专题4 探索规律问题

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聚焦济宁
请解答下列问题： (1)按以上规律列出第 5 个等式：a5＝； (2)用含有 n 的代数式表示第 n 个等式：an＝ (n 为 正整数)； (3)求 a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100 的值．
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类型二 图形规律
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聚焦济宁
例3 (2017·济宁)如图，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为1， 它的六条对角线又围成一个正六边形A2B2C2D2E2F2，如此继 续下去，则正六边形A4B4C4D4E4F4的面积是 先求A2B2C2D2E2F2的边长 找出两图形的相似比 然后求出A4B4C4D4E4F4的边长及面积即可． ．
长是_______________cm（用含n 的代数式表示）。
通过观察第一个图形为1个小正方形周长， 第二个相当于边长为3的正方形 第三个相当于边长为4.... 第n个图为：边长为n的正方形 4n
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聚焦济宁
正方形A1B1C1O和正方形A2B2C2C1按如图所示方式放置,A1、A2在 直线y=2x+1上,点C1,C2在x轴上,已知A1点的坐标是(0,1),则点 B2的坐标为___.
A．502 B．503 C．504 … D．505
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类型三 点的坐标规律 通常以平面直角坐标系为载体,探索图形在运动过程中的点 的运动规律 应先写出前几次的变化过程，并将相邻两次的变化过程进行 比对，逐步发现规律
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例4 (2017·东营)如图，在平面直角坐标系中，直线l：
y＝
A1OB1，过点A1作A1B2平行于x轴，交直线l于点B2，以A1B2为 于点B3，以A2B3为边长作等边三角形A3A2B3，…，则点A2
3 x－ 3 与x轴交于点B ，以OB 为边长作等边三角形 1 1 3 3
边长作等边三角形A2A1B2，过点A2作A2B3平行于x轴，交直线l
017
的横坐标是
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3．(2017·铜仁)观察下列关于自然数的式子： 4×12 －12 4×22 －32 4×32 －52 … 根据上述规律，则第2 017个式子的值是( ① ② ③ 4×n2-(2n-1)
D )
A．8 064
C．8 066
B．8 065
D．8 067
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n n 1
1 1 1 1 1 1 1 .... 2 2 3 3 4 n 1
重合，完成第二次旋转；…；在这样连续6次旋转的过程中，
点B，M间的距离可能是( )
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C(M)、D(N)、E(0)、F(K)、A(M)、B(N)、
C(0) D(N)、F(K)重合BM=DB-1=1.7-1=0.7 E(0)重合，BM=EB-MO=2-1.4=0.6 距离最远为1最近约为0.6 A．1.4 B．1.1 C．0.8 √ D．0.5
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3．(2013· 烟台)将正方形图①做如下操作：第 1 次： 分别连接各边中点如图②，得到 5 个正方形；第 2 次： 将图②左上角正方形按上述方法再分割如图③，得到 9 个正方形，……，以此类推，根据以上操作，若要得 到 2 013 个正方形，则需要操作的次数是( )
列出1.2.3 找出规律
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16． (15 分 )观察下列等式： 1 1 1 第 1 个等式：a1＝ ＝ × (1－ )； 3 1×3 2 1 1 1 1 第 2 个等式：a2＝ ＝ × ( － )； 3×5 2 3 5 1 1 1 1 第 3 个等式：a3＝ ＝ × ( － )； 5×7 2 5 7 1 1 1 1 第 4 个等式：a4＝ ＝ × ( － )； 7×9 2 7 9
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16． (15 分 )观察下列等式： 1 1 1 第 1 个等式：a1＝ ＝ × (1－ )； 3 1×3 2 1 1 1 1 第 2 个等式：a2＝ ＝ × ( － )； 3×5 2 3 5 1 1 1 1 第 3 个等式：a3＝ ＝ × ( － )； 5×7 2 5 7 1 1 1 1 第 4 个等式：a4＝ ＝ × ( － )； 7×9 2 7 9
通常是先给出一组数或式子，
通过观察、归纳这组数或式子的共性规律 写出一个一般性的结论． 关键是找出题目中的规律
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299 201
分子：2、5、8、11、14、17
分母：3、5、7、9、11、13
递增3
递增2
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2. (2016·绥化)古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，… 叫做三角数，它有一定的规律性．若把第一个三角数记为a1， 第二个三角数记为a2…第n个三角数记为an，计算a1＋a2，a2＋ 160 000 ． a3，a3＋a4，…，由此推算a399＋a400＝ ________ 4、9、16、25、36、49
n(n 1) 2
2n -1
n(n 1) 2
n2
n(n+1)
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常用方法： 1、观察法
易观察出结果为：
例2.探索规律：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729……，那么32009的个位 数字是 。
通过观察末位数字是周期循环的，找出其循环周期 易得出本题结果为：3
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且后面每个点的横坐标与它前面相邻点的横坐标 的差都是 2，过点 P1，P2，P3，…，Pn，Pn＋1 分别作 x 轴、y 轴的垂线段，构成若干个矩形，如图所示，将 图中阴影部分的面积从左至右依次记为 S1， S2， S3， …， Sn， 则 S1＝ 示)． ， Sn＝ (用含 n 的代数式 表
位长度的速度运动，则第2 017秒时，点P的坐标是( 找出变化周期
找出具体位置
)
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√
