格林函数法

四、格林函数法
本节研究的问题： 如何借助于有关点电荷的较简单的边 值问题解决较复杂的边值问题。
为此，我们先说明点电荷密度的数学表示，然后利用格林 公式把一般边值问题和有关点电荷的相应问题联系起来。 第一类边值问题 ： 给定V内电荷分布ρ和V的边界S上各点的电势|s 第二类边值问题 ： 给定V内电荷分布ρ和电场法向分量/n|s
1 ( x x ′ )2 + ( y y ′ )2 + ( z z ′ )2 1 v v ′) = G(x, x 1 4πε 0 ( x x ′ )2 + ( y y ′ ) 2 + ( z + z ′ ) 2
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（3）球外空间的格林函数。 当Q＝1时，由上节例2可得球外空 间的格林函数。 如图，以球心O为坐标原点。 设电荷所在点P’的坐标为R’， 场点P的坐标为P 令
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(x ) = ∫ G ( x ′, x )ρ ( x ′)dV ′ + ε 0 ∫ G ( x ′, x )
V
v
v v
v
S
v v v v v G ( x ′, x )dS ′ ( x ′) n ′ n ′
在第一类边值问题中，格林函数满足边界条件
v v G( x ′, x ) = 0,
v v v v v v v ′, x )ρ ( x ′)dV ′ + ε 0 ∫ G ( x ′, x ) (x ) = ∫ G (x (x ′)dS ′ + V S n ′
S
其中<>s是电势在界面S上的平均值。
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例 在无穷大导体平面上有半径为a的圆，圆内和 圆外用极狭窄的绝缘环绝缘。设圆内电势为V0， 导体板其余部分电势为0，求上半空间的电势。 以圆心为柱坐标系原点，z轴与平板垂直，R 为空间点到z轴的距离。上半空间的格林函 数用柱坐标表出为
所以第一类边值问题的解为
v 当x′在S上
v v v v v v v ′, x )ρ ( x ′)dV ′－ε 0 ∫ (x ′) (x ) = ∫ G (x G ( x ′, x )dS ′ V S n ′
由这公式，只要知道格林函数G(x,x’) ，在给定边 界上的|s值情形下就可算出区域内的(x) ，因而 第一类边值问题完全解决。
ρ
取ψ(x)为格林函数G(x,x’) ，将x与x’互换，则有
v v v v v v [G(x′, x )′ (x′) (x′)′ G(x′, x )]dV ′ ∫
2 2 V
v ( x ′) v v v v′ v ( x ′) = ∫ G ( x , x ) G ( x ′, x )dS ′ S n ′ n ′
因为在上半空间ρ＝0，因此这问题是拉普拉斯方 程第一类边值问题。 上半空间的电势为
( x ) = －ε 0 ∫ ( x ′ )
S
v
v
v v G ( x ′, x )dS ′ n ′
先计算格林函数的法向导数
G G = n ′ z ′ =
z′=0
1
2πε 0 R 2 + z 2 + R ′ 2 2 RR ′cos(φ - φ ′) 3 2
]
R′ 2 RR′cos(φ - φ ′) 1+ 32 R2 + z2
当R2+z2>>a2时，可以把被积函数展开，得
v (x ) =
2 2 2 3 R′ 2RR′cos(φ φ′) 15 R′ 2RR′cos(φ φ′) + + L R′dR′∫ dφ′1 2 2 2 2 32 ∫ 2 2 2 0 0 R +z 8 2 2π R + z R +z 3 a2 V0a2 z 15R2a2 = + + L 1 2 R2 + z 2 3 2 4 R2 + z 2 8 R2 + z 2 2
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2、格林函数 一个处于x'点上的单位点电荷 所激发的电势满足泊松方程 第一类边值问题的格林函数 泊松方程满足第一类边界条件的解 第二类边值问题的格林函数 泊松方程满足第二类边界条件的解 格林函数所满足的微分方程为
1 v v v ( x ) = δ ( x x ′)
2
ε0
v v v v 1 G ( x , x′ ) = ε 0 δ ( x x′ )
v v G ( x , x ′) = 1 1 4πε 0 R 2 + z 2 + R ′ 2 + z ′ 2 2 zz ′ 2 RR ′cos(φ - φ ′) 1 2 2 2 2 R + z + R ′ + z ′ + 2 zz ′ 2 RR ′cos(φ - φ ′)
