初中数学中考第2讲.圆中三大切线定理.尖子班.学生版
2024年中考重点之圆的切线与切圆定理
2024年中考重点之圆的切线与切圆定理圆是几何学中非常重要的基本形状之一，而关于圆的切线和切圆定理是中考数学中的重点内容之一。
本文将详细介绍圆的切线以及切圆定理的概念和应用。
一、圆的切线1. 切线的定义在平面几何中，切线是一条与圆只有一个交点的直线。
2. 切线的性质（1）切线与半径的关系：切线与半径垂直相交。
（2）切线的方向：切线与半径的夹角为90度。
（3）切线的长度：从切点到圆心的部分是切线的长度。
二、切圆定理1. 切圆定理的表述在一个圆中，如果一条直线通过圆上的两个不同的点，并且这条直线的两端分别与圆相交，那么这条直线就被称为切线，并且它与圆的切点在同一条直径上。
2. 切圆定理的应用（1）切线与半径的关系：由切圆定理可知，切线与半径在切点处构成90度的夹角，因此可以利用这一性质求解有关圆的问题。
（2）求切线长度：利用切圆定理可以通过已知的半径长度和圆心和切点的距离求解切线的长度。
（3）求切点坐标：利用切圆定理可以通过已知的圆心坐标和切线方程求解切点的坐标。
三、例题解析题目：已知一个圆的半径为r，圆心的坐标为(h, k)，直线y = mx + c（m ≠ 0）经过与圆的两个交点，求切线的方程。
解析：根据题目中已知条件，直线y = mx + c与圆相交于两个不同的点。
由于直线是切线，因此切线与直径垂直相交，并且切点在同一条直径上。
设切点的坐标为(x1, y1)，则根据切圆定理，切点的横坐标为h - (km + c)/(m^2 + 1)，纵坐标为k + m(x1 - h)。
由于切线垂直于半径，可以得到切线的斜率为-1/m。
由切点坐标可以确定切线的方程为y - y1 = -(1/m)(x - x1)。
将切点的坐标代入切线方程，可以得到切线的具体方程为y - (k + m(x1 - h)) = -(1/m)(x - (h - (km + c)/(m^2 + 1)))。
至此，我们得到了关于切线的方程。
四、总结本文详细介绍了圆的切线和切圆定理的概念和应用。
课件2：三 圆的切线的性质及判定定理
能力提升
例 如图所示，已知OC平分∠AOB，D是OC上一点， ⊙D与OA相切于点E，求证OB与⊙D的公共点，连接DF， 则DE＝DF. ∵OA与⊙D相切于点E， ∴DE⊥OA. 又∵OD平分∠AOB. ∴DF⊥OB，∴OB与⊙D相切． 分析：因为要证的是OB是⊙D的切线，所以不知道OB与 ⊙D是否有公共点，不能连接，只能过D作OB的垂线．
证明：如图，连接OD，过点O作OE⊥AC，垂足为点E.
∵⊙O与AB相切于点D， ∴OD⊥AB，且OD等于圆的半径． ∵△ABC为等腰三角形，点O是底边BC的中点， ∴∠B＝∠C，OB＝OC. 又∵∠ODB＝∠OEC＝90°， ∴△ODB≌△OEC， ∴OE＝OD， 即OE是⊙O的半径， 即圆心O到直线AC的距离等于半径． ∴AC与⊙O相切．
【正解】连接DE，过D作DF⊥OB于F， ∵OA切⊙D于E，∴DE⊥OA， ∵OD平分∠AOB，DF⊥OB， ∴DE＝DF，∴OB与⊙D相切． 【疑难点辨析】圆的切线是指与圆只有一个公共点的直线.根 据切线的定义,一定要明确切线的位置,再去证明.证明直线是 圆的切线时,无论直线是否经过圆上一点,都连接圆心与直线 上一点,这是不对的．
图形语言
作用
证明直线与圆相切
题型一 性质定理的应用
例1 如图，已知AB是⊙O的直径，ED切⊙O于D， EM⊥AB于M，交AD于C，交⊙O于F.求证：EC＝ED.
解析：方法一 连接BD(如图)，∵AB是⊙O的直径， ∴∠B＝90°－∠A，∵EM⊥AB， ∴∠ECD＝∠ACM＝90°－∠A. ∴∠ECD＝∠B. 又∵ED切⊙O于D，∴∠EDC＝∠B(证明略)． ∴∠EDC＝∠ECD.∴EC＝ED. 方法二 ∵ED切⊙O于D，连接OD. ∴OD⊥ED，∠EDA＝90°－∠ODA. ∵EM⊥AB，∴∠ECD＝∠ACM＝90°－∠A. ∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠A. ∴∠EDC＝∠ECD.∴EC＝ED.
