点线面位置关系总结

立体几何中的选择填空题类型1．位置关系线线位置关系：共面和异面，共面包括相交和平行（一般不考虑两直线重合）；异面是指既不平行也不相交的两条直线；这里特别强调一个特殊的位置关系：垂直，垂直包括两种，共面垂直和异面垂直，没有特别指明的话，两种都有可能。

线面位置关系：包括三种位置关系：相交、平行、直线在平面内（也称为平面过直线）。

特别是直线在平面内，容易被忽略掉。

平面与平面的位置关系：包括三种：平行、相交、重合。

两个面相交一定是有无数个交点的，这些交点都是在同一条直线即交线上。

2.平面的四种确定方式（1）不共线的三个点可以确定唯一的一个平面（2）直线及直线外的一点可以确定唯一的一个平面（3）两条相交直线确定唯一的一个平面（4）两条平行直线确定唯一的一个平面（也就是说两条平行直线必定共面）1.四大证明问题总结2.有关角的问题总结||||a b ⋅ 条直线的方向向量||||a n ⋅ 角，注意角的范围。

这里的两个向量分别是直12||||n n ⋅注意求出余弦值之后，观察题中角的范围，最后确定角不能只看求出的余弦值的正负就决定角是锐3. 最小角定理（也称三余弦定理）观察右图，直线OA 在该平面内的投影是直线AB ，直线AC 是该平面内的任意一点， A 为这三条直线的公共交点，则有：12cos cos cos θθθ=，此处的1θ为线面角。

该定理常用于求线面角，也可以将线线角、二面角经过转化之后，使用该定理求出。

6.对于立体几何中的选择填空题类型，我们的基本思路就是：对于位置关系判定的，一律进行举反例判断，对于求空间角的选择填空题，一是寻找出该角的平面角，转化为求一个平面角，常用的工具就是最小角定理或三角形的相关知识内容，如果发现此方法比较困难的时候，应马上进行建系，使用向量法来解决。

1.已知,m n 表示两条不同的直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） A.若,m n αα，则m n B.若,m n αα⊥⊂，则m n ⊥ C.若,m m n α⊥⊥，则n α D.若,m m n α⊥，则n α⊥2.设l 是直线，,αβ是两个不同的平面（ ）A.若,l l αβ，则αβB.若,l l αβ⊥，则αβ⊥C.若,l αβα⊥⊥，则l β⊥D.若,l αβα⊥，则l β⊥3.下列命题正确的是（ ）A.若两条直线和一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C.若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D.若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行4.已知矩形,1,ABCD AB BC ==ABD ∆沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻卷，在翻卷的过程中，（ ）A.存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直B.存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直C.存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直D.对任意位置，三直线“AC 与BD ”，“AB 与CD ”，“AD 与BC ”均不垂直 5.已知空间三条直线l 、m 、n ，若l 与m 异面，且l 与n 异面，则（ ） A.m 与n 异面 B. m 与n 与相交C. m 与n 与平行D. m 与n 与异面、相交、平行均有可能6.设,αβ为两个不同的平面，,l m 为两条不同的直线，且,l m αβ⊂⊂，有如下两个命题：①若αβ，则l m ；②若l m ⊥，则αβ⊥.那么（ ）A. ①是真命题，②是假命题B. ①是假命题，②是真命题C. ①②都是真命题D. ①②都是假命题7.关于直线,m n 与平面,αβ，有下列四个命题： ①,m n αβ且αβ，则m n ； ②,m n αβ⊥⊥且αβ⊥，则m n ⊥； ③,m n αβ⊥且αβ，则m n ⊥； ④,m n αβ⊥且αβ⊥，则m n .其中真命题的序号是（ ）A.①②B. ③④C. ①④D. ②③8.给出下列四个命题：①垂直于同一直线的两条直线相互平行 ②垂直于同一平面的两个平面相互平行③若直线与同一平面所成的角相等，则相互平行④若直线是异面直线，则与都相交的两条直线是异面直线其中假命题的个数是（ ）.A. 1B. 2C. 3D. 49.两直线1l 与2l 异面，过1l 作平面与2l 平行，这样的平面（ ）A. 不存在B. 有唯一的一个C. 有无数个D.只有两个10.下列说法中不正确的是（ ）A. 空间中，一组对边平形且相等的四边形一定是平行四边形B. 同一平面的两条垂线一定共面C. 过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内D. 过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直11. 给出以下四个命题：①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的一个平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面 ③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直 其中真命题的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 112.右图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，①BM 与ED 平行；②CN 与BE 是异面直线；③CN 与BM 成60︒角；④DM 与BN 垂直 以上四个命题中，正确命题的序号是（ ） A. ①②③B. ②④C. ③④D. ②③④13.空间四边形ABCD 中，AC 与BD 成60︒角，若8AC BD ==，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，则线段MN 的长分别为（ ）A.4B.2C.8D.4或14.梯形ABCD 中AB CD ，AB ⊂平面α，CD ⊄平面α，则直线CD 与平面α内的直线的位置关系只能是（ ）A.平行B.平行或异面C.平行或相交D.异面或相交15.异面直线a 、b 成60︒，直线c a ⊥，则直线b 与c 所成的角的范围为（ ） A. [30,90]︒︒ B. [60,90]︒︒ C. [30,60]︒︒ D. [60,120]︒︒16.已知二面角l αβ--为60,,,AB AB l A α︒⊂⊥为垂足，,,135CD C l ACD β⊂∈∠=︒，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为（ ）A. 141217.直三棱柱111ABC A B C -中，90,,BCA M N ∠=︒分别是1111,A B AC 的中点，1BC CA CC ==，则BM 与AN 所成的角的余弦值为（ ）A. 110B. 25D. 218.如下图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，1,90AB BC AA ABC ==∠=︒，点E 、F 分别是棱AB 、1BB 的中点，则直线EF 和1BC 所成的角是________.19.把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以,,,A B C D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成角的大小是（ ）A. 90︒B. 60︒C. 45︒D. 30︒20.如下图，过正方形ABCD 的顶点A ，引PA ⊥平面ABCD ，若P A B A =，则平面ABP和平面CDP 所成的二面角的大小是________.21.1111ABCD A B C D -为正方体，下面结论错误的是（ ） A. BD 平面11CB D B. 1AC BD ⊥ C. 1AC ⊥平面11CB DD.异面直线AD 与1CB 角为60︒22.如图：正四面体S ABC -中，如果,E F 分别是,SC AB 的中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于（ ） A. 90︒B. 45︒C. 60︒D. 30︒23.,,PA PB PC 是由P 引出的三条射线，每两条的夹角都是3π，则直线PC 与平面PAB 所成角的余弦值是_____参考答案31→由直线与平面平行的判定定理可知CD α，所以CD 与平面α内的直线没有公共点.1.若,mn αα，则m 与n 可能平行、相交或异面.故A 错误；B 正确；若,m m n α⊥⊥，则n α或n α⊂，故C 错误；若,m m n α⊥，则n 与α可能平行、相交或n α⊂，故D 错误.因此选B . 2.因为1223,l l l l ⊥，所以13l l ⊥，当1l 和3l 固定的时候，因为4l 可以有多个位置与3l 都是垂直的，所以4l 与1l 的位置关系不能确定，可能平行，可能垂直，也可能成任意角度。

