云南省昆明市2018届高三第二次统测数学

云南省昆明市2018届高三第二次统测数学（文）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．设集合A={x|﹣x2﹣x+2＜0}，B={x|2x﹣5＞0}，则集合A与B的关系是（）A．B⊆A B．B⊇A C．B∈A D．A∈B2．设复数z满足z（2+i）=5i，则|z﹣1|=（）A．1 B．2 C．D．53．已知甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，若它们的中位数相同，则甲组数据的平均数为（）A．32 B．33 C．34 D．354．设a=60.7，b=log70.6，c=log0.60.7，则（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．a＞c＞b5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B=，a=，sin2B=2sinAsinC，=（）则△ABC的面积S△ABCA．B．3 C．D．66．执行如图所示的程序框图，如果输入N=30，则输出S=（）A．26 B．57 C．225 D．2567．函数f（x）=sin（ωx+φ），（|φ|＜）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递增区间为（）A．（﹣1+4kπ，1+4kπ），k∈Z B．（﹣3+8kπ，1+8kπ），k∈ZC．（﹣1+4k，1+4k），k∈Z D．（﹣3+8k，1+8k），k∈Z8．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，BC=1，BB1=1，P是AB的中点，则异面直线BC1与PD所成角等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°9．在平行四边形ABCD中，||=8，||=6，N为DC的中点，=2，则•=（）A．48 B．36 C．24 D．1210．已知函数f（x）=，则不等式f（x﹣1）≤0的解集为（）A．{x|0≤x≤2}B．{x|0≤x≤3}C．{x|1≤x≤2}D．{x|1≤x≤3}11．某几何体的三视图如图所示，若这个几何体的顶点都在球O的表面上，则球O的表面积是（）A．2πB．4πC．5πD．20π12．以双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）上一点M为圆心作圆，该圆与x轴相切于C的一个焦点F，与y轴交于P，Q两点，若△MPQ为正三角形，则C的离心率等于（）A ．B ．C ．2D ．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若,x y 满足约束条件1010330x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =+的最大值为．14.曲线sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在点⎛ ⎝⎭处的切线方程是． 15.已知边长为6的等边ABC ∆的三个顶点都在球O 的表面上，O 为球心，且OA 与平面ABC 所成的角为45 ，则球O 的表面积为．16.在平面直角坐标系上，有一点列()121,,...,,,...N n n P P P P n *-∈，设点n P 的坐标(),n n a ，其中2(N )n a n n*=∈，过点1,n n P P +的直线与两坐标轴所围成的三角形面积为n b ，设n S 表示数列{}n b 的前n 项和，则5S =．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在平面四边形ABCD中，,2,2,AB BC AB BD BCD ABD ABD ⊥==∠=∠∆的面积为2.（1）求AD 的长； （2）求CBD ∆的面积.18.根据“2015年国民经济和社会发展统计公报”中公布的数据，从2011 年到2015 年，我国的第三产业在GDP 中的比重如下:（1）在所给坐标系中作出数据对应的散点图；（2）建立第三产业在GDP 中的比重y 关于年份代码x 的回归方程； （3）按照当前的变化趋势，预测2017 年我国第三产业在GDP 中的比重.附注:回归直线方程 y abx =+ 中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为: 1122211()()()()n ni iiii i nniii i x y nx y x x y y bxn x x x ====---==--∑∑∑∑ , ay bx =- .19. 在三棱柱111ABC A B C -中，已知侧棱1CC ⊥底面,ABC M 为BC的中点，13,2,AC AB BC CC ===（1）证明:1B C ⊥平面1AMC ； （2）求点1A 到平面1AMC 的距离.20. 在直角坐标系xOy 中， 已知定圆()22:136M x y ++=，动圆N 过点()1,0F 且与圆M 相切，记动圆圆心N 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）设,A P 是曲线C 上两点，点A 关于x 轴的对称点为B (异于点P )，若直线,AP BP 分别交x 轴于点,S T ，证明:OS OT 为定值. 21. 设函数()()2,ln xf x x eg x x x -==.（1）若()()()F x f x g x =-，证明：()F x 在()0,+∞上存在唯一零点； （2）设函数()()(){}min ,h x f x g x =，（{}m i n ,a b 表示,a b 中的较小值），若()h x λ≤，求λ的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为122(2x t t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线1C的极坐标方程为ρ=. （1）写出直线l 的普通方程和曲线1C 的参数方程； （2）若将曲线1C上各点的横坐标缩短为原来的62倍，得到曲线2C ，设点P 是曲线2C 上任意一点，求点P 到直线l 距离的最小值. