武汉学而思第讲.圆中的三大切线定理
圆的切线性质定理#
圆的切线的判定与性质【知识点精析】1. 直线与圆有三种位置关系，其中直线与圆只有唯一的公共点，叫直线与圆相切，这个公共点叫切点。
这条直线叫圆的切线。
2. 圆的切线的判定与性质：（1）判定：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
判定一条直线是圆的切线需要满足以下两个条件：①经过半径外端②垂直于半径（2）圆的切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径。
注意：应用圆的切线性质时，需指出切线和切点，才可推出垂直的结论。
例如：已知如图，PO是∠APB的平分线，以O为圆心的圆与PA相切于点C。
3. 切线长定理：（1）切线长定义：从圆外一点向圆作切线，这点与切点的线段长叫切线长。
圆外一点向圆只能做两条切线，因此有两条切线长。
（2）切线长性质从圆外一点向圆所引的两条切线长相等，并且这点与圆心的连线平分两条切线所夹的角。
例如：从圆外一点引圆的两条切线，若两切线的夹角为60°，两切点的距离为12求圆半径（3）三角形的内切圆：对比三角形的外接圆来学习三角形的内切圆三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫三角形的外接圆三角形外接圆的圆心叫三角形的外心三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等三角形的外心是三角形三边中垂线的交点三角形的内切圆：与三角形三边都相切的圆叫三角形的内切圆三角形内切圆的圆心叫三角形的内心三角形的内心到三角形三边的距离相等三角形的内心是三角形三角平分线的交点【解题方法指导】一切线长定理的计算例1. 已知如图：在Rt△ABC中，∠C=90°，点C在AC上，CD为⊙O直径，⊙O切AB于E，若BC=5，AC=12，求⊙O的半径BC2 在△ABC中，若∠C=90°，∠A=30°，AC=3，则内切圆半径为____________。
二等腰三角形在证明切线中的巧用例3、如图7-53，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点切线互相垂直，垂足为D．word.word.求证：AC 平分∠DAB ．4已知：AB 为⊙O 的直径，AC 为弦，D 为AB 上一点，过D 点作AB 的垂线DE 交AC 于F ，EF=EC 。
圆中三大切线定理
14 初三秋季·第2讲·尖子班·学生版围田地漫画释义满分晋级阶梯圆7级期末复习之圆中的 重要结论及应用圆6级期末复习之圆的综合 圆5级圆中三大切线定理 2圆中三大切线定理15中考内容中考要求ABC圆的有关概念 理解圆及其有关概念会过不在同一直线上的三点作圆；能利用圆的有关概念解决简单问题圆的性质知道圆的对称性，了解弧、弦、圆心角的关系 能用弧、弦、圆心角的关系解决简单问题能运用圆的性质解决有关问题 圆周角了解圆周角与圆心角的关系；知道直径所对的圆周角是直角会求圆周角的度数，能用圆周角的知识解决与角有关的简单问题能综合运用几何知识解决与圆周角有关的问题 垂径定理 会在相应的图形中确定垂径定理的条件和结论 能用垂径定理解决有关问题点与圆的位置关系了解点与圆的位置关系直线与圆的位置关系了解直线与圆的位置关系；了解切线的概念，理解切线与过切点的半径之间的关系；会过圆上一点画圆的切线；了解切线长的概念能判定直线和圆的位置关系；会根据切线长的知识解决简单的问题；能利用直线和圆的位置关系解决简单问题能解决与切线有关的问题圆与圆的位置关系 了解圆与圆的位置关系 能利用圆与圆的位置关系解决简单问题弧长 会计算弧长 能利用弧长解决有关问题 扇形会计算扇形面积能利用扇形面积解决有关问题圆锥的侧面积和全面积会求圆锥的侧面积和全面积 能解决与圆锥有关的简单实际问题圆是北京中考的必考内容，主要考查圆的有关性质与圆的有关计算，每年的第20题都会考中考考点分析中考内容与要求16 初三秋季·第2讲·尖子班·学生版查，第1小题一般是切线的证明，第2小题运用圆与三角形相似、解直角三角形等知识求线段长度问题，有时也以阅读理解、条件开放、结论开放探索题作为新的题型。
要求同学们重点掌握圆的有关性质，掌握求线段、角的方法，理解概念之间的相互联系和知识之间的相互转化，理解直线和圆的三种位置关系，掌握切线的性质和判定方法，会根据条件解决圆中的动态问题。
圆的切线判定定理及性质定理讲义
