初中数学中考第2讲.圆中三大切线定理.尖子班.学生版
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18
题型三 切线长定理
思路导航
切线长和切线长定理： ⑴ 在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． ⑵ 从圆外一点引圆的两条切线， 它们的切线长相等， 圆心和这一点的连线平分两条切线的
夹角．
例题精讲
【引例】已知：如图， PA 、PB 分别与 ⊙O 相切于 A 、 B 两点．求证：⑴ ⑵ PA PB ；⑶ OP 垂直平分线段 AB ．
思路导航
判定切线共有三种方法：定义法、距离法和定理法，其中常用的是距离法和定理法，可以总 结为六字口诀，定理法是“连半径，证垂直” ，距离法是“作垂直，证半径” ，定理法的使用频率 最高，必须熟练掌握。
典题精练
【例 2】 如图， C 是以 AB 为直径的⊙ O 上一点，过 O 作 OE⊥ AC 于点 E，过点 A 作⊙ O 的切线 交 OE 的延长线于点 F， 连结 CF 并延长交 BA 的延长线于点 P. ⑴ 求证： PC 是⊙ O 的切线 . ⑵ 若 AB=4， AP ：PC 1：2 ，求 CF 的长 .
圆的基本性质，圆 的切线证明，圆同 相似和三角函数的 结合；直线与圆的 位置关系
2013 年
8， 20，25
17 分 圆中的动点函数图 像，圆的基本性质 ( 垂径定理、 圆周角 定理 ) ，圆同相似和 三角函数的结合； 直线与圆的位置关 系
知识互联网
题型一：切线的性质定理
思路导航
题目中已知圆的切线，可以“连半径，标直角”
17
【例 3】 如图，已知 Rt△ ABC 中， ACB 90 ， BD 平分 ABC ，以 D 为圆心、 CD 长为半径作 ⊙ D ，与 AC 的另一个交点为 E ．
C D
⑴ 求证： AB 与 ⊙ D 相切；
E
⑵ 若 AC 4，BC 3 ，求 AE 的长．
A
B
【例 4】 已知： 如图， AB 是 ⊙O 的直径， C 是 ⊙O 上一点， OD ⊥ BC 于 点 D ，过点 C 作 ⊙O 的切线，交 OD 的延长线于点 E ，连结 BE ． ⑴ 求证： BE 与 ⊙O 相切； ⑵ 连结 AD 并延长交 BE 于点 F ， OB 9 ， sin ABC 2 ， 3 求 BF 的长．
圆的性质
知道圆的对称性，了解弧、弦、 圆心角的关系
能用弧、弦、圆心角的关 系解决简单问题
圆周角
了解圆周角与圆心角的关系； 知道直径所对的圆周角是直角
垂径定理 点与圆的位置关系
直线与圆的位置关 系
圆与圆的位置关系 弧长 扇形 圆锥的侧面积和全 面积
会在相应的图形中确定垂径定 理的条件和结论 了解点与圆的位置关系 了解直线与圆的位置关系；了 解切线的概念，理解切线与过 切点的半径之间的关系；会过 圆上一点画圆的切线；了解切 线长的概念
能解决与圆锥有关的简单 实际问题
C
能运用 圆 的性质 解 决有关 问 题 能综合 运 用几何 知 识解决 与 圆周角 有 关的问题
能解决 与 切线有 关 的问题
中考考点分析
圆是北京中考的必考内容，主要考查圆的有关性质与圆的有关计算，每年的第
20 题都会考
15
查， 第 1 小题一般是切线的证明， 第 2 小题运用圆与三角形相似、 解直角三角形等知识求线段长 度问题，有时也以阅读理解、条件开放、结论开放探索题作为新的题型。
要求同学们重点掌握圆的有关性质， 掌握求线段、 角的方法， 理解概念之间的相互联系和知 识之间的相互转化， 理解直线和圆的三种位置关系， 掌握切线的性质和判定方法， 会根据条件解 决圆中的动态问题。
年份 题号 分值
考点
2011 年 20，25 13 分
2012 年 8，20，25
17 分