九年级数学圆的切线2
A
能力提高 已知:AB是⊙O的直径, ⊙O过AC 的中点,DE⊥BC,垂足为E. ⑴这些条件你能推出哪些正确的 A 结论?(所连辅助线不要出现在结论中.
不写推理过程,写出3个结论即可)
⑵当∠ABC为直角时,其他条件 D
C
O
E B
C D E B
不变,除上述结论外,你还能推 出哪些正确的结论?(要求将图画
A B O A
范例提炼
如图， AB 为⊙ O 的直径 ， C 为⊙ O 上一点 ， AD 和 过 C 点 切 线 互 相 垂 直 ， 垂 足 为 D. 求证:AC平分∠DAB
D 证明: 连结OC C
1
∵CD是⊙O的切线∴OC⊥CD
又∵CD⊥AD∴OC∥AD ∴∠1=∠3 又∵OA=OC ∴∠2=∠3 ∴ ∠1=∠2 即AC平分∠DAB
O A B
例1 如图，已知⊙O的半径为R，直线AB经过 ⊙O上的点A,并且AB=R,∠OBA=45° 求证：直线AB是⊙O的切线 证明：连结OA ∵ OA=AB=R ∴∠O=∠OBA=45 ° ∵∠O+∠OBA+∠OAB=180° ∴∠OAB=90° ∵ OA是半径 ∴直线AB是⊙O的切线
诊断补偿
E D
1 2 3
C O B
求证:DC是⊙O的切线.
证明: 连结AC,OC ∵AB为⊙O的直径∴AC⊥BE 又∵BC=EC∴AE=AB ∴∠1=∠2 又∵OAห้องสมุดไป่ตู้OC∴∠2=∠3∴∠1=∠3 ∴AE∥OC
A
∵CD⊥AE
∴DC⊥OC ∴DC是⊙O的切线.
E D C A O B A D C
O
B
学生双层床学生宿舍床 柌痋爿
人教版数学九年级上册切线长定理、三角形的内切圆、内心精品课件PPT
PA = PB
∠OPA=∠OPB
人 教 版 数 学 九 年级 上册2 4.2.2： 切线长 定理、 三角形 的内切 圆、内 心 课 件
三：运用新知，解决问题;
已知⊙O切线PA、PB，A、B
为切点，AP=8cm, ∠BPA=600
E B
(1)则BP=
, ∠BPO= 。 C O
（2）你能求⊙O的半径吗？
五：课堂反思，师生小结
1.通过本节课的学习你学会了
哪些知识？ 2.掌握了哪些方法？ 3.还有哪些疑惑？
人 教 版 数 学 九 年级 上册2 4.2.2： 切线长 定理、 三角形 的内切 圆、内 心 课 件
人 教 版 数 学 九 年级 上册2 4.2.2： 切线长 定理、 三角形 的内切 圆、内 心 课 件
一：情境引入，激发兴趣
在一张三边分别是9cm，13cm，14cm的三角形纸 片上裁下一个圆形，使所裁得的圆尽可能大。请看动 画演示：其中哪一个圆是最符合要求的？
怎样画这个圆呢？
人 教 版 数 学 九 年级 上册2 4.2.2： 切线长 定理、 三角形 的内切 圆、内 心 课 件
人 教 版 数 学 九 年级 上册2 4.2.2： 切线长 定理、 三角形 的内切 圆、内 心 课 件
▪
5、人们都期望自我的生活中能够多 一些快 乐和顺 利，少 一些痛 苦和挫 折。可 是命运 却似乎 总给人 以更多 的失落 、痛苦 和挫折 。我就 经历过 许多大 大小小 的挫折 。
▪
6、我就经历过许多大大小小的挫折。 大海因 为有了 狂风的 袭击， 才显示 出了它 顽强的 生命力 ，它把 狂风化 成了朵 朵浪花 ，给人 们带来 美丽；
板书设计
切线长定理
定义：切线长
圆中三大切线定理
