人教版高中数学选修(2-3)-1.3求展开式系数的六种常见类型

求展开式系数的六种常见类型

求展开式中的系数是高考常考题型之一,本文以高考题为例，对二项式定理试题中求展开式系数的问题加以归类与解析，供读者参考。

一 、)()

(*∈+N n b a n

型

例1．10()x 的展开式中64x y 项的系数是（ ） （A ）840 （B ）－840 （C ）210 （D ）－210

解析：在通项公式1r T +=

1010()r r r C x -中令r =4，即得10()x 的展

开式中64x y 项的系数为4

410(C =840,故选A 。

例2．8)1(x

x -

展开式中5x 的系数为 。

解析：通项公式r r r

r r

r

r x

C x

x

C T 2

388

88

1)1()1(--+-=-

= ，由题意得52

3

8=-

r ，则2=r ，故所求5x 的系数为28)1(282=-C 。

评注：常用二项展开式的通项公式求二项展开式中某特定项的系数，由待定系数法确定r 的值。

二 、),()()

(*∈+±+N m n d c b a m n

型

例3．843)1

()2(x

x x x ++-的展开式中整理后的常数项等于 .

解析；342()x x

-的通项公式为341241442()()(2)r r r r r r

r T C x C x x --+=-=-,令0412=-r ，则3=r ,这时得342()x x

-的展开式中的常数项为33

42C -=－32,

81()x x +的通项公式为8821881()k k k k k

k T C x C x x --+==,令028=-k ，则4=k ,这时得81()x x +的展开式中的常数项为48C =70，故843)1

()2(x

x x x ++-的展开式中常数项

等于387032=+-。

例4．在65)1()1(x x ---的展开式中，含3x 的项的系数是（ ） (A)5- (B) 5 (C) 10- (D) 10

解析：5)1(x -中3x 的系数3

5C -=10-, 6)1(x --中3x 的系数为3

36(1)C -⋅-=20,故65)1()1(x x ---的展开式中3x 的系数为10,故选D 。

评注：求型如),()()(*∈+±+N m n d c b a m n 的展开式中某一项的系数，可分别展开两个二项式，由多项式加减法求得所求项的系数。

三 、),()()

(*∈++N m n d c b a m n

型

例5．7

2)2)(1(-+x x 的展开式中3x 项的系数是 。

解析：7)2(-x 的展开式中x 、3x 的系数分别为617)2(-C 和43

7)2(-C ，故72)2)(1(-+x x 的展开式中3x 项的系数为617)2(-C +43

7)2(-C =1008。

例6．()()8

11x x -+的展开式中5x 的系数是（ ）

（A ）14- （B ）14 （C ）28- （D ） 28

略解：8)1(+x 的展开式中4x 、5x 的系数分别为48C 和5

8C ,故()()8

11x x -+ 展

开式中5x 的系数为45

8814C C -=,故选B 。

评注：求型如),()()(*∈++N m n d c b a m n 的展开式中某一项的系数，可分别展开两个二项式，由多项式乘法求得所求项的系数。

四 、)()

(*∈++N n c b a n

型

例7．5)21

2(++x

x 的展开式中整理后的常数项为 .

解法一：5

)212(++x x =5

2)12(⎥⎦

⎤⎢⎣⎡++x x ，通项公式521512()2k

k k k x T C x -+=+,

51()2k x x

-+的通项公式为5(5)152r r k r k r r k T C x x ------+-=525

52r r k k r k C x --+--=,令025=--k r ，则52=+r k ，可得2,1==r k 或1,3==r k 或0,5==r k 。

当2,1==r k 时，得展开式中项为11222

54

22C C -=

；

当1,3==r k 时,，得展开式中项为31

1522C C -=