圆的有关证明，计 算（圆周角定理、 切线、等腰三角形、 相似、解直角三角 形）；直线与圆的 位置关系
2
圆中三大切线定理
满分晋级阶梯
圆 5级 圆中三大切线定理
圆 6级 期末复习之圆的综合
圆 7级 期末复习之圆中的
重要结论及应用
漫画释义
围田地
秋秋季季班班第第二八讲讲
秋秋季季班班第第十六三讲讲
秋暑季期班班第第十六五讲讲
14
中考内容与要求
中考内容 A
圆的有关概念
理解圆及其有关概念
中考要求 B
会过不在同一直线上的三 点作圆；能利用圆的有关 概念解决简单问题
A
D
C
B O
C
E
【例 6】 ⑴ 如右图所示， △ ABC 的内切圆与三边 AB 、 BC 、 CA 分别切
F
于 D 、 E 、 F . AB 13cm ， BC 14cm ，CA 11cm ，求 AD 、
BE 、 CF 的长．
，然后在直角三角形中利用勾股、相似或锐
16
角三角函数解决问题。
典题精练
【例 1】 如图， 在△ ABC 中， AB BC ，以 AC 为直径的⊙ 0 与 BC 边
交于点 D，过点 D 作⊙ O 的切线 DE ，交 AB 于点 E，若
DE⊥ AB ．求证： AE 3BE ．
E
B
A O
D
C
题型二：切线的判定定理
典题精练
【例 5】 ⑴ 如图， PA、 PB、DE 分别切 ⊙O 于 A、 B、 C ，若 PO 10 ， P △ PDE 周长为 16 ，求 ⊙O 的半径．
A D
O C
E Bห้องสมุดไป่ตู้
⑵ 梯形 ABCD 中， AB ∥ CD ， O 是 AB 上一点，以 O 为圆心的 半圆与 AD、 CD、 BC 都相切．已知 AD 6 ， BC 4 ，求 AB 的长．
【解析】 连 结 OA，OB ∵PA ，PB 分别与 ⊙O 相切， ∴PA OA，PB OB ， ∵OA OB ， OP=OP ∴△ AOP ≌△ BOP ∴ APO BPO ． ∴PA PB ，
A
P
CO
B
APO BPO ；
A
P
CO
B
19
由等腰三角形“三线合一”可知： OP AB 且 AC BC ， ∴OP 垂直平分线段 AB ． (整套资料加群下载： 全国初中数学教师群 881627464)
了解圆与圆的位置关系
会计算弧长
会计算扇形面积
会求圆锥的侧面积和全面积
会求圆周角的度数，能用 圆周角的知识解决与角有 关的简单问题
能用垂径定理解决有关问 题
能判定直线和圆的位置关 系；会根据切线长的知识 解决简单的问题；能利用 直线和圆的位置关系解决 简单问题 能利用圆与圆的位置关系 解决简单问题 能利用弧长解决有关问题 能利用扇形面积解决有关 问题
题型三 切线长定理
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切线长和切线长定理： ⑴ 在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． ⑵ 从圆外一点引圆的两条切线， 它们的切线长相等， 圆心和这一点的连线平分两条切线的
夹角．
例题精讲
【引例】已知：如图， PA 、PB 分别与 ⊙O 相切于 A 、 B 两点．求证：⑴ ⑵ PA PB ；⑶ OP 垂直平分线段 AB ．
思路导航
判定切线共有三种方法：定义法、距离法和定理法，其中常用的是距离法和定理法，可以总 结为六字口诀，定理法是“连半径，证垂直” ，距离法是“作垂直，证半径” ，定理法的使用频率 最高，必须熟练掌握。
典题精练
【例 2】 如图， C 是以 AB 为直径的⊙ O 上一点，过 O 作 OE⊥ AC 于点 E，过点 A 作⊙ O 的切线 交 OE 的延长线于点 F， 连结 CF 并延长交 BA 的延长线于点 P. ⑴ 求证： PC 是⊙ O 的切线 . ⑵ 若 AB=4， AP ：PC 1：2 ，求 CF 的长 .
