方程的根与零点的关系.
1.函数的零点与方程的根
定义证明.(2)因在 为增函数, 解:(1)定义证明 因在 ( −1,+∞ ) 为增函数 定义证明 为增,又 故在 (0,+∞ ) 为增 又 f(0)= -1<0,f(1)=2.5,所 所 以在(0,1)有且只有一个正根 下用二分法 有且只有一个正根.下用二分法 以在 有且只有一个正根 列表,区间 中点,中点函数值 约为 0.28(列表 区间 中点 中点函数值 列表 区间,中点 中点函数值)
一、一元二次函数与一元二次方程 内容复习
知识归纳： 一元二次函数、不等式、 知识归纳：、一元二次函数、不等式、方程的关系 1、
∆ = 0
∆ = 0
∆ < 0
二次函数
y = ax
2
+ bx + c
（ a > 0 ）的 图象
一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根
(a
ax
2
> 0) 的根
+ bx + c = 0
3.方程有一正根一负根 ⇔ ac < 0
如果两根都大于2乍办？ 如果两根都大于 乍办？ 乍办
2.方程有两个不相等的负实数根 ⇔
∆ = b − 4 ac > 0 b x1 + x 2 = − > 0 a c x1 x 2 = > 0 a
方程的根与函数的零点(精选7篇)
方程的根与函数的零点（精选7篇）方程的根与函数的零点篇1第一课时： 3.1.1教学要求：结合二次函数的图象，推断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；把握零点存在的判定条件.教学重点：体会函数的零点与方程根之间的联系，把握零点存在的判定条件.教学难点：恰当的使用信息工具，探讨函数零点个数.教学过程：一、复习预备：思索：一元二次方程 +bx+c=o(a 0)的根与二次函数y=ax +bx+c的图象之间有什么关系？.二、讲授新课：1、探讨函数零点与方程的根的关系：① 探讨：方程x -2x-3=o 的根是什么？函数y= x -2x-3的图象与x轴的交点?方程x -2x+1=0的根是什么？函数y= x -2x+1的图象与x轴的交点？方程x -2x+3=0的根是什么？函数y= x -2x+3的图象与x轴有几个交点？② 依据以上探讨，让同学自己归纳并发觉得出结论：→推广到y=f(x)呢？一元二次方程 +bx+c=o(a 0)的根就是相应二次函数y=ax +bx+c的图象与x轴交点横坐标.③ 定义零点：对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.④ 争论：y=f(x)的零点、方程f(x)=0的实数根、函数y=f(x) 的图象与x 轴交点的横坐标的关系？结论：方程f(x)=0有实数根函数y=f(x) 的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点⑤ 练习：求下列函数的零点；→ 小结：二次函数零点状况2、教学零点存在性定理及应用：① 探究：作出的图象，让同学们求出f(2),f(1)和f(0)的值, 观看f(2)和f(0)的符号②观看下面函数的图象，在区间上______(有/无)零点； _____0（＜或＞）. 在区间上______(有/无)零点； _____0（＜或＞）. 在区间上______(有/无)零点； _____0（＜或＞).③定理：假如函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a).f(b)0,那么，函数y=f(x)在区间（a,b）内有零点，即存在c (a,b),使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根.④ 应用：求函数f(x)=lnx+2x-6的零点的个数. （试争论一些函数值→分别用代数法、几何法）⑤小结：函数零点的求法代数法：求方程的实数根；几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点.⑥ 练习：求函数的零点所在区间.3、小结：零点概念；零点、与x轴交点、方程的根的关系；零点存在性定理三、巩固练习：1. p97, 1,题 2,题（老师计算机演示，同学回答）2. 求函数的零点所在区间，并画出它的大致图象.3. 求下列函数的零点：；；；.4.已知：（1）为何值时，函数的图象与轴有两个零点；（2）假如函数至少有一个零点在原点右侧，求的值.5. 作业：p102, 2题；p125 1题其次课时： 3.1.2用二分法求方程的近似解教学要求：依据详细函数图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解. 通过用二分法求方程的近似解，使同学体会函数零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识.教学重点：用二分法求方程的近似解.教学重点：恰当的使用信息工具.教学过程：一、复习预备：1. 提问：什么叫零点？零点的等价性？零点存在性定理？零点概念：对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.方程f(x)=0有实数根函数y=f(x) 的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点假如函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a).f(b)0,那么，函数y=f(x)在区间（a,b）内有零点，即存在c (a,b),使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根.2. 探究：一元二次方程求根公式？三次方程？四次方程？材料：高次多项式方程公式解的探究史料：在十六世纪，已找到了三次和四次函数的求根公式，但对于高于4次的函数，类似的努力却始终没有胜利，到了十九世纪，依据阿贝尔（abel）和伽罗瓦（galois）的讨论，人们熟悉到高于4次的代数方程不存在求根公式，亦即，不存在用四则运算及根号表示的一般的公式解.同时，即使对于3次和4次的代数方程，其公式解的表示也相当简单，一般来讲并不相宜作详细计算.因此对于高次多项式函数及其它的一些函数，有必要寻求其零点的近似解的方法，这是一个在计算数学中非常重要的课题二、讲授新课：1. 教学二分法的思想及步骤：① 出示例：有12个小球，质量匀称，只有一个是比别的球重的，你用天平称几次可以找出这个球的，要求次数越少越好. （让同学们自由发言，找出最好的方法）解：第一次，两端各放六个球，低的那一端肯定有重球其次次，两端各放三个球，低的那一端肯定有重球第三次，两端各放一个球，假如平衡，剩下的就是重球，否则，低的就是重球.其实这就是一种二分法的思想，那什么叫二分法呢？② 探究：的零点所在区间？如何找出这个零点？→ 师生用二分法探究③ 定义二分法的概念：对于在区间[a,b]上连续不断且f(a).f(b)0的函数y=f(x)，通过不断的把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步靠近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法(bisection)④ 探究：给定精度ε，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下：a.确定区间，验证，给定精度ε；b. 求区间的中点；c. 计算：若，则就是函数的零点；若，则令（此时零点）；若，则令（此时零点）；d. 推断是否达到精度ε；即若，则得到零点零点值a（或b）；否则重复步骤2~4.2. 教学例题：① 出示例：借助计算器或计算机用二分法求方程2 +3x=7的近似解. （师生共练）② 练习：求函数的一个正数零点（精确到）3. 小结：二分法的概念, 二分法的步骤；注意二分法思想三、巩固练习：1. p100, 1,题 2,题； 2. 求方程的解的个数及其大致所在区间.3. 用二分法求的近似值；4. 求方程的实数解个数：；5. 作业：p102 3，4题，阅读p105框图方程的根与函数的零点篇2一、教学内容解析本节课的主要内容有函数零点的的概念、函数零点存在性判定定理。
方程的根与函数的零点 课件
此判定方法经常考，要注意条件一定要完备，缺一不可． 反之，若函数 y＝f(x)在(a，b)内有零点，则 f(a)·f(b)＜0 不一定 成立． 因为 f(x)在(a，b)内的零点可能为不变号零点，也可能不止一个 零点．
(2)应用零点存在性定理应注意以下问题： ①并非函数所有的零点都能用该定理找到，当函数值在零点左 右不变号时就不能应用该定理，如函数 y＝x2 在零点 x0＝0 左右 的函数值都是正值，显然不能使用定理判断，只有函数值在零 点的左右两侧异号时才能用这种方法． ②利用零点存在性定理只能判别函数 y＝f(x)在区间(a，b)上零 点的存在性，但不能确定零点的个数．
2．解决有关根的分布问题应注意以下几点： (1)首先画出符合题意的草图，转化为函数问题． (2)结合草图考虑四个方面：①Δ 与 0 的大小；②对称轴与所给 端点值的关系；③端点的函数值与零的关系；④开口方向． (3)写出由题意得到的不等式． (4)由得到的不等式去验证图象是否符合题意，这类问题充分体 现了函数与方程的思想，也体现了方程的根就是函数的零点．在 写不等式时要注意条件的完备性．
方程的根与函数的零点
自学导引 1．函数的零点 对于函数 y＝f(x)，把 使f(x)＝0的实数x 叫做函数 y＝f(x)的零点． 想一想：函数的零点是函数 y＝f(x)与 x 轴的交点吗？ 提示 函数的零点不是函数 y＝f(x)与 x 轴的交点，而是 y＝f(x) 与 x 轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是 一个实数．
如 f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)的两个零点为
x1，x2(x1≤x2)且 k1＜x1≤x2＜k2.