O ATO MTA B圆的切线判定定理及性质定理讲义一、基础知识归纳1.切线的判定定理切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直 线是圆的切线。
注：定理的题设①“经过半径外端”，②“垂直于半径”，两个 条件缺一不可。
结论是“直线是圆的切线”。
2．切线的性质定理及其推论切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。
我们分析：这个定理共有三个条件：一条直线满足（1）垂直于切线 （2） 过切点 （3）过圆心 任意知道两个，这可以推出第三个。
即知2推1。
定理：①过圆心，过切点⇒ 垂直于切线 OA 过圆心，OA 过切点A ，则OA ⊥AT②经过圆心，垂直于切线⇒过切点()()12AB M AB M T ⎫⎪⇒⎬⊥⎪⎭过圆心为切点③ 经过切点，垂直于切线⇒过圆心()()12A M M T AM M ⊥⎫⎪⇒⎬⎪⎭过圆心为切点二、典型例题解析【例1】PB 切⊙O 于B ，OP 交⊙O 于A ，BC ⊥OP 于C ，OA=6cm,OP=10cm,求AC的长.lAOAOB PCM【例2】如图，⊙O 的直径A B =6cm ，点P 是A B 延长线上的动点，过点P 作⊙O 的切线，切点为C ，连结AC ．若CPA 的平分线交AC 于点M ，你认为∠CMP 的大 小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出∠CMP 的度数【例3】如图,若⊙的直径AB 与弦AC 的夹角为30°,切线CD 与AB 的延长线交于点D,且⊙O 的半径为2,则CD 的长是多少？【例4】如图，AB 为半圆O 的直径，CB 是半圆O 的切线，B 是切点，AC•交半圆O 于点D ，已知CD=1，AD=3，那么cos ∠CAB=________．BDAC【例5】设直线ι到⊙O的圆心的距离为d，半径为R，并使x2－2d x＋R=0，试由关于x的一元二次方程根的情况讨论ι与⊙O的位置关系．【例6】在Rt ABC∠=°，D是A B边上一点，以B D为直径的O △中，90ACB⊙与边AC相切于点E，连结D E并延长，与BC的延长线交于点F．（1）求证：B D B F=；（2）若64，，求O==BC AD⊙的面积．。
圆的切线的性质及判定定理 课件
【解析】如图所示，连接 AB． ∵PA 与圆 O 相切于点 A，∴PA⊥AC．
∵AC 是直径，∴AB⊥PC， AB＝ PA2－PAC.∴AC＝PAP·BAB＝2 3. ∴半径 R＝ 3.
本题主要考查了切线的性质和相似三角形等基础知识．
关键是得到OD∥AC．
圆的切线的综合应用
【 例 3 】 如 图 所 示 ， 已 知 PA 是 圆 O 的 切 线 ， 切 点 为 A ， PA ＝ 2 ， A C 是 圆O的直径，PC与圆O交于B点，PB＝1，求圆O的半径R.
【解题探究】 由于切线垂直于直径，直径所对的圆周角 是直角，所以可考虑用相似三角形求直径．
得到垂直于同一直线的两直线OC∥AD，然后得出内错角相等，是证明的关键．
圆的切线的判定定理
【例2】 如图所示，AB是⊙O的直径，⊙O过BC的中点D，DE⊥AC，求证： DE是⊙O的切线．
【解题探究】 要证DE是⊙O的切线，只需证DE⊥OD即可．
【证明】连接OD． ∵BD＝CD，OA＝OB， ∴OD是△ABC的中位线． ∴OD∥AC． 又∵∠DEC＝90°， ∴∠ODE＝90°. 又∵D在圆周上， ∴DE是⊙O的切线．
圆的切线的性质及判定定理
圆的切线的性质定理及推论
【例1】 如图所示，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D．求证：AC平 分∠DAB．
【 解 题 探 究 】 要 证 AC 平 分 ∠DAB，需证∠CAD＝∠CAO.
【证明】如图所示，连接OC． ∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD． 又∵AD⊥CD，∴OC∥AD．由此∠ACO＝∠CAD． ∵OC＝OA，∴∠CAO＝∠ACO. ∴∠CAD＝∠CAO.故AC平分∠DAB．
2015年中考数学圆的知识点：切线的判定定理及识别方法
2015年中考数学圆的知识点：切线的判定定理及识别方法摘要】中考进入复习阶段，为同学们准备了一些历年各地的中考试题，欢迎大家参考练习，下面是中考数学圆专题复习辅助大家完成中考前的复习，在考试中取的好成绩!
