AC＋BC. ▪ ∵AC＝8，BC＝5， ▪ ∴△BEC的周长＝8＋5＝13. ▪ 答案：A
20
▪ ★考点5 角平分线
▪ 1．如图，OP是∠AOB的平分线，点P到OA的距离为3，点N 是OB上的任意一点，C则线段PN的取值范围为( )
▪ A．PN＜3
B．PN＞3
▪ C．PN≥3
D．PN≤3
21
2．【2018·山西中考】如图，直线 MN∥PQ，直线 AB 分别与 MN、PQ 相交于点 A、B.小宇同学利用尺规按以下步骤作图：①以点 A 为圆心，以任意长为半径作弧交 AN 于点 C，交 AB 于点 D；②分别以 C、D 为圆心，以大于12CD 长为半径作弧，两弧在∠NAB 内交于点 E；③作射线 AE 交 PQ 于点 F.若 AB＝2，∠ABP＝60°，则线段 AF 的长为__2__3____.
C．22 cm
D．25 cm

1-1等腰三角形1-2直角三角形复习2022-2023学年北师大版数学八年级下册

（1）如图1，若∠BAC=∠DAE=60°，则△BEF是___等__边__三
角形；
（2）若∠BAC=∠DAE≠60° ①如图2，当点D在线段BC上移动，判断△BEF的形状并证明； ②当点D在线段BC的延长线上移动，△BEF是什么三角形？请直接写出结论并画出相应的图形．
解：（1）∵AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°， ∴△AED和△ABC为等边三角形， ∴∠C=∠ABC=60°，∠EAB=∠DAC， ∴△EAB≌△DAC， ∴∠EBA=∠C=60°， ∵EF∥BC， ∴∠EFB=∠ABC=60°， ∵在△EFB中，∠EFB=∠EBA=60°，
B
30°
的正北方向，此时它与灯塔的距离是
_2_0___3_海里(结果保留根号).
A
C
东
小结（2分钟）
（考点）
1、等腰三角形的性质与判定：等边对等角、三线合一
2、等边三角形的性质定理及其判定定理 3、直角三角形的性质定理及其判定定理 4、反证法的证明步骤，互逆命题、互逆定理的概念
（易错点） 1.做没有图形的几何问题求边长或角度时应注意：
是否进行分类讨论
2.做互逆命题的问题应注意：
注意互逆命题的语言的准确性
当堂训练（15分钟） 1、如图，长方形纸片ABCD,AD∥BC，将长方
形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点C’ 处，折痕为EF,则 △BEF为等腰三角形.
2.如图,已知∠AOB=60°,点P在边OA上,OP=8, 点M,N在边OB上,PM=PN,若MN=2,则ON=( B )
②AB=AC，点D为射线BC上一个动点（不与B、C重合），
以AD为一边向AD的左侧作△ADE，使AD=AE，
∠DAE=∠BAC，过点E作BC的平行线，交直线AB于点F，连接BE．