第十章 状态方程
大学物理课件理想气体状态方程
n(z) n0emgz kT
n(r ) n0eU (r ) kT
它描述了热平衡态下分子数密度在任意势场 U(r) 1 m 2r2
U( r )中，按位置的分布规律。如高速离心机
2
30
如高速旋转的系统，每个分子要受到惯性离心力， 其势能为 U(r) 1 m 2r 2
2
分子数密度和压强在该势场中沿径向r的分布为：
§3 理想气体状态方程
•一个热力学系统的平衡态可由四种状态参量确定
第0定律表明，平衡态下的热力学系统存在一个状 态函数温度。温度与四种状态参量必然存在一定 的关系。所谓状态方程就是温度与状态参量之间 的函数关系式，此定义适合于任何热力学系统.
状态方程在热力学中是通过大量实践总结来的。 然而应用统计物理学， 原则上可根据物质的微 观结构推导出来。
而且与热力学温度成正比,
是温度的单值函数
此结论在与室温相差不大的 温度范围内与实验近似相符。9
推广到三维的情况
dN ( x, y, z) f ( x, y, z)dxdydz N
或 f ( x, y, z) dN
N dxdydz
分布函数
物理意义：分子在x、y、z附近，单位区间
的分子数占总分子数的比率，即概率密度。
n e ( K p ) kT
上式给出，在温度为T的热平衡态中，任何系统的 微观粒子数密度按状态的分布规律。
它指出在某一状态间隔的粒子数与粒子的总能量有关，
而且与 e kT 成正比。这个结论称为玻尔兹曼能量 分布律，称 e kT为玻尔兹曼因子。
* 粒子数密度是指单位相空间的粒子数
12
麦克斯韦速度分布函数：
21
# 大量小球整体按狭槽的分布遵从一定的统计规律。
大学物理-气体动理论必考知识点
第十章 气体动理论主要内容
一.理想气体状态方程： m PV RT M
'=； P nkT = 8.31J R k mol =；231.3810J k k -=⨯；2316.02210A N mol -=⨯；A R N k =
二. 理想气体压强公式
23kt p n ε= ε=213=22kt mv kT 分子平均平动动能
三. 理想气体温度公式
21322kt mv kT ε==
四.能均分原理
1. 自由度：确定一个物体在空间位置所需要的独立坐标数目。
2. 气体分子的自由度
单原子分子 (如氦、氖分子)3i =；刚性双原子分子5i =；刚性多原子分子6i =
3. 能均分原理：在温度为T 的平衡状态下，气体分子每一自由度上具有的平均动都相等，其值为1
2
kT
五. 理想气体的内能（所有分子热运动动能之和）
1.1mol 理想气体=⋅=22A i i E N kT RT 3. 一定量理想气体()2i m E RT M
νν'==
六．麦克斯韦速率发布函数（可能会命题计算题，各种表达式的物理含义要牢记） 1()N
f v N v =d d , 速率在v 附近，单位速率区间内分子数占总分子数的百分率。
归一化条件：0()1f v v ∞=⎰d ,
=
=≈
平均速率：v ==≈ 最概然速率
：p v =≈
七．碰撞频率：
2z d nv =
平均自由程：λ=。
状态方程和相变
状态方程和相变是物理学中非常重要的概念。
状态方程描述了物质在不同条件下的状态，包括温度、压力、体积等参数，而相变则描述了物质从一个状态转变为另一个状态时所发生的变化。
本文将详细介绍的相关知识，以及它们在生活中的应用。
一、状态方程的定义和意义状态方程是描述物质状态的基本方程。
它通常表示为P（压力）、V（体积）、T（温度）之间的关系式，即P=f(V,T)或V=f(P,T)或T=f(P,V)。
其中，P、V、T称为状态参量。
状态方程是物态方程的简称，常见的物态方程有理想气体状态方程、范德华状态方程等。
状态方程的意义在于，通过一些参数的变化，可以描述物质从一个状态到另一个状态的变化过程。
例如，随着温度升高、压力降低，水会从液态变为气态；反之，随着温度降低、压力升高，水会从气态变为液态。
这些变化过程都可以通过状态方程进行描述。
二、常见的状态方程理想气体状态方程是最基本的状态方程之一。
它可以用于描述处于高温、低密度条件下的气体状态，满足PV=nRT（其中，n为物质的摩尔数，R为气体常数）。
在标准状况下，理想气体状态方程可以进一步简化为PV=RT。
然而，当温度和压力较高时，理想气体状态方程就不再适用，因为气体分子之间会发生相互作用，产生一定的吸引力和排斥力。
在这种情况下，需采用更加复杂的状态方程，如范德华状态方程、毛维－安德鲁状态方程等。
三、相变的定义和分类相变是指物质从一个状态（相）转变为另一个状态的过程，常见的相有固态、液态和气态。
相变分为两种类型：一种是温度和压力的变化对相的稳定性产生影响，如水从冰态到液态的融化过程，或水从液态到气态的沸腾过程；另一种是质量的变化对相的稳定性产生影响，如水在加热时的汽化过程。
