第4章 投资组合选择方法(3)PPT课件

E r1 c
R
C
E
r2
c
E
rn
c
为关于常数c的超期望收益向量.
x 设 是可行的投资组合，称
xTR C xTR c
为投资组合 x关于常数 c的超期望收益 .
命题4.1 设 c为一常数，如果 z是下述方程组的解
VzRC
那么将z标准化之后得到的向
量 x一定位于投资可行集的封
套上，反之亦然 .
n
i2
i1
0
当资产组合中包含的资产数目比较多时， 组合的风险几乎完全由不同资产之间的 协方差的均值来确定，而受单个资产方 差的影响变动很小。或者说，当资产数 目很多时，资产组合的风险主要取决于 系统风险，非系统风险对组合的风险影 响很小.
通过分散投资可以化解投资的非系统风险，但系 统风险不能通过分散化的策略化解.
xG
1V 1e a
G
b a
2 G
1 a
3. M-V有效投资组合的基本性质
要确定和计算投资组合有效边缘,首先要了解 有效投资组合的基本性质.
定义4.3: 如果任意选取集合 S
中的两个元素 x, y 和任意实
数 0,1，都有
z x 1 y S
则称集合 S 是凸集。
引理4.1 风险资产构成的所有可行的投资集
xTRCxTRC
X
xTVx
根据最优性原理，上述函数的最优 解必定满足下述方程组
xTVxRCxTRCVx
xTVx 0 xTVx
化简上式可得
RCxTRCVx
xTVx 0 xTVx
由上式可得
RCxTRCV x0
xTVx
令 xTRC xTVx
z x
VzRC
zV1RC 因V正定
zx eT x 1
x z z
证明 设 x , y 是可行集封套上任意两个投资组
(1)在指定的收益水平下使风险最小的投
资组合
min
2 x
x T Vx
s.t. R T x
eT x 1
投资者的期望收益目标,由其效用 函数确定,
允许卖空(因无变量的非负约束),
可行的投资组合: 满足 eT x 1
投资可行集＝ Erx,xx为可行的投 资
这是在风险—收益坐标平面内的一个集合
给定期望收益率 , 求解上述模型得
xx1,x2, ,xnT
xi zi / D,
DeTz
z n
i1 i
E (r)
C G
有效边缘
x
xT (R C)
可行投资 集
确定封套上的投资组合
c 证明: 过期望收益坐标轴上点 做与投资可行集
x 相切的切线，切点 必然位于可行集封套上
（见图).显然，这样得到的可行集封套上的投资
组合x必然使下述比值达到最大或者最小。
投资组合可行集、可行集
E (r)
封套、有效边缘的关系
有效边缘
G
可行投资集
封套
设协方差矩阵正定,则可以求得上述
模型的最优解为
x* V1eV1R
c b a b
a e T V 1 e ,b R T V 1 e ,c R T V 1 R
acb20
称为有效投资组合
对有效投资组合
x
合是凸集。
x 证明: 验证投资可行集满足凸集的定义,设
和 y是两个可行的投资组合,
n
xi 1
i 1
n
yi 1
i1
考虑投资组合 zx1y
0,1
n
n
n
zi xi1 yi1 1
i 1
i 1
i 1
z也是一个可行的投资组合，从而
证明了投资可行集是凸集。
超期望收益:
设 c为一常数，称 Eric 为资产 i 关 于常数 c的超期望收益 ，称
*
计算其相应的风险
2()(a22bc)/
在( )坐标平面内这是一个双曲线方程,该 双曲线右支所包含的部分为投资可行集，双 曲线的右支为可行集封套，双曲线的右上半 支为投资组合的有效边缘（即投资组合有效 集）。
双曲线右支的顶点G 对应的投资组合称为
全局最小方差投资组合,它是投资组合有 效边缘的起点.
投资组合方差的分解
nn
n
nn
x 2xTV x xixj ij xi2 i2 xixj ij
i 1j 1
i 1
i 1j 1
ij
n
投资组合的非系统风险，
x
Байду номын сангаас
2 i
2 i
它是由各个资产自身的各
i 1
种不确定因素产生的风险，
如企业的决策管理,技术水
平等,与其它的资产无关
nn
xi x j ij
2.投资组合选择模型
对已经选定的可供投资的风险资产,如何确 定合适的投资策略,即对不同风险资产的 投资比例.
(1)风险最小,收益最大的投资组合(理想型, 但现实中不存在);
(2)根据个人对风险的厌恶程度和对收益的 期望值,在风险和期望收益两者之间作适 当的权衡,即根据个人对风险和期望收益 的效用函数确定最优的投资组合方案.由 此形成的模型称为投资组合选择模型.
zj
xi
zi zj
zi
命题4.1指出了怎样确定一个可行集封套上的
投资组合，即给定一个常数 c，解方程组 VzRC
得 z之后再把 z标准化可得向量
z x
zj
则 x 是一封套投资组合。
下面的命题4.2提供了另一个计算可 行集封套上投资组合的方法。
命题4.2 可行集封套上任意两个不同投资组合 的凸组合也在可行集封套上。
三.均值方差投资组合选择模型
1.投资组合分散原理
2.投资组合选择模型
3.M-V有效投资组合的基本 性质
资产（或投资组合）收益率的平均值 被用作为期望收益率 资产(资产组合)的方差（标准差）被 用来作为风险的度量
马柯维茨的投资组合理论认为， 采用分散组合投资，可以有效地 分散和控制非系统风险。
1.投资组合分散原理
一个投资组合x, 计算相应的风险值, 它
是
的函数,记为
2 x
(
)
则
(,
2 x
())
在风险---收益坐标平面内是一个点.
令 在一个适当的区间内连续变动,这
个点在风险---收益坐标平面内形成一 条曲线, 称为投资可行集的封套。
把投资可行集封套中相同风险水平 下使期望收益最大的投资组合称为 有效的投资组合(efficient portfolio)，所有有效投资组合对 应的期望收益率和收益率的标准差 构成的集合称为投资组合有效集， 也称为投资组合有效边缘 (efficient frontier)。
i1 j 1 i j
投资组合的系统风险，它是由整个 市场的环境以及不同资产之间的相 互影响产生的,与单个资产无关.
令 xi 1 n
x21 n1 ni n1i21 nij1 njn 1ij
第二项系统风险为所有协方差的平均 值，
第一项非系统风险为所有方差的均值 的1/n倍。
当 n时有
lim11 nnn