14初三秋季·第2讲·尖子班·学生版围田地漫画释义满分晋级阶梯暑期班第六讲秋季班第六讲秋季班第八讲圆7级期末复习之圆中的重要结论及应用圆6级期末复习之圆的综合圆5级圆中三大切线定理秋季班第十五讲秋季班第十三讲秋季班第二讲2圆中三大切线定理15中考内容中考要求ABC圆的有关概念理解圆及其有关概念会过不在同一直线上的三点作圆；能利用圆的有关概念解决简单问题圆的性质知道圆的对称性，了解弧、弦、圆心角的关系能用弧、弦、圆心角的关系解决简单问题能运用圆的性质解决有关问题圆周角了解圆周角与圆心角的关系；知道直径所对的圆周角是直角会求圆周角的度数，能用圆周角的知识解决与角有关的简单问题能综合运用几何知识解决与圆周角有关的问题垂径定理会在相应的图形中确定垂径定理的条件和结论能用垂径定理解决有关问题点与圆的位置关系了解点与圆的位置关系直线与圆的位置关系了解直线与圆的位置关系；了解切线的概念，理解切线与过切点的半径之间的关系；会过圆上一点画圆的切线；了解切线长的概念能判定直线和圆的位置关系；会根据切线长的知识解决简单的问题；能利用直线和圆的位置关系解决简单问题能解决与切线有关的问题圆与圆的位置关系了解圆与圆的位置关系能利用圆与圆的位置关系解决简单问题弧长会计算弧长能利用弧长解决有关问题扇形会计算扇形面积能利用扇形面积解决有关问题圆锥的侧面积和全面积会求圆锥的侧面积和全面积能解决与圆锥有关的简单实际问题圆是北京中考的必考内容，主要考查圆的有关性质与圆的有关计算，每年的第20题都会考中考考点分析中考内容与要求16初三秋季·第2讲·尖子班·学生版查，第1小题一般是切线的证明，第2小题运用圆与三角形相似、解直角三角形等知识求线段长度问题，有时也以阅读理解、条件开放、结论开放探索题作为新的题型。
要求同学们重点掌握圆的有关性质，掌握求线段、角的方法，理解概念之间的相互联系和知识之间的相互转化，理解直线和圆的三种位置关系，掌握切线的性质和判定方法，会根据条件解决圆中的动态问题。
九年级数学圆切线知识点
九年级数学圆切线知识点在九年级数学学习中，圆切线是一个重要的知识点。
本文将介绍圆的切线的定义、性质以及相关的定理。
一、圆切线的定义和性质圆是一个平面上的闭合曲线，它的每个点到圆心的距离都相等。
圆周上的任意一条线段称为弦，连接圆周上两个点的最短线段称为弦。
如果在圆上有一条线段，且这条线段的每一个端点都在圆上，那么这条线段就是圆的切线。
根据圆的定义和性质，圆的切线有一些重要的性质：1. 切线与半径垂直：圆的切线与半径的形成的角是直角。
2. 唯一性：一个圆上的任意点只有唯一一条切线与之相切。
3. 切线长度：当切线与半径形成的角不等于90度时，切线与圆心的距离是半径的长度。
4. 相交性质：如果两个圆相交，那么它们的切线会相交于相交点。
二、圆切线的定理除了基本的定义和性质外，还有一些与圆切线相关的定理。
下面将介绍一些常见的定理：1. 切线定理：如果一条直线与一个圆相切，那么这条直线与半径的形成的角是直角。
2. 弦切定理：如果一条弦与一个切线相交，那么切线与弦间的角等于弦上对应的圆心角。
3. 切线长定理：如果两条切线（包括弦）与一个圆相交，那么这两条切线的长度的乘积等于这两条切线分别与圆心连线长度的平方。
4. 切线角定理：如果两条切线（包括弦）与一个圆相交，那么这两条切线所对应的圆心角相等。
三、习题练习现在我们来做一些练习题，以加深对圆切线知识点的理解。
1. 在圆 O 上，切线 AB，C 是正切点。
若弧 AC 的度数是120度，求角 BAC 的度数。
解答：由弧与切线的性质可得，角 BAC 的度数等于弧 AC 的度数的一半，即 120/2 = 60 度。
2. 已知圆心角 ADC 的度数是135度，弦 AC 与切线 AB 相交于点 E，求角 BDE 的度数。
解答：根据弦切定理可知，角 BDE 等于弦 AC 对应的圆心角ADC 的度数减去切线 AB 与弦 AC 间夹角的度数，即 135 - 90 = 45 度。
通过以上的练习题，我们可以灵活运用圆切线的性质和定理来解决问题。
三圆的切线的性质及判定定理2
证明: 连接OD， BD CD,OA OB OD是ABC的中位线, OD // AC, AED EDO 180 0, AED 900 EDO 900
又 D在圆周上 DE是圆O的切线.
