4 .板壳问题的有限元法(4学时)
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
机电工程学院
第五章 板壳问题的有限元法
章节内容： 5.1 薄板弯曲的基本理论 5.2 薄板单元：矩形单元和三角形单元 5.3 薄壳有限元分析的简介
车辆工程教研室
机电工程学院
5.1 薄板弯曲的基本理论
5.1.1 薄板（thin plate）
工程实际中，存在大量的板壳构件（plate and shell） 几何特点：厚度远远小于其它两个方向的尺寸。 薄板：t/b < 1/15 中面：平分板厚度的平面 坐标系oxyz ：xy轴在中面上，z轴垂直于中面 z 载荷 作用于中面内的载荷：平面应力问题 垂直于中面的载荷：板弯曲
其中
车辆工程教研室
机电工程学院
5.5 薄壳有限元分析
局部坐标系
局部坐标系对整体 坐标系的方向余弦 矩阵（从整体坐标 到局部坐标）
局部坐标系与整体坐标系的关系
车辆工程教研室
机电工程学院
5.5 薄壳有限元分析
坐标变换矩阵
车辆工程教研室
机电工程学院
5.5 薄壳有限元分析
单元刚度矩阵
转换矩阵：
3.
应力
引起的形变很小，在计算变形时可以忽略。
车辆工程教研室
机电工程学院
5.1 薄板弯曲的基本理论
5.1.2 位移
位移分量：薄板中面的挠度 w 根据挠度，可以计算：在x和y轴方向上的位移分量和绕x和y轴方 向的转角。
y
z
b
o
车辆工程教研室
t
x
机电工程学院
5.1 薄板弯曲的基本理论
5.1.3 应变及几何方程
机电工程学院
5.1.5 平衡方程
t为薄板的 厚度
D为薄板弯曲 的弹性系数矩 阵
车辆工程教研室
机电工程学院
5.1 薄板弯曲的基本理论
5.1.5 平衡方程
应力和内力矩之间的 关系式：
可以看出，应力沿厚度方向 线性分布，最大值出现在薄板的 上下表面处（z=±t/2）
车辆工程教研室
机电工程学院
5.1 薄板弯曲的基本理论
车辆工程教研室
机电工程学院
5.3 薄板三角形单元
y j
m O
i
x
特点（与矩形单元相比）：
计算精度略低 具有更高的适应性和灵活性，可以较好的模拟边界形状较复杂的 板。
车辆工程教研室
机电工程学院
5.3 薄板三角形单元
y
j
m O
i
位移模式
e T T
x
T T
i j m i T wi xi yi T
5.5 薄壳有限元分析
5.5.1 矩形壳元
单元足够小时，可以用平板单元拼成的折板近似代替光滑壳结构。 局部坐标系 位移向量 面内变形：2个位移u, v 弯曲变形：3个分量（1个挠度w和2个转角θx,θy） 附加位移分量：θz
车辆工程教研室
机电工程学院
5.5 薄壳有限元分析
单元刚度矩阵
车辆工程教研室
机电工程学院
5.5 薄壳有限元分析
薄壳
薄壳：厚度比其它尺寸（长度、曲率半径等）小很多的壳体。 中曲面：由壳体厚度中点构成的曲面。
薄壳中曲面的变形
弯曲变形： 横截面上的正应力和平行于中曲面的切应力合成弯矩和扭矩 伸缩变形： 中曲面内的正应力和切应力合成中面内力或膜力
y b
o
t
x
车辆工程教研室
机电工程学院
5.1 薄板弯曲的基本理论
5.1.1 小挠度薄板弯曲理论 (small deflection theory of thin plate)
克西荷夫假设（Kirchhoff）： 1. 假设薄板中面的法线在变形后仍为直法线。
2.