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()2f x x =+.（1）解不等式()241f x x <--；（2）已知()10,0m n m n +=>>，若不等式()11x a f x m n--≤+恒成立，求实数a 的取值范围.云南省昆明市2018届高三下学期第二次统测数学（文）试题参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．设集合A={x|﹣x2﹣x+2＜0}，B={x|2x﹣5＞0}，则集合A与B的关系是（）A．B⊆A B．B⊇A C．B∈A D．A∈B【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】化解集合A，B，根据集合之间的关系判断即可．【解答】解：集合A={x|﹣x2﹣x+2＜0}={x|x＞1或x＜﹣2}，B={x|2x﹣5＞0}={x|x ＞2.5}．∴B⊆A，故选A【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础2．设复数z满足z（2+i）=5i，则|z﹣1|=（）A．1 B．2 C．D．5【考点】复数求模．【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简求得z，再由复数模的计算公式求|z﹣1|．【解答】解：∵z（2+i）=5i，∴，则|z﹣1|=|2i|=2．故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．3．已知甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，若它们的中位数相同，则甲组数据的平均数为（）A．32 B．33 C．34 D．35【考点】茎叶图．【分析】根据中位数相同求出m的值，从而求出甲的平均数即可．【解答】解：由乙的数据是：21，32，34，36得中位数是33，故m=3，故=（27+33+36）=32，故选：A．【点评】本题考查了中位数和平均数问题，考查茎叶图的读法，是一道基础题．4．设a=60.7，b=log70.6，c=log0.60.7，则（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．a＞c＞b【考点】对数值大小的比较．【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵a=60.7＞1，b=log70.6＜0，c=log0.60.7∈（0，1），∴a＞c＞b，故选：D．【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B=，a=，sin2B=2sinAsinC，=（）则△ABC的面积S△ABCA．B．3 C．D．6【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】由B=，利用勾股定理可求b2=a2+c2，由sin2B=2sinAsinC，利用正弦定理可得：b2=2ac，联立可求a=c，进而利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：在△ABC中，∵B=，a=，∴b2=a2+c2，∵sin2B=2sinAsinC，∴由正弦定理可得：b2=2ac，∴a2+c2=2ac，可得：a=c=，=acsinB==3．∴S△ABC故选：B．【点评】本题主要考查了勾股定理，正弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．6．执行如图所示的程序框图，如果输入N=30，则输出S=（）A．26 B．57 C．225 D．256【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图及已知中输入N的值为30，可得：进入循环的条件为n≤30，模拟程序的运行结果，即可得到输出的S值．【解答】解：模拟程序的运行，可得N=30，n=1，S=0S=1不满足条件n＞30，执行循环体，n=3，S=4不满足条件n＞30，执行循环体，n=7，S=11不满足条件n＞30，执行循环体，n=15，S=26不满足条件n＞30，执行循环体，n=31，S=57满足条件n＞30，退出循环，输出S的值为57．故选：B．【点评】本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的变法，但程序的循环体中变量比较多时，要用表格法对数据进行管理．7．函数f（x）=sin（ωx+φ），（|φ|＜）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递增区间为（）A．（﹣1+4kπ，1+4kπ），k∈Z B．（﹣3+8kπ，1+8kπ），k∈ZC．（﹣1+4k，1+4k），k∈Z D．（﹣3+8k，1+8k），k∈Z【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．【分析】由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得f（x）的增区间．【解答】解：根据函数f（x）=sin（ωx+φ），（|φ|＜）的部分图象，可得=3﹣1=2，求得ω=，再根据五点法作图可得•1+φ=，∴φ=，∴f（x）=sin（x+）．令2kπ﹣≤x+≤2kπ+，求得8k﹣3≤x≤8k+1，故函数的增区间为[﹣3+8k，1+8k]，k∈Z，故选：D．【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，正弦函数的单调性，属于基础题．8．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，BC=1，BB1=1，P是AB的中点，则异面直线BC1与PD所成角等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°【考点】异面直线及其所成的角．