教案(东芝杯)

东芝杯·中国师范大学师范专业
理科大学生教学技能创新实践大赛
参赛教案
选用教材：普通高中课程标准实验教科书数学选修2-3 （人教A版）第29-31页
授课对象：高中二年级学生
参赛选手：***
选手专业：数学与应用数学（师范）
指导教师：***
教育不在于使人知其所未知，
而在于按其所未行而行。

【主题】二项式定理的发现
【教材内容】1.3.1二项式定理
【教学对象】高中二年级学生
【教学目标】
✧知识与技能：
识记二项式定理，能够正确写出简单情况下的二项式的展开式；掌握二项展开式的特征（项数，结构，系数等）；了解二项展开式系数的几何排列规律（杨辉三角）；理解二项式定理是乘法公式的推广。

✧过程与方法：
经历二项式定理的发现过程，掌握特殊化的分析方法，发展观察、归纳、猜想的能力，发展数学交流的能力，发展抽象概括的数学思维能力，掌握二项式展开的基本方法，领悟从特殊到一般、从具体到抽象的数学思想方法。

✧情感态度价值观：
积极参与二项式定理的发现过程，养成独立思考、合作探究、数学表达的学习习惯，体验发现的乐趣，享受成功的喜悦。

欣赏二项式定理内在的结构之美，体验杨辉三角独特的文化魅力，增强民族自豪感。

【教学重点】分析3
2)
(,)
(b
a
b
a+
+的展开式，归纳得出二项式定理。

了解二项展开式的通项公式以及二项式系数的性质。

【教学难点】根据展开式3
2)
(,)
(b
a
b
a+
+的特征，得出n
b
a)
(+展开式猜想。

【教学过程设计】
一、设计理念
理念之一：基于情境的数学认知。

情境是认知的基础，一个“好”的情境能够引致有意义的数学学习。

在情境中认知，对情理念之二：关注过程的教学
策略。

形式化是数学的重要特征。

教学的重要任务应该把数学的
学术形态转化为教育形态，在
理念之三：突出数学的思想
方法。

数学教学要让学生掌握所
学的知识内容，形成一定的数学
能力，也要让学生掌握、领会数
二、教学过程
4.师生交流，议一议（50秒）
如图2，从O出发走到N（只能向上走或向右走），则
具体的走法路线以及相应的走法数分别是：
表2
引导
学生
寻找
具体
的行走路线计算相应的走法数汇报表
格完成
的情况
PPT
展示
具体
的行
走路
线及
相应
的走
法数
设计意图：
师生互动交流，加深对所得结果的直观感受，让学生体会到成功的喜悦，为后面的数学探究奠定良好的心理基础。

5.寻找规律，想一想（55秒）
问题3如图3，其中行与行
的数字之间有怎样的内在联
系？
结论：中间交叉点的数字等于
上面两个交叉点数字之和。

图3把图
2 旋
转90
度
提出
问题
3
引导
得出
结论
探索
规律
汇报
结果
PPT
展示
图3
设计意图：
寻找规律，引出数字在三角形中的几何排列，为后面介绍杨辉三角的预埋伏笔。

（三）观察6.联系旧知，算一算（1分20秒）
问题4图中的数字能否用组合数表示出来？
启发
学生
计算
k
n
C
计算
k
n
C
PPT
展示
联系
图
归
纳
，
形
成
猜
想
图4（a）图4（b）
结论：左图中的数字都可以用右图中的组合数表示。

设计意图：
引导学生利用所学知识组合数来表示图4（a）中的数字，为顺利过渡到用组合数表示乘法公式中的系数搭建一个沟通的桥梁。

7.复习公式，说一说（50秒）
初中学过的乘法公式，可以表示为：
b
a
b
a+
=
+1)
(
1
1
1
1
1
b
a
b
a C
C+
=
2
2
22
)
(b
ab
a
b
a+
+
=
+
2
2
2
1
1
1
2
2
2
b
a
b
a
b
a C
C
C+
+
=
3
2
2
3
33
3
)
(b
ab
b
a
a
b
a+
+
+
=
+
1
3
3
2
1
2
3
1
2
1
3
3
3
b
a
b
a
b
a
b
a C
C
C
C+
+
+
=
表示
出二
项式
定理
（n=1,
2,3）
初步
感知
特殊
情况
下的
二项
式定
理
PPT
展示
三个
乘法
公式
设计意图：
将乘法公式的系数用对应的组合数表示出来，为学生观察、归纳、猜想二项式定理的一般结构奠定认知基础。

b)展开式中的
三、设计说明
在多项式的运算中，把二项式展开成单项式之和的公式，即二项式定理有着非常重要的地位，它是带领我们进入微积分学领域大门的一把金钥匙。

将本小节内容安排在计数原理之后来学习，一方面表明n b
(+的展开式与分类加法计数
a)
原理、分步乘法计数原理以及排列、组合的知识具有密切的联系，同时它的证明要用到计数原理，可以把它作为计数原理的一个应用；另一方面也为下一章进一步学习随机变量及其分布作准备。

另外，由于二项式系数是一些特殊的组合数，在推导出二项式定理的过程中，也可以深化学生对组合数的认识，体会其本质。

总之，二项式定理是综合性较强的、具有联系不同内容作用的知识。

二项式定理研究的是n b
(+的展开式。

教科书设计了如下过程：（1）将二
a)
项式的展开式与“计数问题”联系在一起是不容易的，因此教科书首先采用合情推理的方法，在“探究”中提出如何利用两个计数原理得出4
2)
3
a
b
a+
+
+
b
a
(,)
(,)
(b 的展开式问题；（2）详细写出用多项式乘法法则得到2)
a+展开式的过程，并
(b
从两个计数原理的角度对展开式进行分析，概括出系数以及项的形式。

用组合知识分析展开式中具有同一形式的项的个数，从而得到用组合数表示的2)
a+的
(b
展开式；（3）让学生模仿上述过程推导4
3)
+的展开式；并在此基础上，
b
a+
(,)
(b
a
得出关于n b
a)
(+的展开式的猜想，最后给出说理性的证明。

在上述过程中，第（2）步是关键，并且也是难点。

其中，既要利用计数原
理分析二项式的展开过程，也要发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律。

课程标准要求，二项式定理的教学应通过揭示二项式定理是代数中乘法公式的推广，了解二项式定理的推导过程，理解从特殊到一般的思维方法，培养学生的观察归纳能力、抽象思维能力和逻辑思维能力，这——挑战高中生的智力水平。

为此，本片段搭建了一个“脚手架”：棋盘问题。

由于该问题的解答结果就是二项式系数，且与杨辉三角内在一致，借助路线图的直观操作，巧妙设置问题，把有关的知识内容联系起来，既有助于学生的数学思维在问题引导下不断深入，从具体到一般，从直观到抽象，也让学生在解决问题的过程中感受发现的乐趣，体验数学的魅力。