高斯算法

高斯算法

德国有一位世界著名的数学家叫高斯，他上学时，老师出了一道数学题：1＋2＋3＋……＋100＝？，小高斯看了看题目，想了一下，很快说出结果是5050。他的同学无不为之惊奇，甚至还有的同学以为他在瞎说。但小高斯得出的结果被确定是正确的。同学们，你们知道他是怎么算出来的吗？原来小高斯在认真审题的基础上，根据题目的特点，发现了这样的有趣现象：1＋100＝101，2＋99＝101，3＋98＝101，……，50＋51＝101，一共有多少个101呢？100个数，每两个数是一对，共有50对，即共有50个101，所以1＋2＋3＋……＋100＝101×50＝5050。由此归纳出一个公式，是等差数列的和＝（首项＋末项）×项数÷2。在数学上，人们把1～100这些数中的每个数都叫做项，并把这样的一串数称做等差数列。这就是“高斯算法”的公式。有了它，好多数学竞赛中的问题解答起来就方便多了。

【例1】计算：6000－1－2－3－…－99－100 分析：可先利用减法的性质，把原题变为6000－（1＋2＋3＋＋4＋…＋100），然后再利用高斯求和公式计算。所以原式＝6000

－（1＋100）×50＝6000－5050＝950。

【例2】【例2】计算：1＋2＋3－4＋5＋6＋7－8＋9＋…＋25＋26＋27－28。【技巧点拨】仔细观察这个算式，发现它很有规律地出现着一些【技巧点拨】仔细观察这个算

式，发现它很有规律地出现着一些““减数减数””。因此计算时应特别细心。在次

介绍了三种解法。解法一可这样想：开始我们把减数当成加数来算了，所以后来

应减去这些减数的和的所以后来应减去这些减数的和的22倍。解法二可这样想：

四个数为解法二可这样想：四个数为1 1组，28个数就77组，所以项数是组，所

以项数是7 7。解法一：变减为加，整体推算。（其中减数为4的倍数，共28÷4

＝7个。（1＋28）×28÷2－[(4＋28)×7÷2]×2＝182 解法二：分组累计。从头算

起每4个数为一组，分别计算每组数的得数为2、10、18、…、50。其和为（2＋5）

×7÷2＝182 解法三：加数减数分别统计。减数全部拿出以后，剩下的加数是1

＋2＋3＋5＋6＋7＋9＋……＋25＋26＋27。把这些数每三个一组，并求出每组之

和：（1＋2＋3）＋（5＋6＋7）＋……＋25＋26＋27＝6＋18＋……＋78＝（6＋18）

×7÷2＝294。七个减数的和为（4＋28）×7÷2＝112。原式的得数为294－112

＝182。

【例3】【例3】有一列数：19，22、25、28、……，请问，这列数的前99个数（从19开始算起）的总和是多少？【解答】求总和必须先算出这个数列的末项（即第99

个数）是多少。仔细观察它们的前几项，不难发现：后一个数都比它前面的数大

“3”（这就叫做这个数列的公差）。如果都与第一个数相比，第二个数比第一个数

多3；第三个数比第一个数多2个3；第四个数比第一个数多3个3……由此不难

看出，第99个数一定比第一个数多98个3，它是19＋3×（99－1）＝19＋3×98

＝19＋294＝313。再利用高斯求和公式，得出19＋3×（99－1）＝313，（19＋313）

×99÷2＝16434。根据以上解法，我们不难得出求和末项的公式，首项＋公差×

（项数－1）＝末项，这个公式在解题中有着广泛的应用。

【例4】从“99”开始，每隔三个数写出一个数来：99、103、107、111、……、“1999”是这列数中的第几个数？【分析】首先观察这列数的前几项，发现它们从第二个数

开始，每个数都比它千米的数多4，即公差，仍拿出它们都与第一个数相比，第二

个数比第一个数多4；第三个数比第一个数多2个4，第四个数比第一个数多3个

4……要知道“1999”是这列数中的第几个数，只要算一算它比第一个数多多少个

“4”就可以了。【解答】（1999－99）÷4＝475，475＋1＝476个数。【技巧点拨】

归纳出求项数的公式：（末项－首项）（末项－首项）÷÷公差＋公差＋1 1＝项数【例5】以“63”开始每隔10个数写出一个数来，得到63，74，85，96，……一共写出了177个数（63是第一个数，74是第二个数……）。这177个数的和是多少？【分析】