圆的基本性质，圆 的切线证明，圆同 相似和三角函数的 结合；直线与圆的 位置关系
2013 年
8， 20，25
17 分 圆中的动点函数图 像，圆的基本性质 ( 垂径定理、 圆周角 定理 ) ，圆同相似和 三角函数的结合； 直线与圆的位置关 系
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题型一：切线的性质定理
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题目中已知圆的切线，可以“连半径，标直角”
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【例 3】 如图，已知 Rt△ ABC 中， ACB 90 ， BD 平分 ABC ，以 D 为圆心、 CD 长为半径作 ⊙ D ，与 AC 的另一个交点为 E ．
C D
⑴ 求证： AB 与 ⊙ D 相切；
E
⑵ 若 AC 4，BC 3 ，求 AE 的长．
A
B
【例 4】 已知： 如图， AB 是 ⊙O 的直径， C 是 ⊙O 上一点， OD ⊥ BC 于 点 D ，过点 C 作 ⊙O 的切线，交 OD 的延长线于点 E ，连结 BE ． ⑴ 求证： BE 与 ⊙O 相切； ⑵ 连结 AD 并延长交 BE 于点 F ， OB 9 ， sin ABC 2 ， 3 求 BF 的长．
圆的性质
知道圆的对称性，了解弧、弦、 圆心角的关系
能用弧、弦、圆心角的关 系解决简单问题
圆周角
了解圆周角与圆心角的关系； 知道直径所对的圆周角是直角
垂径定理 点与圆的位置关系
直线与圆的位置关 系
圆与圆的位置关系 弧长 扇形 圆锥的侧面积和全 面积
会在相应的图形中确定垂径定 理的条件和结论 了解点与圆的位置关系 了解直线与圆的位置关系；了 解切线的概念，理解切线与过 切点的半径之间的关系；会过 圆上一点画圆的切线；了解切 线长的概念
能解决与圆锥有关的简单 实际问题
C
能运用 圆 的性质 解 决有关 问 题 能综合 运 用几何 知 识解决 与 圆周角 有 关的问题
能解决 与 切线有 关 的问题
中考考点分析
圆是北京中考的必考内容，主要考查圆的有关性质与圆的有关计算，每年的第
20 题都会考
15
查， 第 1 小题一般是切线的证明， 第 2 小题运用圆与三角形相似、 解直角三角形等知识求线段长 度问题，有时也以阅读理解、条件开放、结论开放探索题作为新的题型。
要求同学们重点掌握圆的有关性质， 掌握求线段、 角的方法， 理解概念之间的相互联系和知 识之间的相互转化， 理解直线和圆的三种位置关系， 掌握切线的性质和判定方法， 会根据条件解 决圆中的动态问题。
年份 题号 分值
考点
2011 年 20，25 13 分
2012 年 8，20，25
17 分
圆的有关证明，计 算（圆周角定理、 切线、等腰三角形、 相似、解直角三角 形）；直线与圆的 位置关系
2
圆中三大切线定理
满分晋级阶梯
圆 5级 圆中三大切线定理
圆 6级 期末复习之圆的综合
圆 7级 期末复习之圆中的
重要结论及应用
漫画释义
围田地
秋秋季季班班第第二八讲讲
秋秋季季班班第第十六三讲讲
秋暑季期班班第第十六五讲讲
14
中考内容与要求
中考内容 A
圆的有关概念
理解圆及其有关概念
中考要求 B
会过不在同一直线上的三 点作圆；能利用圆的有关 概念解决简单问题
A
D
C
B O
C
E
【例 6】 ⑴ 如右图所示， △ ABC 的内切圆与三边 AB 、 BC 、 CA 分别切
F
于 D 、 E 、 F . AB 13cm ， BC 14cm ，CA 11cm ，求 AD 、
BE 、 CF 的长．
，然后在直角三角形中利用勾股、相似或锐
16
角三角函数解决问题。
典题精练
【例 1】 如图， 在△ ABC 中， AB BC ，以 AC 为直径的⊙ 0 与 BC 边
交于点 D，过点 D 作⊙ O 的切线 DE ，交 AB 于点 E，若
DE⊥ AB ．求证： AE 3BE ．
E
B
A O
D
C
题型二：切线的判定定理
典题精练
【例 5】 ⑴ 如图， PA、 PB、DE 分别切 ⊙O 于 A、 B、 C ，若 PO 10 ， P △ PDE 周长为 16 ，求 ⊙O 的半径．
A D
O C
E Bห้องสมุดไป่ตู้
⑵ 梯形 ABCD 中， AB ∥ CD ， O 是 AB 上一点，以 O 为圆心的 半圆与 AD、 CD、 BC 都相切．已知 AD 6 ， BC 4 ，求 AB 的长．
【解析】 连 结 OA，OB ∵PA ，PB 分别与 ⊙O 相切， ∴PA OA，PB OB ， ∵OA OB ， OP=OP ∴△ AOP ≌△ BOP ∴ APO BPO ． ∴PA PB ，
A
P
CO
B
APO BPO ；
A
P
CO
B
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由等腰三角形“三线合一”可知： OP AB 且 AC BC ， ∴OP 垂直平分线段 AB ． (整套资料加群下载： 全国初中数学教师群 881627464)
了解圆与圆的位置关系
会计算弧长
会计算扇形面积
会求圆锥的侧面积和全面积
会求圆周角的度数，能用 圆周角的知识解决与角有 关的简单问题
能用垂径定理解决有关问 题
能判定直线和圆的位置关 系；会根据切线长的知识 解决简单的问题；能利用 直线和圆的位置关系解决 简单问题 能利用圆与圆的位置关系 解决简单问题 能利用弧长解决有关问题 能利用扇形面积解决有关 问题