C
D E
B
O
A
例2 如图，AB为圆O的直径，C为圆O上一点，AD和过点C 的切线互相垂直，垂足为D. 求证：AC平分DAB.
证明: 连接OC， CD是圆O的切线， OC CD,
又 AD CD, OC // AD,
CAD ACO OA OC
ACO CAO
CAD CAO. 故AC平分DAB.
D C
B
A
O
小结
1、圆的切线的性质定理 2、圆的切线的判定定理
M A
因此，l与OA一定垂直.
l
O
切线的性质定理
圆的切线垂直于经过切点的半径． A
推论１
l
O
经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
推论 2
经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
已知：如图，点 A是圆O与直线l的公共点且 l OA. 求证：直线 l是圆O的切线.
证明：在直线l上任取异于点A的点B，连接OB，
则有，ABO是直角三角形，
OB OA. 因此，点B在圆外.
由点B的任意性，可知
B A
直线与圆只有一个交点， l
因此，l是圆的切线.
O
切线的判定定理
经过半径的外端并且垂直于这条半径的 直线是圆的切线．
例1 如图，AB是圆O的直径，圆 O过BC的中点D，DE AC . 求证： DE 是圆O的切线.
知识回顾
直线与圆的位置关系：
相交 相切 相离
有两个公共点 有一个公共点 没有公共点
人教版数学九年级上册24.2.3切线长定理课件(共26张PPT)
三角形外心、内心的区别：
名称
外心
内心
图形
性质
三角形的外心到三角形三个 三角形的内心到三角形
顶点的距离相等
三条边的距离相等
位置 外心不一定在三角形内部 内心一定OC=90°+
1 2
∠A
例2 如图， △ABC的内切圆⊙O与BC，CA， AB
分别相交于点D ， E ， F ，且AB＝9，BC ＝14，
CA ＝13，求AF，BD，CE的长.
解：设AF=x,则AE=x,
A
CD=CE=AC-AE=13-x,
E
BD=BF=AB-AF=9-x.
F
由BD+CD=BC,可得
(13-x)+(9-x)=14.解得，x=4. B
D
C
因此，AF=4，BD=5，CE=9.
随堂练习 1.如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分 别相切于点D，E，F，且AB=11cm，BC=14cm， CA=13cm，则AF的长为( C ) A.3cm B.4cm C.5cm D.9cm
解：∵ 点O是△ABC的内心，
∴∠OBC= 1 ∠ABC= 1 ×50°=25°，
2
2
∴∠OCB= 1 ∠ACB = 1×75°=37.5° ，
2
2
∴∠BOC=180°-25°-37.5°=117.5° B
A O
C
【选自教材P100 练习 第2题】
5. △ABC的内切圆半径为r， △ABC的周长为l，求△ABC的
2.如图，点O是△ABC的内心，若∠BAC=86°， 则∠BOC=( C ) A.172° B.130° C.133° D.100°
3.如图，已知VP、VQ为⊙T的切线，P，Q为
课件1：三 圆的切线的性质及判定定理
典例剖析
【例 1】下列说法正确的是( D )
A．过圆内接三角形的顶点的直线是圆的切线 B．若直线与圆不相切，则它与圆相交 C．若直线与圆有公共点，则它和圆相交 D．若直线与圆有唯一公共点，则公共点是切点
变式 1 已知下列五个命题： A．过半径外端点的直线是圆的切线 B．垂直于半径的直线是圆的切线 C．经过半径的端点和这条半径垂直的直线是圆的切线 D．过直径的端点且和这条直径垂直的直线是圆的切线 E．和圆有唯一交点的直线是圆的切线 其中正确的命题是__________．
思考探究1 垂直于半径的直线是圆的切线对吗？为什么？ 提示：这种说法错误．根据圆的切线的判断定理，主要考查 两个条件：(1)直线过半径的外端；(2)直线垂直于这条半径， 这两个条件缺一不可．故此说法错误．
思考探究2 经过直径的一端且垂直于这条直径的直线是圆的 切线对吗？为什么？ 提示： 这种说法正确．因为直径有两个端点，且都为半径的 外端，因此具备了切线判定中的两个条件，故此说法正确.
(1)求证：直线 ED 是⊙O 的切线； (2)连接 EO 交 AD 于点 F，求证：EF＝2FO.
