曹广福版实变函数第二章习题解答

第二章习题参考解答

1：证明：有理数全体是R '中可测集，且测度为0.

证：（1）先证单点集的测度为0.R x '∈∀，令}{x E =.0>∀ε,N n ∈∀

)2,2(1

1

+++

-

=n n n x x I ε

ε

ε

，因为E I I E m n n n n ⊃=∞

=∞

=∑1

1

||inf{* ε

，n I 为开区间≤}

∑

∑∞

=∞

===1

1

2||n n n n

I ε

ε

ε

.故0*=E m .所以E 可测且0=mE .

（2）再证：R '中全体有理数全体Q 测度为0.

设∞

=1}{n n r 是R '中全体有理数，N n ∈∀，令}{n n r E =.则}{n E 是两两不相交的可测集

列，由可测的可加性有：∑∑∞

=∞=∞

=====1

1

1

00)(*n n n n n mE E m Q m .

法二：设∞==1}{n n r Q ，N n ∈∀，令)2

,2

(1

1

+++-

=n n n n n r r I ε

ε

ε

，其中ε是预先给定的

与n 无关的正常数，则：∑∑

∑∞

=∞

=∞

=∞

===≤⊃=1

1

)(1

1

2

||}||inf{*i i n

i

n i i n

I

Q I I

Q m εε

ε .由ε得

任意性，0*=Q m .

2.证明：若E 是n

R 有界集，则+∞

证明：若E 是n

R 有界.则∃常数0>M ，使E x x x x n ∈=∀),,(21 ，有=E

M x x n

i i n

i i ≤=

-∑∑==1

2

1

2

)0(，即)1(n i i <≤∀，有M x i ≤，从而

],[1

M x M x E i n i i +-⊂∏=.

所以+∞<=≤+-≤∑∏==n

n

i i

n

i i M M M x M x m E m )2(2],[**1

1

3.至少含有一个内点的集合的外测度能否为零？

解：不能.事实上，设n

R E ⊂，E 中有一个内点 E x x x n ∈=),(1 .0>∃δ,使得

E x x x O i n

i i ⊂+-=∏=)2,2(),(1δ

δδ.则0)]2,2([**1

>=+-≥∏=n i n

i i x x m E m δδ

δ

所以0*≠E m . 4.在],[b a 上能否作一个测度为a b -，但又异于],[b a 的闭集？ 解：不能

事实上，如果有闭集],[b a F ⊂使得a b mF -=.不失一般性，可设F a ∈且F b ∈.

事实上，若F a ∉，则可作F a F }{*=，],[*b a F ⊂.且mF mF a m mF =+=}{*.这样，我们可记*F 为新的F ，从而),(),(),(],[b a F b a F b a F b a -=-=-.

如果∅≠-F b a ],[，即F b a F b a x -=-∈∃),(],[，而F b a -),(是开集，故x 是

F b a -],[的一个内点，由3题，0),()],([)],([*≠-=-=-mF b a m F b a m F b a m .这与

a b mF -=矛盾.

故不存在闭集],[b a F ⊂且a b mF -=

5.若将§1定理6中条件")("0

∞<≥n k n E m 去掉，等式∀n n n n mE E m ∞

→∞→

成立？ 解：§1定理6中条件")("0

∞<≥n k n E m 是不可去掉的.

事实上，N n ∈∀，令),1[n n E n --，则∞

=1}{n n E 是两两相交的可测集列，由习题一得

15题：∅==∞

→∞

→n n n n E E lim lim .故0)lim (=∞

→n n E m ，但N n ∈∀，1),1[=-=n n m mE n .所以

1lim =∞

→n n mE .从而)lim (lim n n n n E m mE ∞

→∞

→≠.

6.设1E ， ,2E 是)1,0[中具有下述性质的可测集列：0>∀ε，N k ∈∃使ε->1k mE ，

证明：1)(1

=∞

=i i E m

证：事实上，0>∀ε，因为N k ∈∃，ε->1k mE

ε->≥≥≥∞

=1)(]1,0[11

k i i mE E m m

7.证明：对任意可测集B A ,，下式恒成立.

mB mA B A m B A m +=+)()( .

证明：A A B A B A )(-=且∅=-A A B A )(

故 mA A B A m B A m +-=)()( .即)()()(A B m A B A m mA B A m -=-=-