厚度方向的位移沿板厚是不变的：即厚度方向的点的位移相同 或者与在厚度方向的位置无关。
机电工程学院
5.5 薄壳有限元分析
消除奇异的方法
非常小的非 零数！
车辆工程教研室
机电工程学院
5.5 薄壳有限元分析
应用的限制
由于是平面问题简单的叠加，导致单元仍为平面单元，无法描述像 汽车冲压件一类更复杂的曲面。
车辆工程教研室
x
车辆工程教研室
机电工程学院
5.4 板弯曲有限元法的进一步讨论
薄板矩形单元和三角形单元的使用局限性：
都属于非协调单元（部分协调单元） 不适用于厚板 不容易适应复杂边界
改进方法：
建立协调元，将挠度、转角和扭曲率作为节点位移参数； 放弃直法线假设，将节点位移和转角都作为独立的变量； 采用参数单元，类似于平面问题，将平面应力状态和弯曲状态 叠加，构建一六自由度的薄板单元与六自由度的梁单元组合， 形成常见的板梁组合结构。（见下节）
5.1.6 虚功方程
车辆工程教研室
机电工程学院
5.2 薄板矩形单元
5.2.1 薄板矩形单元 （单元描述）
z
y 薄板弯曲只研究中面的变形，因此： p a a m 单元面的任意一点 = 长度为板厚的法线段 b 几何形状：2a×2b 2b x O 节点：4个 wi θyi b 节点编号：逆时针 局部坐标系：直角坐标系oxyz i 2a j θxi 因此， 节点位移 挠度：w 两个转角： x 和 y e T T T T T i j m p 单元节点位移列阵
车辆工程教研室
机电工程学院
5.5 薄壳有限元分析
等效节点载荷：
先在局部坐标系下求解； 转换到整体坐标系下 求解在整体坐标系下的位移 然后变换到节点的局部坐标系下求解单元节点位移 再根据局部坐标系下的应力公式求解应力 基于求解的应力再求解弯矩和扭矩。
节点位移和内力的计算：
车辆工程教研室
i T
wi xi yi
T
车辆工程教研室
机电工程学院
5.2 薄板矩形单元
5.2.1 位移模式
单元具有12个自由度 1个独立位移分量：挠度w 多项式构造方法
常数项：1 一次项：x 二次项：x2 三次项：x3 四次项：x3y
y xy y2 x2y xy2 y3 xy3 x4 y4 x2y2
机电工程学院
5.5 薄壳有限元分析
三角形壳元
灵活，可以分析任意 形状的薄壳
局部坐标系的建立 节点位移向量
车辆工程教研室
机电工程学院
5.5 薄壳有限元分析
单元刚度矩阵
其中
车辆工程教研室
机电工程学院
5.5 薄壳有限元分析
坐标变换 单元位移向量变换：
单元刚度矩阵变换：
坐标变换矩阵：
车辆工程教研室
机电工程学院
5.1 薄板弯曲的基本理论
5.1.4 应力及物理方程
根据基本假设，薄板弯曲问题选用3个基本应力分量：
根据广义虎克定律，可以得到应力和应变之间的关系式：
物理方程
车辆工程教研室
机电工程学院
5.1 薄板弯曲的基本理论
5.1.4 应力及物理方程
根据基本假设，薄板弯曲问题选用3个基本应力分量：
(i 1,2,3,4)
车辆工程教研室
机电工程学院
5.2 薄板矩形单元
5.2.3 单元刚度方程
k
e
B D B dxdy
T
车辆工程教研室
机电工程学院
5.2 薄板矩形单元
5.2.4 单元等效节点载荷
单元等效节点载荷列阵
几种载荷情况： 横向集中力或者力矩—集中力点取做节点； 法向集中力（需要按照等效原则移置到节点上）
答：（1）沿x轴和y轴的方向挠度函数都是三次多项式，因此能够保 证单元内部及相邻单元之间挠度的连续性。（2）θx和θ y在单元边界 上沿x轴和y轴方向的多项式次数不同，因此，很难保证相邻单元在 公共边界上转角的连续性。 因此，为部分协调单元（非协调单元）。
