武汉第2讲 圆中的三大切线定理

第2讲圆中的三大切线定理

板块一：切线性质定理

1、直线与圆有且仅有一个交点，该直线为圆的一条切线，连接圆心和切点，R⊥切线

【引】（2013武汉四调）在⊙O中，AB为直径，PC为弦，且PA＝PC

（1）如图1，求证：OP∥BC

（2）如图2，DE切⊙O于点C，DE∥AB，求tan∠A的值。

【变】（求边）⊙O中，半径OA⊥OE，弦AB交OE于D，过B作⊙O的切线，交OE的延长线于C，OA=3，BC=4，则AD？

【变】（求角）直线AB是⊙O的切线，A为切点，OB交⊙O于点C，点D在⊙O 上，且∠OBA=40°，求∠ADC？

【练】⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PB为⊙O于点B，求PB的最小值？

2、切线长定理

【例】EB、ED分别切⊙O于B、D，∠E=90°，延长BO交⊙O于A，点C为⊙O 上一点，且∠CAB=15°，若DE=2，求CD？

3、切线长定理的一些结论

【练】PA、PB切⊙O于点A、B两点，C为AB上的一点，已知∠BPA=50°，求∠ACB？

【变】△ABC中，∠C=90°，BC=5，⊙O与△ABC的三边都相切，若⊙O的半径为2，则△ABC的周长是多少？

2，求⊙O的半【变】⊙O为△ABC内切圆，若∠BAC=60°，AB +AC﹣BC=3

径？

【拓】⊙1O 和⊙2O 为Rt △ABC 内切圆，∠C=90°，AC=4，BC=3，求⊙1O 的半径？

板块二：切线的证明与计算（※中考必考题型※）

题型一：知圆上点，连半径，证垂直（※中考主流考察方式※）

【例】已知直线PA 交⊙O 于A 、B 两点，AE 是⊙O 的直径，点C 为⊙O 上一点，且AC 平分∠PAE ，过点C 作CD ⊥PA ，垂足为点D

（1）求证：CD 为⊙O 的切线。

（2）若DC+DA=6，⊙O 的直径为10，求AB ？

【变】AB是半圆的直径，O为圆心，AD、BD是半圆的弦，且∠PDA=∠PBD. （1）判断直线PD是否为⊙O的切线，并说明原因；

（2）如果∠BDE=60°，PD为3，求PA？

【练】△ABC内接⊙O，CA=CB，CD∥AB，且与OA的延长线交于点D （1）判断CD与⊙O的位置关系

（2）若∠ACB=120°，OA=2，求CD

题型二：作垂直，证半径

【例】如图，AO是△ABC的中线，⊙O与AB边相切于点D，∠B=∠C．

证明⊙O与AC边相切．

板块三：综合题

（一）多结论问题：

【】Rt△ABC中，∠C=90°，以AB为直径的圆交AC于D，E为BC中点，DF ⊥AB于F，D为BM中点，BM交DF、AC分别于G、H，连OG，下列结论：①DE为⊙O切线；②BH=BC；

③OG∥AD；④四边形DEBG为菱形，

正确的有。

【变】PA、PB为⊙O切线，AB为切点，BC为⊙O直径，PO交⊙O于D，下列结论：

①AB⊥OP；②PD=OD；

③点D为△PAB内心；④当∠APB=60°时么四边形ACDP为平行四边形。

正确的有。

（二）几何内综合

【例】AB、BC分别是⊙O的直径和弦，点D为BC上一点，弦DE交⊙O于点E，交AB于点F，交BC于点G，过点C的切线交ED的延长线于点H，且HC=HG，连接BH，交⊙O于点M，连接MD，ME，求证；（1）DE⊥AB；（2）∠HMD=∠MHE+∠MEH

【例】在以O为圆心的两个圆心的两个同心圆，AB经过圆心O，且与小圆相交于A，与大圆相交于点B，小圆的切线AC与大圆相交于点D，且CO平分∠ACB. （1）判断BC所在直线与小圆位置关系，说明理由；

（2）判断AC、AD和BC的数量关系，说明理由；

（3）若AB=8cm，BC=10cm，求大圆与小圆围成的圆环面积（结果保留π）

【练】Rt△ABC中，∠ACB=90°，P为AB中点，点O在BP上，⊙O过点B 且分别与边BC，BP交于