数学中的对称

数学中的对称

摘要：对称通常是指图形或物体对某个点，直线或平面而言，在大小、形状和

排列上具有一一对应关系，在数学中，对称的概念略有拓广常把某些具有关连

或对立的概念视为对称，这样对称美便成了数学中的一个重要组成部分，对称

美是一个广阔的主题，在艺术和自然两方面都意义重大，数学则是它根本，美

和对称紧密相连。

关键词：对称图形、数学、对称美

对称，物体或图形在某种变换条件(例如绕直线的旋转、对于平面的反映,

等等)下,其相同部分间有规律重复的现象,亦即在一定变换条件下的不变现象。对称的现象，广泛地存在于各个学科之中，比如说，在建筑学中，很多建筑如

故宫呈轴对称之势；在生物学中，很多动物也呈左右对称的体形；在艺术领域，各种风格的服装图画也表现出对称的形态。那么，数学中的对称性是怎样的呢？让我们来简析一下数学的对称性吧。

在数学学习的过程中，很多时候，提到对称便让我们想到某些几何图形。然而，数学对称的源头却是来自于代数，来自于多项式方程的解，这就使很多人感到

疑惑了，所以，首先，让我们通过多项式方程的求解来发现代数中的对称。

根据轴对称图形的一半和对称轴可以精确的画出轴对称图形的另一半图形，这是在教学了轴对称图形后常见的习题。在数学中，轴对称图形同时也为人们

研究数学提供了某些启示，例如它在博弈问题中也常运用这一原理。如：桌面

上有21个棋子，排成一排，你一次可以拿一粒也可以拿两粒棋子，甚至可以拿三个棋子。想拿哪里的棋子都行，不必按顺序拿，但拿两粒或三粒棋子时必须

是相邻的即中间没有空隔或其他棋子，问：“两人轮流拿谁拿到最后一粒谁赢，你如果先拿能保证赢吗？”这题看上去挺复杂，按排列组合众多拿法要想一一

分析清楚太费力，其实运用对称原理就非常简单，先拿的人只要先拿走中间一粒，即第十一粒棋，这样左、右两边各剩十粒，这样对方拿左边的棋子，你就

拿右边的棋子，并且个数和位置和他对称，如果对方拿右边的棋子，你就按照

他拿左边的棋子，总之只要保持左、右两边的棋子剩下的个数和位置一样，只

要他有的拿，你也有的拿，因此最后一粒必然落入你手中，因此先拿必胜，如

果棋子是20粒（偶数个），你就先拿中间的两粒，让左右两边各剩9粒棋子，这样你就必胜。类似的题目还有如：用若干一元的硬币两人轮流将它摆在一个

大圆盘上，要求硬币之间不能重叠，谁摆不下谁算输，是先摆赢还是后摆赢？

显然根据对称原理，先摆的人只要先占住圆心，以后对方摆哪你就照他在对面

对称着摆出，只要他有空间摆，那么在相对称的地方也必定有空间摆，直至对

方摆不下为止，对方先输。其实这两题的思维方法都来自轴对称图形的基本特征，教师在教学完轴对称图形的内容后可以适当的渗透这方面的知识，学生即乐于学习，又加深对轴对称图形知识的运用和深层理解，发现对称的美，感受到数学的魅力。

用对称图形表示对偶。数学的对称美自然地表现在数学元素的“对偶”和数学命题的对偶上。但是“对偶”没有几何的直观。如何使数学中的“对偶”有视觉上的对称美,并且利用这种美发现数学问题? 射影几何学在这方面有极好的应用。例1在欧氏平面几何中,对命题“过两点可以作一条直线”。我们把其中“点”换成“直线”,“直线”换成“点”,再适当改变关系词,则命题变为“两直线交于一点”。而这个命题显然是错误的,因为两直线平行时就没有交点。这说明在这个命题中,点与直线的关系不是对称的。设想两平行直线在无穷远点相交,这时点与直线就形成对称关系。狄沙格正是在此设想下初步建立了射影几何理论。我们把例1中的对偶关系用下面的图直观的表现出来:上行表示过两点可以确定一条直线,箭头的含义是“确定”。左、右两个箭头表示交换点与直线的位置。下行表示“两直线交于一点”,箭头的含义是“相交”,这是根据设想做出的,这个设想使图(1)成为完美的矩形,并且点与直线的对偶关系转化为了几何上的对称。数学中的对称美为数学研究提供了一种独特的方法,即对称法。简单的说,对称法就是运用对称性的思维方法。例1中所做的“设想”就是使用了对称法。数学家利用这一方法,揭示和发现了很多的数学奥秘,得到非常有用的理论和结论。也正是对称法,启发我们将“对偶”转化为“对称”

大家都知道算术思维是逆向思维，而方程思维是顺向思维。用方程的思维可以解答一些算术方法较难解决的问题。可小学生对算术的解法根深蒂固，可对方程的解法却始终有排斥的心理。如六年级下册的正反比例应用题，许多学生用算术解都做的出来，可是用比例解却总是搞不清正反比例，原因在于他们受算术解法知识的负迁移影响，努力去找问题的答案而不是去找不变的量，对方程缺乏深层的理解，没有认识到方程本身就是运用对称的原理，不论正反比例关键是要找到不变的量，方程的左边和右边就像轴对称图形的左右两边虽然不完全一样但是大小一样。左边和右边找到了不变的量也就找到了方程。

“对称”在数学上的表现是普遍的：轴对称、中心对称、对称多项式等，从奇偶性上也可以视为对称，从运算关系角度看互逆运算也可看为对称关系，还有许许多多的地方都体现出它的魅力，就像亚里士多德所说的那样：虽然数学没有明显地提到善和美，但善和美也不能和数学完全分离。因为美的主要形式就是秩序、匀称和确定性，这些正是数学所研究的原则。我们做为新课程理念

指导下的教师不仅要传授学生知识，更重要的是要培养学生发现美、创造美的能力，让学生在学数学的过程中发现数学的美，深深的被数学的魅力感动，进一步提高了数学素养，努力去探索世界的真、善、美，就像一位物理学家所说的那样：如果一个理论它是美的，那它一定是个真理。

参考文献:

[ 1 ]常庚哲,李炯生. 高中数学竞赛教程[M ]. 江苏教育出版

社, 1989.

[ 2 ]张禾瑞,郝炳新. 高等代数[M ]. 高等教育出版社, 1983.