2018年高考数学总复习：第10章 第3讲 二项式定理含解析

第3讲二项式定理

最新考纲 1.能用计数原理证明二项式定理；2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题

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知识梳理

1.二项式定理

(1)二项式定理：(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n(n∈N*)；

(2)通项公式：T r＋1＝C r n a n－r b r，它表示第r＋1项；

(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C0n，C1n，…，C n n.

2.二项式系数的性质

性质性质描述

对称性与首末等距离的两个二项式系数相等，即C k n＝C n－k

n

增减性二项式系数C k n 当k＜

n＋1

2(n∈N

*)时，是递增的当k＞

n＋1

2(n∈N

*)时，是递减的

二项式系数最大值

当n为偶数时，中间的一项2

C

n

n

取得最大值

当n为奇数时，中间的两项

1

2

C

n

n

-

与

1

2

C

n

n

+

取最大值

(1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：C0n＋C1n＋C2n＋…＋C n n＝2n.

(2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝2n－1.

诊断自测

1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)C k n a n－k b k是二项展开式的第k项.()

(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项.()

(3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关.()

(4)(a＋b)n某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同.()

解析 二项式展开式中C k n a

n －k b k

是第k ＋1项，二项式系数最大的项为中间一项或中间两项，故(1)(2)均不正确. 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√

2.(x －y )n 的二项展开式中，第m 项的系数是( ) A.C m n

B.C m ＋1

n

C.C m －1n

D.(－1)m －1C m －1n

解析 (x －y )n 展开式中第m 项的系数为C m －1

n (－1)m －1.

答案 D

3.(选修2－3P35练习T1(3)改编)

C 02 017＋C 12 017＋C 22 017＋…＋C 2 0172 017

C 02 016＋C 22 016＋C 42 016＋…＋C 2 0162 016

的值为( ) A.2 B.4

C.2 017

D.2 016×2 017 解析 原式＝22 017

22 016－1＝22＝4.

答案 B

4.(2017·瑞安市质检)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－12x 9

的展开式中，第4项的二项式系数是________，第

4项的系数是________. 解析 展开式通项为

T r ＋1＝C r 9x

2(9－r )⎝

⎛⎭

⎪⎫－12x r

＝(－1)r 12r C r 9x 18－3r

(其中r ＝0，1，…，9) ∴T 4＝(－1)3123C 39x 9，

故第4项的二项式系数为C 39＝84，第4项的系数为 (－1)3123C 39＝－212. 答案 84 －212

5.(2017·石家庄调研)(1＋x )n 的二项式展开式中，仅第6项的系数最大，则n ＝________.

解析 (1＋x )n 的二项式展开式中，项的系数就是项的二项式系数，所以n

2＋1＝6，n ＝10. 答案 10

6.⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2x 35

展开式中的常数项为________. 解析

T k ＋1＝C k 5(x 2)

5－k ⎝

⎛⎭

⎪⎫－2x 3k ＝C k 5(－2)k x 10－5k

.令10－5k ＝0，则k ＝2.∴常数项为T 3＝C 25(－2)2

＝40.

答案 40

考点一 求展开式中的特定项或特定项的系数

【例1】 已知在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x －

123x n

的展开式中，第6项为常数项. (1)求n ；

(2)求含x 2的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项. 解 (1)通项公式为

T k ＋1＝C k n x

n －k

3

⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k x －k 3＝C k n ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

－12k x n －2k 3. 因为第6项为常数项，所以k ＝5时，n －2×5

3

＝0，即n ＝10. (2)令10－2k

3＝2，得k ＝2， 故含x 2

的项的系数是

C 210⎝

⎛⎭

⎪⎫－122＝45

4. (3)根据通项公式，由题意⎩⎪⎨⎪⎧10－2k 3∈Z ，

0≤k ≤10，k ∈N ，

令10－2k 3＝r (r ∈Z )，则10－2k ＝3r ，k ＝5－3

2r ， ∵k ∈N ，∴r 应为偶数.