切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
切线的识别方法有三种：
(1)和圆只有一个公共点的直线是圆的切线。
(2)和圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线。
(3)切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
(完整word版)圆的切线判定和性质定理
知识考点考点 1、切线的判定切线的判定定理：过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线。
符号语言∵ OA ⊥ l 于A ， OA 为半径∴ l 为⊙O 的切线（请务必记住证明切线方法：有交点就连半径证垂直；无交点就做垂直证半径） 判断①垂直于半径的直线是圆的切线。
………………………………（ ）②过半径外端的直线是圆的切线。
………………………………（ ）考点2、切线的性质定理● 圆的切线垂直于经过切点的半径推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。
推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
（请务必记住切线重要用法： 见切线就要连圆心和切点得到垂直）小试牛刀：如图，AB 与⊙O 相切于B ，AO 的延长线交⊙O 于点C ，连接BC ，若∠A ＝36° ．则∠C ＝______题型总结题型一、切线的判定（有交点就连半径证垂直；无交点就做垂直证半径）1、如图，△ABC 内接于⊙O，∠B=60°，CD 是⊙O 的直径，点P 是CD 延长线上的一点，且AP=AC ．求证：PA 是⊙O 的切线；l A O2、O是∠BAC的角平分线上的一点，OD⊥AB于D，以O为圆心，以OD为半径作圆，求证：AC与⊙O相切题型二、切线性质的应用（见切点，连圆心，得垂直）3、如图，AB是⊙O直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，∠C=20°，求∠CDA的度数。
习题训练1、已知⊙O的半径为2，直线l上有一点P满足PO=2，则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相切 B.相离 C.相离或相切 D.相切或相交2．如图，AB与⊙O切于点B，AO=6cm，AB=4cm，则⊙O的半径为（）A．45cm B．25cm C．213cm D．133、如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD的过C点的直线互相垂直，垂足为D，且AC平分∠DAB.（1）求证：DC为⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，AD=4，求AC的长.4、如图，△ABC内接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP=AC．（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）若PD=，求⊙O的直径．。
圆的切线判定定理
A C
D
┐
F
B
即 d ＝ r
挑战（ ） 挑战（2）
如图，△AOB中，OA＝OB＝10，∠AOB＝120°，以O为圆心， 如图， AOB中 OA＝OB＝10， AOB＝120° 为圆心， 为半径的⊙ OA、OB相交 相交。 5为半径的⊙O与OA、OB相交。 求证：AB是 的切线。 求证：AB是⊙O的切线。 O
动手练一练 动手练一练
如图，AB是⊙O的直径，∠B＝45°，AC＝AB。 如图， 的直径， 45°
AC是⊙O的切线吗？为什么？ 的切线吗？为什么？
解：AC是⊙O的切线 。理由如下： 理由如下： 45° 已知) ∵ AC＝AB ， ∠B＝45°(已知) ∴∠C＝∠B＝45°(等边对等角) ∴∠C＝ 45° 等边对等角) 180° 又∵∠BAC＋∠B＋∠C ＝ 180° ∵∠BAC＋ BAC ∴∠ BAC ＝ 180°－∠B－∠C＝90° 180° 90° 直线AC⊥AB ∴ 直线AC⊥AB 又∵直线AC经过⊙O 上的A点 经过⊙ 上的A ∴直线AC是⊙O的切线 A C B
§24.2.2直线和圆的位置关系 24.2.2直线和圆的位置关系
-----切线的判定 -----切线的判定
用切线定义判定 切线
1）直线和圆有唯一公共点时,这条直线叫做 直线和圆有唯一公共点时, 这个唯一的公共点叫做（ （ 圆的切线 ）, 这个唯一的公共点叫做（ 切点） 直线l与⊙O只有一个公共点 直线 与 只有一个公共点 直线l与⊙O相切． 相切． 直线 与 相切
挑战（ ） 挑战（1）
如右图所示，已知OC平分∠AOB， 如右图所示，已知OC平分∠AOB，D是OC上任意一点，⊙D与OA相 OC平分 OC上任意一点， 上任意一点 OA相 切于点E 那么， 的切线吗？请说明理由。 切于点E。那么，OB是⊙D的切线吗？请说明理由。 理由如下： 解：OB是⊙D的切线 。理由如下： 连结DE，过D点作DF⊥OB，垂足为F。 连结DE， 点作DF⊥OB，垂足为F DE DF⊥OB ∵ OA 与⊙D 相切于点E 相切于点E ∴ OE⊥OA 又∵ OC平分∠AOB， DF⊥OB OC平分∠AOB， 平分 ∴ DF ＝ DE DF⊥OB， 又∵ DF⊥OB， ∴ OB是⊙D的切线 。 O E
圆的切线判定定理及性质定理讲义
A T
2.3圆的切线判定定理及性质定理讲义
1：切线的判定定理与切线的性质定理及其推论。
2：掌握切线的性质定理。
1.认真研读教材20-22页并温习重要概念，然后认真限时完成导学案。
切线的性质定理及其推论与切线的判定定理
课前预习
一：知识链接
1.切线的判定定理
切线的判定定理：
注：定理的题设①“经过半径外端”，②“垂直于半径”，两个 条件缺一不可。
结论是“直线是圆的切线”。
2．切线的性质定理及其推论
切线的性质定理：。
我们分析：这个定理共有三个条件：
一条直线满足（1）垂直于切线 （2） 过切点 （3）过圆心 任意知道两个，这可以推出第三个。
即知2推1。
定理：①过圆心，过切点⇒ 垂直于切线
OA 过圆心，OA 过切点A ，则OA ⊥AT
②经过圆心，垂直于切线⇒过切点 ()
()12AB M AB MT ⎫⎪⇒⎬⊥⎪⎭过圆心为切点
A
③经过切点，垂直于切线⇒过圆心()
()
1
2
AM MT
AM
M
⊥⎫⎪
⇒
⎬
⎪⎭
过圆心为切点
二：试一试。
圆的切线性质定理
C
C
O B
P
A
O
B
P
（4）
（5）
5、如图，⊙O的直径AB与弦AC的夹角为30°，过C点的切线 PC与AB的延长线交于P，PC=5，则⊙O的半径为（ ）
A.