车辆工程教研室
z
机电工程学院
5.2 薄板矩形单元
车辆工程教研室
机电工程学院
5.2 薄板矩形单元
5.2.1 位移模式
该位移模式是否满足三个条件？ 反映单元的刚体位移
答：刚体位移是指挠度和转角为常数。因此常数项和2个一次项反映 了单元的刚体位移。
反映单元的常应变
答：应变为挠度的二次偏导数。因此3个二次项反映了单元的常应变。
位移函数保证单元内部及相邻单元之间位移的连续性
车辆工程教研室
机电工程学院
5.3 薄板三角形单元
位移模式
9个自由度 插值方法
y
j
多项式插值 常数项：1 一次项：x 二次项：x2 三次项：x3
y xy y2 x2y xy2 y3
m
i
O 面积坐标插值 常数项： Li Lj Lm 二次项： Li Lj LjLm Lm Li 三次项： Lj Lm2-LmLj2 LmLi2-LiLm2 LiLj2-LjLi2
分布横向载荷
车辆工程教研室
z
机电工程学院
5.2 薄板矩形单元
5.2.5 整体分析 5.2.6 边界条件
p
a
y
a b
m x
2b wi θyi i θxi
O 2a j
b
自由：无需添加约束； 简支：（指板的支座处只能传递水平和垂直两个方向的力。 如钢筋混凝土板搭在砖墙上或搭在不是同时浇筑的混凝土梁上； 或钢结构板用螺栓与支座相连，都属于简支板。） 挠度为0，切向 转角为0. 固支（指板的支座处不仅能传递水平和垂直两个方向的力，还能 传递弯矩，如钢筋混凝土板与下面的梁同时现浇，并有板中的钢 筋伸入梁中；或是钢结构板用焊接的方法与支座相连，焊接部位 的刚度大于板的刚度，这样的板就是固支板）挠度为0，切向转角 为0，法向转角也为0。
在小变形情况下，面内变形和弯曲变形互不相关。 薄壳单元的应力问题=平面应力问题＋弯曲应力问题
车辆工程教研室
机电工程学院
5.5 薄壳有限元分析
薄壳单元：
矩形平面壳体单元：柱面 三角形平面壳体单元：任意形状和边界的薄壳 局部坐标系：单元分析 整体坐标系：整体分析
坐标系
车辆工程教研室
机电工程学院
根据广义虎克定律，可以得到应力和应变之间的关系式：
物理方程
车辆工程教研室
机电工程学院
5.1 薄板弯曲的基本理论
5.1.5 平衡方程
应力在板的侧面形成力矩：
正应力形成弯距：Mx 切应力形成扭矩：Mxy
My
σ
σ τ
xy
y
x
σ
xy
x
τ
τ σ
y
xy
τ
xy
微小六面体上的 应力分布
车辆工程教研室
各力矩的作用图
根据基本假设，薄板弯曲问题选用3个基本应变分量：
分量分别为中面的 曲率和扭曲率
{1/ρ}
几何方程
车辆工程教研室
机电工程学院
5.1 薄板弯曲的基本理论
5.1.4 应力及物理方程
根据基本假设，薄板弯曲问题选用3个基本应力分量：
根据广义虎克定律，可以得到应力和应变之间的关系式：
弹性矩阵[Dp]
车辆工程教研室
B
p
2b wi θyi i θxi
b
O 2a j x b
1 M D DB e
车辆工程教研室
第五章 板壳问题有限单元法
5.2.2 单元应变及内力
机电工程学院
单元几何方程：
3b 0 b i (1 3 i )(1 i ) a i (1 i ) z 3a Bi i (1 i ) ai (1 i )(1 3i ) 0 4ab b 2 2 2 2 2 2 ii (3 3 4) b i (3 2i 1) ai (3 2 i 1)