Δ≥0， 则k1＜－2ba＜k2，
ffkk12＞ ＞00， ，
题型一 求函数的零点 【例 1】 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出． (1)f(x)＝xx＋；3 (2)f(x)＝x2＋2x＋4； (3)f(x)＝2x－3； (4)f(x)＝1－log3x； [思路探索] 利用解方程的方法求相应方程的根即可．
2021届高中数学新人教版高中数学第一册方程的根与函数的零点含解析
3.1.1方程的根与函数的零点课标要点课标要点学考要求高考要求1.函数零点的概念a b2.f(x)＝0有实根与y＝f(x)有零点的关系b c3.函数零点的判定b c知识导图学法指导1.会用因式分解、公式法等求一元二次方程的根，并明白与相应二次函数图象间的关系．2．熟悉基本函数(一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数)的图象与性质，能根据图象判断零点的情况.知识点一函数的零点1．零点的定义对于函数y＝f(x)，把f(x)＝0的实数x，叫做函数y＝f(x)的零点．函数的零点不是一个点，而是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．2．方程的根与函数零点的关系知识点二函数零点的判定函数零点的存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，．(3,4)(2)判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．①f(x)＝－x2－4x－4；②f(x)＝4x＋5；③f(x)＝log3(x＋1)．＝f(x)的图象，图见解析方程f(x)＝0的实数根的个数就是函数思路二：画出函数图象，依据图象与x上是一条连续不断的)内至少有一个零解析：方法一 方程x ＋2＝0(x <0)的根为x ＝－2，方程x 2－1＝0(x >0)的根为x ＝1，所以函数f (x )有2个零点－2与1.方法二 画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x <0，x 2－1，x >0的图象，如图所示，观察图象可知，f (x )的图象与x 轴有2个交点，所以函数f (x )有2个零点．答案：C解决分段函数的零点个数问题的关键在于“对号入座”，即根据分段函数中自变量的取值范围，代入相应的解析式求解零点，注意自变量的取值范围．类型三 判断函数的零点所在的大致区间例3 设x 0是函数f (x )＝ln x ＋x －4的零点，则x 0所在的区间为( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)【解析】 因为f (2)＝ln 2＋2－4＝ln 2－2<0，f (3)＝ln 3－1>ln e －1＝0，f (2)·f (3)<0.由零点存在性定理，得x 0所在的区间为(2,3)．【答案】 C根据零点存在性定理，对照选项，只需验证区间端点函数值的符号，或可借助于图象分析．方法归纳判断函数零点所在区间的三个步骤(1)代入：将区间端点值代入函数求出函数的值． (2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断．(3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点．跟踪训练3 函数f (x )＝2x －1＋x －5的零点所在的区间为( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)解析：f (2)＝22－1＋2－5<0，f (3)＝23－1＋3－5>0，故f (2)·f (3)<0，又f (x )在定义域内是增函数，则函数f (x )＝2x －1＋x －5只有一个零点，且零点所在的区间为(2,3)．答案：C利用f(a)·f(b)<0求零点区间.[能力提升](20分钟，40分)11．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表：x －3－2－10123 4y 6m －4－6－6－4n 6 不求a，b，c的值，判断方程ax2＋bx＋c＝0的两根所在的区间是()A．(－3，－1)和(2,4) B．(－3，－1)和(－1,1)C．(－1,1)和(1,2) D．(－∞，－3)和(4，＋∞)解析：因为f(－3)＝6>0，f(－1)＝－4<0，所以在(－3，－1)内必有根，又由f(2)＝－4<0，f(4)＝6>0，所以在(2,4)内必有根．答案：A12．函数f(x)＝ln x＋x2－3的零点的个数是________．解析：方法一函数对应的方程为ln x＋x2－3＝0，所以原函数零点的个数即为函数y＝ln x与y＝3－x2的图象交点个数．在同一坐标系下，作出两函数的图象(如图)．由图象知，函数y＝3－x2与y＝ln x的图象只有一个交点．从而ln x＋x2－3＝0有一个根，即函数f(x)＝ln x＋x2－3有一个零点．方法二因为f(1)＝－2，f(2)＝ln 2＋1>0.所以f(1)·f(2)<0，又f(x)＝ln x＋x2－3的图象在(1,2)上是不间断的，所以f(x)在(1,2)上必有零点，又f(x)在(0，＋∞)上是递增的，所以零点只有一个．答案：113．函数f(x)＝x2－2|x|＋a－1有四个不同的零点，求实数a的取值范围．解析：由f(x)＝0得a－1＝2|x|－x2，因为函数f(x)＝x2－2|x|＋a－1有四个不同的零点，所以函数y＝a－1与y＝2|x|－x2的图象有四个交点，画出函数y ＝2|x|－x2的图象，如图所示，观察图象可知，0<a－1<1，所以1<a<2.即a的取值范围为(1,2)．。
方程的根与函数的零点
《方程的根与函数的零点》说课稿一、教材分析1.地位与作用本节内容为人教版《普通高中课程标准实验教科书》A版必修1第三章《函数的应用》第一节《函数与方程》的第一课时主要内容是函数零点概念、函数零点与相对应方程根的关系，函数零点存有性定理，是一节概念课。
新教材新增了二分法，也因而设置了本节课，所以本节课首先是为“用二分法求方程的近似解”打基础，零点概念与零点存有性定理是二分法的必备知识。
