北师大版数学高一必修4知识必备 2.4平面向量的坐标

§4 平面向量的坐标

知识梳理

1.平面向量的正交分解

把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做向量的正交分解.

2.向量的坐标

在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底.对于平面上的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x,y，使得a=x i+y j.这样，平面内的任意向量a都可以由x,y唯一确定，我们把有序实数对(x,y)叫做向量a的直角坐标，记作a=(x，y),其中x叫做向量a在x轴上的坐标，y叫做向量a在y轴上的坐标.

一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.若A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x2-x1,y2-y1).

3.线性运算的坐标表示

已知a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，则a+b=(x1+x2,y1+y2)，a-b=(x1-x2),y1-y2)，即两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差).

λa=(λx1,λy1)，实数与向量积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.

4.平面向量共线的坐标表示

已知a=(x1,y1)，b=(x2,y2)（b≠0），则

x1y2-x2y1=0 a∥b.

知识导学

学习本节要复习向量加法的运算法则和向量共线的性质和判定定理；要特别注意区分起点在原点的向量、起点不在原点的向量、相等的向量的坐标表示，只有起点在原点时，平面向量的坐标才与终点坐标相同.

疑难突破

1.向量的坐标.

剖析：难点是既然能用坐标表示向量，那么如何理解向量的坐标.其突破方法是分析向量坐标的规定.

可以从以下几个方面来理解：

（1）i=(1,0),j=(0,1),0=(0，0).

（2）在直角坐标系内，以原点为起点作向量=a，则点A的位置由向量a唯一确定. (3)设OA=x i+y j，则向量OA的坐标(x,y)就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标就是向量OA的坐标(x,y).因此，在直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一对有序实数对唯一表

示,即以原点为起点的向量与实数对是一一对应的.

(4)两向量相等的充分必要条件是它们对应的坐标相等.

(5)要把点的坐标与向量的坐标区别开来，相等的向量的坐标是相同的，但起点和终点的坐标却可以不同.例：点A(3,5),B(6,8),C(-5,3),D(-2,6)，向量AB=CD=(3,3).两向量的坐标相同，

但起点、终点坐标不同.

2.如何看待平面向量的几何运算和坐标运算这两种运算形式？

剖析：很多同学对向量有两种运算形式产生了疑问.其突破方法是分析平面向量的表示方法. 总起来看向量有两种表示方法,一种是用有向线段来表示，称为几何法；另一种是用数字即

坐标表示，称为代数法.那么相应的向量的运算也就分为图形上的几何运算和坐标下的代数运算.这两种运算恰好体现了向量是数形结合的载体.

例如：已知两个非零向量e 1和e 2不共线，且k e 1+e 2和e 1+k e 2共线，求实数k 的值. 解法一（基向量法）：

∵k e 1+e 2和e 1+k e 2共线，

∴存在实数λ，使得k e 1+e 2=λ(e 1+k e 2).

∴(k-λ)e 1=(λk -1)e 2.

∵e 1和e 2不共线，

∴⎩⎨⎧==-.

1,0λλk k ∴k=±1.

解法二：设向量e 1=(x 1,y 1)，e 2=(x 2,y 2)，

∴k e 1+e 2=(kx 1+x 2,ky 1+y 2)，e 1+k e 2=(x 1+kx 2,y 1+ky 2).

∵k e 1+e 2和e 1+k e 2共线，

∴(kx 1+x 2)(y 1+ky 2)-(x 1+kx 2)(ky 1+y 2)=0.

∴(k 2-1)(x 1y 2-x 2y 1)=0.

∵向量e 1和e 2不共线，

∴x 1y 2-x 2y 1≠0.

∴k 2-1=0.

∴k=±1.