要计算这【分析】要计算这177177177个数的和，首先必须知道它最后一个数（即

末项）是多少？个数的和，首先必须知道它最后一个数（即末项）是多少？【解

答】第177个数是63＋（74－63）×（177－1）＝1999，利用高斯算法求和：（63

＋1999）×177÷2＝182487

【例6】将边长为1米的大等边三角形分割成边长为1厘米的小等边三角形。请你算一算分出的小等边三角形共有多少个？【解答】解法一：先看尖角朝上的小三角形，

它们从上往下依次是1，2，3，……，不难想象，它们的最底两层分别为99和100

个；再看尖角朝下的小三角形，它们从第二层开始，依次有1，2，3……最底两层

分别有98，99个。累计它们的总和为（1＋100）×100÷2＋（1＋99）×99÷2＝

10000个法二：把尖角朝上的和朝下的小三角形合起来，逐层往下看，它们依次有：

1，3，5，7，……，也不难想象到，它们共100层（即共有100项），最底一层共

有199个小三角形（尖角朝上100个，尖角朝下99个）。累计它们的和为：（1＋

199）×100÷2＝10000个。解法三：把大三角形拦腰“剪”下来，并倒着拼在右

侧，这样就拼成了一个平行四边形，它共有50层，每一层里都分别有100个尖角

朝上的小三角形和100个尖角朝下的小三角形，其和为：100×2×50＝10000个【例7】计算1～100每个数各数位上的数字和是多少？【分析】认真观察，分析这些数的组成情况，这道题目的解法也很灵活。【解答】解法一：分段统计。把1～100

各数分成1～9，10～19，20～29，……，90～99和100这样11段。第一段是1，

2，3，……，8，9，其和为（1＋9）×9÷2＝45；第二段，它们的个位上的数字

仍是1，2，3，……，8，9，另外还有十位上的10个1，其和为45＋10＝55；第

三段的个位上的数字和仍是45，另外十位上的10个2，其和为45＋20＝65……逐

次类推，第十段每个数各数位上的数字和为45＋90＝135；第十一段只有100一个

数，数字和为1。累计这十一段每个数各数位上数字的和为：45＋55＋65＋……＋

135＋1＝901。解法二：分数位统计。1～100各数的个位上分别为1，2，3，……，

8，9，（0可以不考虑），而且重复出现了10次，其和为（1＋9）×9÷2×10＝450；

它们十位上则分别连续出现10个1，10个2，10个3……最后出现10个9，其和

为（10＋90）×9÷2＝450，也可列式为（1＋9）×9÷2×10＝450；它们的百位

上只有1个1。累计它们的总和为450＋450＋1＝901。解法三：搭配统计。仿照

高斯的计算方法，把一小一大两个数逐一搭配成许多“对”，使它们的和都为99

（即不让它们的个位或十位的数字出现进位，搭配如下：1和98，2和97，3和

96，……，48和51，49和50，这样，一共搭配成了49个数对，加上原来的99，

就相当于有了50个99，最后加上100里面的数字1）。累计每个数各数位上的数

字和，列式为9×2×50＋1＝901。

【例8】数列1/12，2/12，3/12，……，239/12，这239个数中所有不是整数的分数的和是多少？【分析】先求这【分析】先求这292929个数的和，再计算个数的和，再

计算个数的和，再计算239239239个数中整数的和（个数中整数的和（个数中整

数的和（239239239个数内，最后一个个数内，最后一个个数内，最后一个1212

的倍数是的倍数是121212××1919＝＝228228）），然后求差即可。【解答】所有

数的和是（1/12＋239/12）×239÷2＝2390。所有整数的和是（1＋19）×19÷2＝

190。故这239个数中所有不是整数的分数的和为2390－190＝2200。【练习1】计

算下面各题①19＋20＋21＋22＋……＋83＋84②5＋9＋13＋……＋77＋81③1＋

8＋15＋......＋85＋92④67＋65＋63＋......＋5＋3＋1 ⑤（7＋9＋11＋ (25)

－（5＋7＋9＋ (23)

【例9】【练习2】计算下面各题：①1000－3－6－9－……－54 ②1－2＋3－4＋5－6＋……＋97－98＋99③82＋83＋78＋79＋80＋81＋78＋79＋77＋84④103＋99＋

103＋96＋105＋102＋98＋98＋101＋102⑤0.1＋0.3＋0.5＋0.7＋0.9＋0.11＋0.13＋

0.15＋……＋0.99

【例10】【练习3】高斯算法练习题：①在所有的两位数中，十位上的数字比个位上的数字大的，共有多少个？②有8个小朋友聚会，每两个人握一次手，一共要握多少

次手？③一把钥匙只能打开一把锁。现在有10把锁和可以打开它们的10把钥匙，

但全部放乱了。最多试多少次可以打开所有的锁？④从“19”开始每隔4个数写

出一个数，得到19，24，29，34，……，一直写到1999。一共写了多少个数？这

些数的总和是多少？⑤从大到小，由“1110”每隔8个数写出一个数来1110，1101，

1192，……，120，111。这些数一共有多少个？它们的和是多少？【练习4】高斯

算法练习题： 1.赤岭木材收购站有一堆圆木，它的每一层都比下一层少一根。小

敏数了数，它的最下一层是26根，一共有18层。你知道这堆圆木一共有多少根

吗？ 2.用1，2，3，5，7，8，10，13，17，和19这十个数能组成多少个最简真

分数？3.试求200到300之间7的倍数之和。4.在自然数中，有多少个三位数，

求它们的和。5.在三位数中有多少个是7的倍数，求它们的和。6.求整数中前100

个偶数的和。7.一个剧场设置了20排座位，第一排有38个座位，往后每一排都

比前一排多2个座位，这个剧场一共有多少个座位？8.一堆钢管，最底下一层是