2021届宁夏银川市第一中学高三第三次月考数学(文)试题 PDF版

（2）直线 l 与曲线 C 交于 M 、 N 两点，当 为何值时， QM QN 最大？求出此最大值．
23．[选修 4—5：不等式选讲]（10 分）
已知函数 f (x) 2x 2 5 ．
（1）解不等式 f (x) x 1 ；
（2）当 m≥－1 时，函数 g(x) f (x) x m 的图象与 x 轴围成一个三角形，求实数 m 的取
所以 c 13．
19.（1）由
有
数列
是首项为
，公比为 的等比数列.
（2）
，
，
=
=
20．解：（1）依题意 f x p 2 cos2 x 1 3 tan x
p 2cos2 x 2 3 sin x cos x
p 1 cos 2x 3 sin 2x
p
1
2 sin
2x
π 6
，
∵ f x 的最大值为 3，∴ p 1 2 3 ，∴ p 2 ，
在三角形 ABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b, c ，若 sin A 3 ， tan(A B) 1 ，角 C 为
5
3
钝角， b 5 ．
（1）求 sin B 的值；
（2）求边 c 的长．
19．（本题满分 12 分）
已知数列 {an } 满足 a1
1 4
,2a n
an1
an
an1 (n
银川一中 2021 届高三年级第三次月考
文科数学
命题人：
注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的．
，
r a
1 2
,
1 2
，则下列结论中正确的是
rr A． a / /b
B．
r a
r b
C．
r a
与
r b
的夹角为
3 4
rr D． b 在 a 方向上的投影为
2
2
8．已知正项数列 {an } 满足：
a1
1
，
a2 n 1
an2
2 ，则使 an
7 成立的 n
的最大值为
A．3
B．4
C．24
D．25
ex，x 0， 9．已知函数 f (x) ln x，x 0，g(x) f (x) x a ．若 g（x）存在 2 个零点，则 a 的取值范围
①对于任意一个圆 O ，其“优美函数”有无数个；
②函数 f (x) ln(x2 x2 1) 可以是某个圆的“优美函数”；
③正弦函数 y sin x 可以同时是无数个圆的“优美函数”；
④函数 y f (x) 是“优美函数”的充要条件为函数 y f (x) 的图象是中心对称图形．
其中正确的是
A．①④
22．解：（1）∵ 21 2 2 cos2 2x2 2 y2 x2 x2 2 y2 ，
∴曲线 C 的直角坐标方程为 x2 2 y2 21．
∵点 P 的极径为
21 2 cos2
π
2
3，
3
又∵
uuur PQ
2
uuur PO
，∴点
Q
的极径为
10
10
………………………4 分
所以 sin B sin[A (A B)] sin Acos( A B) cos Asin( A B) …………6 分
3 3 4 1 1 ． 5 10 5 10 10
………………………8 分
（2）因为 a sin A 3 10 ，且 b 5 ，所以 a 3 10 ，……………………10 分 b sin B 5
时，则Δ ABC 的面积为________.
16．已知正项等比数列an（ n N * ）满足 a7 a6 2a5 ，若存在两项 am ，an 使得 aman 4a1 ，
则 1 5 的最小值为________. mn
三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考题，每个 试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
(一)必考题：共 60 分) 17．（本题满分 12 分）
在递增的等比数列{an}中，a3=16．a2+a4=68．Sn 为等差数列{bn}的前 n 项和，b1=a1 ，S2=a2． （1）求{an}，{bn}的通项公式；
（2）求数列{ 4anSn }的前 n 项和 Tn．
18.（本题满分 12 分）
是
A．[–1，0）
B．[0，+∞）
C．[–1，+∞）
D．[1，+∞）
10．已知函数 f (x) cos(x ) (0 4, 0 ) 的部分图象如图所示，
f (0) cos 2 ，则下列判断正确的是
A．函数 f (x) 的最小正周期为 4
B．函数 f (x) 的图象关于直线 x 6 1对称
（2）当
a＝1
时，对于任意
x1，x2∈[1，10]，x2＞x1 时，不等式
f (x1 )
f (x2 )
m(x2 x1 ) x2 x1
恒成
立，求出实数 m 的取值范围．
(二)选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 两题中任选一题做答，如果多做．则按所做的第一题记分。
22．[选修 4－4：坐标系与参数方程]
A． a 4
B． a 4
C. a 4
D． a 4
6．将函数 y sin 2x 的图象向左平移 π 个单位，再向上平移 1 个单位，所得图象的函数解析式是 4
A． y cos 2x
B． y 1 cos 2x
C．
y
1
sin
2x
π 4
D． y cos 2x 1
7．设向量
r b
(0,1)
值范围．
高三第三次月考数学(文科)试卷 第 4 页(共 2 页)
银川一中 2021 届高三第三次月考数学(文科)参考答案
一、选择题：只有一项符合题目要求（共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）
题号 1 2
3
பைடு நூலகம்
4
5
6
7
8
9
10 11 12
答案 D C D B C B C C C C B A
二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13．已知 f (x) x2 3xf (2) ，则 f (2) =________.
D．
3 2
,
14．已知复数 z 3 4i （ i 是虚数单位），则复数 z 在复平面内对应的点位于第 2i
象限.
