方程的根与零点的关系.

(1) 对 于 函 数 f(x) ＝ x2 ＋ mx ＋ n ， 若 f(a)>0 ， f(b)>0，则函数f(x)在区间(a，b)内 ( ) A．一定有零点 B．一定没有零点 C．可能有两个零点 D ．至多有一 个零点 (2) 若函数 f(x) 在定义域 {x|x∈R 且 x≠0} 上是偶 函数，且在 (0 ，＋ ∞ ) 上为减函数， f(2) ＝ 0 ， 则函数f(x)的零点有 ( ) A．一个 B．两个


[例1] 1.指出下列函数的零点： ①f(x)＝4x－3 ②f(x)＝x2－3x＋2 ③f(x)＝x4－1 2．函数f(x)＝x2＋ax＋b的两个零点是 2和－4， 求a、b. 3．函数f(x)＝ax2－x－1仅有一个零点，求实 数a的取值范围．
[解析]
1.函数零点就是相应方程的实数根，可用求根

2．一般地，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 的实数根及其相应的二次函数y＝ax2＋bx＋ c(a≠0)的图象与x轴交点的关系如下表，请填写
Δ ＝b 2
函数y＝ ax2＋bx － ＋c图 4ac 象
方程的实根
y＝ax2＋bx ＋c与x轴 结论 的交点 方程 的 实 根 即 函 数 图 象 与


3．方程的根与函数的零点的作用 一方面，函数是否有零点是研究函数性质和 精确地画出函数图象的重要一步．例如，求 出二次函数的零点及其图象的顶点坐标，就 能确定二次函数的一些主要性质，并能粗略 地画出函数的简图． 另一方面，对于不能用公式法求根的方程f(x) ＝0来说，我们可以将它与函数y＝f(x)联系起 来，利用函数的性质找出零点或所在范围， 从而求出方程的根或根的近似值．
1 ②由lgx＋2＝0得，lgx＝－2，∴x＝100. 1 故g(x)的零点为100.
f(－1)＝0 (2)由条件知 f(4)＝0 a＝1 ∴ b＝－3 a－b－4＝0 ，∴ 16a＋4b－4＝0
，
，∴f(1)＝a＋b－4＝－6.



[ 例 2] 二次函数 y ＝ ax2 ＋ bx ＋ c 中， a·c<0 ， 则函数的零点个数是 ( ) A．1个 B．2个 C．0个 D．无法确定 [ 分析 ] 分析条件 a·c<0 ， a 是二次项系数， 确定抛物线的开口方向，c＝f(0)，所以a·c＝ a·f(0)<0，由此得解．



2．函数变号零点的性质． 对于任意函数 y ＝ f(x) ，只要它的图象是连续 不间断的，则有： ①当它通过变号零点时，函数值变号．如函 数f(x)＝x2－2x－3的图象在零点－1的左边时， 函数值取正号，当它通过零点－1时，函数值 由正变为负，再通过第二个零点3时，函数值 又由负变正． ②在相邻两个零点之间所有的函数值保持同 号．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(1)指出下列函数的零点： ①f(x)＝x2－2x－3零点为________． ②g(x)＝lgx＋2零点为________． (2)已知－1和4是函数f(x)＝ax2＋bx－4的零点， 则f(1)＝________.
[答案]
[解析]
1 (1)①3，－1 ②100 (2)－6 (1)①f(x)＝(x－3)(x＋1)的零点为3和－1，
3． 1
函数与方程
3．1.1
方程的根与函数的零 点




(1,0)，(－1,0) 1．函数y＝x2－1与x轴交点坐标为 ． x＝±1 方程x2－1＝0的实数根为 (0,0) . 函数y＝x2与x轴交点坐标为 ． x＝0 方程x2＝0的实数根为 无 . 无 ． 函数y＝x2＋1与x轴交点 方程x2＋1＝0的实数根 ．
Δ>0
Δ＝0




f ( x ) ＝0 3.对于函数y＝f(x)，我们把使 的 实数x叫做函数y＝f(x)的零点． 方程f(x)＝0有实数根 x轴 ⇔函数y＝f(x)的图象与 有交点 ⇔函数y＝f(x)有 零 点． 4 ．若函数 y ＝ f(x) 在区间 [a， b] 上的图象是连 续曲线，且有 ，则函数 y ＝ f(x) 在 f(a)f(b)<0 区间 (a ， b) 内有零点，即存在 c∈(a ， b) 使得 0 f(c)＝ .
[解析]
解法1：∵c＝f(0)，∴a· c＝a· f(0)<0
a<0， 或 f(0)>0.
a>0， 即a和f(0)异号，即 f(0)<0，
∴函数必有两个零点．∴选B. 解法2：∵ac<0，∴Δ＝b2－4ac>0， ∴有两个零点．

总结评述：判断二次函数f(x)的零点个数，就 是判断一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的实根个 数，一般地由判别式Δ>0、Δ＝0、Δ<0完 成．对于二次函数在某个定义区间上的零点 个数以及不能用“Δ”判断的二次函数零点， 则要结合二次函数的图象进行．

本节重点难点：通过方程与函数的关系，确定 方程根的存在性和根的个数．


1．一般结论 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续 不间断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么， 函数 y ＝ f(x) 在区间 (a ， b) 内有零点．即存在 c∈(a ， b) ，使得 f(c) ＝ 0 ，这个 c 就是方程 f(x) ＝ 0 的根．零点 c 通常称作函数 f(x) 的变号零 点． 注意： f(x) 的图象必须在区间 [a， b]上连续不 断且 f(a)·f(b)<0 时，才可确定 f(x) 在 [a ， b] 上 有零点．
公式或分解因式求解． 3 3 ∴①由4x－3＝0得x＝4，零点是4. ②f(x)＝0，即(x－1)(x－2)＝0， ∴f(x)零点为1和2. ③∵f(x)＝x4－1＝(x2＋1)(x＋1)(x－1) 令f(x)＝0得x＝± 1，∴该函数零点为1和－1.
2．由题意知2和－4是方程x2＋ax＋b＝0的两根∴a＝ 2，b＝－8. 3．若a＝0，则f(x)＝－x－1仅有一个零点－1；若 1 a≠0，由Δ＝1＋4a＝0得a＝－ ，此时函数只有一个零点， 4 1 ∴当a＝0或－4时，所给函数有且仅有一个零点．