数学限时训练4 (1)

2015届高三数学限时训练（4）

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一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置．．．．．．．上． 1．函数2()log (21)f x x =-的定义域为 ▲ .

2．设i 为虚数单位，则复数z =(13)i i +的实部为 ▲ . 3．已知角α的终边经过点(1,3)-，则sin()2

π

α+

的值= ▲ .

4．直线y x =被圆042

2

=+-y x x 所截得的弦长为 ▲ .

5．如图所示的流程图，若输入x 的值为－5.5，则输出的结果c = ▲ .

6．已知集合A {|12}x x =-<<，集合{|}B x a x a =-<<.若命题“x A ∈”是命题“x B ∈”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是 ▲ .

7．若,x y 满足约束条件0,

0,22,x y x y ≥⎧⎪

≥⎨⎪+≤⎩

则目标函数2+3z x y =的最大值为 ▲ .

8．双曲线22

12x y m

-=的一条渐近线方程为2y x =，则实数m 的值为 ▲ .

9．已知等比数列{}n a 各项都是正数，且4224a a -=，34a =，则{}n a 前10项的和为 ▲ .

10．在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，222

2a b c +=，则角C 的取值范围是 ▲ .

11．已知点P 在直线21y x =+上，点Q 在曲线ln y x x =+上，则P 、Q 两点间距离的最小值为 ▲ .

12．如图所示为函数()()2sin f x x ωϕ=+(0,

2

π

ωϕπ>≤≤)的部

分图象,其中,A B 分别是图中的最高点和最低点，且5AB =，那么

ωϕ+的值= ▲ .

x

y

O

1

22

-A

13．已知点P 在椭圆22

195

x y +=上，且点P 不在x 轴上，,A B 为椭圆的左、右顶点，直线PA

与y 轴交于点C ，直线,BC PB 的斜率分别为,BC PB k k ，则22

2BC PB k k +的最小值为 ▲ .

14．已知向量,,a b c r r r 满足||||2a b ==r r ，||1c =r ，()()0c a c b --=r r r r

，则a b ⋅r r 的取值范围是

▲ .

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．设已知()3sin()cos 3

f x x x π

=+

-。

（1）求()f x 在[0,]π上的最小值；

（2）已知,,a b c 分别为△ABC 内角A 、B 、C 的对边，3

53,cos 5

b A ==

，且()1f B =，求边a 的长。

16．（本小题满分14分）

如图，四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，BD 交AC 于点E ，F 是线段PC 中点，G 为线段EC 中点． （I ）求证：FG//平面PBD ； （II ）求证：BD ⊥FG ．

17. （本小题满分14分）

如图，1l 、2l 是通过某城市开发区中心O 的两条南北和东西走向的街道，连接M 、N 两地之间的铁路线是圆心在2l 上的一段圆弧．若点M 在点O 正北方向，且3MO km =，点N 到1l 、2l 的距离分别为4km 和5km ．

（Ⅰ）建立适当坐标系，求铁路线所在圆弧的方程； （Ⅱ）若该城市的某中学拟在点O 正东．．方向选址建分校，考虑环境问题，要求校址到点O 的距离大于4km ，并且铁路线上任意一点到校址的距离不能少于26km ，求该校址距点O 的最近距离（注：校址视为一个点）.

18.如图,,A B 是椭圆()22

22:10x y C a b a b

+=>>的左右顶点,M 是椭圆上异于,A B 的任意一点

,直线l 是椭圆的右准线（1）若椭圆C 的离心率为1

,2

直线:4,l x =求椭圆C 的方程；

（2）设直线AM 交l 于点,P 以MP 为直径的圆交MB 于,Q 若直线PQ 恰好过原点,求椭圆

C 的离心率

19．(本小题满分16分)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2

(1)n n n S a S -=.

（I ）求1a ； （II ）求证：数列11n S ⎧⎫

⎨

⎬-⎩⎭

为等差数列；

（Ⅲ）是否存在正整数m ，k ，使1119k k m

a S a =+成立？若存在，求出m ，k ；若不存在，说明理由. 20．（本小题满分16分）

已知函数()()3

2

3,f x ax bx x a b R =+-∈在点()()

1,1f 处的切线方程为20y +=.

⑴求函数()f x 的解析式;

⑵若对于区间[]2,2-上任意两个自变量的值12,x x 都有()()12f x f x c -≤,求实数c 的最小值;

⑶若过点()()2,2M m m ≠可作曲线()y f x =的三条切线,求实数m 的取值范围.

数学参考答案

一、 填空题（每小题5分）

1、1

(,)2

+∞ 2、-3 3、1

2

- 4、 5、1 6、[2,)+∞ 7、6 8、

8 9、1023 10、(0,]3π 11 12、

76π 13 14、[ 二、 解答题 15．解：(1))6

sin(cos )cos 23sin 21(3)(π+=-+=

x x x x x f ………………6分 ∵],0[π∈x ， ∴

6

76

6

π

π

π

≤

+

≤x ∴π=x 时，2

1

)(min -

=x f …………………………………………………8分 (2)∵()1f B =，B 为三角形的内角， ∴3

π

=

B ， ……………………………………………………………………10分

∵53cos =

A ， ∴5

4cos 1sin 2

=-=A A ， …………………………12分 由正弦定理得B

b

A a sin sin =

，得 82

354

35sin sin =⨯==

B

A

b a …………………………………………14分

16、证明：（Ⅰ）连接PE ，G.、F 为EC 和PC 的中点，

∴⊂⊄∴，平面，平面PBD PE PBD ,//FG PE FG FG//平面PBD …………6分

（II ）因为菱形ABCD ，所以BD AC ⊥，又PA ⊥面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所

以BD PA ⊥，因为PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，且PA AC A ⋂=，BD ∴⊥平面PAC ，FG ⊂Q 平面PAC ，BD ⊥FG ………………………………………………14分 17、解：（Ⅰ）分别以2l 、1l 为x 轴，y 轴建立如图坐标系．据题意得(0,3),(4,5)M N ，