高等数学之直线及其方程

思考题解答
s {2m, n, 6 p},
且有
s

0.

s
k

0,
s
i

0,

6 2m
p
0
0
p 6,

s

0,
n 0,
m 0,
故当 m 0, n 0, p 6时结论成立．
7
77 7
取所求直线的方向向量为 MN
MN {2 2,13 1, 3 3} { 12 , 6 , 24},
77 7
77 7
所求直线方程为 x 2 y 1 z 3 . 2 1 4
四、直线与平面的夹角
定义 直线和它在平面上的投影直线的夹
角 称为直线与平面的夹角．
因 A1, B1,C1与A2 , B2 ,C2 不成比例 故
A1 A2 ,B1 B2 ,C1 C2 不全为 0
从而
( A1x B1 y C1z D1) ( A2 x B2 y C2z D2 ) 0
表示一个平面 若一点 P 在 L 上 则点 P 的坐标必同时

p1 , p2
例如，直线 L1 : s1 {1,4, 0}, 直线 L2 : s2 {0,0,1},
s1 s2 0, s1 s2 , 即 L1L2 .
例 6 求过点(3, 2, 5) 且与两平面x 4z 3和 2x y 5z 1的交线平行的直线方程.
垂直相交的直线方程.
解 先作一过点M且与已知直线垂直的平面
3( x 2) 2( y 1) (z 3) 0
再求已知直线与该平面的交点N,
令 x1 y1 z t 3 2 1
x 3t 1


y

2t

1.
z t
代入平面方程得 t 3 , 交点 N (2 ,13 , 3)
这平面与已知平面垂直的条件是
(1 ) 1 (1 ) 1 (1 ) 1 0 1
所求平面方程为 y z 1 0
这就是过已知直线且垂直于平面 x y z 0 的平面的方程
它与已知平面 x y z 0 的交线： yz1 0 x yz0
解得 x 5, z 5
点坐标(5,1,5),
所求直线方程为 x 1 y 0 z 2 , 4 1 3
x 1 4t
参数方程

y

t
.
z 2 3t
解三
由
x y z 1 0 2x y 3z 4
. 0
两式相加得 3x 4z 5 0
解 因为直线过 M1, M2 两点 因此可取 M1M2 作为直线的方向向量
s M1M2 x2 x1, y2 y1, z2 z1
由点向式即得所求直线的方程为
x x1 y y1 z z1 x2 x1 y2 y1 z2 z1
——直线的两点式方程
例2 用对称式方程及参数方程表示直线


cos
2
.
sin
| Am Bn Cp | A2 B2 C 2 m2 n2 p2
直线与平面的夹角公式
直线与平面的位置关系：
(1)
L

A B C. mn p
(2) L // Am Bn Cp 0.
例 8 设直线L : x 1 y z 1，平面 2 1 2
x x0 y y0 z z0
m
n
p
直线的对称式方程
令 x x0 y y0 z z0 t
m
n
p
x x0 mt

y

y0

nt
z z0 pt
直线的参数方程
直线的一组方向数
方向向量的余弦称为 直线的方向余弦.
例1 求经过 M1( x1, y1, z1), M2( x2 , y2 , z2 ) 两点的直线方程
^ cos(L1, L2 )
| m1m2 n1n2 p1 p2 | m12 n12 p12 m22 n22 p22
两直线的夹角公式
两直线的位置关系：
(1) L1 L2 m1m2 n1n2 p1 p2 0,
(2)
L1 //
L2

m1 m2

n1 n2
0 .

