Turbo码的各种译码算法及比较

Turbo 码的各种译码算法及比较

Turbo 码有一重要特点是其译码较为复杂，比常规的卷积码要复杂的多，这种复杂不仅在于其译码要采用迭代的过程，而且采用的算法本身也比较复杂。这些算法的关键是不但要能够对每比特进行译码，而且还要伴随着译码给出每比特译出的可靠性信息，有了这些信息，迭代才能进行下去。用于Turbo 码译码的具体算法有：MAP(Maximum A Posterori)、Max-Log-MAP 、Log-MAP 和SOV A(Soft Output Viterbi Algorithm)算法。MAP 算法是1974年被用于卷积码的译码，但用作Turbo 码的译码还是要做一些修改；Max-Log-MAP 与Log-MAP 是根据MAP 算法在运算量上做了重大改进，虽然性能有些下降，但使得Turbo 码的译码复杂度大大的降低了，更加适合于实际系统的运用；Viterbi 算法并不适合Turbo 码的译码，原因就是没有每比特译出的可靠性信息输出，修改后的具有软信息输出的SOV A 算法，就正好适合了Turbo 码的译码。这些算法在复杂度上和性能上具有一定的差异，系统地了解这些算法的原理是对Turbo 码研究的基础，同时对这些算法的复杂度和性能的比较研究也将有助于Turbo 的应用研究。

MAP 算法

MAP 算法最初是用来估计无记忆噪声下的马尔可夫过程的，它是一种最优的算法。Bahl 等人于1974年把它用于线性分组码和卷积码的译码中，在用于卷积码的译码时，对于给定接收序列Y ，它不像Viterbi 算法那样以栅格路径上的比特组错误最少为目的，而是以译码出来的符号i x 的错误最少为目的。即，

(){}

arg max i

i i x x P x Y = (1.1)

不过在大多情况下，它和Viterbi 算法的作用是一致的。

由于在卷积码的译码中，MAP 算法要考虑栅格图中的所有可能路径，这样运算量就非常大，实际系统中很少用到。这样虽然MAP 算法早在1974年就被提出，但一直未

被得到充分利用，只有到了1993年Turbo 码被提出来，MAP 算法被用于Turbo 码的译码之后，这种算法才得到广泛的应用。

MAP 算法不仅能译出序列的比特值，在译码的同时还能输出关于每比特译出的可靠性信息。这种特点正好符合了Turbo 码的迭代译码特性，所以才被用于Turbo 码的译码中。下面我们来看看MAP 算法是如何用于二进制Turbo 码的译码的。

MAP 算法是要根据接收到的序列Y ，找出每信息比特k u 是“1+”(1)或“1-”(0)的概率，这等同于计算序列Y 下k u 的对数似然比值(LLR)()k L u Y ，如式1.2，

()()()1ln 1k k k P u Y L u Y P u Y ⎛⎫

=+= ⎪ ⎪=-⎝⎭

(1.2)

在栅格图中假设前一状态1k S s -'=和当前状态k S s =，输入比特k u 引起s s '⇒的状态转移，根据贝叶斯(Bayes)准则，可由式1.2得式1.3，

()()()()()11,111,1,,ln ,,k k k k s s u k k k s s u P S s S s Y L u Y P S s S s Y --'⇒=+--'⇒=-⎛⎫

'==

⎪= ⎪

'==⎝⎭

∑∑ (1.3) 上式中(),1k s s u '⇒=+表示所有由1k u =+引起s s '⇒状态转移的集合；同样

(),1k s s u '⇒=-表示由1k u =-引起的状态转移的集合。

接收序列Y 可以被分成三部分j k Y <、k Y 和j k Y >，分别表示k 时刻之前接收码字序列、

当前接收码字和之后接收码字序列。所以，

()()11,,,,,,j k k j k k k P S s S s Y P s s Y Y Y <>--''=== (1.4) 利用贝叶斯公式可得式1.5，

()()

()()()()()()()()

111,,,,,,,,,,,,j k k j k k k j k j k k j k k j k k k k P S s S s Y P s s Y Y Y P Y s P s s Y Y P Y s P s Y s P s Y s s s s βγα<>--><><-''==='=''=''= (1.5)

式1.5中用了式1.6、1.7、1.8的定义，

()()11,j k k k s P S s Y α<--''== (1.6)

表示接收序列是j k Y <，1k -时刻状态是s '的概率，我们称之为前向概率。

()()j k k k s P Y S s β>== (1.7)

表示k 时刻状态为s 且之后接收序列是j k Y >的概率，我们称之为后向概率。

()()1,,k k k k s s P S s Y S s γ-''=== (1.8)

(),k s s γ'表示由给定状态s '转移到s 并且此时接收码字为k Y 的状态转移概率。

因此计算LLR 的式1.3可被分成前向概率转、状态转移概率和后向概率三部分，如式1.9所示，

()()()()()()()()()()()()()11,111,11,11,1,,ln ,,,ln ,k

k k

k k k s s u k k k s s u k k k s s u k k k s s u P S s S s Y L u Y P S s S s Y s s s s s s s s αγβαγβ--'⇒=+--'⇒=--'⇒=+-'⇒=-⎛⎫

'==

⎪= ⎪

'==⎝⎭

⎛⎫

''⋅⋅

⎪= ⎪

''⋅⋅⎝⎭

∑∑∑∑ (1.9)

可以看出，用MAP 译码算法译接收序列Y 的关键是要计算出和各时刻有关的所有的()1k s α-'、()k s β，还有所有可能的s s '⇒状态转移的概率(),k s s γ'。

()k s α、()k s β的计算仍旧非常复杂，在下面的推导中我们可以看到()k s α、()k s β的计算可以用递规的方法。

()k s α的计算

根据()k s α的定义，有式1.10成立，

()()()

()

11,,,,,,j k j k k k k k j k k k k all

s s P S s Y P S s Y Y P S s S s Y Y α<+<<-'

===='=

==∑

(1.10)

“all s '”表示所有的状态s '。