精选题库高一 数学5-1北师大版
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第5模块 第1节
[知能演练]
一、选择题
1．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n
3n ＋1
，那么这个数列是
( )
A ．递增数列
B ．递减数列
C ．摆动数列
D ．常数列 解法一：∵a n ＋1－a n ＝2(n ＋1)3(n ＋1)＋1－2n
3n ＋1
＝2
[3(n ＋1)＋1](3n ＋1)
>0， ∴a n ＋1>a n ，数列{a n }为递增数列．
解法二：研究函数f (x )＝2x
3x ＋1
(x >0)的单调性，
f (x )＝2x ＋23－233x ＋1＝23(3x ＋1)－
233x ＋1＝23－23(3x ＋1)，∴f (x )＝2x
3x ＋1
在(0，＋∞)上单调递增，
∴f (n ＋1)>f (n )，故a n ＋1>a n ，数列{a n }为递增数列． 答案：A
2．数列{a n }中，a 1＝1，对于所有的n ≥2，n ∈N *，都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5
等于
( )
A.6116
B.259
C.2516
D.3115 解法一：由已知得a 1·a 2＝22，∴a 2＝4.
a 1·a 2·a 3＝32，∴a 3＝9
4，
a 1·a 2·a 3·a 4＝42，∴a 4＝16
9，
a 1·a 2·a 3·a 4·a 5＝52，∴a 5＝25
16
.
∴a 3＋a 5＝94＋2516＝61
16
.
解法二：由a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，得a 1·a 2·a 3·…·a n －1＝(n －1)2，∴a n ＝(n n －1
)2
(n ≥2)，
∴a 3＋a 5＝(32)2＋(54)2＝61
16
.
答案：A
3．若数列{a n }的通项公式a n ＝1
(n ＋1)2
，记f (n )＝2(1－a 1)·(1－a 2)…(1－a n )，试通过计算
f (1)，f (2)，f (3)的值，推测出f (n )为
( )
A.n ＋1n
B.n ＋3n ＋1
C.n ＋2n ＋1
D.n ＋3n ＋2
解析：f (1)＝2(1－a 1)＝32＝1＋2
1＋1
，
f (2)＝2(1－14)(1－19)＝43＝2＋2
2＋1
，
f (3)＝2(1－a 1)(1－a 2)(1－a 3)
＝2(1－14)(1－19)(1－116)＝54＝3＋2
3＋1
，
可猜测f (n )＝n ＋2
n ＋1
.
答案：C