从研究方法来说，零点概念的形成和零点存有定理的发现，符合从特殊到一般的理解规律，有利于培养学生的概括归纳水平，也为数形结合思想提供了广阔的平台，2.教学重点基于上述分析，确定本节的教学重点是：了解函数零点的概念掌握函数零点存有性定理。
二、学情分析1.学生具备必要的知识与心理基础通过前面的学习，学生已经了解一些基本初等函数的模型，具备一定的看图识图的水平，这为本节课利用函数图象，判断方程根的存有性提供了一定的知识基础。
2.学生缺乏函数与方程联系的观点高一学生在函数的学习中，将函数孤立起来，理解不到函数在高中中的核心地们，例如：一元二次方程根的分布问题，学生自然会想到韦达定理，而不是看二次函数图象，函数与方程相联系的观点的建立，函数应用意识的初步树立就成了本节课必须承载的任务3.零点定理的矛盾零点存有性定理的获得与应用，必须让学生从一定量的具体实例中操作感知，通过更多的举例来验证。
定理只为零点的存有提供充分非必要条件，所以定理的逆命题，否命题都不成立，在函数连续性，简单逻辑用语来学习的情况下，学生对定理的理解不够深入，这就要求教师引导学生体验各种成立与不成立情况，从正面、反面、侧面等不同的角度审视定理的条件与适用范围。
4.数学难点基于上述分析，确定本节教学难点：对零点存有的定理的准确理解。
三、目标分析依据新课标中心的内容与要求，以及学生实践情况。
指定数学目标如下：1 . 知识与技能目标①. 了解函数零点的概念：能够结合具体方程（如：二次方程）说明方程的根，函数的零点，函数图象与X轴的交点三者关系。
方程的根与零点的关系
2．函数变号零点的性质． 对于任意函数y＝f(x)，只要它的图象是连续 不间断的，则有： ①当它通过变号零点时，函数值变号．如函 数f(x)＝x2－2x－3的图象在零点－1的左边时， 函数值取正号，当它通过零点－1时，函数值 由正变为负，再通过第二个零点3时，函数值 又由负变正． ②在相邻两个零点之间所有的函数值保持同 号．
3．方程的根与函数的零点的作用 一方面，函数是否有零点是研究函数性质和 精确地画出函数图象的重要一步．例如，求 出二次函数的零点及其图象的顶点坐标，就 能确定二次函数的一些主要性质，并能粗略 地画出函数的简图． 另一方面，对于不能用公式法求根的方程f(x) ＝0来说，我们可以将它与函数y＝f(x)联系起 来，利用函数的性质找出零点或所在范围， 从而求出方程的根或根的近似值．
[例 6]
1 函数 f(x)＝x＋ 的零点个数为( x B．1 个 D．至多 1 个
)
A．0 个 C．至少 1 个
[错解] ∵f(1)＝2>0，f(－1)＝－2<0， ∴f(x)至少有一个零点，故选C. [辨析] 解决函数问题必须注意函数的定义 域，本题中，函数f(x)定义域为(－∞，0)∪(0， ＋∞)，∴f(x)的图象不是连续不断的．在定义 域上不能用勘根定理．因为此定理的前提条 件是函数图象连续不断． [正解] 易知函数定义域为{x∈R|x≠0}，当 x<0时，f(x)<0，当x>0时，f(x)>0，∴函数无 零点，故选A.
(1) 对 于 函 数 f(x) ＝ x2 ＋ mx ＋ n ， 若 f(a)>0 ， f(b)>0，则函数f(x)在区间(a，b)内 ( ) A．一定有零点 B．一定没有零点 C．可能有两个零点 D．至多有一 个零点 (2)若函数f(x)在定义域{x|x∈R且x≠0}上是偶 函数，且在(0，＋∞)上为减函数，f(2)＝0， 则函数f(x)的零点有 ( ) A．一个 B．两个
方程的的零点根与函数
表格法是用表格的形式来表示 函数，通过输入值和对应的输 出值来展示函数的对应关系。
图象法是用图象来表示函数， 通过绘制函数的图像来直观地
展示函数的对应关系。
函数的性质
函数的性质包括奇偶性、单调性、周期性和对称性等。
奇偶性是指函数图像关于原点对称还是关于y轴对称；单调性是指函数在某个区 间内是递增还是递减；周期性是指函数图像是否具有周期性；对称性是指函数图 像是否具有对称性。
03
函数与零点、根的关系
函数零点的求法
定义法
根据函数零点的定义，如果 $f(x)=0$的解为$x=a$，则称$a$
为函数$f(x)$的零点。
图像法
通过观察函数的图像，找到与$x$ 轴交点的横坐标即为函数的零点。
迭代法
通过不断迭代函数，找到满足 $f(x)=0$的解。
函数根的求法
01
02
03
代数法
解决实际问题
在解决一些实际问题时， 可以通过寻找函数的零点 或根来找到问题的解。
数学建模
在数学建模中，函数的零 点或根可以作为模型中的 参数或变量，用于描述和 解决实际问题。
04
方程的零点、根与函数的实例 分析
一元二次方程的零点与根
01
一元二次方程的零点
一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 的零点是 $x_1, x_2$，其中 $x_1,
未来研究方向
深入理论研究
01
随着数学和其他学科的发展，需要进一步深入研究和探索零点、
根与函数的理论基础和应用范围。
跨学科研究
02
加强与其他学科的交叉研究，探索这些概念在不同领域的应用
方程的根与函数的零点
方法指导
解析
将方程的根转化为函数图象的交点的横坐标问题,画图即可得出结果.
由题意可得 2x+x=2⇒2x=2-x,log2x+x=2⇒log2x=2-x,
则 a,b,c 分别为 y=2-x 与 y=2x,y=2-x 与 y=log2x,y=log2(-x)
与 y=2x 图象的交点的横坐标,如图,在同一坐标系中画出 y=2x,y=log2x,y=log2(-x),y=2x,y=2x 的图象,可得 b>a>c.
2022
湘教版必修第一册
第四章
幂函数、指数函数和对数函数
4.4 函数与方程
4.4.1 方程的根与函数的零点
目
录
1
课前预学
2
课堂导学
课前预学
课堂导学
1.理解函数的零点与方程的根的关系.
2.掌握函数零点的性质.
3.掌握函数零点个数的判断方法以及零点分布情况.
课前预学
课堂导学
下图为函数 f(x)在[-4,4]上的图象:
课前预学
课堂导学
方法总结 判断函数零点所在区间的三个步骤
(1)代入:将区间端点值代入函数求出函数的值;
(2)判断:把所得的函数值相乘,并进行符号判断;
(3)结论:若符号为正且函数在该区间内是单调函数,则在该区间内无零点,若符号
为负且函数连续,则在该区间内至少有一个零点.