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8．(2017·安顺)如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝x
＋2交x轴于点A，交y轴于点A1，点A2，A3，…在直线l上，
点B1，B2，B3，…在x轴的正半轴上，若△A1OB1，△A2B1B2，
表示出S1 S2 S3 找出规律
谢谢观看
．
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y＝
3 x－ 3 3 3
由B1 求A1 由A1 求B2 由A1 、B2 求A2 .。。...A3 找出规律
1 3 7 15 、 、 、 、、、 2 2 2 2
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7．如图，半径为2的正六边形ABCDEF的中心在坐标原点O，
点P从点B出发，沿正六边形的边按顺时针方向以每秒2个单
n2
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例2
(2015·济宁)若1×22－2×32＝－1×2×7；
(1×22－2×32)＋(3×42－4×52)＝－2×3×11； (1×22－2×32)＋(3×42－4×52)＋(5×62－6×72) ＝－3×4×15； (7、11、15、19、23、、、 (4n＋3)
则(1×22－2×32)＋(3×42－4×52)＋…＋[(2n－1)· ＋1)(4n＋3)． (2n)2－2n(2n＋1)2]＝ －n(n ．
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常用方法： 二、函数法
例3.将一正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的 一个按同样的方法剪成更小的正三角形…，如此继续下去，结果如下
表：则an=
（用含n的代数式表示）
所剪次数 正三角形个 数 1 2 3 4 … n
4
7
10 13 … an
分析：对结果数据做求差处理（相邻两数求差，大数减小数） 正三角形个数：4、7、10、13 第一次求差 ： 3 3 3 第一次求差结果相等，用一次函数y=kx+b 代入（1、4）（2、7）解之得：y=3x+1
面积变化规律
至AO4C5B变化的次数
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√
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6．(2017·河北)已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均 为1，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB边重合，如图 所示．按下列步骤操作： 将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM边与BC边重 合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使MN边与CD边
专题四 探索规律问题
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根据给出的具有某种规律的数、式、图形，猜想其中蕴 含的规律 反映了由特殊到一般的数学方法,，探究所蕴含的本质规 律和共同特征，据此探索出一般性的结论． 考查归纳、概括、类比能力．
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济宁市中考试题经常考查探索规律类的试题．例如： 2017年第15题以正多边形为背景，考查了面积的变化规律； 2016年第15题给出一列数字，考查了其中的变化规律； 2015年第15题给出一组等式，考查了其中的变化规律； 2013年第9题以矩形、平行四边形为背景，考查了面积的变
△A3B2B3，…，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x
轴上，则第n个等腰直角三角形AnBn－1Bn顶点Bn的横坐标为
2n ＋1 －2 _______.
写出B1、B2、B3、B4 找出规律
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8 13．(2013· 自贡)如图，在函数 y＝ (x>0)的图象上 x 有点 P1，P2，P3，…，Pn，Pn＋1，点 P1 的横坐标为 2，
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图形规律： 给出一组图形的排列(或通过操作得到一系列的图形) 探求图形的变化规律，以图形为载体考查图形所蕴含 的数量关系． 从第一个图形进行分析，从特殊到一般的探索方式， 找出增加或减少的变化规律 用含有字母的代数式进行表示，最后用代入法求出特
殊情况下的数值．
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5．(2013·济宁)如图，矩形ABCD的面积为20 cm2，对角 线交于点O；以AB，AO为邻边作平行四边形AOC1B，对角线 交于点O1；以AB，AO1为邻边作平行四边形AO1C2B；…； 依此类推，则平行四边形AO4C5B的面积为( )
化规律．
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尤其注意三点： 1、常用字母n表示正整数，从1开始 2、在数据中，分清奇偶，记住常用表达式。 3、正整数…n-1,n,n+1… 奇数…2n-3,2n-1,2n+1,2n+3…
偶数…2n-2,2n,2n+2…
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常用规律： ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 1、4、9、16...... 1、3、6、10…… 1、3、7、15…… 1+2+3+4+……+n 1+3+5+……+(2n-1) 2+4+6+……+2n n2
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类型一 数式规律
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例1 (2016·济宁)按一定规律排列的一列数 请你仔细观察，按照此规律方框内的数字应 为 ．
质数（prime number）又称素数，有无限个。 质数定义为在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有 其他因数。
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类型一 数式规律
an=3n+1
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3、拆图法
如图，由若干火柴棒摆成的正方形，第①图用了4根火柴，第②图用了
7根火柴棒，第③图用了10根火柴棒，依次类推，第⑩图用 棒，摆第n个图时，要用 根火柴棒。 根火柴
通过观察每次增加3根火柴 第n个图为：（3n+1）根。
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3、拆图法
用边长为1cm的小正方形搭成如下的塔状图形，则第n次所搭图形的周