5.2.1 位移模式
p 2b wi θyi
a
y
a b
m x
O 2a j
b
w N
e
i
θxi
车辆工程教研室
机电工程学院
5.2 薄板矩形单元
5.2.2 单元应变及内力
1 z zB e B Bi B j Bm
第五章 板壳问题的有限元法
章节内容： 5.1 薄板弯曲的基本理论 5.2 薄板单元：矩形单元和三角形单元 5.3 薄壳有限元分析的简介
车辆工程教研室
机电工程学院
5.1 薄板弯曲的基本理论
5.1.1 薄板（thin plate）
工程实际中，存在大量的板壳构件（plate and shell） 几何特点：厚度远远小于其它两个方向的尺寸。 薄板：t/b < 1/15 中面：平分板厚度的平面 坐标系oxyz ：xy轴在中面上，z轴垂直于中面 z 载荷 作用于中面内的载荷：平面应力问题 垂直于中面的载荷：板弯曲
其中
车辆工程教研室
机电工程学院
5.5 薄壳有限元分析
局部坐标系
局部坐标系对整体 坐标系的方向余弦 矩阵（从整体坐标 到局部坐标）
局部坐标系与整体坐标系的关系
车辆工程教研室
机电工程学院
5.5 薄壳有限元分析
坐标变换矩阵
车辆工程教研室
机电工程学院
5.5 薄壳有限元分析
单元刚度矩阵
转换矩阵：
3.
应力
引起的形变很小，在计算变形时可以忽略。
车辆工程教研室
机电工程学院
5.1 薄板弯曲的基本理论
5.1.2 位移
位移分量：薄板中面的挠度 w 根据挠度，可以计算：在x和y轴方向上的位移分量和绕x和y轴方 向的转角。
y
z
b
o
车辆工程教研室
t
x
机电工程学院
5.1 薄板弯曲的基本理论
5.1.3 应变及几何方程
机电工程学院
5.1.5 平衡方程
t为薄板的 厚度
D为薄板弯曲 的弹性系数矩 阵
车辆工程教研室
机电工程学院
5.1 薄板弯曲的基本理论
5.1.5 平衡方程
应力和内力矩之间的 关系式：
可以看出，应力沿厚度方向 线性分布，最大值出现在薄板的 上下表面处（z=±t/2）
车辆工程教研室
机电工程学院
5.1 薄板弯曲的基本理论
车辆工程教研室
机电工程学院
5.3 薄板三角形单元
y j
m O
i
x
特点（与矩形单元相比）：
计算精度略低 具有更高的适应性和灵活性，可以较好的模拟边界形状较复杂的 板。
车辆工程教研室
机电工程学院
5.3 薄板三角形单元
y
j
m O
i
位移模式
e T T
x
T T
i j m i T wi xi yi T
5.5 薄壳有限元分析
5.5.1 矩形壳元
单元足够小时，可以用平板单元拼成的折板近似代替光滑壳结构。 局部坐标系 位移向量 面内变形：2个位移u, v 弯曲变形：3个分量（1个挠度w和2个转角θx,θy） 附加位移分量：θz
车辆工程教研室
机电工程学院
5.5 薄壳有限元分析
单元刚度矩阵
车辆工程教研室
机电工程学院
5.5 薄壳有限元分析
薄壳
薄壳：厚度比其它尺寸（长度、曲率半径等）小很多的壳体。 中曲面：由壳体厚度中点构成的曲面。
薄壳中曲面的变形
弯曲变形： 横截面上的正应力和平行于中曲面的切应力合成弯矩和扭矩 伸缩变形： 中曲面内的正应力和切应力合成中面内力或膜力
y b
o
t
x
车辆工程教研室
机电工程学院
5.1 薄板弯曲的基本理论
5.1.1 小挠度薄板弯曲理论 (small deflection theory of thin plate)
克西荷夫假设（Kirchhoff）： 1. 假设薄板中面的法线在变形后仍为直法线。
2.