5 3 3
B.
5 3 6
C. 10
D. 5
辅助线的作法：作过切点的半径
6、在△ABC中，AB=2，以A为圆心，1为半径的圆与边BC 相切于点D ，则BD的长为 。
将上述判定1、2反过来，结论是否还成立呢？
成立。 切线的性质：
1、圆的切线与圆只有一个交点。
2、切线与圆心的距离等于半径。
如果直线L是圆O的切线，切点为A，那么半径OA与 直线L是不是垂直呢？ 分析：假设OA与L不垂直，过 O 点作OM⊥L，垂足为M。 根据垂线段最短的性质，有 OM﹤OA，这说明圆心O到直线 A L L的距离小于半径OA，于是直 O 线L就要与圆相交，而这与直线 L是圆O的切线相矛盾。 因此，OA与直线L垂直。
变式一：在△ABC中，AB=2，AC= 半径的圆与边BC相切 ，则BC的长为 ，以A为圆心，1为 。
变式二：如图，点A是圆O外一点，OA=4，AB与圆相切于点 B，且AB=2 ，弦BC∥OA，则BC的长为 。
A
A C
O
A B
B
D
C B
C
7、如图,AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切 线互相垂直，垂足为D，求证：AC平分∠DAB。
作业：
3、如图，AB为⊙O的直径，BC切⊙O于 点B，AC交⊙O于P，CE=BE，E在BC上. 求证：PE是⊙O的切线．
A P
O
B E C
切线的判定：
圆的切线的性质及判定定理
AB FF A 第二讲 直线与圆的位置关系圆的切线的性质及判定定理【学习目标】掌握圆的切线的性质定理、判定定理及两个推论，并能利用定理及其推论解决相关问题。
【学习过程】一、知识点回顾直线与圆的位置关系有几种？怎样判断？（从几何角度和代数角度分别进行分析）二、新课导学1.切线的性质定理：圆的切线 经过切点的半径.推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过2.切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的3.下雨天当你快速转动雨伞时飞出的水珠，在砂轮上打磨工件时飞出的火星都是沿 方向飞出的。
三、典型例题 例1.如图所示，已知AB 是⊙O 的直径，⊙O 过BC 的中点D ，AC DE ⊥.求证：DE 是⊙O 的切线.例2.如图所示，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点。
AD 和过C 点的切线互相垂直， 垂足为D .求证：AC 平分DAB ∠.例3.已知ABC ∆内接于⊙O ，过点A 作直线EF（1） 如图，AB 为直径，要使得EF 是⊙O 的切线，写出还需添加的条件（至少写出三种情况）（2） 如图，AB 为非直径的弦，且B CAF ∠=∠，求证：EF 是⊙O 的切线(1)图 （2）图B CBACB【达标检测】1.在ABC R ∆t 中，090=∠C ，cm AC 15=，cm AB 25=，以C 为圆心，cm 12为半径的圆与AB 的位置关系是2.如图，在⊙O 中，AB 是直径，AD 为弦，过B 点的切线与AD 的延长线交于C ，若DC AD =，则ACO ∠sin 等于（2题图） （3题图）3.如图，ABC ∆为等腰三角形，O 是底边BC 的中点，⊙O 与腰AB 相切于点D . 求证：AC 与⊙O 相切.4.如图，OA 和OB 是⊙O 的半径，并且OB OA ⊥，P 是OA 上任意一点，BP 的延长线交⊙O 于Q .过Q 作⊙O 的切线交OA 的延长线于R ,求证：RQ RP =5.如图所示，在ABC ∆中，已知AC AB =，以AB 为直径的⊙O 交BC 于D ，AC DE ⊥,垂足为E ，求证：DE 是⊙O 的切线.6.如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，切点为B ，OC 平行于弦AD . 求证：DC 是⊙O 的切线.。
圆中三大切线定理
中考考点分析
圆是北京中考的必考内容，主要考查圆的有关性质与圆的有关计算，每年的第
20 题都会考
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查， 第 1 小题一般是切线的证明， 第 2 小题运用圆与三角形相似、 解直角三角形等知识求线段长 度问题，有时也以阅读理解、条件开放、结论开放探索题作为新的题型。
