如何求异面直线所成的角

如何求异面直线所成的角

立体几何在中学数学中有着重要的地位，求异面直线所成的角是其中重的内容之一，也是高考的热点，求异面直线所成的角常分为三个步骤：作→证→求。其中“作”是关键，那么如何作两条异面直线所成的角呢本文就如何求异面直线所成的角提出了最常见的几种处理方法。

Ⅰ、用平移法作两条异面直线所成的角

一、端点平移法

例1、在直三棱柱111C B A ABC -中，090CBA ∠=,点D ,F 分别是11A C ,11A B 的中点，若

1AB BC CC ==,求CD 与AF 所成的角的余弦值。

解：取BC 的中点E ，连结EF ，DF ，

//DF EC 且DF EC =

∴四边形DFEC 为平行四边形

//EF DC ∴

EFA ∴∠（或它的补角）为CD 与AF 所成的角。

设2AB =,

则EF =

AF =

EA =

故2222EF FA EA EFA EF FA +

-∠==arccos

10

EFA ∴∠=

二、中点平移法

例2、在正四面体ABCD 中, M ,N 分别是BC ,AD 的中点，求AM 与CN 所成的角的余弦值。 解：连结MD ，取MD 的中点O ，连结NO ，

1

O 、N 分别MD 、AD 为的中点，

∴NO 为DAM ∆的中位线， ∴//NO AM ，

ONC ∴∠（或它的补角）为AM 与CN 所成的角。

设正四面体ABCD 的棱长为2

，则有2NO =

，CN =

2

CO =, 故2222

cos 23

NO CN CO ONC NO CN +-∠=

= 2

arccos 3

ONC ∴∠=

三、特殊点平移法

例3、如图，在空间四边形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、AD 上的点，已知4AB =，

20CD =，7EF =，

1

3AF BE FD EC ==，求异面直线AB 与CD 所成的角。 解：在BD 上取一点G ，使得1

3

BG GD =，连结EG FG 、，

在BCD ∆中，1

3

BE BG EC GD ==，故//EG CD ，

同理可证：//FG AB

FGE ∴∠（或它的补角）为AB 与CD 所成的角。 //EG CD ，

∴

1

4

EG BE CD BC ==,故5EG =； 同理可得：

//FG AB ，且

3

4

FG DF AB AD ==，故3FG =; 在FGE ∆中，利用余弦定理可得

2222223571

cos 22352

EG GF EF FGE EG GF +-+-∠===-⨯⨯,

故120FGE ︒∠=.

E C

F

D

A

B

因为//EG CD ，//FG AB ，所以EG 与FG 所成的锐角等于AB 与CD 所成的角， 于是AB 与CD 所成的角等于60︒.

点评：作两条异面直线所成的角时,我们通常考虑在其中一条直线所对应线段的顶点或者中点（或特殊点）作另一条直线的平行线,常用的作平行线的方法有构造平行四边形和三角形的中位线（或利用平行线分线段定理）. 四、交线平移法

例4、正三棱柱111C B A ABC -的各棱长都相等, 求1AB 与1BC 所成的角的余弦值。 解：取1BB 的中点O ，11B C 的中点F ，AB 的中点E ,

F 、O 分别11B C 、1BB 为的中点，

∴FO 为11B BC ∆的中位线， ∴1//FO BC ，

同理可证：1//OE AB

FOE ∴∠（或它的补角）为1AB 与1BC 所成的角。

设正三棱柱111C B A ABC -的棱长为2，

则有OE OF ==

EF =2221

cos 24

OE OF EF FOE OE OF +-∠==-

所以1AB 与1BC 所成的角为1

arccos 4

.

点评：我们用平移法在其中一条直线所对应线段的顶点或者中点作另一条直线的平行线时,这条直线总是跑到图形的外面去,此时考虑两条都要平移.如何平移呢关键在于找到这样一条连接两条异面直线所对应线段端点的线段,然后在这条线段的中点作这两条异面直线的平行线(如练习中1BB ) Ⅱ、用补形法作两条异面直线所成的角

例5、如图所示,正方体1111ABCD A B C D -中,求 1A C 与1AD 所成角的大小.

B

A

C 1

（法一）补形法

解：如图，在正方体1111ABCD A B C D -的上方补上一个 同样大小的的正方体11112222A B C D A B C D -，连结12A D .

112//AA D D 且112AA D D = ∴四边形121AD D A 为平行四边形

121//A D AD ∴

12CA D ∴∠（或它的补角）为1A C 与1AD 所成的角。

设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,

则有12A D =

，1AC =

，2CD = 又因为2222121CD A D A C =+ 故1A C 与1AD 所成角为90︒. 解：（法二）平移法

连结AC ，取AC 的中点O ，1AA 的中点E ，

11A D 的中点F , 连结EF ，EO ，

E 、

F 分别1AA 、11A D 为的中点，

∴EF 为11A AD ∆的中位线， ∴1//EF AD ，

同理可证：1

//OE AC FEO ∴∠（或它的补角）为1A C 与1AD 所成的角。

连结FO ，

设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,

则有EF =

EO =

，FO =又因为222FO EF EO =+ 故1A C 与1AD 所成角为90︒.

点评：补形法就是在长方体或者正方体中,当我们在其中的任意一条直线所对应

A 1

B 1

C 1

A 2

D 1

B 2

C 2

D 2

D

C B

A

C

A

B

E O

D

F D C

B

A