(1)证明 连接 OD. ∵四边形 ABCD 为正方形，AE＝AB， ∴AE＝AB＝AD，∠EAD＝∠DAB＝90° ∴∠EDA＝45°，∠ODA＝45° ∴∠ODE＝∠EDA＋∠ODA＝90°. ∴直线 ED 是⊙O 的切线．
3．圆的切线的判定定理 在切线的判定定理中要分清题设和结论，题设是：一条直 线 l 满足两个条件：(1)经过半径 OA 的外端点 A；(2)垂直于这 条半径 OA.结论是： 这条直线 l 是圆的切线．即直线 l⊥OA 于 A，则 l 为⊙O 的切线． 如图：①是切线，②，③不是切线．
4．圆的切线的判定方法 (1)定义：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线． (2)数量关系：和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线． (3)定理：过半径外端点且与这条半径垂直的直线是圆的切线． 在使用时要根据题目的具体要求选取合适的方法，如果涉及数 值计算或距离问题，常利用(2)，如果涉及到线段的位置关系常选用 (3).
人教版版九年级上册圆的切线的性质和判定定理课件
人教版版九年级上册24.2.2 圆的切线的性质和判定定理课件
人教版版九年级上册24.2.2 圆的切线的性质和判定定理课件
〖规范板书〗
已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB。 求证：直线AB是⊙O的切线。
O
证明：连结OC(如图)。 ∵ OA＝OB,CA＝CB, ∴ AB⊥OC(三线合一) ∵ OC是⊙O的半径 ∴ AB是⊙O的切线。
(3)过半径的端点与半径垂直的直线是圆的
切线（×）
l
人教版版九年级上册24.2.2 圆的切线的性质和判定定理课件
O r A
O r
l
A
O l
r
A
人教版版九年级上册24.2.2 圆的切线的性质和判定定理课件
判定直线与圆相切有哪些方法？
切线的判定方法有三种： •①直线与圆有唯一公共点； •②直线到圆心的距离等于该圆的半径； •③切线的判定定理．即
圆的半径有什么数量关系?
（2） 二者位置有什么关系？
O
为什么？
l
（3） 由此你发现了什么？
A
人教版版九年级上册24.2.2 圆的切线的性质和判定定理课件
(1)直线l经过半径OA的外端点A；
(2)直线l垂直于半径0A． 则:直线l与⊙O相切
O l
A
这样我们就得到了从“位置”的角度圆 的切线的判定方法——切线的判定定理．
(2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点,
则过圆心作直线的垂线段,再证垂线段长等于半
径长.简记为：无交点,作垂直,证半径.
人教版版九年级上册24.2.2 圆的切线的性质和判定定理课件
人教版版九年级上册24.2.2 圆的切线的性质和判定定理课件
九年级数学上册《切线长定理、三角形定理》PPT
A
这个三角形的内心.
三角形的内心是三角形三条内
I
角平分线的交点.这个三角形 ●
叫做这个圆的外切三角形.
B
C
例1：已知：在△ABC中，BC=9cm，AC=14cm， AB=13cm，它的内切圆分别和BC、AC、AB切于点 D、E、F，求AF、BD和CE的长。
A
E
zxxk
Or
C
F D
B
A
c b
r
C a
O
P
B
根据你圆的能轴发对现称O性A与，存PA在，与OAB点重合
PA、的PB一所与点在BP，的B之且直间落线在的分圆关别，系连是吗接⊙？OBo，两则条它切线。
也是⊙o的一条半径。
2.切线长定理：
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这
一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角．
A
∵ PA、PB分别切
⊙O于A、B.
O
P
∴ PA = PB ∠OPA=∠OPB
B
总结： 切线长定理为证明线段相等，角相 等，弧相等，垂直关系提供了理论依据。必 须掌握并能灵活应用。
如图：PA、PB是⊙O的两条切线，A、B
为切点。
B
O。 C
P
A
(1)写出图中所有的垂直关系； (2)写出图中所有的全等三角形； (3)写出图中所有的等腰三角形．
从圆外一点可以引圆的两条切线它们的切线长相等这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角
探究:经过平面上的已知点作已知圆的切线，会有怎样 的情形呢？
经过圆外一点作圆的切线,这点和切点之间的线 段的长叫做这点到圆的切线长.