相变还可以分为一次相变和二次相变。
一次相变，在过程中物质的内能发生跃变，如水从冰态到液态的融化过程。
二次相变，在过程中物质的内能发生连续的变化，如铁的铁磁相变。
四、状态方程与相变的应用在生活中有很多应用，以下是几个例子。
《状态方程方程》课件
复杂系统中的状态方程
复杂系统中的状态方程概述
复杂系统通常由大量相互作用的元素组成，其行为难以通过单个元素的行为来预测。复杂系统中的状态方程是描述系 统整体行为的重要工具。
复杂系统中的状态方程的数学形式
复杂系统中的状态方程通常由一组相互耦合的非线性微分方程或差分方程表示，描述了系统中各个元素的状态变化以 及它们之间的相互作用。
先确定有限元的划分，然后构 造每个有限元的近似函数，通 过变分原理得到有限元方程。
适用于具有复杂边界条件的偏 微分方程。
03
状态方程的实际应用
在流体力学中的应用
01
流体力学中的状态方程主要用 来描述流体的状态性质，如压 力、温度、密度等之间的关系 。
02
在流体力学中，状态方程是建 立流体动力学模型的基础，对 于流体流动的模拟、分析和优 化具有重要意义。
复杂系统中的状态方程的求解方法
求解复杂系统中的状态方程的方法有多种，如数值模拟、近似解析法、自适应算法等，具体方法的选择 取决于系统的具体形式和求解要求。
05
习题与思考题
基础习题
总结词
巩固知识点
详细描述
基础习题主要针对状态方程的基本概念、公式和计算方法进行练习，旨在帮助学生巩固所学知识点，提高解题能 力和计算准确性。
详细描述
将原方程中的偏微分项用离 散的差分近似，从而将偏微 分方程转化为离散的差分方 程进行求解。
步骤
先确定离散点，然后将原方 程中的偏微分项用离散的差 分近似，得到离散的差分方 程。
应用范围
适用于具有规则网格的偏微 分方程。
有限元法
总结词
详细描述
步骤
应用范围
一种基于变分原理的数值求解 方法
《大学物理》第十章气体动理论习题参考答案
第十章 气体动理论一、选择题参考答案1． (B) ；2． (B )；3． (C) ；4． (A) ；5． (C) ；6． (B )；7． (C )； 8． (C) ；9． (D) ；10． (D) ；11． (C) ；12． (B) ；13． (B) ；14． (C) ；15． (B) ；16．(D) ；17． (C) ；18． (C) ；19． (B) ；20． (B) ；二、填空题参考答案1、体积、温度和压强，分子的运动速度（或分子的动量、分子的动能）2、一个点；一条曲线；一条封闭曲线。
3. kT 21 4、1:1；4:1 5、kT 23；kT 25；mol /25M MRT 6、12.5J ；20.8J ；24.9J 。
7、1:1；2:1；10:3。
8、241092.3⨯9、3m kg 04.1-⋅10、（1）⎰∞0d )(v v v Nf ；（2）⎰∞0d )(v v v f ；（3）⎰21d )(212v v v v v Nf m 11、氩；氦12、1000m/s ； 21000m/s13、1.514、215、12M M三、计算题参考答案1．解：氧气的使用过程中，氧气瓶的容积不变，压强减小，因此可由气体状态方程得到使用前后的氧气质量，进而将总的消耗量和每小时的消耗量比较求解。
已知atm 1301=p ，atm 102=p ，atm 13=p ；L 3221===V V V ，L 4003=V 。
质量分布为1m ，2m ，3m ，由题意可得RT Mm V p 11=RT Mm V p 22= RT M m V p 333=所以该瓶氧气使用的时间为h)(6.94000.132)10130(3321321=⨯⨯-=-=-=V p V p V p m m m t 2．解：设管内总分子数为N ，由V NkT nkT p ==有 1210611)(⨯==.kT pV N （个）空气分子的平均平动动能的总和= J 10238-=NkT 空气分子的平均转动动能的总和 = J 106670228-⨯=.NkT 空气分子的平均动能的总和 = J 10671258-⨯=.NkT3．解：（1）根据状态方程RT MRT MV m p RT M m pV ρ==⇒=得 ρp M RT = ，pRT M ρ= 气体分子的方均根速率为1-2s m 49533⋅===ρp M RT v （2）气体的摩尔质量为1-2m ol kg 108.2⋅⨯==-p RTM ρ所以气体为N 2或CO 。
状态方程
例6 输出: uc , iC , uR
电路理论基础
解 若已知状态量 uC在
t=0
R
ic