课前预学
课堂导学
【巩固训练】
课前预学
课堂导学
问题 2:一般地,方程 f(x)=0 的根与函数 y=f(x)的零点是什么关系?
答案
方程 f(x)=0 的根就是函数 y=f(x)的零点.
方程的跟与零点定理
辨析4：若函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，则一定能够得出f(x)在 [a,b]上连续，或者一定有f(a)·f(b)<0么？ （不一定）
c1
c2 b
c1
c2
a
x
a
b
x
结论：函数零点存在性定理不可逆的。
例2、已知函数f(x)的图像是连续不断的，且有如下对应值表:
X
1
2 9
3 -7
4 11
5 -5
函数零点的定义：
对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数 y=f(x)的零点。 注意： 零点指的是一个实数；
零点是一个点吗?
函数零点的求法
①（代数法）求方程 f(x)=0的实数根；
②（几何法）对于不能用求根公式的方程， 评注：求函数的零点就是求相应的方程的根，一般 可以将它与函数y=f(x)的图象联系起来，并 可以借助求根公式或因式分解等办法，求出方程的 利用函数的性质找出零点． 根，从而得出函数的零点。
6 -12
f(x) 23
问：那么函数在区间[1 , 6]上的零点至少有几个，哪些区 间上一定存在零点
答案：至少有3个零点 分别在区间 （2， 3），（3，4），（ห้องสมุดไป่ตู้，5）上
课堂小结：
１、函数零点的定义；
2、函数的零点与方程的根的关系； 3、确定函数的零点的方法。 4、估计函数的零点所在的区间。
2
y y y
.
2
－1
. .0
－3 －4
1
－1 －2
. .
1 2 3
2 1
. . .
1
.
3 2
5
x
－1
.
函数与方程
函数与方程知识点1.函数零点的概念对于函数y=f(x),x∈D,我们把使f(x)=0的实数x叫作函数y=f(x),x∈D的零点.注意：函数的零点是实数,而不是点;并不是所有的函数都有零点,若函数有零点,则零点一定在函数的定义域内.2.函数的零点与方程根的联系由函数零点的概念可知,函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根,也就是函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标.所以方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点.3.二次函数的零点对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),其零点个数可根据一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式来确定,具体情形如下表:Δ>0Δ=0Δ<0方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的个数有两个不相等的实数根有两个相等的实数根无实数根函数y=ax2+bx+c(a≠0)的零点个数有两个零点有一个零点无零点函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象a>0a<0函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与轴的交点个数有两个交点有一个交点无交点4.零点存在性定理如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.注意：在上述定理的条件下,只能判断出零点存在,不能确定零点的个数.【辨析比较】f (a )·f (b )<0与函数f (x )存在零点的关系①.若函数y =f (x )在闭区间[a ,b ]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f (a )·f (b )<0,则函数y =f (x )一定有零点.图1②.由函数y =f (x )在闭区间[a ,b ]上有零点不一定能推出f (a )·f (b )<0,如图1.所以f (a )·f (b )<0是y =f (x )在闭区间[a ,b ]上有零点的充分不必要条件.事实上,只有当函数图象通过零点(不是偶次零点)时,函数值才变号,即相邻两个零点之间的函数值同号.注意：若函数f (x )在[a ,b ]上单调,且f (x )的图象是连续不断的一条曲线,则f (a )·f (b )<0⇒函数f (x )在[a ,b ]上只有一个零点. 5.二分法的概念对于在区间[a ,b ]上连续不断且f (a )·f (b )<0的函数y =f (x ),通过不断地把函数f (x )的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫作二分法. 6.用二分法求函数零点近似值的步骤给定精确度ε,用二分法求函数f (x )零点近似值的步骤如下: 第一步:确定区间[a ,b ],验证f (a )·f (b )<0,给定精确度ε. 第二步:求区间(a ,b )的中点x 1. 第三步:计算f (x 1).(1)若f (x 1)=0,则x 1就是函数的零点;(2)若f (a )·f (x 1)<0,则令b =x 1(此时零点x 0∈(a ,x 1)); (3)若f (x 1)·f (b )<0,则令a =x 1(此时零点x 0∈(x 1,b )).第四步:判断是否达到精确度ε,即若|a -b |<ε,则得到零点近似值a (或b ),否则重复第二、三、四步. 7.常见的几种函数模型(1)一次函数模型：y ＝kx ＋b (k ≠0)．(2)反比例函数模型：y ＝kx ＋b (k ，b 为常数且k ≠0)．(3)二次函数模型：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)．(4)指数函数模型：y＝a·b x＋c(a，b，c为常数，b＞0，b≠1，a≠0)．(5)对数函数模型：y＝m log a x＋n(m，n，a为常数，a＞0，a≠1，m≠0)．(6)幂函数模型：y＝a·x n＋b(a≠0)．8.三种函数模型之间增长速度的比较题型一：判断函数零点问题【例1】函数f(x)＝e x＋3x的零点个数是()A．0B．1C．2D．3【例2】函数f(x)＝3x－x2的零点所在区间是()A．(0,1) B．(1,2) C．(－2，－1) D．(－1,0)【例3】已知函数和在的图象如下所示：给出下列四个命题：①方程有且仅有6个根②方程有且仅有3个根)(xfy=)(xgy=]2,2[-)]([=xgf0)]([=xfg③方程有且仅有5个根 ④方程有且仅有4个根 其中正确的命题是 ．（将所有正确的命题序号填在横线上）.【过关练习】1.设f (x )＝ln x ＋x －2，则函数f (x )的零点所在的区间为( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3)D ．(3,4)2.函数f (x )＝2x |log 0.5x |－1的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．43.函数()2log 21f x x x =+-的零点必落在区间 （ ） A.B.C.D.(1,2)4.函数()y f x =的图象是在R 上连续不断的曲线，且(1)(2)0f f >g ，则()y f x =在区间[1,2]上（ ）. A. 没有零点B. 有2个零点C. 零点个数为偶数D. 零点个数为k ，k N ∈题型二：根据零点求取值范围【例1】函数f (x )＝ax ＋1－2a 在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a 的取值范围是________．【例2】已知关于x 的方程x 2＋mx －6＝0的一个根比2大，另一个根比2小，则实数m 的取值范围是________． 【例3】已知定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x －4)＝f (x )，且在区间[0,2]上f (x )＝x ，若关于x 的方程f (x )＝log a x 有三个不同的实根，求a 的取值范围．【过关练习】1.函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,2)0)]([=x f f 0)]([=x g g ⎪⎭⎫ ⎝⎛41,81⎪⎭⎫ ⎝⎛21,41⎪⎭⎫ ⎝⎛1,21C ．(0,3)D ．(0,2)2.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________．3.若函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是__________．4.若函数()()01x f x a x a a a =-->≠且有两个零点，则实数a 的取值范围是 .5.关于x 的方程 22(28)160x m x m --+-=的两个实根 1x 、2x 满足 1232x x <<，则实数m 的取值范 围 。