15．在Δ ABC 中，角 A 、B 、C 所对的边分别为 a 、b 、c ．若 tan C 7 ，cos A 5 2 ，b 3 2 8
1．已知集合 A 0,1, 2,3, B x R | 0 x 2 ，则 AI B 的子集个数为
A．2
B．4
C．7
D．8
2．下列命题中错误的是
A．若命题 p 为真命题，命题 q 为假命题，则命题“pV(¬q)”为真命题
B．命题“若 a+b≠7，则 a≠2 或 b≠5”为真命题
C．命题“若 x2-x=0，则 x=0 或 x=1”的否命题为“若 x2-x=0，则 x≠0 且 x≠1”
D． 5 9
12．若函数
f
x
ex
ex
sin
x
x ，则满足
f
(a 2 ln(
x
1))
f
x2 2
0 恒成立的实数 a 的
取值范围为
高三第三次月考数学(文科)试卷 第 2 页(共 2 页)
A．
2
ln
2
1 2
,
B．
ln
2
1 4
,
C．
7 4
,
二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
D．命题 p： x>0，sinx>2x-1，则 p 为 x>0，sinx≤2x-1
3．中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”．如图所示的太极图
是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互变化、对称
统一的形式美、和谐美．给出定义：能够将圆 O ( O 为坐标原点)的
周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”．给出下列命题：
（1）求 p 的值及函数 f x 的周期与单调递增区间；
（2）若锐角 △ABC 中，角 A ， B ，C 所对的边分别为 a ，b ， c ，且 f A 0 ，求 b 的取值
c
范围．
21．（本题满分 12 分）
已知函数 f（x）＝lnx+ax2﹣3x（a∈R）．
（1）函数 f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为 y＝﹣2，求函数 f（x）的极值；
在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲
线
C
的极坐标方程为
2
21 2 cos2
，射线 π 0 与曲线 C 交于点 P ，点 Q 满足
3
uuur PQ
2
uuur P O，设倾斜角为
的直线 l 经过点 Q ．
3
（1）求曲线 C 的直角坐标方程及直线 l 的参数方程； uuuur uuur
∴
f
x
1
2 sin
2x
π 6
，其中
x
kπ
π 2
，
k
Z
，其周期为 T
2π 2
π
．
已知
2x
6
2k
3 2
，
k
Z
时，
f
x
单调递增，
解得
x
k
6
, k
2 3
．
∴ f
x
的单调递增区间为
k
6
,
k
2
，
k
2
,
k
2 3
，
k
Z
．
（2）∵
f
A
1
2
sin
2
A
π 6
0 ，且
A 为锐角，
∴ 2A π 5π ，∴ A π ，∴ B C 2π ．
又 cos C cos( A B) cos Acos B sin Asin B 9 ，……………12 分 5 10
高三第三次月考数学(文科)试卷 第 5 页(共 2 页)
则 c2 a2 b2 2ab cos C 90 25 23 10 5( 9 ) 169 ， 5 10
2
（2）由
可变为 f（x1）﹣f（x2）
，
即
，
所以 f（x）﹣ 在[1，10]上单调递减，
令 h（x）＝f（x）﹣ ＝lnx+
，则
≤0 在[1，10]上恒成立，
所以 m≤﹣2x3+3x2﹣x， 令 F（x）＝﹣2x3+3x2﹣x，则 F′（x）＝﹣6x2+6x﹣1＝
＜0，
∴F（x）在[1，10]上单调递减，F（x）min＝F（10）＝﹣1710， 故 m≤﹣1710， 故 m 的范围（﹣∞，﹣1710]
66
3
3
又∵
B
，
C
为锐角，∴
C
π 6
,
π 2
．
高三第三次月考数学(文科)试卷 第 6 页(共 2 页)
∴
b
sin
B
sin
2π 3
C
3 cosC 1 sin C
2
2
3 1，
c sin C
sin C
sin C
2 tan C 2
其中 tan C
3 3
,
，∴
b c
1 2
,
2
．
21.解：（1）函数的定义域（0，+∞），
，f′（1）＝2a﹣2＝0 可得 a＝1，
故 f（x）＝lnx+x2﹣3x，
＝0
所以 x＝1 或 x＝ ，
当
时，f′（x）＞0，函数单调递增，当 x
时，f′（x）＜0，函数单调递减，
当 x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，函数单调递增， 故当 x＝1 时，函数取得极小值 f（1）＝﹣2，当 x＝ 时，函数取得极大值 f（ ）＝ ln 1 ﹣ ，
13．-2 14．一 15. 3 7 16． 7
2
4
三、解答题
17．
18.解：（1）因为角 C 为钝角， sin A 3 ，所以 cos A 1 sin2 A 4 ，……2 分
5
5
又 tan(A B) 1 ，所以 0 A B ，
3
2
且 sin(A B) 1 , cos( A B) 3 ，
B．①③④
C．②③
D．①③
4．对于实数 a，b，c，下列命题中正确的是
A．若 a b ，则 ac2 bc2
B．若 ac2 bc2 ，则 a b
C．若 a b 0 ，则 1 1 ab
D．若 0 a b ，则 b a ab
高三第三次月考数学(文科)试卷 第 1 页(共 2 页)
( ) 5．若函数 f x x2 2x a ln x 在 0,1 上单调递减， 则实数 a 的取值范围是
C．函数 f (x) 的图象关于点 ( 1, 0) 对称 4
D．函数 f (x) 的图象向左平移 2 个单位得到一个偶函数的图象
11．在边长为 2 的正方形 ABCD 中， E 为 CD 的中点，
AE
交
BD
于
F
.若
uuur AF
uuur 2x AB
3
uuur y AD
，则
x
y
A．1
B． 7 18
C． - 1 3
2, n
N * ), an
0
（1）证明数列
{
1 an
1}(n
N * ) 为等比数列，求出 {an } 的通项公式；
（2）数列 {an }
的前项和为
Tn，求证：对任意
n
N
* , Tn
2 3
.
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20．（本题满分 12 分）
已知函数 f x p 2 cos2 x 1 3 tan x ，在 R 上的最大值为 3．