uc(t1)=3V和us=10V，也 uR us uc 可以确定t>t1电路的响应 uc , iC , uR。 uc 3e 500 ( t t1 ) 10(1 e 500 ( t t1 ) ) 500 ( t t1 ) ic 3.5e mA uR 7e 500( t t1 ) V 可推广到一阶、二阶和高阶动态电路中，当t =t1 时uC ， iL 和t t1 后的输入 uS(t)为已知，就可以确 定t1及t1以后任何时刻系统的响应。问题是确定状 态变量及初始值。
上例中也可选uC和duC /dt为状态变量
duC uC d(C ) dt R u u (t ) L C S dt d 2 uC L duC LC uC uS ( t ) 2 R dt dt
iL L + uL + + uC uS(t)
电路理论基础
iL iC
C R 2 + uR
状态方程为
x (t ) A x (t ) Bv(t )
式中，A、B为系数阵，由电路结构和参数确定。 状态方程特点： (1)联立的一阶微分方程组 (2)左端为一个状态变量的一阶导数 (3)右端为状态变量和输入量的线性表示 (4)方程数等于状态变量数，等于独立储能元件数
电路理论基础
整理为矩阵形式
duC 1 dt RC di 1 L dt L
状态变量
1 0 u C C i 1 uS ( t ) 0 L L
输入量
《状态方程方程》课件
吉布斯函数是描述物质稳定状态的热力学函数，与熵和绝对温度相关。
2 绝对零度
绝对零度是热力学第三定律的概念，表示温度的最低可能值。
应用案例
热力学循环过程 中的状态方程
状态方程在热力学循环过 程中起到了关键的作用， 如卡诺循环、斯特林循环 等。
热容计算中的状 态方程
状态方程可以用于计算物 质的热容，帮助了解物质 在不同条件下的热力学性 质。
热容表述的基本方程
热容表述的基本方程揭示了 物质在温度变化下的热力学 性质。
凝聚体的基本方程
凝聚体的基本方程描述了物 质在固态和液态之间的转变。
理气体状态方程
1
定义
理气体状态方程是描述理想气体性质的数学关系。
2
推导
通过对理想气体的性质进行假设和推演得到。
3
特点
理气体状态方程是理想气体定律的数学表达式，可以描述理想气体在各种条件下 的行为。
反应热计算中的 状态方程
通过状态方程，可以计算 化学反应的热效应，揭示 反应热力学的本质。
总结
状态方程的意义
状态方程揭示了物质宏观性质的数学关系，为研究和应用热力学提供了基础。
状态方程的基本形式
基本状态方程包括了热力学基本方程、热容表述的基本方程和凝聚体的基本方程。
状态方程的应用场景
状态方程在热力学循环过程、热容计算和反应热计算等方面有广泛的应用。
实际气体状态方程
范德瓦尔斯状态方程
范德瓦尔斯状态方程修正了理气体状态方程 的局限性，考虑了实际气体分子间的相互作 用。
其他实际气体状态方程
除了范德瓦尔斯状态方程外，还有其他一些 考虑了实际气体性质的状态方程，如贝克状 状态方程和赫尔默斯方程。
状态方程及其在物理化学中的应用
状态方程及其在物理化学中的应用在物理化学中，状态方程是一组数学公式，它们描述物质在不同温度、压力和体积下的状态。
这些方程可以用来预测物质的行为，特别是当它们受到不同的条件限制时的行为。
在这篇文章中，我们将讨论状态方程及其在物理化学中的应用。
一、状态方程的定义在物理化学中，状态方程是描述物质状态的数学公式。
它们通常是基于一些参数的函数，这些参数包括温度、压力和体积。
通过改变一个或多个参数，可以改变物质的状态，例如从液体到气体或固体到液体。
不同的状态方程适用于不同的物质和条件。
二、各种状态方程1. 理想气体状态方程理想气体状态方程是由克拉普龙和梅耶在中提出的，描述了理想气体的状态。
理想气体是一种理论上存在的气体，它符合以下条件：a) 分子之间没有相互作用力；b) 分子占据的体积可以忽略不计；c) 分子是一个点质点。
因此，理想气体的状态方程可以表示为：PV=nRT其中P表示气体的压力，V表示气体的体积，n表示气体的摩尔数，R表示气体常数，T表示气体的绝对温度。
2. 范德瓦尔斯状态方程范德瓦尔斯状态方程是由荷兰物理学家范德瓦尔斯提出的，它可以描述非理想气体的状态。
范德瓦尔斯方程修正了理想气体的状态方程，使得它适用于具有分子相互作用力的气体，包括液态和固态。
范德瓦尔斯方程可以表示为：(P+a/V^2)(V-b)=nRT其中a和b是范德瓦尔斯参数，它们描述了气体分子之间的相互作用力和气体分子占据的体积。
当气体分子之间的相互作用力很弱时，a和b都趋近于零，范德瓦尔斯方程就退化成理想气体状态方程。
3. 等温吉布斯能变法等温吉布斯能变法是用于气体和液体的状态方程，它基于吉布斯能的概念，使用温度和压力作为参数来描述物质状态。
与理想气体状态方程和范德瓦尔斯方程不同，等温吉布斯能变法不要求分子占据的体积可以忽略不计。