如 图 ， 线 段 PA ，
PB的长就是点P到
圆中三大切线定理
中考考点分析
圆是北京中考的必考内容，主要考查圆的有关性质与圆的有关计算，每年的第
20 题都会考
15
查， 第 1 小题一般是切线的证明， 第 2 小题运用圆与三角形相似、 解直角三角形等知识求线段长 度问题，有时也以阅读理解、条件开放、结论开放探索题作为新的题型。
要求同学们重点掌握圆的有关性质， 掌握求线段、 角的方法， 理解概念之间的相互联系和知 识之间的相互转化， 理解直线和圆的三种位置关系， 掌握切线的性质和判定方法， 会根据条件解 决圆中的动态问题。
中考要求 B
会过不在同一直线上的三 点作圆；能利用圆的有关 概念解决简单问题
圆的性质
知道圆的对称性，了解弧、弦、 圆心角的关系
能用弧、弦、圆心角的关 系解决简单问题
圆周角
了解圆周角与圆心角的关系； 知道直径所对的圆周角是直角
垂径定理 点与圆的位置关系
直线与圆的位置关 系
圆与圆的位置关系 弧长 扇形 圆锥的侧面积和全 面积
典题精练
【例 2】 如图， C 是以 AB 为直径的⊙ O 上一点，过 O 作 OE⊥ 线于点 F，
17
连结 CF 并延长交 BA 的延长线于点 P. ⑴ 求证： PC 是⊙ O 的切线 . ⑵ 若 AB=4， AP： PC 1：2 ，求 CF 的长 .
典题精练
【例 1】 如图， 在△ ABC 中， AB BC ，以 AC 为直径的⊙ 0 与 BC 边
交于点 D，过点 D 作⊙ O 的切线 DE ，交 AB 于点 E，若
DE⊥ AB ．求证： AE 3BE ．
E
B
A O
D
C
题型二：切线的判定定理
思路导航
九年级数学圆的切线知识点
九年级数学圆的切线知识点《九年级数学圆的切线知识点》圆的切线在九年级数学里可是个很有趣的知识点呢。
咱先来说说圆的切线的定义。
切线就是和圆只有一个公共点的直线。
想象一下，圆就像一个超级圆润的小皮球，切线就像一把小剑，刚刚好刺到这个皮球上，就只碰到那么一个点，多神奇呀。
这个公共点就叫做切点。
圆的切线有个超级重要的性质哦。
切线是垂直于经过切点的半径的。
这就像是小皮球上插着那把剑，剑和从球心到切点的那根半径是垂直的关系呢。
这个性质在解题的时候可好用啦。
比如说，要是知道一条直线是圆的切线，还知道切点，那就可以得出垂直的关系，这样就能在三角形里用勾股定理之类的知识来求线段的长度啦。
那怎么判定一条直线是不是圆的切线呢？有两种常见的方法。
一种是定义法，就看这条直线和圆是不是只有一个公共点。
不过这个有时候不太好判断呢。
还有一种更常用的方法，就是经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
就像你先找到圆的一条半径，然后有一条直线，它经过这个半径的外端，还和这个半径垂直，那这条直线就是圆的切线啦。
这就像是给小皮球的半径外面找了个保镖，这个保镖站得笔直，那他就是切线啦。
圆的切线长定理也很有意思。
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。
这就像是从外面一个地方向小皮球射出两支箭，这两支箭在皮球上的切点到外面那个点的距离是一样长的呢。
而且圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
这就好像是给这两支箭做了个平衡的规划。
在做关于圆的切线的题目时，我们要学会灵活运用这些知识点。
有时候要先证明切线，再利用切线的性质去解题。
有时候又要根据已知条件去求出切线的长度或者其他相关的量。
这就像是在玩一个解谜游戏，要把这些知识点像拼图一样组合起来。
我觉得圆的切线知识点虽然有点小复杂，但只要理解了它的定义、性质和判定方法，就像掌握了打开宝藏的钥匙一样。
在做数学题的时候，就能顺利地解决那些和圆的切线有关的难题啦。
人教版数学九年级上册24.2.2切线的判定与性质课件(共24张PPT)
知识回顾
直线与圆相切的判定： 1.利用定义判定：直线和圆只有一
个公共点时，直线与圆相切. 2.利用直线与圆心距离判定：当圆
心与直线的距离等于该圆的半径时，直 线与圆相切.
O
l
O d=r
l
新知探究
知识点1 切线的判定
思考：如图，在⊙O中，经过半径OA 的外端点 A 作直线 l⊥OA. （1）圆心O到直线 l 的距离是多少？
l
∴OA⊥l
ห้องสมุดไป่ตู้ 反证法证明切线的性质
如图，直线CD与⊙O相切，求证：⊙O的半径OA
与直线CD垂直.
证明：（1）假设AB与CD不垂直，过
B
点O作一条直线垂直于CD，垂足为M；
（2）则OM＜OA，即圆心到直线CD的
O
距离小于⊙O的半径，因此，CD与⊙O
相交.这与已知条件“直线与⊙O相切”相 C 矛盾；
A MD
证明：连接OA,OD,作OE⊥AC 于E . ∵ ⊙O与AB相切于E, ∴OD⊥AB.
