《三角形的证明》复习ppt课件

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(2)三边相等的三角形叫做等边三角形； (3)三个角相等的三角形是等边三角形； (4)有两个角等于60°的三角形是等边三角形． 5．直角三角形的性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直 角边等于斜边的 一半 . 6．勾股定理及其逆定理 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的 平方 .
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┃知识归纳┃
1．等腰三角形的性质 性质(1)：等腰三角形的两个底角 相等. 性质(2)：等腰三角形顶角的 平分线 、底边上的 中线 、底边 上的高互相重合． 2．等腰三角形的判定 (1)定义：有两条边 相等 的三角形是等腰三角形． (2)等角对等边：有两个角 相等 的三角形是等腰三角形．
命题二：在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一直线上， AB＝DE，∠ABC＝∠DEF，BE＝CF.求证：AC＝DF.
下面证明命题一： 已知：如题图，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一直 线上，AB＝DE，AC ＝ DF，BE＝CF. 求证：∠ABC＝∠DEF.
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证明：在△ABC和△DEF中， ∵BE＝CF，∴BC＝EF. 又∵AB＝DE，AC＝DF， ∴△ABC≌△DEF(SSS)． ∴∠ABC＝∠DEF.
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► 考点四 等腰三角形的判别 例4 已知：在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC的
中点． (1)如图S1－4，E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝AF，
求证：△DEF为等腰直角三角形； (2)若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE＝AF，其
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► 考点三 勾股定理的应用 例 3 如图 S1－3，已知圆柱体底面圆的半径为π2，高为 2，
AB，CD 分别是两底面圆的直径，AD，BC 是母线，若一只小虫从 A 点出发，从侧面爬行到 C 点，求小虫爬行的最短路线的长度(结 果保留根号)．
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[解析] 这个有趣的问题是勾股定理的典型应用，此问题看上 去是一个曲面上的路线问题，但实际上能通过圆柱的侧面展开而 转化为平面上的路线问题，值得注意的是，在剪开圆柱侧面时， 要从A开始并垂直于AB剪开，这样展开的侧面才是个矩形，才 能得到直角，再利用勾股定理解决此问题．
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解：将圆柱的侧面展开，如图S1－4，圆柱的底面周长为2πr
＝2×π×＝4，取其一半： ×4＝2，圆柱的高为2，根据勾 股定理，得AC2＝22＋22＝8，所以AC＝2 .
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图 S1－4
方法技巧 利用勾股定理解决最短路线问题的实质是解决旋转体的问题， 也是把立体图形转化为平面图形的问题，即将原图形的侧面展开转 化为平面图形问题——即“展曲为平”问题，特别要注意圆柱、圆 锥的侧面展开问题．这种由三维立体和二维平面的相理解能力的要求，是考查空间观念和严谨认真态度的很好题型．
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方法技巧 与全等三角形有关的开放型试题形式多样，设计新颖，能培养 同学们的逆向思维能力、创新能力和综合运用知识的能力．解答条 件开放型试题，需要执果索因，逆向推理，逐步探求结论成立的条 件．同时要注意挖掘图形中的隐含条件，如对顶角、公共角、公共 边等，然后合理选择全等三角形的知识解决．另外，要注意这类题 的答案往往不唯一，只要合理即可．
[解析] 根据线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的 点到线段两端点的距离相等，所以EA＝EC，∠A＝∠ACE＝ 30°，又∠ACB＝80°，故∠BCE＝80°—30°＝50°.
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方法技巧 若题目中出现或经过构造出现线段垂直平分线，注意利用“线 段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”解决问 题．同时，我们在求一些边长、周长或角的度数时，如果能恰当地 运用线段垂直平分线性质，可以大大简化解题过程，同学们在学习 中要注意到这一点！
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3．用反证法证明的一般步骤 (1)假设命题的结论不成立； (2)从这个假设出发，应用正确的推论方法，得出与定义、公理、 已证定理或已知条件相矛盾的结果； (3)由矛盾的结果判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确． 4．等边三角形的判定 (1)有一个角等于60°的 等腰 三角形是等边三角形；
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► 考点二 全等三角形的证明 例2 如图S1－2，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同
一直线上，下面有四个条件，请你从中选三个作为题设，余下的 一个作为结论，写出一个正确的命题，并加以证明．
①AB＝DE，②AC＝DF，③∠ABC＝∠DEF，④BE＝CF.
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解：答案不惟一，命题一：在△ABC和△DEF中，B，E，C， F在同一直线上，AB＝DE，AC ＝ DF，BE＝CF.求证：∠ABC ＝∠DEF.
10．三角形三条角平分线的性质 三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边 的距离 相等 .
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┃考点攻略┃
► 考点一 线段垂直平分线的性质的应用 例1 如图S1－1，在△ABC中，DE垂直平分AC交AB于E，
∠A＝30°，∠ACB＝80°，则∠BCE＝____5_0_°__.
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8．三线共点 三角形三条边的垂直平分线相交于 一点 ，并且这一点到 三角形三个顶点的距离 相等 . 9．角平分线的性质定理及判定定理 性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距离 相等 . 判定定理：在一个角的内部，且到角的两边 距离 相等的 点，在这个角的平分线上．
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[注意] 角的平分线是在角的内部的一条射线，所以它的逆 定理必须加上“在角的内部”这个条件．
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逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那 么这个三角形是 直角 三角形．
7．线段的垂直平分线的性质定理及判定定理 性质定理：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点 的距离 相等 . 判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线 段的 垂直平分线 上． [点拨] 线段的垂直平分线可以看作和线段两个端点距离相 等的所有点的集合．