要求同学们重点掌握圆的有关性质， 掌握求线段、 角的方法， 理解概念之间的相互联系和知 识之间的相互转化， 理解直线和圆的三种位置关系， 掌握切线的性质和判定方法， 会根据条件解 决圆中的动态问题。
中考要求 B
会过不在同一直线上的三 点作圆；能利用圆的有关 概念解决简单问题
圆的性质
知道圆的对称性，了解弧、弦、 圆心角的关系
能用弧、弦、圆心角的关 系解决简单问题
圆周角
了解圆周角与圆心角的关系； 知道直径所对的圆周角是直角
垂径定理 点与圆的位置关系
直线与圆的位置关 系
圆与圆的位置关系 弧长 扇形 圆锥的侧面积和全 面积
典题精练
【例 2】 如图， C 是以 AB 为直径的⊙ O 上一点，过 O 作 OE⊥ 线于点 F，
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连结 CF 并延长交 BA 的延长线于点 P. ⑴ 求证： PC 是⊙ O 的切线 . ⑵ 若 AB=4， AP： PC 1：2 ，求 CF 的长 .
典题精练
【例 1】 如图， 在△ ABC 中， AB BC ，以 AC 为直径的⊙ 0 与 BC 边
交于点 D，过点 D 作⊙ O 的切线 DE ，交 AB 于点 E，若
DE⊥ AB ．求证： AE 3BE ．
E
B
A O
D
C
题型二：切线的判定定理
思路导航
圆的切线的性质及判定定理 课件
平面与圆柱面的截线
[例2] 如图，在圆柱O1O2内嵌入双球，使它们 与圆柱面相切，切线分别为⊙O1和⊙O2，并且和圆柱 的斜截面相切，切点分别为F1，F2.
求证：斜截面与圆柱面的截线是以F1，F2为焦点 的椭圆．
[思路点拨] 证明曲线的形状是椭圆，利用椭圆的定义 (平面上到两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹)来证明．
[证明] 如图，设点P为曲线上任一点，连接 PF1，PF2，则PF1，PF2分别是两个球面的切线，切点 为F1，F2，过P作母线，与两球面分别相交于K1， K2，则PK1，PK2分别是两球面的切线，切点为K1，K2.
根据切线长定理的空间推广 ， 知PF1＝PK1，PF2＝PK2， 所以PF1＋PF2＝PK1＋PK2＝K1K2. 由于K1K2为定值，故点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆．
平面与圆锥面的截线
[例3] 证明：定理2的结论(1)，即β>α时，平面π与圆锥的交 线为椭圆．
[思路点拨] 本题直接证明，难度较大，故可仿照定理1的 方法证明，即Dandelin双球法．
[证明] 如图，在圆锥内部嵌入Dandelin双球，一个位于 平面π的上方，一个位于平面π的下方，并且与平面π及圆锥均 相切．
做这个图形的平行射影．
3．正射影与平行射影的联系与区别 正射影与平行射影的投影光线与投影方向都是平行的．因 此，正射影也是平行射影，不同的是正射影的光线与投影面垂 直．而平行射影的投影光线与投影面斜交．平面图形的正射影 与原投影面积大小相等．而一般平行射影的面积要小于原投影 图形的面积．
圆的切线的性质及判定定理
三圆的切线的性质及判定定理[对应学生用书P25]1．切线的性质(1)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径． 如图，已知AB 切⊙O 于A 点，则OA ⊥AB .(2)推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． (3)推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 2．圆的切线的判定方法(1)定义：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线． (2)数量关系：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线． (3)定理：过半径外端点且与这条半径垂直的直线是圆的切线．其中(2)和(3)是由(1)推出的，(2)是用数量关系来判定，而(3)是用位置关系加以判定的．