又∵△ABC为等腰三角形，
O是底边BC的中点，
B
A D
1
O
E C
∴AO平分∠BAC,
∴OD=OE ，即OE是⊙O半径.
∴AC是⊙O的切线. 方法总结：无交点，作垂直，证半径.
随堂练习
1.如图，已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为31°，
d l
A
3.判定定理：经过半径的外端并且垂直于
O
这条半径的直线是圆的切线.
l
A
已 知 ： 直 线 AB 经 过 ⊙ O 上 的 点 C ， 并 且 OA=OB ，
CA=CB.求证：直线AB是⊙O的切线.
证明：连接OC.
24.2.2 第3课时 切线长定理和三角形的内切圆.课件-2024-2025学年人教版数学九年级上册
图24-2-24
探
究
与
应
用
例2 (教材补充例题)已知:如图24-2-25所示,PA,PB是☉O的切
线,切点分别是A,B,Q为上一点,过点Q作☉O的切线,分别
交PA,PB于点E,F.已知PA=12 cm,∠P=70°.
求:(1)△PEF的周长;
解:(1)∵PA,PB,EF均是☉O的切线,
数学
九年级上册
人教版
圆
第3课时 切线长定理和三角形的
内切圆
-
第
二
十
四
章
第3课时
切线长定理和三角形的内切圆
探究与应用
课堂小结与检测
探
究
与
应
用
活动1 理解切线长的概念,掌握切线长定理
[问题情境]
1.过圆外一点能作几条圆的切线?请在图24-2-23中过点P画
出☉O的所有切线.
解:两条.画图如下.
图24-2-23
堂
小
结
与
检
测
3.已知三角形的周长为12,面积为6,则该三角形内切圆的半
径为
( D )
A.4
B.3
C.2
D.1
谢 谢 观 看！
∴PB=PA=12 cm,EA=EQ,FQ=FB,
∴△PEF的周长=PE+EQ+FQ+PF=PA+PB=
12+12=24(cm).
图24-2-25
探
究
与
应
用
(2)∠EOF的度数.
(2)连接OA,OB,OQ.
∵PA,PB,EF均是☉O的切线,
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D
C
B O
CLeabharlann E【例 6】 ⑴ 如右图所示， △ ABC 的内切圆与三边 AB 、 BC 、 CA 分别切
F
于 D 、 E 、 F . AB 13cm ， BC 14cm ，CA 11cm ，求 AD 、
BE 、 CF 的长．
能解决与圆锥有关的简单 实际问题
C
能运用 圆 的性质 解 决有关 问 题 能综合 运 用几何 知 识解决 与 圆周角 有 关的问题
能解决 与 切线有 关 的问题
中考考点分析
圆是北京中考的必考内容，主要考查圆的有关性质与圆的有关计算，每年的第
20 题都会考
15
查， 第 1 小题一般是切线的证明， 第 2 小题运用圆与三角形相似、 解直角三角形等知识求线段长 度问题，有时也以阅读理解、条件开放、结论开放探索题作为新的题型。
【解析】 连 结 OA，OB ∵PA ，PB 分别与 ⊙O 相切， ∴PA OA，PB OB ， ∵OA OB ， OP=OP ∴△ AOP ≌△ BOP ∴ APO BPO ． ∴PA PB ，
A
P
CO
B
APO BPO ；
A
P
CO
B
19
由等腰三角形“三线合一”可知： OP AB 且 AC BC ， ∴OP 垂直平分线段 AB ． (整套资料加群下载： 全国初中数学教师群 881627464)
典题精练
【例 5】 ⑴ 如图， PA、 PB、DE 分别切 ⊙O 于 A、 B、 C ，若 PO 10 ， P △ PDE 周长为 16 ，求 ⊙O 的半径．
A D
O C
E B
⑵ 梯形 ABCD 中， AB ∥ CD ， O 是 AB 上一点，以 O 为圆心的 半圆与 AD、 CD、 BC 都相切．已知 AD 6 ， BC 4 ，求 AB 的长．
要求同学们重点掌握圆的有关性质， 掌握求线段、 角的方法， 理解概念之间的相互联系和知 识之间的相互转化， 理解直线和圆的三种位置关系， 掌握切线的性质和判定方法， 会根据条件解 决圆中的动态问题。
年份 题号 分值
考点