等温吉布斯能变法可以表示为：G=H-TS=-RTln(P)其中G是吉布斯能，H是焓，S是熵，R是气体常数，T是温度，P是压力。
电路-第10章 状态方程
10.1 状态变量和状态方程(1)状态及状态变量的概念状态：电路状态指在任何时刻必需的最少量的信息，它们和自该时刻以后的输入（激励）足以确定该电路此后的性状。
状态变量：描述电路状态的一组变量，这组变量在任何时刻的值表明了该时刻电路的状态。
状态变量的选取方法：电路变量选取不是唯一的，对于动态电路，动态变量的个数与动态元件的个数相同，常取电感中的电流和电容上的电压作为动态变量。
10.1 状态变量和状态方程(2)状态方程图示电路，以电容上的电压和电感中的电流为状态变量列出方程：写成矩阵形式：10.1 状态变量和状态方程状态方程标准形式：——n维状态变量列向量——n维状态变量列向量对时间的一阶导数V——r维输入（激励）列向量B——为nXr阶常数矩阵10.1 状态变量和状态方程(3)输出方程对电路的输出变量列写的方程即为输出方程。
例如，如图示，我们关心的是电流i和R2电阻上的电压，则输出方程为：写成矩阵形式：输出方程的一般形式：式中，X,Y分别是状态变量和输出变量列向量；C,D是常数矩阵。
10.2 状态方程列写方法(1)观察法对简单电路通过观察列写状态方程。
方法是：对含C的结点列写KCL，对含L的回路列写KVL。
如图所示，对结点①列KCL对回路1列KVL:即：写成矩阵形式：10.2 状态方程列写方法(2)叠加法基本思路：用电压源代替电容，用电流源代替电感，然后用叠加定理求电容中的电流和电感中的电压。
如图右上图所示，用电压源替代电容用电流源替代电感后得到右下图。
10.2 状态方程列写方法10.2 状态方程列写方法(3)拓扑法对复杂电路，借助网络图论列写状态方程，称为拓扑法。
拓扑法基本思路：A、将图中的每个元件看成一条支路。
B、选一棵常态树：树支包含的有电压源支路和电容支路和一些必要的电阻支路，不含任何电感支路和电流源支路。
当电路存在由电压源和电容构成的回路以及不存在由电感的电流源构成的割集时，这样的常数树是存在的。
第十章 状态方程PPT课件
用途：在时域内分析动态电路 线性动态电路的时域分析法：根据换路后的电路，在 时域中建立含待求量的一个一元n阶微分方程并求解此
状态变量法：根据换路后的电路，在时域中建立含状态
变量的n元一阶微分方程组（也称状态方程），并解此方
程组，再根据用状态变量和激励表示的输出方程来求电路
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二. 叠加法：替代定理＋线性叠加定理
用电压为 u C的电压源替代电路中的电容、用电流
为i L 的电流源替代电路中的电感；
求每个独立源单独作用时在电容中产生的电流和 电感中的电压； 应用线性叠加定理将各分量叠加即得到状态方程； 将状态方程整理成标准矩阵形式。
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20响20/应10/1的3 方法。
ห้องสมุดไป่ตู้
1
一. 状态变量
在任意瞬时都能与输入激励一起用一组线性代数方程来 确定电路全部响应的一组独立完备的变量。对于一个电路， 状态变量的选取不是唯一的，但在电路分析中，常取电容电 压和电感电流作为状态变量。
二. 状态方程
用来从已知的激励和初始状态求状态变量的一阶微分方程， 称为状态方程，它描述了状态变量的一阶导数与状态变量和 激励之间的关系。
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三. 输出方程
用来从已知的激励和状态变量求响应相量的代数方程，称 为输出方程。它描述了输出与状态变量和激励之间的关系。
iS
R1
R2
C
iL L
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一. 观察法
选所有独立的电容电压和电感电流作为状态变量； 对接有独立电容的节点列写KCL方程，对含有独 立电感的回路列写KVL方程； 若第2)步所列的KCL和KVL方程中含有非状态变 量，则利用适当的KCL和KVL方程，将非状态变量 消去； 将状态方程整理成标准矩阵形式。
状态方程的参数
状态方程的参数简介状态方程是描述动态系统行为的数学模型，它通过表示系统的状态和状态变化的方程来描述系统的演化规律。
状态方程的参数是指在状态方程中出现的变量和常数。
这些参数决定了系统的特性和行为，对于系统的分析和控制至关重要。
在本文中，我们将介绍状态方程的基本概念和常见形式，然后详细讨论状态方程的参数，包括变量和常数的定义、物理意义、取值范围以及对系统行为的影响。