[说明] 在切线的判定定理中要分清定理的题设和结论，“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则该直线就不是圆的切线．[对应学生用书P25]圆的切线的性质[例1] 如图，已知∠C ＝90°，点O 在AC 上，CD 为⊙O 的直径，⊙O 切AB于E ，若BC ＝5，AC ＝12.求⊙O 的半径．[思路点拨] ⊙O 切AB 于点E ，由圆的切线的性质，易联想到连接OE 构造Rt △OAE ，再利用相似三角形的性质，求出⊙O 的半径．[解] 连接OE ，∵AB 与⊙O 切于点E ， ∴OE ⊥AB ，即∠OEA ＝90°. ∵∠C ＝90°，∠A ＝∠A ， ∴Rt △ACB ∽Rt △AEO ， ∴OE BC ＝AOAB. ∵BC ＝5，AC ＝12，∴AB ＝13， ∴OE 5＝12－OE 13，∴OE ＝103.即⊙O 的半径为103.利用圆的切线的性质来证明或进行有关的计算有时需添加辅助线，其中连接圆心和切点的半径是常用辅助线，从而可以构造直角三角形，利用直角三角形边角关系求解，或利用勾股定理求解，或利用三角形相似求解等．1．如图，AB 切⊙O 于点B ，延长AO 交⊙O 于点C ，连接BC .若∠A ＝40°，则∠C ＝( )A ．20°B ．25°C ．40°D ．50°解析：连接OB ，因为AB 切⊙O 于点B ，所以OB ⊥AB ，即∠ABO ＝90°，所以∠AOB ＝50°.又因为点C 在AO 的延长线上，且在⊙O 上， 所以∠C ＝12∠AOB ＝25°.答案：B2.如图，已知P AB 是⊙O 的割线，AB 为⊙O 的直径．PC 为⊙O 的切线，C 为切点，BD ⊥PC 于点D ，交⊙O 于点E ，P A ＝AO ＝OB ＝1.(1)求∠P 的度数； (2)求DE 的长． 解：(1)连接OC .∵C 为切点，∴OC ⊥PC ，△POC 为直角三角形． ∵OC ＝OA ＝1，PO ＝P A ＋AO ＝2， ∴sin ∠P ＝OC PO ＝12.∴∠P ＝30°.(2)∵BD ⊥PD ，∴在Rt △PBD 中， 由∠P ＝30°，PB ＝P A ＋AO ＋OB ＝3， 得BD ＝32.连接AE .则∠AEB ＝90°，∴AE ∥PD . ∴∠EAB ＝∠P ＝30°，∴BE ＝AB sin 30°＝1，∴DE ＝BD －BE ＝12.圆的切线的判定[例2] 已知D 是△ABC ADB ＝60°，求证：AB 是△BCD 的外接圆的切线．[思路点拨]连接OB ，OC ，OD →∠BOD ＝90°→ ∠OBC ＝∠OCB ＝30°→∠ABO ＝90°→结论. [证明] 如图，连接OB ，OC ，OD ，OD 交BC 于E . ∵∠DCB 是BD 所对的圆周角， ∠BOD 是BD 所对的圆心角，∠BCD ＝45°， ∴∠BOD ＝90°.∵∠ADB 是△BCD 的一个外角， ∴∠DBC ＝∠ADB －∠ACB ＝60°－45°＝15°， ∴∠DOC ＝2∠DBC ＝30°， 从而∠BOC ＝120°，∵OB ＝OC ，∴∠OBC ＝∠OCB ＝30°. 在△OEC 中，因为∠EOC ＝∠ECO ＝30°， ∴OE ＝EC ，在△BOE 中，因为∠BOE ＝90°，∠EBO ＝30°. ∴BE ＝2OE ＝2EC ， ∴CE BE ＝CD DA ＝12， ∴AB ∥OD ，∴∠ABO ＝90°， 故AB 是△BCD 的外接圆的切线．要证明某直线是圆的切线，主要是运用切线的判定定理，除此以外，还有圆心到直线的距离等于半径等判定方法，但有时需添加辅助线构造判定条件，其中过圆心作直线的垂线是常用辅助线．3．本例中，若将已知改为“∠ABD ＝∠C ”，怎样证明：AB 是△BCD 的外接圆的切线． 证明：作直径BE ，连接DE ， ∵BE 是⊙O 的直径，∴∠BDE ＝90°， ∴∠E ＋∠DBE ＝90°. ∵∠C ＝∠E ，∠ABD ＝∠C ， ∴∠ABD ＋∠DBE ＝90°. 即∠ABE ＝90°.∴AB 是△BCD 的外接圆的切线．4.如图，△ABC 内接于⊙O ，点D 在OC 的延长线上，sin B ＝12，∠D ＝30°.(1)求证：AD 是⊙O 的切线． (2)若AC ＝6，求AD 的长． 