2011 年 20，25 13 分
2012 年 8，20，25
17 分
圆的有关证明，计 算（圆周角定理、 切线、等腰三角形、 相似、解直角三角 形）；直线与圆的 位置关系
18
题型三 切线长定理
思路导航
切线长和切线长定理： ⑴ 在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． ⑵ 从圆外一点引圆的两条切线， 它们的切线长相等， 圆心和这一点的连线平分两条切线的
夹角．
例题精讲
【引例】已知：如图， PA 、PB 分别与 ⊙O 相切于 A 、 B 两点．求证：⑴ ⑵ PA PB ；⑶ OP 垂直平分线段 AB ．
2
圆中三大切线定理
满分晋级阶梯
圆 5级 圆中三大切线定理
圆 6级 期末复习之圆的综合
圆 7级 期末复习之圆中的
重要结论及应用
漫画释义
围田地
秋秋季季班班第第二八讲讲
秋秋季季班班第第十六三讲讲
秋暑季期班班第第十六五讲讲
14
中考内容与要求
中考内容 A
圆的有关概念
理解圆及其有关概念
中考要求 B
会过不在同一直线上的三 点作圆；能利用圆的有关 概念解决简单问题
17
【例 3】 如图，已知 Rt△ ABC 中， ACB 90 ， BD 平分 ABC ，以 D 为圆心、 CD 长为半径作 ⊙ D ，与 AC 的另一个交点为 E ．
C D
⑴ 求证： AB 与 ⊙ D 相切；
E
⑵ 若 AC 4，BC 3 ，求 AE 的长．
A
B
【例 4】 已知： 如图， AB 是 ⊙O 的直径， C 是 ⊙O 上一点， OD ⊥ BC 于 点 D ，过点 C 作 ⊙O 的切线，交 OD 的延长线于点 E ，连结 BE ． ⑴ 求证： BE 与 ⊙O 相切； ⑵ 连结 AD 并延长交 BE 于点 F ， OB 9 ， sin ABC 2 ， 3 求 BF 的长．
圆的基本性质，圆 的切线证明，圆同 相似和三角函数的 结合；直线与圆的 位置关系
2013 年
8， 20，25
17 分 圆中的动点函数图 像，圆的基本性质 ( 垂径定理、 圆周角 定理 ) ，圆同相似和 三角函数的结合； 直线与圆的位置关 系
知识互联网
题型一：切线的性质定理
思路导航
题目中已知圆的切线，可以“连半径，标直角”
了解圆与圆的位置关系
会计算弧长
会计算扇形面积
会求圆锥的侧面积和全面积
会求圆周角的度数，能用 圆周角的知识解决与角有 关的简单问题
能用垂径定理解决有关问 题
能判定直线和圆的位置关 系；会根据切线长的知识 解决简单的问题；能利用 直线和圆的位置关系解决 简单问题 能利用圆与圆的位置关系 解决简单问题 能利用弧长解决有关问题 能利用扇形面积解决有关 问题
思路导航
判定切线共有三种方法：定义法、距离法和定理法，其中常用的是距离法和定理法，可以总 结为六字口诀，定理法是“连半径，证垂直” ，距离法是“作垂直，证半径” ，定理法的使用频率 最高，必须熟练掌握。
典题精练
【例 2】 如图， C 是以 AB 为直径的⊙ O 上一点，过 O 作 OE⊥ AC 于点 E，过点 A 作⊙ O 的切线 交 OE 的延长线于点 F， 连结 CF 并延长交 BA 的延长线于点 P. ⑴ 求证： PC 是⊙ O 的切线 . ⑵ 若 AB=4， AP ：PC 1：2 ，求 CF 的长 .
，然后在直角三角形中利用勾股、相似或锐
16
角三角函数解决问题。
典题精练
【例 1】 如图， 在△ ABC 中， AB BC ，以 AC 为直径的⊙ 0 与 BC 边
交于点 D，过点 D 作⊙ O 的切线 DE ，交 AB 于点 E，若
DE⊥ AB ．求证： AE 3BE ．
E
B
A O
D
C
题型二：切线的判定定理
圆的性质
知道圆的对称性，了解弧、弦、 圆心角的关系
能用弧、弦、圆心角的关 系解决简单问题
圆周角
了解圆周角与圆心角的关系； 知道直径所对的圆周角是直角
垂径定理 点与圆的位置关系
直线与圆的位置关 系
圆与圆的位置关系 弧长 扇形 圆锥的侧面积和全 面积
会在相应的图形中确定垂径定 理的条件和结论 了解点与圆的位置关系 了解直线与圆的位置关系；了 解切线的概念，理解切线与过 切点的半径之间的关系；会过 圆上一点画圆的切线；了解切 线长的概念