2
L : x x0 y y0 z z0 , s {m, n, p},
m
n
p
: Ax By Cz D 0, n { A, B, C},
(s^,n)
2
(s^,n)
2
sin

cos
2

6 9
36
arcsin 7 为所求夹角．
36
五、平面束
设有直线 A1 x B1 y C1z D1 0 (1 )
L: A2 x B2 y C2z D2 0 (2 )
考虑
( A1x B1 y C1z D1) ( A2 x B2 y C2z D2 ) 0 其中 2 2 0
满足 1 和 2的方程 则点 P 的坐标也满足
因而
表示过 L的平面
对于 , 的不同值 表示过 L的所有平面
——过 L 的平面束
一般在具体应用时，常取 1或 1
而考虑缺 1 或 2 的平面束
( A1x B1 y C1z D1) ( A2 x B2 y C2z D2 ) 0 ( A1x B1 y C1z D1) ( A2 x B2 y C2z D2 ) 0
解 设所求直线的方向向量为 s {m, n, p},
根据题意知 s n1 , s n2 , 取 s n1 n2 {4,3,1},
所求直线的方程 x 3 y 2 z 5 .
4
3
1
例 7 求过点M (2,1,3)且与直线 x 1 y 1 z 3 2 1
即为所求的投影直线的方程
六、小结
空间直线的一般方程. 空间直线的对称式方程与参数方程. 两直线的夹角. （注意两直线的位置关系） 直线与平面的夹角.
（注意直线与平面的位置关系）
思考题
在直线方程 x 4 y z 2 中，m 、 2m n 6 p
n、 p各怎样取值时，直线与坐标面 xoy 、 yoz 都平行.
解 因为直线和 y轴垂直相交,
所以交点为 B(0,3, 0),
取 s BA {2, 0, 4},
所求直线方程 x 2 y 3 z 4 .
2
0
4
由以上几例可见，求直线方程的思路、步骤：
两定——定点、定向
例4 求过点A ( 1 , 2 ,－2 ) ,且通过直线 L
x 2 y 1 z 2 的平面方程
所求交点的坐标为 x 1, y 2, z 2
即交点为 M(1,2,2)
三、两直线的夹角
定义 两直线的方向向量的夹角称之.（锐角）
直线 L1 : 直线 L2 :
x x1 y y1 z z1 ,
m1
n1
p1
x x2 y y2 z z2 ,
m2
n2
p2
3
1
解 设所求平面的法向量为 n
由题设知点 M(2,1,2) 为直线L上一点
其方向向量
s
3i
j
k
由于所求平面通过点A及L

n
AM

i 3j
4k
n s AM
ijk 3 1 1
i 13 j 10k
1 3 4
例9
求直线
x y z1 0

x

y
Fra Baidu bibliotek
z
1

0
在平面 x y z 0 上的投影直线的方程
[分析] 过所给直线作一平面与已知平面垂直， 两平面的交线即位所求
解 过所给直线的平面束方程为
( x y z 1) ( x y z 1) 0
即
(1 )x (1 ) y (1 )z (1 ) 0
x y z 1 0 2x y 3z 4
. 0
解一 用点向式
在直线上任取一点 ( x0 , y0 , z0 )
取
x0
1


y0 y0
z0 2 0 , 3z0 6 0
解得 y0 0, z0 2
点坐标(1,0,2),
因所求直线与两平面的法向量都垂直
: x y 2z 3，求直线与平面的夹角. 解 n {1,1, 2}, s {2,1, 2},
sin
| Am Bn Cp |
A2 B2 C 2 m2 n2 p2
| 1 2 (1) (1) 2 2 | 7 .
直线及其方程
一、空间直线的一般方程
定义 空间直线可看成两平面的交线．
1 : A1 x B1 y C1z D1 0
z 1
2 : A2 x B2 y C2z D2 0
2

A1 A2
x x

B1 B2
y y

C1z C2z

D1 D2
0 0
L
由点法式得所求平面方程为
( x 2) 13( y 1) 10(z 2) 0
即 x 13 y 10z 5 0
例5 求直线 x 2 y 3 z 4 1 12
与平面 2x y z 6 0 的交点
解 所给直线的参数方程为
x 2t y 3 t z 4 2t 代入平面方程，得 2(2 t) (3 t) (4 2t) 6 0 解得 t 1 将 t 1 代入直线的参数方程，即得
x 1 (4z 5)
3
代入方程组得 y 1 (z 2)
x


1
(4z

3 5)
即
3 y 1 (z 2)
——称为投影方程
3
实际上这就是所求直线的参数方程
对称式方程
x5 y2 3 3
z
4 1 3
例 3 一直线过点 A(2,3,4)，且和 y轴垂直相
交，求其方程.
取 s n1 n2 {4,1,3},
对称式方程 x 1 y 0 z 2 , 4 1 3
x 1 4t
参数方程

y

t
.
z 2 3t
解二 用两点式 已求出一点 (1,0,2) 再求出一点
令 y 1 得
xz0 2x 3z 5
o
y
空间直线的一般方程 x
二、空间直线的对称式方程与参数 方程
方向向量的定义：
如果一非零向量平行于 一条已知直线，这个向量称 为这条直线的方向向量．
z s
L
M
M0
M0( x0 , y0 , z0 ), M( x, y, z),
o
y
M L, M0M// s x
s {m, n, p}, M0M {x x0 , y y0 , z z0 }