【分析】根据题意，取CD的中点Q，连接BQ，C1Q，得出BQ∥PD，∠C1BQ是异面直线BC1与PD所成角，利用等边三角形求出∠C1BQ的值即可．【解答】解：长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，BC=1，BB1=1，取CD的中点Q，连接BQ，C1Q，∵P是AB的中点，∴BQ∥PD，∴∠C1BQ是异面直线BC1与PD所成角，如图所示；△C1BQ中，C1B=BQ=C1Q=，∴∠C1BQ=60°，即异面直线BC1与PD所成角等于60°．故选：C．【点评】本题考查了异面直线所成的角的作法与计算问题，是基础题目．9．在平行四边形ABCD中，||=8，||=6，N为DC的中点，=2，则•=（）A．48 B．36 C．24 D．12【考点】平面向量数量积的运算．【分析】先画出图形，根据条件及向量加减法的几何意义即可得出，，这样进行数量积的运算即可求出的值．【解答】解：如图，，∴；∴=，=；∴===24．故选：C．【点评】考查向量数乘的几何意义，相反向量的概念，以及向量的数乘运算，向量数量积的运算．10．已知函数f（x）=，则不等式f（x﹣1）≤0的解集为（）A．{x|0≤x≤2}B．{x|0≤x≤3}C．{x|1≤x≤2}D．{x|1≤x≤3}【考点】指、对数不等式的解法．【分析】由已知中函数f（x）=是一个分段函数，故可以将不等式f（x﹣1）≤0分类讨论，分x﹣1≥1和x﹣1＜1两种情况，分别进行讨论，综合讨论结果，即可得到答案．【解答】解：当x﹣1≥1，即x≥2时，f（x﹣1）≤0⇔2x﹣2﹣2≤0，解得x≤3，∴2≤x≤3；当x﹣1＜1，即x＜2时，f（x﹣1）≤0⇔22﹣x﹣2≤0，解得x≥1，∴1≤x＜2．综上，不等式f（x﹣1）≤0的解集为{x|1≤x≤3}．故选：D．【点评】本题考查的知识点是分段函数的解析式，及不等式的解法，其中根据分段函数分段处理的原则，对不等式f（x+2）≤3的变形进行分类讨论，是解答本题的关键．11．某几何体的三视图如图所示，若这个几何体的顶点都在球O的表面上，则球O的表面积是（）A．2πB．4πC．5πD．20π【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体为三棱锥，其外接球相当于以俯视图为底面，高为1的三棱柱的外接球，进而得到答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体为三棱锥，其外接球相当于以俯视图为底面，高为1的三棱柱的外接球，底面的外接圆半径r=1，球心到底面的距离d=，故几何体的外接球半径，故几何体的外接球表面积为：S=4πR2=5π，故选：C【点评】本题考查的知识点是球内接多面体，球的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度中档．12．以双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）上一点M为圆心作圆，该圆与x轴相切于C的一个焦点F，与y轴交于P，Q两点，若△MPQ为正三角形，则C的离心率等于（）A．B．C．2 D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意可设F（c，0），MF⊥x轴，可设M（c，n），n＞0，设x=c，代入双曲线的方程，可得M的坐标，圆的半径，运用弦长公式，可得|PQ|=2，再由等边三角形的性质，可得a，c的方程，运用离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：由题意可设F （c ，0）， MF ⊥x 轴，可设M （c ，n ），n ＞0， 设x=c ，代入双曲线的方程可得y=b=，即有M （c ，），可得圆的圆心为M ，半径为，即有M 到y 轴的距离为c ， 可得|PQ |=2，由△MPQ 为等边三角形，可得 c=•2，化简可得3b 4=4a 2c 2，由c 2=a 2+b 2，可得3c 4﹣10c 2a 2+3a 4=0， 由e=，可得3e 4﹣10e 2+3=0， 解得e 2=3（舍去）， 即有e=．故选：B ．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用直线和圆相交的弦长公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．二、填空题13.8 14. 20x y - 15.96π 16.1256三、解答题17. 解：(1)由已知11sin2sin2 22ABDS AB BD ABD ABD∆=∠=⨯∠=，所以sin ABD∠=，又0,2ABDπ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以cos ABD∠=，在ABD∆中，由余弦定理得：2222cos5AD AB BD AB BD ABD=+-∠=，所以AD(2)由AB BC⊥，得2ABD CBDπ∠+∠=，所以sin cosCBD ABD∠=∠=，又42,sin2sin cos5BCD ABD BCD ABD ABD∠=∠∠=∠∠=，222BDC CBD BCD ABD ABD ABD CBDππππ⎛⎫∠=-∠-∠=--∠-∠=-∠=∠⎪⎝⎭，所以CBD∆为等腰三角形，即CB CD=，在CBD∆中，由正弦定理得：sin sinBD CDBCD CBD=∠∠，所以sin51155455,sinsin42244585CBDBD CBDCD S CB CD BCDBCD∆∠====∠=⨯⨯⨯=∠.18. 解：(1)数据对应的散点图如图所示：(2)3,47.06x y ==，1122211()()151.510()()n ni iiii i nniii i x y nx y x x y y bxn x x x ====---====--∑∑∑∑ , 42.56ay bx =-= ， 所以回归直线方程为 1.542.56y x =+.