状态方程的基本概念状态方程描述了系统的状态随时间的演化规律。
一般来说，状态方程可以写成如下形式：dx/dt = f(x, u, t)其中，x是系统的状态向量，u是系统的输入向量，t是时间，f是状态方程的右侧函数。
状态方程可以是线性或非线性的，具体形式取决于系统的性质和特点。
状态方程的参数包括状态向量x中的变量和常数，以及右侧函数f中的变量和常数。
下面我们将分别讨论这些参数的定义和物理意义。
状态向量的参数状态向量x是描述系统状态的一组变量。
它的具体定义和物理意义取决于系统的性质和特点。
下面是一些常见的状态向量及其参数的例子：•位置向量：描述物体在空间中的位置，参数包括物体在三个坐标轴上的位置变量（例如x、y、z）。
•速度向量：描述物体在空间中的速度，参数包括物体在三个坐标轴上的速度变量（例如v_x、v_y、v_z）。
•电路变量：描述电路中的电流和电压，参数包括电流和电压变量（例如i、v）。
状态向量的参数在状态方程中起到了关键的作用。
它们决定了系统的状态空间的维度和范围，以及状态变化的规律。
不同的参数可以对系统的行为产生不同的影响。
右侧函数的参数右侧函数f描述了状态向量x随时间的变化规律。
它的具体定义和物理意义也取决于系统的性质和特点。
下面是一些常见的右侧函数及其参数的例子：•线性函数：描述线性系统的状态变化规律，参数包括状态向量x、输入向量u和常数矩阵。
•非线性函数：描述非线性系统的状态变化规律，参数包括状态向量x、输入向量u和非线性函数。
状态方程
Soave-Ridlich-Kwang方程和PengRobinson（PR）方程
• 简称为SRK方程
p= RT a − V − b V (V + b)
• SRK方程提高了对极性物质和量子化流体计算的精确度。 也大大提高了表达纯物质的汽液平衡的能力，使之能用于 混合物的汽液平衡的计算，故在工业上获得了广泛的应用。
van der Waals（vdW）方程
• vdW方程是一个著名的状态方程，是第一个适用于真实气 体的立方型方程，其形式是：
RT a p= − 2 V −b V
• 方程中a，b分别是考虑到分子有体积和分子间存在相互作 用的校正。
27 R 2Tc 2 a= 64 pc
b=
RTc 8 pc
• vdW方程能同时表达汽、液两相的计算和计算出临界点， 这是以前的状态方程没有的，但是准确度有限，实际中较 少使用。
状态方程
f ( p, V , T ) = 0
状态方程（EOS）是物质P-V-T关 系的解析式
状态方程
f ( p, V , T ) = 0
• 状态方程（EOS）是物质P-V-T关系的解析式 • 据相律可知，纯流体的P、V、T性质中任意两个 确定后，体系的状态也就确定了，因此上式称为 状态方程。 • 状态方程的重要价值表现为：
Virial方程
Ridlich-Kwang方程
p= RT a − 0.5 V − b T V (V + b)
• 式中a，b是方程常数，与流体的特性有关，由纯物质临界 性质计算： b = 0.8664 RTc / pc a = 0.42748 R 2Tc 2.5 / pc • RK方程适用于非极性和弱极性化合物，计算准确度比van der Waals方程有很大提高，但对多数极性化合物有较大 偏差。
自动控制原理状态方程知识点总结
自动控制原理状态方程知识点总结自动控制原理中的状态方程是描述系统动态行为的一种数学模型。
通过分析系统的输入和输出，可以利用状态方程来预测系统的响应和稳定性。
本文将对状态方程的基本概念、求解方法以及应用进行总结。
一、状态方程的基本概念状态方程（State Equation）是指用代表系统参数和输入的变量来描述控制系统中元件状态随时间变化的关系表达式。
一般形式如下所示：dx(t)/dt = Ax(t) + Bu(t)y(t) = Cx(t) + Du(t)其中，x(t)表示状态向量，代表系统的状态变量；u(t)为输入向量，指系统的输入信号；y(t)为输出向量，代表系统的输出信号；A、B、C、D为系统的参数矩阵。
二、状态方程的求解方法1. 直接求法：通过系统的关系方程，将所有元件的微分方程组合在一起，得到状态方程。
这种方法适用于简单且线性的系统。
2. 简化求法：对于线性定常系统，可以使用拉普拉斯变换将微分方程转换为代数方程，然后通过代数求解的方法得到状态方程。
3. 传递函数转换法：对于已知系统的传递函数，可以通过传递函数转换为状态方程的形式。
通过分子多项式的展开和分母多项式的因式分解，得到状态方程的形式。
三、状态方程的应用1. 系统分析：通过状态方程可以推导系统的稳定性、响应特性等。
可以通过分析系统的状态转移矩阵，判断系统的稳定性和控制性能。
2. 系统设计：利用状态方程可以进行系统的控制器设计。