解
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[
z
]
由于S上只有圆内部分电势不为零，所以只需对r≤a积分
V G v ε0 ∫ ( x′)dS ′ = 0 n′ 2π ＝
2π
∫
a
0
R′dR′∫ dφ ′
0 a 2π
[R [
z
2 2
+ z 2 + R′2 2 RR′cos(φ - φ ′)
]
32 3 2
V0 z 1 R′dR′∫ dφ ′ 0 2π ∫0 R2 + z2
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对第二类边值问题，由于G(x,x’)是点上单位点电荷所 产生的电势，其电场通量在边界面S上应等于1/ε0，即
∫ 1 v v G ( x ′, x )dS ′ = S n ′ ε0
满足上式的最简单的边界条件是
1 v v = G ( x ′, x ) v n′ ε0S x′∈S
第二类边值问题的解
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1、点电荷密度的δ函数表示
δ函数定义
v v δ (x ) = 0, 当x ≠ 0, v v ∫ δ (x )dV = 1, 若积分区域V包含x = 0点
V
处于x’点上的单位点电荷的密度用函数δ(x－x')表示
v v v ρ ( x ) = δ ( x x ′)
则有
v v v v δ (x x ′) = 0, 当x ≠ x ′, v v v v ∫ δ (x x ′)dx = 1, 当x′ ∈ V
2
4
上节中我们实际上已求出 一些区域的格林函数。现列举 几种区域的格林函数为例。
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（1）无界空间的格林函数。
在x'点上一个单位点电荷在无界空间中激发的电势为
(x ) =
v
1 4πε 0 r
=
1 4πε 0
( x x ′ )2 + ( y y ′ )2 + ( z z ′ )2
因此，无界空间的格林函数为
V
2
δ函数有如下重要性质：
若f(x)为在原点附近的连续函数，V包括原点在内，有
∫
V
v v f ( x )δ ( x )dV = f (0)
同样，若V包括x’点在内，而f(x)在x=x’点附近连续，由 δ函数定义可推出
∫
V
v v v v v f ( x )δ ( x x ′)dx = f ( x ′)
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3、格林公式和边值问题的解
先考虑第一类边值问题 ，设V内有电荷分布ρ， 边界S上给定电势|s ，求V内的电势(x)。
设区域内有两个函数(x) 和ψ (x) ，有格林公式
∫(
V
ψ ψ ψ dV = ∫ ψ dS S n n
2 2
)
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取(x) 满足泊松方程
=
2
1
ε0
(
V0 z
)
a
2π
[
[
]
]
(
)
(
)
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v v G ( x , x ′) =
1 4πε 0 ′ ) 2 + ( y y ′ )2 + ( z z ′ ) 2 (x x
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（2）上半空间的格林函数。 当Q＝1时，由上节例1可得上半空间第一类边值问题 的格林函数。 以导体平面上任一点为坐标原点，设点电荷所在点的坐标 为(x’,y’,z,’) ，场点坐标为(x,y,z)，上半空间格林函数为
R = x2 + y2 + z2
R ′ = x′ 2 + y ′ 2 + z ′ 2
上节例2中a对应于R’，b对应 于R02/R’，镜象电荷 所在点的坐标为
R02 v bv x′ = 2 x′ a R′
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作一定代换后，球外 空间格林函数为
1 R 2 + R′2 2 RR′cosα 1 v v G ( x , x′ ) = 1 4πε 0 2 (RR′ R0 ) + R02 2 RR′cosα