(3)代入2017年的年份代码7x =，得 1.5742.5653.06y =⨯+=，所以按照当前的变化趋势，预计到2017年，我国第三产业在GDP 中的比重将达到0053.06.19. 解：(1) 证明：在ABC ∆中，,AC AB M =为BC 的中点，故AM BC ⊥，又侧棱1CC ⊥底面ABC ，所以1CC AM ⊥，又1B C C C C = ，所以AM ⊥平面11BCC B ，则1A MB C⊥，在1R t BCB ∆中，11tan B B B CB BC ∠==；在1R t MCC ∆中，11tan 2MC MC C C C ∠===，所以11B CB MC C ∠=∠，又11190B CB C CB ∠+∠= ，所以11190MC C C CB ∠+∠= ，即11MC B C ⊥，又11,AM B C AM MC M ⊥= ，所以1B C ⊥平面1AMC.(2)设点1A 到平面1AMC 的距离为h ，由于1111111,A AMC M A AC C AMC A AMC C AMC V V V V V -----==∴=，即111133AMC AMC S h S CC ∆∆=，于是111111122AMC AMC AM MC CC S CC MC CC h S C M AM C M ∆∆=====， 所以点1A 到平面1AMC20. 解：(1)因为点()1,0F 在()22136M x y ++=：内，所以圆N 内切于圆M ，则6NM NF FM +=>，由椭圆定义知，圆心N 的轨迹为椭圆，且26,1a c ==，则229,8a b ==，所以动圆圆心N 的轨迹方程为22198x y +=. (2)设()()()()0011,,,,,0,,0S T P x y A x y S x T x ，则()11,B x y -，由题意知01x x ≠±.则1010AP y y k x x -=-，直线AP 方程为()11AP y y k x x -=-，令0y =，得011010S x y x y x y y -=-，同理()()011001101010T x y x y x y x y x y y y y --+==--+，于是222201100110011022101010S T x y x y x y x y x y x y OS OT x x y y y y y y -+-===-+- ， 又()00,P x y 和()11,A x y 在椭圆22198x y +=上，故2222010181,8199x x y y ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()()22222222222222011001011001018,81818999x x y y x x x y x y x x x x ⎛⎫⎛⎫-=--=---=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以()()222222010110222210018989x x x y x y OS OT y y x x --===-- . 21. 解：(1)函数()F x 的定义域为()0,+∞，因为()2ln xF x x ex x -=-，当01x <≤时，()0F x >，而()2422ln 20F e=-<，所以()F x 在()1,2存在零点.因为()()()()()2211'ln 1ln 1x xx x x F x x x e e---+=-+=-+，当1x >时，()()21111,ln 11x xx x e e e--+≤<-+<-，所以()1'10F x e <-<，则()F x 在()1,+∞上单调递减，所以()F x 在()0,+∞上存在唯一零点.（2）由（1）得，()F x 在()1,2上存在唯一零点0x ，()00,x x ∈时，()()()0;,f x g x x x >∈+∞时，()()()()[)020ln ,0,,,,x x x x x f x g x h x x e x x -∈⎧⎪<∴=⎨∈+∞⎪⎩.当()00,x x ∈时，由于(]()0,1,0x h x ∈≤；()01,x x ∈时，()'ln 10h x x =+>，于是()h x 在()01,x 单调递增，则()()00h x h x <<，所以当00x x <<时，()()0h x h x <.当[)0,x x ∈+∞时，因为()()'2xh x x x e -=-，[]0,2x x ∈时，()'0h x ≥，则()h x 在[]0,2x 单调递增；()2,x ∈+∞时，()'0h x <，则()h x 在()2,+∞单调递减，于是当0x x ≥时，()()224h x h e -≤=，所以函数()h x 的最大值为()224h e -=，所以λ的取值范围为)24,e -⎡+∞⎣. 22. 解：(1)直线l0y -+=，曲线1C的参数方程为(x y θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数）. (2)由题意知，曲线2C 的参数方程为cos (x y θθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数），可设点()cos P θθ，故点P到直线l的距离为d==，所以mind=P到直线l23. 解：（1）不等式()241f x x<--等价于2214x x++-<，即()22214xx x≤-⎧⎪⎨-+-+<⎪⎩或()212214xx x-<<⎧⎪⎨+-+<⎪⎩或()12214xx x≥⎧⎪⎨++-<⎪⎩. 解得7|23x x⎧⎫-<≤-⎨⎬⎩⎭或{}|21x x-<-或∅，所以不等式的解集为7|13x x⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭.（2）因为()222x a f x x a x x a x a--=--+≤---=+，所以()x a f x--的最大值是2a+，又()10,0m n m n+=>>，于是()112224n mm nm n m n⎛⎫++=++≥+=⎪⎝⎭，11m n∴+的最小值为4.要使()11x a f xm n--≤+的恒成立，则24a+≤，解此不等式得62a-≤≤.所以实数a 的取值范围是[]6,2-.。