厚度方向的位移沿板厚是不变的：即厚度方向的点的位移相同 或者与在厚度方向的位置无关。
机电工程学院
5.5 薄壳有限元分析
消除奇异的方法
非常小的非 零数！
车辆工程教研室
机电工程学院
5.5 薄壳有限元分析
应用的限制
由于是平面问题简单的叠加，导致单元仍为平面单元，无法描述像 汽车冲压件一类更复杂的曲面。
车辆工程教研室
x
车辆工程教研室
机电工程学院
5.4 板弯曲有限元法的进一步讨论
薄板矩形单元和三角形单元的使用局限性：
都属于非协调单元（部分协调单元） 不适用于厚板 不容易适应复杂边界
改进方法：
建立协调元，将挠度、转角和扭曲率作为节点位移参数； 放弃直法线假设，将节点位移和转角都作为独立的变量； 采用参数单元，类似于平面问题，将平面应力状态和弯曲状态 叠加，构建一六自由度的薄板单元与六自由度的梁单元组合， 形成常见的板梁组合结构。（见下节）
5.1.6 虚功方程
车辆工程教研室
机电工程学院
5.2 薄板矩形单元
5.2.1 薄板矩形单元 （单元描述）
z
y 薄板弯曲只研究中面的变形，因此： p a a m 单元面的任意一点 = 长度为板厚的法线段 b 几何形状：2a×2b 2b x O 节点：4个 wi θyi b 节点编号：逆时针 局部坐标系：直角坐标系oxyz i 2a j θxi 因此， 节点位移 挠度：w 两个转角： x 和 y e T T T T T i j m p 单元节点位移列阵
车辆工程教研室
机电工程学院
5.5 薄壳有限元分析
等效节点载荷：
先在局部坐标系下求解； 转换到整体坐标系下 求解在整体坐标系下的位移 然后变换到节点的局部坐标系下求解单元节点位移 再根据局部坐标系下的应力公式求解应力 基于求解的应力再求解弯矩和扭矩。
节点位移和内力的计算：
车辆工程教研室
i T
wi xi yi
T
车辆工程教研室
机电工程学院
5.2 薄板矩形单元
5.2.1 位移模式
单元具有12个自由度 1个独立位移分量：挠度w 多项式构造方法
常数项：1 一次项：x 二次项：x2 三次项：x3 四次项：x3y
y xy y2 x2y xy2 y3 xy3 x4 y4 x2y2
机电工程学院
5.5 薄壳有限元分析
三角形壳元
灵活，可以分析任意 形状的薄壳
局部坐标系的建立 节点位移向量
车辆工程教研室
机电工程学院
5.5 薄壳有限元分析
单元刚度矩阵
其中
车辆工程教研室
机电工程学院
5.5 薄壳有限元分析
坐标变换 单元位移向量变换：
单元刚度矩阵变换：
坐标变换矩阵：
车辆工程教研室
机电工程学院
5.1 薄板弯曲的基本理论
5.1.4 应力及物理方程
根据基本假设，薄板弯曲问题选用3个基本应力分量：
根据广义虎克定律，可以得到应力和应变之间的关系式：
物理方程
车辆工程教研室
机电工程学院
5.1 薄板弯曲的基本理论
5.1.4 应力及物理方程
根据基本假设，薄板弯曲问题选用3个基本应力分量：
(i 1,2,3,4)
车辆工程教研室
机电工程学院
5.2 薄板矩形单元
5.2.3 单元刚度方程
k
e
B D B dxdy
T
车辆工程教研室
机电工程学院
5.2 薄板矩形单元
5.2.4 单元等效节点载荷
单元等效节点载荷列阵
几种载荷情况： 横向集中力或者力矩—集中力点取做节点； 法向集中力（需要按照等效原则移置到节点上）
答：（1）沿x轴和y轴的方向挠度函数都是三次多项式，因此能够保 证单元内部及相邻单元之间挠度的连续性。（2）θx和θ y在单元边界 上沿x轴和y轴方向的多项式次数不同，因此，很难保证相邻单元在 公共边界上转角的连续性。 因此，为部分协调单元（非协调单元）。