方程的根与函数的零点
(1)函数 y＝2x－6 的零点是______． (2)函数 f(x)＝x2－1x的零点个数是______． 解析：(1)∵2x－6＝0，∴x＝3. (2)f(x)零点的个数就是方程 x2 －1x＝0 根的个数，也就是 y＝x2 与 y＝1x两函数图象交点的个数，如图． 答案：(1)3 (2)1
判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”． 1．函数f(x)的零点就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点．( ) 2．在闭区间[a，b]上连续的曲线y＝f(x)，若f(a)·f(b)＜0，则函数y＝f(x)在区
方法二：在同一坐标系下作出 h(x)＝2－2x 和 g(x)＝lg(x＋ 1)的草图．由图象知 g(x)＝lg(x＋1)的图象和 h(x)＝2－2x 的图象 有且只有一个交点，即 f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2 有且只有一个零 点．
【互动探究】 将本例中函数解析式改为f(x)＝x－3＋ln x呢？ 解：方法一：令f(x)＝x－3＋ln x＝0， 则ln x＝3－x， 在同一平面直角坐标系内画出函数y＝ln x与y＝－x＋3的图象，
2．判断函数零点所在区间的三个步骤
(1)代：将区间端点代入函数求出函数的值．
(2)判：把所得函数值相乘，并进行符号判断．
(3)结：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间 内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一 个零点．
2．(1)使得函数 f(x)＝ln x＋12x－2 有零点的一个区间是
(2)解析：构造函数 f(x)＝ex＋x－2，由 f(0)＝－1，f(1)＝e －1>0，显然函数 f(x)是单调函数，有且只有一个零点，则函数 f(x)的零点在区间(0,1)上，所以方程 ex＋x＝2 的解在区间(0,1) 上．
方程的根与函数的零点
2、三个等价关系
方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图 象与x轴有交点 函数y=f(x)有零点
3、函数y=f(x)的零点存在性的判定。
函数y=f(x)在区间[a,b]上图象是连续不断的一条曲线,并且有 f(a)· f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c ∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。
[2,4]
f(2)<0 f(4)>0
函数在区间（2,4）内有零点 x＝3 是 x2－2x－3＝0的另一个根
函数零点的判定定理
①
y
.
a
0
.
b
x
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续 不断的一条曲线，并且有f(a)· f(b)<0，
②
那么，函数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点， 即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0， 这个c也就是方程f(x)=0的根。 注:只要满足上述两个条件,就能判断函数在指 定区间内存在零点。
变式：求函数f(x)=lnx+x-3的零点的个数。 解： f (1) 2, f (e) e 2 0
f (1) f (e) 0, 且f ( x)在[1，e]上连续 f ( x)在(1，e)上存在零点 即函数f ( x)存在零点, 又函数f ( x)在(0,)是增函数 函数f ( x)存在唯一的零点
a
b
这是零点存在的一种判定方法
函数y=f(x)在区间[a,b]上图象是连续不断的一条 曲线,并且有f(a)· f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间 (a,b)内有零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0， 这个c也就是方程f(x)=0的根。
方程的根与函数的零点(第一课时)
结论：方程 x2 2 x 3 0 的根是函数 y x2 2x 3 的图象与 x 轴的交点的坐标。 总结： （1）当∆>0 时，一元二次方程有两个不等的实数根 x1，x2，相应的二次函数的 图象与 x 轴有两个交点（x1,0） ， （x2,0） ； （2）当∆=0 时，一元二次方程有两个相等的实数根 x1=x2，相应的二次函数的图 象与 x 轴有唯一的交点（x1,0） ； （3）当∆<0 时，一元二次方程没有实数根，相应的二次函数的图象与 x 轴没有 交点。 零点概念：对于函数 y f ( x) ，我们把使的实数 x 叫做函数 y f ( x) 的零点。 思考：函数 y f ( x) 的零点、方程 f ( x) 0 的实数根、函数 y f ( x) 的图象与 x 轴 交点的横坐标，三者有什么关系？ 小结：方程 f ( x) 0 有实数根 函数 y f ( x) 的图象与 x 轴有交点 函数 y f ( x) 有零点. 探究任务二：零点存在性定理 问题：观察下面函数 y f ( x) 的图象， 在区间 [a, b] 上零点； f (a)f (b) 0； 在区间 [b, c] 上零点； f (b)f (c) 0； 在区间 [c, d ] 上零点； f (c)f (d ) 0. 总结： （零点存在定理）
方程的根与函数的零点（第一课时） 一、学习目标 1. 结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而 了解函数的零点与方程根的联系； 2. 掌握零点存在的判定条件. 二、学习重难点： 方程的根与函数的零点的关系，求函数零点的个数问题 三、学习过程 探究任务一：函数图象与 x 轴的交点和相应的一元二次方程的根的关系 比较下列两组表格，回答后面的问题： 表格一： 函数 与 x 轴交点个数方程的根的个数 判别式∆ 方程 2 y=x —2x—3 x2—2x—3=0 y=x2—2x+1 x2—2x+1=0 Y=x2—2x+3 x2—2x+3=0 结论： 方程 x2 2 x 3 0 的根的个数与函数 y x2 2x 3 的图象与 x 轴的交点个数。 表格二： 函数 与 x 轴交点坐标 2 y=x —2x—3 y=x2—2x+1 Y=x2—2x+3 方程的根 方程 x2—2x—3=0 x2—2x+1=0 x2—2x+3=0
方程的根与函数的零点
引入：画一画二次函数y=x2-2x-3的图像
y
-1
0
3
x
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与x轴的交点的 横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根.
返回
1．零点的定义 对于函数y＝f(x)，我们把 使f(x)＝0的实数x 叫做 函数y＝f(x)的零点．
2．方程的根与函数的零点的关系
返回
注：(1)存在零点，并不表示唯一零点 (2)函数图像需连续不断
(3) f(a)· f(b)>0时，f(x) 也可能存在零点
y
y
y
b
a 0
x
a 0
b
x
a
0
b
x
(1)
(2)
(3)
[例1]
判断下列函数是否存在零点.若存在，求出零点.