1B3.分析试题：如图作BE β⊥于E ，连结AE ，过A 作AG CD ，作EG AG ⊥于G ，连结BG ，则B G ⊥.设2AB a=.在ABE∆中，60,90,B A E A E B A B a A E a ∠=︒∠=︒=∴=.在Rt AEG ∆中，9045,9G A E C A G A G E A G a ∠=︒-∠=︒∠=︒∴=.在Rt ABG∆中，2cos 24a AGBAG ABa ∠===，∴异面直线AB与CD 所称角的余弦值为4，故选B .4.（1）：如图，E 为BC 的中点.由于,M N 分别是1111,A B A C 的中点，故11MNB C 且1112MN B C =，故MN 结BE ,所以四边形MNEB 为平行四边形，所以EN 结BM ，所以直线,AN NE 所成的角即为直线,BM AN 所成的角.设1BC =，则111122B M B A ==，所以,22MB NE AN AE =====.在ANE ∆中，根据余弦定理得655cos 1022ANE +-∠==. 5.解析【解析】连接1AB ，易知1AB EF ，连接1B C 交1BC 于点G ，取AC 的中点H ，连接GH ，则1GHAB EF .故HGB ∠（或其补角）即为EF 和BG 所成角.设1AB BC AA a ===，连接HB ，在GHB ∆中，易知GH HB BG a ===，故两直线所称的角即为60HGB ∠=︒. A 1B 1C 1ABCHG6.提示1：由已知中过正方形ABCD 的顶点A ，引PA ⊥平面ABCD ，若PA AB =，则我们可以构造一个正方体，然后再正方体中分析平面ABP 和平面CDP 所成的二面角的大小. 提示2：判断线与线、线与面、面与面之间的关系，可将线线、线面、面面平行（垂直）的性质互相转换，进行证明，也可将题目的中直线放在空间正方体内进行分析.解：我们构造正方体ABCD PQRS -如下图示：∴面PQCD 与面PQBA 所成二面角就是平面ABP 与平面CDP 所成二面角.PA ⊥平面ABCD ，所以PA AB ⊥，PQ AB ，所以PA PQ ⊥，PQCD ，所以PD PQ ⊥.所以APD ∠就是面PECD 与面PEBA 所成二面角.由于构造的几何体是一个正方体，易得45APD ∠=︒.ABCDPQRS7.A 项中，,αβ可能平行，C 和D 项中还可能l β，B 项中由,l l αβ⊥，知存在m ，,m m αβ⊂⊥，所以αβ⊥.8.A 项，由位于某一个平面内的两条相交直线与该平面所成角均为零，故A 项错误；B 项，注意到当平面α⊥平面β，l αβ=，在平面α内作直线,m l n l ⊥⊥，垂足分别为,A B ，分别在直线,m n 上取AD BE =，显然此时直线DE 上所有的点到平面β的距离相等，但此时l αβ=，故B 项错误；C 项，由定理“当一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行”，故C 项正确；D 项，在正方体1111ABCD A B C D -中，平面11ABB A ⊥平面ABCD ，平面11BCC B ⊥平面ABCD ，但此时平面11ABB A 与平面11BCC B 相交，故D 项错误。