可以通过选择适当的状态反馈增益矩阵，使系统满足不同的控制要求。
3. 系统仿真：借助计算机仿真工具，可以利用状态方程对系统进行仿真分析，模拟不同输入下系统的响应和稳定性，从而指导实际系统的控制设计。
总结：状态方程是自动控制原理中的重要概念，能够用数学模型描述系统的动态行为。
掌握状态方程的基本概念、求解方法和应用，对于理解和设计控制系统具有重要意义。
通过本文的介绍，相信读者已经对状态方程有了更深入的理解和认识。
让我们在自动控制原理的学习中更加游刃有余，应用自如。
状态方程的研究及其应用
状态方程的研究及其应用状态方程是描述物质状态的重要工具，它是热力学的基础和理论建立的出发点。
研究状态方程的性质和应用具有重要意义，可以为多个领域的研究提供理论基础和实验依据。
一、状态方程的定义和基本性质状态方程又称为物态方程，它是描述物质状态的方程式。
它通常由状态量之间的关系式构成，如压力、体积和温度等。
常用的状态方程有两大类：一类是压缩性状态方程，即根据物质压缩的性质定义的方程，如范德瓦尔斯状态方程、文丘里方程等；另一类是热力学状态方程，即定义物质状态的热力学性质的方程，如理想气体状态方程、贺兹方程等。
状态方程具有以下基本性质：1.互相独立：研究物质状态时，压力、体积和温度三个状态量是互相独立的，因此需要至少给出其中两个状态量来确定物质的状态。
2.不与过程有关：状态方程本身不与物质的过程有关，仅与物质的状态有关。
因此，通过测量物质某一时刻的状态量来确定其状态方程。
3.可用于计算能量和焓：根据状态方程，可以计算物质的能量和焓等物理量。
因此，在热力学的应用中，状态方程是非常重要的基础。
二、状态方程的研究状态方程的研究主要是探索它的性质和特征，为应用提供理论基础。
下面介绍三个常见的状态方程研究内容。
1. 经验状态方程的构建经验状态方程是根据实验数据建立的方程，它可以用于描述一定条件下物质的状态。
经验状态方程的构建需要大量的实验数据和经验分析方法。
比如，贺兹方程和文丘里方程都是根据实验数据和经验规律建立的。
2. 统计物理学理论状态方程的建立统计物理学理论状态方程是利用分子动力学理论或统计力学理论计算的状态方程。
这些状态方程涉及分子之间的相互作用，因此可以对物质的状态行为提供更深入的分析。
范德瓦尔斯状态方程和理想气体状态方程就是统计物理学理论状态方程的常用模型。
3. 状态方程和反应热的关系物质发生化学反应时，常常伴随着放热或吸热过程。
状态方程可以提供反应前后物质的状态信息，进而帮助确定反应热。
通过研究物质状态方程和反应热关系，可以深入探索化学反应的内在机理和热力学规律。
状态方程
e(t)
C
特点： 代数方程 特点：(1)代数方程 (2)用状态变量和输入量 用状态变量和输入量 表示输出量 一般形式： [Y]=[C][X]+[D][V] 一般形式： m*n
m为输出变量数 为输出变量数
m*r
二. 状态方程的列写
1.直观法 直观法 基本思想： 基本思想： (1) 线性电路以iL ,uc为状态变量。 线性电路以 为状态变量。 (2)对含有电容的支路，选择一个节点列出KCL方程， 对含有电容的支路，选择一个节点列出 方程， 对含有电容的支路 方程
uL − 1 1 i c − = R u 1 R 1 iR R 0 1 0 1 uc + [e( t )] 0 0 i L 0 0
求出
{
u (t ) u (t ) i (t ) i (t )
R L 1 1 R 1 c 1
uC、iL 称为状态变量。它们的初值和激励e(t)一起可 称为状态变量。它们的初值和激励e(t)一起可 以确定该电路在任何时刻的性状。 以确定该电路在任何时刻的性状。 由此例可知： 由此例可知： (1)状态变量和储能元件有关； 状态变量和储能元件有关； 状态变量和储能元件有关 (2)有几个独立的储能元件，就有几个状态变量 。 有几个独立的储能元件， 有几个独立的储能元件
§15-8
+ uL L
iL iC + uc R uo
状态方程
动态网络的分析方法， 动态网络的分析方法，按照描述网络的微分方程 可分为输入输出法和状态变量 法。
uL + uC = e(t )
di L uL = L dt
e(t)
电路理论基础习题答案第十章
答案解：0<t 时，电容处于开路，故V 20k 2m A 10)0(=Ω⨯=-C u由换路定律得：V 20)0()0(==-+C C u u换路后一瞬间，两电阻为串联，总电压为)0(+C u 。