解：(1)证明：如图，连接OA ， ∵sin B ＝12，∴∠B ＝30°，∵∠AOC ＝2∠B ，∴∠AOC ＝60°， ∵∠D ＝30°，∴∠OAD ＝180°－∠D －∠AOC ＝90°， ∴AD 是⊙O 的切线． (2)∵OA ＝OC ，∠AOC ＝60°，∴△AOC 是等边三角形，∴OA ＝AC ＝6， ∵∠OAD ＝90°，∠D ＝30°， ∴AD ＝3AO ＝6 3.圆的切线的性质和判定的综合考查[例3] 如图，AB 为⊙O 的直径，D 是BC 的中点，DE ⊥AC 交AC 的延长线于E ，⊙O 的切线BF 交AD 的延长线于点F .(1)求证：DE 是⊙O 的切线；(2)若DE ＝3，⊙O 的半径为5，求BF 的长． [思路点拨] (1)连接OD ，证明OD ⊥DE ； (2)作DG ⊥AB . [证明] (1)连接OD ， ∵D 是BC 中点，∴∠1＝∠2. ∵OA ＝OD ，∴∠2＝∠3. ∴∠1＝∠3. ∴OD ∥AE .∵DE ⊥AE ，∴DE ⊥OD ，即DE 是⊙O 的切线． (2)过D 作DG ⊥AB ， ∵∠1＝∠2，∴DG ＝DE ＝3. 在Rt △ODG 中，OG ＝52－32＝4， ∴AG ＝4＋5＝9.∵DG ⊥AB ，FB ⊥AB ，∴DG ∥FB . ∴△ADG ∽△AFB . ∴DG BF ＝AG AB. ∴3BF ＝910.∴BF ＝103.对圆的切线的性质与判定的综合考查往往是热点，其解答思路常常是先证明某直线是圆的切线，再利用切线的性质来求解相关结果．5.如图，已知两个同心圆O ，大圆的直径AB 交小圆于C 、D ，大圆的弦EF 切小圆于C ，ED 交小圆于G ，若小圆的半径为2，EF ＝43，试求EG 的长．解：连接GC ，则GC ⊥ED . ∵EF 和小圆切于C ， ∴EF ⊥CD ，EC ＝12EF ＝2 3.又CD ＝4，∴在Rt △ECD 中， 有ED ＝EC 2＋CD 2 ＝(23)2＋42＝27.由射影定理可知EC 2＝EG ·ED ， ∴EG ＝EC 2ED ＝(23)227＝677.6．如图，以Rt △ABC 直角边AC 上一点O 为圆心，OC 为半径的⊙O 与AC 的另一个交点为E ，D 为斜边AB 上一点且在⊙O 上，AD 2＝AE ·AC .(1)证明：AB 是⊙O 的切线； (2)若DE ·OB ＝8，求⊙O 的半径． 解：(1)证明：连接OD ，CD ，∵AD 2＝AE ·AC ， ∴AD AE ＝ACAD.又∵∠DAE ＝∠DAC ， ∴△DAE ∽△CAD ，∴∠ADE ＝∠ACD . ∵OD ＝OC ，∴∠ACD ＝∠ODC ， 又∵CE 是⊙O 的直径，∴∠ODE ＋∠CDO ＝90°，∴∠ODA ＝90°， ∴AB 是⊙O 的切线． (2)∵AB ，BC 是⊙O 的切线，∴OB ⊥DC ，∴DE ∥OB ，∴∠CED ＝∠COB ， ∵∠EDC ＝∠OCB ，∴△CDE ∽△BCO ， ∴DE CO ＝CEBO，DE ·OB ＝2R 2＝8， ∴⊙O 的半径为2.[对应学生用书P27]一、选择题1．下列说法：①与圆有公共点的直线是圆的切线；②垂直于圆的半径的直线是圆的切线；③与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；④过直径的端点，垂直于此直径的直线是圆的切线．其中正确的有( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④答案：C2．如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，AC 交⊙O 于D .AB ＝6，BC ＝8，则BD 等于( )A ．4B ．4.8C ．5.2D ．6解析：∵AB 是⊙O 的直径，∴BD ⊥AC . ∵BC 是⊙O 的切线，∴AB ⊥BC . ∵AB ＝6，BC ＝8，∴AC ＝10. ∴BD ＝AB ·BCAC ＝4.8.答案：B3.如图，CD 切⊙O 于B ，CO 的延长线交⊙O 于A ，若∠C ＝36°，则∠ABD 的度数是( )A ．72°B ．63°C ．54°D ．36°解析：连接OB .∵CD 为⊙O 的切线，∴∠OBC ＝90°. ∵∠C ＝36°，∴∠BOC ＝54°. 又∵∠BOC ＝2∠A ，∴∠A ＝27°， ∴∠ABD ＝∠A ＋∠C ＝27°＋36°＝63°. 答案：B4．