(1) f(x)＝x3－x (2) f(x)＝ax+1 解：(1) f(x)＝x3－x的零点是-1，0,1 (2) 当a=0时，无零点 当a≠0时， f(x)＝ax+1的零点是-1/a
返回
[例2] (1)函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是( B A．(－2，－1) B．(－1,0) C．(0,1)
)
D．(1,2)
(2)函数f(x)=log3x＋x-3的零点所在的一个区间是( D )
A．(3，4)
B．(0,1)
C．(1] 判断下列函数零点的个数
函数f ( x)的零点 方程f ( x) 0的根 函数f ( x)的图像与x轴交点的横坐标
返回
3.函数零点的存在性定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是 连续不断 的
二次函数的根与零点问题
二次函数的根与零点问题二次函数是数学中一种常见的函数形式，其表达式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a不等于0。
二次函数非常重要，它的根与零点问题是我们常常需要研究的一个关键点。
一、根与零点的定义在了解二次函数的根与零点问题之前，首先需要明确它们的定义。
1.1 根的定义对于任意函数f(x)，如果存在一个数r使得f(r) = 0，那么这个数r 就被称为函数f(x)的根。
1.2 零点的定义对于任意函数f(x)，如果存在一个数x0使得f(x0) = 0，那么这个数x0就被称为函数f(x)的零点。
二、一元二次函数的根一元二次函数的表达式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a不等于0。
那么，如何求解一元二次函数的根呢？2.1 二次函数根的求解方法我们可以使用两种方法来求解一元二次函数的根：配方法和求根公式。
2.1.1 配方法若一元二次函数f(x) = ax^2 + bx + c无法直接使用求根公式，我们可以采用配方法来求解其根。
首先，将函数f(x)写成a(x-p)^2 + q的形式，其中p为一次项系数的一半，即p = b/(2a)，q为常数项与函数值之差，即q = f(p) - c。
然后，通过分解完全平方的方式，将函数f(x)变形为a(x - p)^2 + q = 0。
最后，根据方程a(x - p)^2 + q = 0的形式，得到函数f(x)的根。
2.1.2 求根公式对于一元二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，我们可以使用求根公式来求解其根。
求根公式是指通过下面的公式来求解二次方程ax^2 + bx + c = 0的根。
x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)其中，±表示两个根，√表示开方。
需要注意的是，求根公式只适用于方程的判别式D = b^2 - 4ac大于等于0的情况。
若D小于0，则方程无实数根；若D等于0，则方程有两个相等的实数根；若D大于0，则方程有两个不等的实数根。
方程的根与函数的零点
方程的根与函数的零点1．函数零点的概念对于函数y ＝f (x )，我们把使f (x )＝0的实数x 叫做函数y ＝f (x )的零点．函数y ＝f (x )的零点就是方程f (x )＝0的实数根，也就是函数y ＝f (x )的图象与x 轴的交点的横坐标．比如，由于方程f (x )＝lg x ＝0的解是x ＝1，所以函数f (x )＝lg x 的零点是1．注意 函数的零点不是点 我们把使f (x )＝0成立的实数x 叫做函数y ＝f (x )的零点，因此函数的零点不是点，而是函数y ＝f (x )与x 轴的交点的横坐标，即零点是一个实数．当函数的自变量取这一实数时，其函数值为零．例如，函数f (x )＝x ＋1，当f (x )＝x ＋1＝0时仅有一个实根x ＝－1，因此函数f (x )＝x ＋1有一个零点－1，由此可见函数f (x )＝x ＋1的零点是一个实数－1，而不是一个点．【例1】函数f (x )＝x 2－1的零点是( ) A ．(±1,0) B ．(1,0) C ．0 D ．±1解析：解方程f (x )＝x 2－1＝0，得x ＝±1，因此函数f (x )＝x 2－1的零点是±1．答案：D2【例2】若abc A ．0 B ．1 C ．2 D ．1或2解析：∵b 2＝ac ，∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式Δ＝b 2－4ac ＝b 2－4b 2＝－3b 2．又∵abc ≠0，∴b ≠0．因此Δ＜0．故函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的零点个数为0．答案：A3．函数的零点与对应方程的关系(1)方程f (x )＝0有实根⇔函数f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数f (x )有零点．【例3－1】若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的零点是2和－4，求a ，b 的值．解析：因为函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的零点就是方程x 2＋ax ＋b ＝0的根，故方程x 2＋ax ＋b ＝0的根是2和－4，可由根与系数的关系求a ，b 的值．解：由题意，得方程x 2＋ax ＋b ＝0的根是2和－4，由根与系数的关系，得2(4),2(4),a b +-=-⎧⎨⨯-=⎩即(2)一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)与二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象联系密切，下面以a ＞0为例列表说明．因此，对于二次函数的零点问题，我们可以像研究一元二次方程那样，探讨方程的判别式即可．从形的角度沟通函数零点与方程的根的关系．【例3－2】函数y ＝f (x )的图象如图所示，则方程f (x )＝0的实数根有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：观察函数y ＝f (x )的图象，知函数的图象与x 轴有3个交点，则方程f (x )＝0的实数根有3个．答案：D 点技巧 借助图象判断方程实数根的个数 由于“方程f (x )＝0的实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴的交点的横坐标”，因此，对于不能直接求出根的方程来说，我们要判断它在某个区间内是否有实数根，只需判断它的图象在该区间内与x 轴是否有交点即可．4．判断(或求)函数的零点(1)方程法：根据函数零点的定义可知：函数f (x )的零点，就是方程f (x )＝0的根，因此，判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f (x )＝0是否有实数根，有几个实数根．例如，判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．(1)f (x )＝x ＋3x；(2)f (x )＝1－log 3x ．解：(1)令x ＋3x ＝0，解得x ＝－3．故函数f (x )＝x ＋3x的零点是－3； (2)令1－log 3x ＝0，即log 3x ＝1，解得x ＝3．故函数f (x )＝1－log 3x 的零点是3．(2)图象法：对于利用方程法很难求解的函数的零点问题，可利用函数的图象求解．我们知道，函数F (x )＝f (x )－g (x )的零点就是方程F (x )＝0即方程f (x )＝g (x )的实数根，也就是函数y ＝f (x )的图象与y ＝g (x )的图象的交点的横坐标．这样，我们就将函数F (x )的零点问题转化为函数f (x )与g (x )图象的交点问题，作出两个函数的图象，就可以判断其零点个数．【例4－1】判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．(1)f (x )＝x 2＋7x ＋6；(2)f (x )＝1－log 2(x ＋3)；(3)f (x )＝2x －1－3；(4)f (x )＝24122x x x +--．解析：分别解方程f (x )＝0得函数的零点．解：(1)解方程f (x )＝x 2＋7x ＋6＝0，得x ＝－1或－6．故函数的零点是－1，－6． (2)解方程f (x )＝1－log 2(x ＋3)＝0，得x ＝－1．故函数的零点是－1．(3)解方程f (x )＝2x －1－3＝0，得x ＝log 26．故函数的零点是log 26． (4)解方程f (x )＝24122x x x +--＝0，得x ＝－6．故函数的零点为－6．辨误区 忽略验根出现错误 本题(4)中解方程后容易错写成函数的零点是－6，2，其原因是没有验根，避免出现此类错误的方法是解分式方程、对数方程等要验根，保证方程有意义．【例4－2】函数f (x )＝ln x －11x -的零点的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析：在同一坐标系中画出函数y ＝ln x 与11y x =-的图象如图所示，因为函数y ＝ln x 与11y x =-的图象有两个交点，所以函数f (x )＝ln x －11x -的零点个数为2．答案：C ,5．判断零点所在的区间零点存在性定理 如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )＜0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点（至少一个），即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根．