所以m A 5k )22()0()0(1=Ω+=++C u i再由节点①的KCL 方程得：m A 5m A )510()0(m A 10)0(1=-=-=++i i C答案解：0<t 时电容处于开路，电感处于短路，Ω3电阻与Ω6电阻相并联，所以A 3)363685(V45)0(=Ω+⨯++=-i ，A 2)0(366)0(=⨯+=--i i L V 24)0(8)0(=⨯=--i u C 由换路定律得：V 24)0()0(==-+C C u u ，A 2)0()0(==-+L L i i 由KVL 得开关电压：V 8V )2824()0(8)0()0(-=⨯+-=⨯+-=+++L C i u u答案解：0<t 时电容处于开路，0=i ，受控源源电压04=i ，所以V 6.0V 5.1)69(6)0()0()0(1=⨯Ω+Ω===--+u u u C C0>t 时，求等效电阻的电路如图(b)所示。
等效电阻Ω=++-==5)36(4i ii i i u R时间常数s 1.0i ==C R τ0>t 后电路为零输入响应，故电容电压为：V e 6.0e )0()(10/t t C C u t u --+==τΩ6电阻电压为：V e 72.0)d d (66)(101t Ctu Ci t u -=-⨯Ω-=⨯Ω-=)0(>t答案解：0<t 时电感处于短路，故A 3A 9363)0(=⨯+=-L i ，由换路定律得： A 3)0()0(==-+L L i i求等效电阻的电路如图(b)所示。
(b)等效电阻Ω=+⨯+=836366i R ，时间常数s 5.0/i ==R L τ 0>t 后电路为零输入响应，故电感电流为 A e 3e )0()(2/t t L L i t i --+==τ)0(≥t电感电压V e 24d d )(21t L tiL t u --==)0(>tΩ3电阻电流为A e 23632133t L u i u i --=Ω+⨯Ω=Ω=Ω3电阻消耗的能量为：W 3]e 25.0[1212304040233=-==Ω=∞-∞-∞Ω⎰⎰t t dt e dt i W答案解：由换路定律得0)0()0(==-+L L i i ，达到稳态时电感处于短路，故A 54/20)(==∞L i求等效电阻的电路如图(b)所示。
《状态方程的解》课件
解的误差分析
误差来源
主要来源于初始值选取、迭代过程和数值方法的近似误差。
误差传播
误差在迭代过程中会不断累积和放大，影响最终求解精度。
误差控制
通过收敛性分析和敏感性分析，控制误差在可接受范围内。
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03
状态方程的解的性 质
解的存在性
01
存在性定理
对于给定的状态方程，存在至少 一个解。
证明方法
02
03
应用场景
使用反证法，假设不存在解，然 后推导出矛盾，从而证明解的存 在性。
在控制工程、物理、化学等领域 ，经常需要求解状态方程，因此 解的存在性非常重要。
解的唯一性
1 2
唯一性定理
对于给定的初始条件和状态方程，解是唯一的。
《状态方程的解》 ppt课件
目录
CONTENTS
• 状态方程的基本概念 • 状态方程的解法 • 状态方程的解的性质 • 状态方程的解的实例 • 状态方程解的进一步研究
01
状态方程的基本概 念
定义与性质
定义
状态方程是描述系统状态随时间变化 的数学模型，通常表示为微分方程或 差分方程。
性质
状态方程具有非线性、时变性和不确 定性等特点，描述了系统内部状态与 外部输入之间的动态关系。
证明方法
通过数学推导和证明，证明解的唯一性。
3
应用场景
在很多实际问题中，我们需要找到唯一的解来解 决问题，因此解的唯一性非常重要。
解的稳定性
稳定性定义
如果一个解在微小扰动下仍然保持其性质，则称该解是稳定的。
稳定性分类
根据不同的标准，可以将稳定性分为多种类型，如局部稳定性和全 局稳定性、渐进稳定性和非渐进稳定性等。
状态方程
O.雷德利克和J.N.S.于1949年在范德瓦耳斯方程的基础上提出的一个两参数方程：
它是形式最简单的常用状态方程，一般情况下有一定的准确度。式中α和b亦为物质的特征参数，由实验数据 回归求取。
D.Y.彭和D.B.鲁宾逊于1976年提出如下的状态方程： 式中。此方程适用范围和SRK方程相当,在预测液体饱和体积时，其精度比SRK方程有所提高。 多参数方程 在半经验方程中，为使求解达到一定的准确度和扩大应用范围，而建立的一类比三次型方程参 数更多的方程。这类方程，由于参数多，所需要的实验信息和处理数据的工作量都大为增加。应用较广的多参数 方程有： 1）BWR方程 M.本尼迪克特、G.B.韦布和L.C.鲁宾于1940年提出如下的状态方程： 式中ρ=1/Vm，A0、B0、C0、α、b、c、α和γ均为特征参数，由实验数据回归而得。此方程对烃类化合物 较为适用。它是第一个能同时应用于气液两相的状态方程。1970年，K.E.斯塔林对BWR方程作了改进,提出了包括 11个参数的BWRS方程，应用范围比BWR方程更广。 2）马丁-侯方程 J.J.
