九年级数学 位似图形讲义

位似图形

【基础知识】

1、位似图形的定义

如果两个多边形不仅相似

．．，而且对应顶点的连线交于一点

．．．．，对应边平行

．．，像这样的两个图形叫做位似图

形，这个点叫做位似中心

．．．．;这两个多边形的相似比也叫位似比

．．．。

2、位似图形的性质

（1）位似多边形对应顶点的连线经过位似中心；

（2）对应线段平行（或共线）且成比例，对应角相等。

（2)任意一对对应点和位似中心在同一条直线上,它们到位似中心的距离之比等于位似比.

注意：1、位似图形是相似图形，是一种特殊的相似图形，特殊在每组对应点所在的直线经过同一点；

2、位似图形的中心可以在两个位似图形的内部，也可以在两个位似图形的外部或在图形的顶点

（或边上）。

3、位似图形是相似图形，但相似图形不一定是位似图形；位似中心根据图形而定。

【随堂练习】

一、选择题：

1．用作位似形的方法，可以将一个图形放大或缩小，位似中心（）

A．只能选在原图形的外部； B．只能选在原图形的内部；

C．只能选在原图形的边上； D．可以选择任意位置。

2．已知：E（－4，2），F（－1，－1），以O为位似中心，按比例尺1∶2，把△EOF缩小，则点E的对

应点E′的坐标为（）

A．（2，－1）或（－2，1） B．（8，－4）或（－8，4）

C．（2，－1） D．（8，－4）

3．如图，△DEF是由△ABC经过位似变换得到的，点O是位似中心，D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，则△DEF与△ABC的面积比是（）

A．1︰2 B．1︰4 C．1︰5 D．1︰6

4．如图，五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′是位似图形，O为位似中心，OD＝1

2

OD′，则A′

B′:AB为（）

A.2:3

B.3:2

C.1:2

D.2:1

（第3题图） （第4题图）

5．图中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（ ）

A ．P

B ．O

C ．M

D ．N

6. 如图，以某点为位似中心，将△AOB 进行位似变换得到△CDE ，记△AOB 与△CDE 对应边的比为k ，则位似中心的坐标和k 的值分别为（ ）

A. ，2

B. ，

C. ，2

D. ，3 7. 如图，△ABC 中，A ，B 两个顶点在x 轴的上方，点C 的坐标是(－1，0)。以点C 为位似中心，在x 轴的下方作△ABC 的位似图形，并把△ABC 的边长放大到原来的2倍，记所得的像是△A ′B ′C 。设点B 的对应点B ′的横坐标是a ，则点B 的横坐标是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

（第5题图） （第6题图） （第7题图）

二、填空题：

1．关于对位似图形的表述，下列命题正确的是 。（只填序号） ①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；

②位似图形一定有位似中心；

③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形；

④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比。

2．已知△ABC 与△DEF 是以原点为位似中心的位似图形，位似比为

3

2，则A （－1，1）的对应点D 的坐标为 。

3．△ABC 三个顶点的坐标分别为A （2，2），B （4，2），C （6，4），以原点O 为位似中心，将△ABC 缩小，使变换后得到的△DEF 与△ABC 对应边的比为1∶2，则线段AC 的中点P 变换后对应的点的坐标为： (00)，

(22)，(22)，(22)，O P M N A B C E D O B / A /

C /

D /

E /

。 4．如图，已知△OAB 与△OA ′B ′是相似比为1∶2的位似图形，点O 为位似中心，若△OAB 内一点P （x ，y ）与△OA ′B ′内一点P ′是一对对应点，则P ′的坐标是 。

5．如图，△AOB 以O 位似中心，扩大到△COD ，各点坐标分别为：A （1，2）、B （3，0）、D （4，0）则点C 坐标为 。

6． 如图，已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点。若与是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是 。

（第4题图） （第5题图） （第6题图）

7．如图，正方形OEFG 和正方形ABCD 是位似形，点F 的坐标为（1，1），点C 的坐标为（4，2），则这两个正方形位似中心的坐标是 。

8．如图1，正方形ABCD 和正方形OEFG 中， 点A 和点F 的坐标分别为 (3，2)，(－1，－1)，则两个正方形的位似中心的坐标是 。

（第7题图） （第8题图）

三、解答下列各题：

1．如图，在8×8的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，△OAB 的顶点都在格点上，请在网格中画出．．．．．△OAB 的一个位似图形，使两个图形以O 为位似中心，且所画图形与△OAB 的位似比为2︰1。

ABC △A B C '''△

2．如图，△ABC 与△A′B′C′是位似图形，且位似比是1︰2，若AB ＝2cm ，则A′B′是 cm ，并在图中画出位似中心O 。

第2题图 第3题图

3．已知△ABC 在坐标平面内三顶点的坐标分别为A(0，2)、B(3，3)、C(2，1)。以B 为位似中心，画出

与△ABC 相似（与图形同向），且相似比是3的三角形，它的三个对应顶点的坐标分别是 。

4．已知五边形ABCDE 和点O ，请你以O 为位似中心画五边形ABCDE 的位的图形A ′B ′C ′D ′E ′，使得相似比＝

21，即2

1=''B A AB

5．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为、、。

（1）若将向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，请画出平移后的；

（2）画出绕原点旋转后得到的；

（3）与是位似图形，请写出位似中心的坐标： ；

（4）顺次连结、、、，所得到的图形是轴对称图形吗？

ABC ∆)3,2(-A )2,3(-B )1,1(-C ABC ∆111C B A ∆111C B A ∆︒180222C B A ∆'''C B A ∆ABC ∆C 1C 'C 2C ′ ′ A B C A B C ′ ′ ′ ′