车辆工程教研室
z
机电工程学院
5.2 薄板矩形单元
车辆工程教研室
机电工程学院
5.2 薄板矩形单元
5.2.1 位移模式
该位移模式是否满足三个条件？ 反映单元的刚体位移
答：刚体位移是指挠度和转角为常数。因此常数项和2个一次项反映 了单元的刚体位移。
反映单元的常应变
答：应变为挠度的二次偏导数。因此3个二次项反映了单元的常应变。
位移函数保证单元内部及相邻单元之间位移的连续性
车辆工程教研室
机电工程学院
5.3 薄板三角形单元
位移模式
9个自由度 插值方法
y
j
多项式插值 常数项：1 一次项：x 二次项：x2 三次项：x3
y xy y2 x2y xy2 y3
m
i
O 面积坐标插值 常数项： Li Lj Lm 二次项： Li Lj LjLm Lm Li 三次项： Lj Lm2-LmLj2 LmLi2-LiLm2 LiLj2-LjLi2
分布横向载荷
车辆工程教研室
z
机电工程学院
5.2 薄板矩形单元
5.2.5 整体分析 5.2.6 边界条件
p
a
y
a b
m x
2b wi θyi i θxi
O 2a j
b
自由：无需添加约束； 简支：（指板的支座处只能传递水平和垂直两个方向的力。 如钢筋混凝土板搭在砖墙上或搭在不是同时浇筑的混凝土梁上； 或钢结构板用螺栓与支座相连，都属于简支板。） 挠度为0，切向 转角为0. 固支（指板的支座处不仅能传递水平和垂直两个方向的力，还能 传递弯矩，如钢筋混凝土板与下面的梁同时现浇，并有板中的钢 筋伸入梁中；或是钢结构板用焊接的方法与支座相连，焊接部位 的刚度大于板的刚度，这样的板就是固支板）挠度为0，切向转角 为0，法向转角也为0。
在小变形情况下，面内变形和弯曲变形互不相关。 薄壳单元的应力问题=平面应力问题＋弯曲应力问题
车辆工程教研室
机电工程学院
5.5 薄壳有限元分析
薄壳单元：
矩形平面壳体单元：柱面 三角形平面壳体单元：任意形状和边界的薄壳 局部坐标系：单元分析 整体坐标系：整体分析
坐标系
车辆工程教研室
机电工程学院
根据广义虎克定律，可以得到应力和应变之间的关系式：
物理方程
车辆工程教研室
机电工程学院
5.1 薄板弯曲的基本理论
5.1.5 平衡方程
应力在板的侧面形成力矩：
正应力形成弯距：Mx 切应力形成扭矩：Mxy
My
σ
σ τ
xy
y
x
σ
xy
x
τ
τ σ
y
xy
τ
xy
微小六面体上的 应力分布
车辆工程教研室
各力矩的作用图
根据基本假设，薄板弯曲问题选用3个基本应变分量：
分量分别为中面的 曲率和扭曲率
{1/ρ}
几何方程
车辆工程教研室
机电工程学院
5.1 薄板弯曲的基本理论
5.1.4 应力及物理方程
根据基本假设，薄板弯曲问题选用3个基本应力分量：
根据广义虎克定律，可以得到应力和应变之间的关系式：
弹性矩阵[Dp]
车辆工程教研室
B
p
2b wi θyi i θxi
b
O 2a j x b
1 M D DB e
车辆工程教研室
第五章 板壳问题有限单元法
5.2.2 单元应变及内力
机电工程学院
单元几何方程：
3b 0 b i (1 3 i )(1 i ) a i (1 i ) z 3a Bi i (1 i ) ai (1 i )(1 3i ) 0 4ab b 2 2 2 2 2 2 ii (3 3 4) b i (3 2i 1) ai (3 2 i 1)
5.2.1 位移模式
p 2b wi θyi
a
y
a b
m x
O 2a j
b
w N
e
i
θxi
车辆工程教研室
机电工程学院
5.2 薄板矩形单元
5.2.2 单元应变及内力
1 z zB e B Bi B j Bm