(完整word版)二项式定理(一)(教学设计)

《二项式定理》教学设计
宁波至诚学校 高三7 李加昌
一、教材分析
本概念选自人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学选修2-3》第一章第三节第一课时.第一节《计数原理》、第二节《排列组合》的学习为研究二项式定理奠定了基础，一方面是因为它的证明要用到计数原理，另一方面可以把它作为计数原理的一个应用，同时也为学习随机变量及其分布作准备．另外，由于二项式系数是一些特殊的组合数，由二项式定理可导出一些组合数的恒等式，二项式定理对本章知识与第二章知识的学习有承上启下的作用．
本节课要在用计数原理解决预设问题的基础上，得出二项式定理的猜想，并用计数原理给出证明．
二、学情分析
学生在此节内容之前已经学习了两个计数原理与排列组合问题，并能运用它们解决一些计数问题了；同时，在初中已经熟练掌握了2
()a b +的展开公式，也了解了3
()a b +的展开公式．但是，学生对于计数原理与这些多项式乘法运算公式之间的联系是陌生的，所以对于学生来说，如何建立它们之间的联系并猜想得出二项式定理是本节课的一个重点，并用计数原理证明二项式定理是本节课的一个难点．
三、教法分析
根据“最近发展区”的教学理论，把学习者原有的知识经验作为新知识的生长点，引导学习者从原有的知识经验中产生新的知识经验，需要教师精心设计问题，创新问题情境，贯穿启发式教学原则，调控问题的解决过程；采用“多媒体引导点拔”的教学方法以多媒体演示为载体，以“联想类比引导思考”为核心，设计课件与板书展示，引导学生积极思考探索，逐步达到即定的教学目标．
四、学法分析
”建构主义”强调，学生是信息加工的主体，是意义的主动建构者，因教必须以学为主立足点，根据学生的思维特点，让每一个学生自主参与整堂课的知识构建，在教学的各个环节中引导学生进行类比迁移归纳分析，对照学习；学生在教师营造的”可探索”的环境里，积极参与，生动活泼地获取知识，掌握规律，主动发现，主动发展．
五、教学手段
制作PPT 与Flash 动画教学课件，利用电脑等多媒体教学设备展现二项式定理的发现与证明过程，激发学生的学习兴趣，提高学习的效率．利用自制教具辅助引入问题的解决，增强数学活动的直观性。

六、教学目标 1.知识与技能：
(1)理解二项式定理是代数乘法公式的推广.
(2)理解并掌握二项式定理，能利用计数原理证明二项式定理.
2.过程与方法：
(1)通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归的意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式．
(2)引导学生用计数原理进行再思考，分析各项以及项的个数，这也为推导n
b a )(+的展开式提供了一种方法，使学生在后续的学习过程中有“法”可依．
3.情感、态度与价值观：
培养学生的自主探究意识、合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简洁和严谨．通过二项式定理的发现、推广、证明及杨辉三角历史的了解，进一步激发学生的学习兴趣，培养对科学的探究与钻研精神，渗透爱国主义教育，从而提高数学能力以及数学素养。