如图，在⊙O 中，AB 为直径，AD 为弦，过B 点的切线与AD 的延长线交于C ，若AD ＝DC ，则sin ∠ACO 等于( )A.1010 B.210 C.55D.24 解析：连接BD ，则BD ⊥AC .∵AD ＝DC ，∴BA ＝BC ， ∴∠BCA ＝45°.∵BC 是⊙O 的切线，切点为B ， ∴∠OBC ＝90°.∴sin ∠BCO ＝OB OC ＝OB 5OB ＝55，cos ∠BCO ＝BC OC ＝2OB 5OB ＝255.∴sin ∠ACO ＝sin(45°－∠BCO ) ＝sin 45°cos ∠BCO －cos 45°sin ∠BCO ＝22×255－22×55＝1010. 答案：A 二、填空题5．如图，已知∠AOB ＝30°，M 为OB 边上一点，以M 为圆心、2为半径作⊙M .若点M 在OB 边上运动，则当OM ＝________时，⊙M 与OA 相切．解析：若⊙M 与OA 相切，则圆心M 到直线OA 的距离等于圆的半径2.过M作MN⊥OA于点N，则MN＝2.在Rt△MON中，∵∠MON＝30°，∴OM＝2MN＝2×2＝4.答案：46．已知P A是圆O的切线，切点为A，P A＝2，AC是圆O的直径，PC与圆O交于B点，PB＝1.则圆O 的半径R＝________.解析：AB＝AP2－PB2＝ 3.由AB2＝PB·BC，∴BC＝3，Rt△ABC中，AC＝AB2＋BC2＝2 3.∴R＝ 3.答案： 37．圆O的直径AB＝6，C为圆周上一点，BC＝3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于点D、E，则∠DAC＝________，DC＝________.解析：连接OC，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC.又∠DCA＋∠ACO＝90°，∠ACO＋∠OCB＝90°，∴∠DCA＝∠OCB，∵OC＝3，BC＝3，∴△OCB是正三角形．∴∠OBC＝60°，即∠DCA＝60°.∴∠DAC＝30°.在Rt△ACB中，AC＝AB2－BC2＝33，DC＝AC sin 30°＝32 3.答案：30°33 2三、解答题8.如图所示，D是⊙O的直径AB的延长线上一点，PD是⊙O的切线，P是切点，∠D＝30 °.求证：P A＝PD.证明：如图，连接OP，∵PD是⊙O的切线，P为切点．∴PO⊥PD.∵∠D＝30°，∴∠POD＝60°.又∵OA＝OP，∴∠A＝∠APO＝30°.∴∠A＝∠D.∴P A＝PD.9.如图，已知在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，过D点作⊙O的切线交AC于E.求证：(1)DE⊥AC；(2)BD2＝CE·CA.证明：(1)连接OD，AD.∵DE是⊙O的切线，D为切点，∴OD⊥DE.∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC.又AB＝AC，∴BD＝DC.∴OD∥AC.∴DE⊥AC.(2)∵AD⊥BC，DE⊥AC，∴△CDE∽△CAD.∴CDCA＝CECD.∴CD2＝CE·CA.∴BD＝DC.∴BD2＝CE·CA.10.如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD，垂足为E，DA平分∠BDE.(1)求证：AE是⊙O的切线；(2)若∠DBC＝30°，DE＝1 cm，求BD的长．解：(1)证明：连接OA.∵DA平分∠BDE，∴∠BDA＝∠EDA.∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD.∴∠OAD＝∠EDA.∴OA∥CE.∵AE⊥DE，∴∠AED＝90°，∴∠OAE＝∠DEA＝90°.∴AE⊥OA.∴AE是⊙O的切线．(2)∵BD是直径，∴∠BCD＝∠BAD＝90°.∵∠DBC＝30°，∴∠BDC＝60°.∴∠BDE＝120°.∵DA平分∠BDE，∴∠BDA＝∠EDA＝60°.∴∠ABD＝∠EAD＝30°.在Rt△AED中，∠AED＝90°，∠EAD＝30°，∴AD＝2DE.在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，∠ABD＝30°，∴BD＝2AD＝4DE.∵DE的长是1 cm，∴BD的长是4 cm.。