确定函数的零点所在的区间时，通常利用零点存在性定理，转化为判断区间两端点对应的函数值的符号是否相反．但需注意以下几点：(1) 当函数y ＝f (x )同时满足：①函数的图象在区间[a ，b ]上是连续曲线；②f (a )·f (b )＜0．则可判定函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内至少有一个零点，但是不能明确说明有几个．(2)当函数y ＝f (x )的图象在区间[a ，b ]上是连续的曲线，但是不满足f (a )·f (b )＜0时，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内可能存在零点，也可能不存在零点．例如函数f (x )＝x 2在区间[－1,1]上有f (－1)·f (1)＞0，但是它在区间(－1,1)上存在零点0．(3)函数在区间[a ，b ]上的图象是连续曲线，且在区间(a ，b )上单调，若满足f (a )·f (b )＜0，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有且只有一个零点．,【例5－1】求函数f (x )＝x 2－5x ＋6在区间[1,4]上的零点个数． 解：【例5－2】函数f (x )＝lg x －9x的零点所在的大致区间是( )（提示先做图） A ．(6,7) B ．(7,8) C ．(8,9) D ．(9,10)解析：∵f (6)＝lg 6－96＝lg 6－32＜0，f (7)＝lg 7－97＜0， f (8)＝lg 8－98＜0，f (9)＝lg 9－1＜0，f (10)＝lg 10－910＞0，∴f (9)·f (10)＜0．∴函数f (x )＝lg x －9x的零点所在的大致区间为(9,10)．答案：D6．一元二次方程的根的分布(1)一元二次方程的根的零分布（正负分布）所谓一元二次方程的根的零分布，是指方程的根相对于零的关系．设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个实根为x 1，x 2且x 1≤x 2 ①x 1＞0，x 2＞0⇔2121240,0,0.b ac b x x a c x x a ⎧⎪∆=-≥⎪⎪+=->⎨⎪⎪⋅=>⎪⎩②x 1＜0，x 2＜0⇔2121240,0,0.b ac b x x a c x x a ⎧⎪∆=-≥⎪⎪+=-<⎨⎪⎪=>⎪⎩③x 1＜0＜x 2⇔c a ＜0． ④x 1＝0，x 2＞0⇔c ＝0，且b a ＜0；x 1＜0，x 2＝0⇔c ＝0，且ba＞0． (2)一元二次方程的根的k 分布研究一元二次方程的根的k 分布，一般情况下要从以下三个方面考虑： ①一元二次方程根的判别式．②对应二次函数区间端点的函数值的正负． ③对应二次函数图象——抛物线的对称轴2bx a=-与区间端点的位置关系． 设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＞0)的两实根为x 1，x 2，且x 1≤x 2，则一元二次方程的根的k 分布(即x 1，x 2相对于k 的位置)【例6－1】已知函数f (x )＝mx 2＋(m －3)x ＋1的零点至少有一个在原点右侧，求实数m 的取值范围．解：(1)当m ＝0时，f (x )＝－3x ＋1，直线与x 轴的交点为1,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，即函数的零点为13，在原点右侧，符合题意． (2)当m ≠0时，∵f (0)＝1，∴抛物线过点(0,1)．若m ＜0，函数f (x )图象的开口向下，如图①所示．二次函数的两个零点必然是一个在原点右侧，一个在原点左侧．若m ＞0，函数f (x )图象的开口向上，如图②所示，要使函数的零点在原点右侧，当且仅当2(3)40,30,20m m mm m ⎧∆=--≥⎪-⎪>⎨⎪>⎪⎩⇒21090,03,0m m m m ⎧-+≥⎪<<⎨⎪>⎩⇒19,03m m m ≤≥⎧⎨<<⎩或⇒0＜m ≤1．综上所述，所求m 的取值范围是(－∞，1]． 点技巧 研究函数图象性质有技巧 对于函数图象性质的研究，一是要注意特殊点，如本题中有f (0)＝1，即图象过点(0,1)；二是要根据题意，画出示意图，再根据图象的特征解决问题．【例6－2】关于x 的方程ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1＝0，求a 为何值时，(1)方程有一根；(2)两根都大于1；(2)方程一根大于1，一根小于1；(3)方程一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内．解：(1)当a ＝0时，方程变为－2x －1＝0，即12x =-符合题意； 当a ≠0时，方程为二次方程，因为方程有一根，所以Δ＝12a ＋4＝0，解得13a =-． 综上可知，当a ＝0或13a =-时，关于x 的方程ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1＝0有一根． (2)方程两根都大于1，图象大致如下图，所以必须满足：0,0,11,(1)0,a a a f >⎧⎪∆>⎪⎪+⎨>⎪⎪>⎪⎩或0,0,11,(1)0,a a a f <⎧⎪∆>⎪⎪+⎨>⎪⎪<⎪⎩ 解得a ∈∅．因此不存在实数a ，使方程两根都大于1． (3)因为方程有一根大于1，一根小于1，图象大致如下图，所以必须满足0,(1)0,a f >⎧⎨<⎩或0,(1)0,a f <⎧⎨>⎩解得a ＞0．(4)因为方程有一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，图象大致如下图，所以必须满足(1)0,(0)0,(1)0,(2)0,f f f f ->⎧⎪<⎪⎨<⎪⎪>⎩或(1)0,(0)0,(1)0,(2)0,f f f f -<⎧⎪>⎪⎨>⎪⎪<⎩解得a ∈∅．因此不存在实数a ，使方程有一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内．知识应用考点一 函数零点的求法1．函数2()41f x x x =--+的零点为（ ）A、1-+、1- C、1-、不存在 2．函数32()32f x x x x =-+的零点个数为（ ）A 、0B 、1C 、2D 、33. 函数()ln 26f x x x =+-的零点一定位于区间（ ）.A. (1, 2)B. (2 , 3)C. (3, 4)D. (4, 5)4. 求证方程231x xx -=+在(0,1)内必有一个实数根.5．函数f (x )＝log 5(x －1)的零点是( )A ．0B ．1C ．2D ．36 已知函数f (x )＝x 2－1，则函数f (x －1)的零点是________．7. 若函数f (x )＝ax ＋b 只有一个零点2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是___________8.函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋c (a ≠0)的一个零点为1，则它的另一个零点为________．A.0个B.1个C.2个D.3个考点二 零点存在性定理1.xA.(－1,0) B ．(0,1)2．函数f (x )＝ln x －2x的零点所在的大致区间是( )A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(e,3)3. 设函数y ＝x 3与y ＝(12)x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)4. 若函数f (x )＝3ax －2a ＋1在区间[－1,1]上存在一个零点，则a 的取值范围是________．考点三 一元二次方程根的分布1.已知关于x 的方程ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1＝0，探究a 为何值时，(1)方程有一正一负两根； (2)方程的两根都大于1；(3)方程的一根大于1，一根小于1.2. 已知关于x 的二次方程x 2+2mx +2m +1=0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m 的范围. (2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m 的范围.3. 已知关于x 的方程x 2＋2mx ＋2m ＋3=0的两个不等实根都在区间（0，2）内，求实数m 的取值范围．4. 已知函数f (x )=|x 2-2x -3|-a 分别满足下列条件，求实数a 的取值范围.(1) 函数有两个零点; (2)函数有三个零点; (3)函数有四个零点.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2．一般地，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 的实数根及其相应的二次函数y＝ax2＋bx＋ c(a≠0)的图象与x轴交点的关系如下表，请填写
Δ ＝b 2
函数y＝ ax2＋bx － ＋c图 4ac 象
方程的实根
y＝ax2＋bx ＋c与x轴 结论 的交点 方程 的 实 根 即 函 数 图 象 与
Δ>0
Δ＝0
f ( x ) ＝0 3.对于函数y＝f(x)，我们把使 的 实数x叫做函数y＝f(x)的零点． 方程f(x)＝0有实数根 x轴 ⇔函数y＝f(x)的图象与 有交点 ⇔函数y＝f(x)有 零 点． 4 ．若函数 y ＝ f(x) 在区间 [a， b] 上的图象是连 续曲线，且有 ，则函数 y ＝ f(x) 在 f(a)f(b)<0 区间 (a ， b) 内有零点，即存在 c∈(a ， b) 使得 0 f(c)＝ .