4.活动体验：
通过教师提出问题并引导学生主动探究、解决问题的过程，让学生在教学活动中主动发现、大胆猜想、主动发展，达到提高学习能力与渗透情感教育的目的．
七、教学重点、难点
重点：用计数原理分析3)(b a +的展开式，得到二项式定理．
难点：用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律.
用计数原理
以及组合数
推导
1)
(b
a+
2
)
(b
a+
3
)
(b
a+
展开式
(二) 归纳类比，提出猜想
问题：请同学们认真观察每个问题的结果及其结果的种数，是否联
想到我们非常熟悉的代数运算公式呢？
猜想：
)
(
)
(*
1
1
0N
n
b
C
b
a
C
b
a
C
a
C
b
a n
n
n
k
k
n
k
n
n
n
n
n
n∈
+
+
+
+
+
=
+-
-Λ
Λ
1、教师引导
学生观察教
师在黑板上
的板书，从结
构形式与数
值特征上展
开联想．
1、“建构主义”
观点认为：要把学习
者原有的知识经验作
为新知识的生长点，
通过教师引导学生对
问题的结果的观察类
比，实现旧知向新知
的迁移；
2、教师鼓励学生大胆猜
想，请一位同学上台板书猜想结果．
2、“联想”与“思考”是学习者意义建构的关键，学生通过对三个展开式的自主
探讨，亲历了知识的发生、发展、形成的过程，从而发现问题、提出问题，并在教师的引导下解决问题，达到了”创造性使用教材，培养学生的创新意识”的教学目
的，3、牛顿说过：没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现，通过观察归纳，培养学生的归纳猜想能力．
(三) 说理证明，形成定理
说理证明：
n b a )(+是n 个)(b a +相乘，相当于有n 个箱子，从每个箱子摸一个球，共摸出n 个球，n
a 相当于没摸出
b 球的结果，b a n 1
-相当于摸出1个b 球的结果，同学们看这个式子k
k
n b a
-，这相当于摸
出k 个b 球的结果，一直到n
b 相当于摸出n 个b 球的结果，，而每一项对应的系数就是每一种结果对应的种数．从而就出现我们今天
所要学习的非常重要的定理-----二项式定理．
等式的右边n
n n k k n k n n n n n b C b a C b a C a C +++++--ΛΛ110叫
做二项展开式．
教师通过课
件动画演示，
将课前的计
数问题推广到n 个盒子
的情形，说理证明二项展开式中每一项的意义，重点证明通项的意义．
郭沫若说过：“既异想天开，又实事求是，这是科学工作者特有的风格”．通过仿照
3)(b a +展开式的探
究方法，二项式定理的证明采用“说理”的方法，从计数原理的角度对展开过程进行分析，概括出项的形式，用组合知识分析展开式中具有同一形式的项的个数，从而得出用组合数表示的展开式，培养学生严谨推理的数学思维意识．
(四) 熟悉定理，发现特征
达尔文说过：科学就是整理事实，以便从
问题：进一步研究二项式定理，同学们可以发现二项展开式有哪些特征吗？
1. 项数：共有1+n 项.
2. 次数：各项字母a 、b 指数和都等于n ．
字母a 按降幂排列，次数由n 递减到0； 字母b 按升幂排列，次数由0递增到n ．
3. 二项展开式的通项: 式中的k k
n k
n b a
C -叫做二项展开式的通项. 用1+k T 表示.即通项为展开式的第+k １项: 1+k T =k
k
n k
n
b a
C -
4. 二项式系数: 依次为n
n k n n n n C C C C C ,,,,,,210ΛΛ，
这里),,1,0(n k C k
n ⋅⋅⋅=称为二项式系数.
1、教师从如何更熟练地记忆二项展开式的角度提出问题，引导学生观察展开式的特
征．
2、学生口答观察结果，教
师板书示范． 中得出普遍的规律或结论，通过对二项式定理进一步研究，发现二项展开式的一些特征，掌握规律；进一步提高学生归纳、推理的能力，强化对二项式定理的深度理解，为后面对二项式系数性质的研究作好准备，从根本上掌握
运用二项式定理解决
问题的原理．
（五）例题与练习
试试看1：
通过例题与练习，使学生最快掌握新知并巩固，且
能举一反三。

试试看2：（1）求
10
(1)
x-展开式中第6项的二项式系数．
（2）求
9
1
()
x
x
-
的展开式中3
x的系数．
试试看3：
巩固练习与活学活用
（1）求
9
3
()
3
x
x
+
展开式中常数项
（2）求
9
3
()
3
x
x
+
展开式中的中间两项:
（六）
（七）结束语
二项式定理最高中数学中一个非常重要的定理，最先由牛顿提
出，后来高斯进行了严格的证明．其实二项式系数的特征最早由我
国南宋时期杰出的数学家杨辉提出，中国古代数学史有自己的光辉
灿烂的篇章，作为现代的我们要更好的学习数学、应用数学，大胆
地猜想．牛顿说过：没有大胆的猜想，就不能有伟大的发现和发明．
教师激情讲
述二项式定
理的发现、发
展史
追溯二项式定理发
现、证明的历史，介
绍中国古代数学史，
激发学生的学习欲
望，弘扬科学的探究
与钻研精神，培养学
生的爱国主义情操．（八）布置作业。