释义
状态方程，亦称“物态方程”。均匀物质系统处于热力学平衡态时，其质量m、体积V、压力p和温度T间的关 系式，即V=mf(T，p)。若只用强度性质来表达，则上式变为Vm=F(T，p)，式中Vm是摩尔体积或比容。例如，理 想气体的状态方程式是：pVm=RT，式中R是气体常数。对实际气体、液体和固体物质来说，p、Vm、T之间也有确 定的关系式，但形式较复杂。对多组分均匀系统来说，状态方程式为：Vm=f(T，p，x1，x2…)，式中x1，x2…分 别为组分1、组分2…的摩尔分数。从物质的分子结构观点来看，状态方程式决定于物质分子的热运动和相互作用 力。目前各种物质的状态方程式主要由实验来建立，也有用各种参数估计法来建立的。应用状态方程式可对Vm、 T、p、x1、x2…进行相互换算，并导出具体物质系统的热力学性质。例如，恒压热容Cp与恒容热容CV之差等于， 其中两个偏导数就可由状态方程式来求得。
状态方程及其统计热力学基础
§2.3 状态方程（EOS）§2.3.1 状态方程（EOS）的定义§2.3.2 理想气体的状态方程§2.3.3真实气体的状态方程–§2.3.3.1 van der Waals范德华状态方程–§2.3.3.2 Redlich-Kwong状态方程–§2.3.3.3 Peng-Robinson状态方程–§2.3.3.4Virial（维里）状态方程§2.3.4 状态方程的选用§2.3.1 状态方程（EOS）的定义•EOS是计算热力学性质最重要的模型之一。
为何？–１.EOS是物质P-V-T关系的解析式．即用一个EOS即可精确地代表相当广泛范围内的P、V、T实验数据，借此可精确地计算所需的P、V、T数据。
–2. 用EOS可计算不能直接从实验测定的其它热力学性质——（H，S，G）数据。
–3. 用EOS可进行相平衡和化学反应平衡计算什么是EOS状态方程？•f(P,V,T)=0—状态方程Equation of State(EOS)§2.3.1 状态方程（EOS）的定义•目前已有150多种EOS。
但没有一个EOS能描述在工程应用范围内任何气体的行为。
•状态方程包含的规律愈多，方程就愈可靠；准确性越高，范围越广，模型越有价值。
•状态方程的准确度和方程型式的简单性是一对矛盾。
•建立EOS的方法：或以理论法为主、或以经验法为主。
实际应用以半经验半理论和纯经验的EOS为主。
•我们介绍各种EOS的特点和应用范围，并不要求建立。
§2.3.2 理想气体的状态方程•理想气体状态方程：PV=nRT;•当n＝１mol，PV=RT ；Z=PV/RT=1•理想气体：分子间的相互作用力可忽略不计；气体分子本身的体积可忽略不计。
•理想气体EOS是f(P,V,T) =0中最简单的一种形式。
研究理想气体的实际意义• 1 在较低压力和较高温度下可用理想气体方程进行计算。
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将状态方程整理成标准矩阵形式。
三. 拓扑法
借助网络图论法列写状态方程
将电路图变为拓扑图； 选择一棵常态树，它的树支包含了电路中所有电压 源支路和电容支路，以及一些必要的电阻支路，不 包含任何电流源支路和电感支路；
对单电容树枝割集列写KCL方程，对单电感连枝回
路列写KVL方程，消去非状态变量；
将状态方程整理成标准矩阵形式。
10.1 状态变量和状态方程 10.2 状态方程的列写方法
用途：在时域内分析动态电路
线性动态电路的时域分析法：根据换路后的电路，在 时域中建立含待求量的一个一元n阶微分方程并求解此
方程。
状态变量法：根据换路后的电路，在时域中建立含状态 变量的n元一阶微分方程组（也称状态方程），并解此方
程组，再根据用状态变量和激励表示的输出方程来求电路
三. 输出方程
用来从已知的激励和状态变量求响应相量的代数方程，称 为输出方程。它描述了输出与状态变量和激励之间的关系。
R2
iS
R1
C
iL
L
一. 观察法
选所有独立的电容电压和电感电流作为状态变量； 对接有独立电容的节点列写KCL方程，对含有独
立电感的回路列写KVL方程；
若第2)步所列的KCL和KVL方程中含有非状态变
响应的方法。
一. 状态变量
在任意瞬时都能与输入激励量。对于一个电路， 状态变量的选取不是唯一的，但在电路分析中，常取电容电 压和电感电流作为状态变量。
二. 状态方程
称为状态方程，它描述了状态变量的一阶导数与状态变量和
激励之间的关系。
用来从已知的激励和初始状态求状态变量的一阶微分方程，
量，则利用适当的KCL和KVL方程，将非状态变量 消去； 将状态方程整理成标准矩阵形式。
二. 叠加法：替代定理＋线性叠加定理
用电压为 u C的电压源替代电路中的电容、用电流
为i L 的电流源替代电路中的电感； 求每个独立源单独作用时在电容中产生的电流和 电感中的电压； 应用线性叠加定理将各分量叠加即得到状态方程；