本节重点难点：通过方程与函数的关系，确定 方程根的存在性和根的个数．
1．一般结论 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续 不间断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么， 函数 y ＝ f(x) 在区间 (a ， b) 内有零点．即存在 c∈(a ， b) ，使得 f(c) ＝ 0 ，这个 c 就是方程 f(x) ＝ 0 的根．零点 c 通常称作函数 f(x) 的变号零 点． 注意： f(x) 的图象必须在区间 [a， b]上连续不 断且 f(a)·f(b)<0 时，才可确定 f(x) 在 [a ， b] 上 有零点．
3． 1
函数与方程
3．1.1
方程的根与函数的零 点
(1,0)，(－1,0) 1．函数y＝x2－1与x轴交点坐标为 ． x＝±1 方程x2－1＝0的实数根为 (0,0) . 函数y＝x2与x轴交点坐标为 ． x＝0 方程x2＝0的实数根为 无 . 无 ． 函数y＝x2＋1与x轴交点 方程x2＋1＝0的实数根 ．
3．方程的根与函数的零点的作用 一方面，函数是否有零点是研究函数性质和 精确地画出函数图象的重要一步．例如，求 出二次函数的零点及其图象的顶点坐标，就 能确定二次函数的一些主要性质，并能粗略 地画出函数的简图． 另一方面，对于不能用公式法求根的方程f(x) ＝0来说，我们可以将它与函数y＝f(x)联系起 来，利用函数的性质找出零点或所在范围， 从而求出方程的根或根的近似值．
[例1] 1.指出下列函数的零点： ①f(x)＝4x－3 ②f(x)＝x2－3x＋2 ③f(x)＝x4－1 2．函数f(x)＝x2＋ax＋b的两个零点是 2和－4， 求a、b. 3．函数f(x)＝ax2－x－1仅有一个零点，求实 数a的取值范围．
[解析]
1.函数零点就是相应方程的实数根，可用求根
2．函数变号零点的性质． 对于任意函数 y ＝ f(x) ，只要它的图象是连续 不间断的，则有： ①当它通过变号零点时，函数值变号．如函 数f(x)＝x2－2x－3的图象在零点－1的左边时， 函数值取正号，当它通过零点－1时，函数值 由正变为负，再通过第二个零点3时，函数值 又由负变正． ②在相邻两个零点之间所有的函数值保持同 号．
(1) 对 于 函 数 f(x) ＝ x2 ＋ mx ＋ n ， 若 f(a)>0 ， f(b)>0，则函数f(x)在区间(a，b)内 ( ) A．一定有零点 B．一定没有零点 C．可能有两个零点 D ．至多有一 个零点 (2) 若函数 f(x) 在定义域 {x|x∈R 且 x≠0} 上是偶 函数，且在 (0 ，＋ ∞ ) 上为减函数， f(2) ＝ 0 ， 则函数f(x)的零点有 ( ) A．一个 B．两个
(1)指出下列函数的零点： ①f(x)＝x2－2x－3零点为________． ②g(x)＝lgx＋2零点为________． (2)已知－1和4是函数f(x)＝ax2＋bx－4的零点， 则f(1)＝________.
[答案]
[解析]
1 (1)①3，－1 ②100 (2)－6 (1)①f(x)＝(x－3)(x＋1)的零点为3和－1，
[解析]
解法1：∵c＝f(0)，∴a· c＝a· f(0)<0
a<0， 或 f(0)>0.
a>0， 即a和f(0)异号，即 f(0)<0，
∴函数必有两个零点．∴选B. 解法2：∵ac<0，∴Δ＝b2－4ac>0， ∴有两个零点．
总结评述：判断二次函数f(x)的零点个数，就 是判断一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的实根个 数，一般地由判别式Δ>0、Δ＝0、Δ<0完 成．对于二次函数在某个定义区间上的零点 个数以及不能用“Δ”判断的二次函数零点， 则要结合二次函数的图象进行．
公式或分解因式求解． 3 3 ∴①由4x－3＝0得x＝4，零点是4. ②f(x)＝0，即(x－1)(x－2)＝0， ∴f(x)零点为1和2. ③∵f(x)＝x4－1＝(x2＋1)
2．由题意知2和－4是方程x2＋ax＋b＝0的两根∴a＝ 2，b＝－8. 3．若a＝0，则f(x)＝－x－1仅有一个零点－1；若 1 a≠0，由Δ＝1＋4a＝0得a＝－ ，此时函数只有一个零点， 4 1 ∴当a＝0或－4时，所给函数有且仅有一个零点．
1 ②由lgx＋2＝0得，lgx＝－2，∴x＝100. 1 故g(x)的零点为100.
f(－1)＝0 (2)由条件知 f(4)＝0 a＝1 ∴ b＝－3 a－b－4＝0 ，∴ 16a＋4b－4＝0
，
，∴f(1)＝a＋b－4＝－6.
[ 例 2] 二次函数 y ＝ ax2 ＋ bx ＋ c 中， a·c<0 ， 则函数的零点个数是 ( ) A．1个 B．2个 C．0个 D．无法确定 [ 分析 ] 分析条件 a·c<0 ， a 是二次项系数， 确定抛物线的开口方向，c＝f(0)，所以a·c＝ a·f(0)<0，由此得解．