5 第五章 材料中的扩散

Ⅱ 壁厚为d的管的扩散
内壁半径为r1，外壁半径为r2。管长为L。 扩散物质从管内向管外扩散，稳定后，内壁浓度为C1， 外壁浓度为C2，显然扩散是轴对称，浓度仅和r有关。 由扩散第一定律，有：
c 2c 因为 0且 D 2 0 t x 2c 2c 则 D（ 2 ＋ 2 ) 0 x y c c c c c 且 (D ) (D ) 0 t x x y y 化为简单式为 2C＝0 d dc 化为柱坐标，则： （r ) 0 dr dr
根据以上情况，有初始条件为：t＝0，x<0，则C=C2 x>0，则C=C1 边界条件： t≥0，x＝－∞，则C=C2 x＝+∞，则C=C1
x , 将C＝f（x，t）换为C＝f（）单变量函数关系。 2 Dt c dc dc x dc 根据拉氏变换： ( ) t d t d 4t Dt 2t d 令＝
2. 扩散第二定律 ☻描 述
绝大多数扩散过程是非稳态扩散，在第一章图中，棒 中各处浓度梯度随扩散时间不断发生变化，因此，这种情 况下第一定律就不能应用了。
第二定律就是针对浓度梯度随时间变化的情况的。
☻ 推导过程
dx J1 J2
见左图，阴影部分的微小体积。 J1和J2分别为流入小体积和从小体积 中流出的扩散物质通量。两平面面积 均为A。
柱坐标方程的通解为 C=A+Blnr 当r、c分别为r1、c1及r2、c2时 c1＝A+Blnr1 c2 =A+Blnr2 c -c c -c 其中A＝c1－ 2 1 lnr1 B= 2 1 ln( r2 r ) ln( r2 r ) 1 1 r2 )+c ln( r ) c ln( 1 2 （c -c ） r r1 c=c1 + 2 1 ln( r r )= 1 ln( r2 r ) ln( r2 r ) 1 1 dc 1（c2 -c1） 管壁各处的浓度梯度为： = dt r ln( r2 ) r1 1（c2 -c1） 因为J＝D r ln( r2 ) r1 则扩散t时刻后，单位长度管子扩散的物质总量为： （c -c ） M＝2πrtJ=2πtD 2 1 ln( r2 r ) 1 实验测出M后（通过收集气体中C的减少量），可计算D。
5.2 扩散的基本规律
1. 扩散第一定律（菲克（A.Fick）第一定律 ☻ 描述
金属中单个原子的运动时毫无规则的，若从大量 原子统计来看，可能存在定向的原子扩散流。
高温加热存在溶质浓度梯度的单相合金棒，溶质浓 度随时间的变化为：
C=C2 C2>C1 C=C1 J1 终态 C1 dx J2
浓 度 c
第五章 金属及合金的扩散
5.1 扩散概述 5.2 扩散的基本规律 5.3 扩散过程的热力学分析 5.4 扩散的微观机制 5.5 影响扩散的因素
5.1 扩 散 概 述
☻ 扩散是物理冶金中的一个重要现象，在合金的均
匀化、扩散型相变、高温下金属形变与再结晶中 都有大量应用。 ☻ 扩散是固体物质传输的唯一方式 在金属及合金中，原子依靠热振动进行无规则运 动，从一个位置到另一个位置的迁移过程，是物 质传输的一种方式，是物质中原子（分子）的迁 移现象。
2c dc dc 且 2 ( ) ( x x d x x d
1 dc d 1 1 d 2c ) ( ) d dx 2 Dt 2 Dt 4 Dt d 2
dc 1 d 2c 将以上两式代入扩散第二方程，可得： － D 2t d 4 Dt d 2
解：c)
x x2 有公式＝ 可知：D＝ 2 4t 2 Dt
当时间一定时，D与渗层的平方成正比， 设在某温度时渗层为x1＝0.1mm，在930 ℃时渗层为x 2＝0.05mm 则对应的扩散系数D1 / D 2 4, D1 4 exp(-34500/(1.987 所以D1 exp(-34500/1.987T2 算得：T2＝1331K，即T2＝1331－273＝1058℃
C1＋C2 C1－C2 ＋ erf（）中，当x＝0，β＝0，erf（ 2 2
渗碳
Cs C （ ％ ） t1
C1 温 度 （ ℃ ） γ
t1<t2<t3
t2 t3
α＋Fe3C
如图所示：随着渗 碳时间的增加，碳原子 不断向心部扩散，其浓 度分布与渗层深度均发 生相应的变化。
0
x
0
C（％） Cs
根据上述情况；取初始条件和边界条件为： 边界条件：t>0,x=0,β＝0,C=Cs 代入 C=0 A e d ＋B 求解方程，可得半无限长扩散偶的渗碳 扩散方程解为： x C Cs (Cs C1 )erf ( ) 2 Dt
推 导
ⅠⅡ
1 1 单位时间的扩散通量为 J (n1 n2 ) f b(c1 c2 ) f 2 2
而
b
c c1 c2 ( )b x
c J D( ) x
其中
则：
1 2 D b f 2
表示X，Y，Z三个方向上的扩散通量时，可以写成普通式：
1 2 c c J x b f x ( ) Dx ( ) 2 x x 1 c c J y b 2 f y ( ) Dy ( ) 2 y y 1 2 c c J z b f z ( ) Dz ( ) 2 z z
☻ 应用举例 Ⅰ 厚度为d的薄板，两侧表面的坐标分别为x＝0，x＝
d，浓度分别为C1，C2。
c2 c1 c dc J D ( ) 常数 常数= x dx d 板内任一处的浓度c( x)为 x 且 c( x)＝ (c2 c1 ) c1 d 通过板的任一处的扩散流量是相同的， c2 c1 即： J＝－D d 实验中通过测得J可得D
J
—— 扩散通量， Kg
m-2 s-1 或 Kg m-2 s-1
☻证 明
已知条件
金属棒x轴方向上有浓度梯度 ，垂直浓度梯度有一 系列原子面，邻近原子面浓度梯度很小，迁移是经过一系 列任意地由一个位置至另一个位置的跳跃而实现的。 一定成分下，每单个原子所做的跳跃的平均频率 f 是恒量，跳跃长度为b，一系列原子面具有单位面积，平 面内Ⅰ有 n1 个，原子扩散原子浓度为C1，平面Ⅱ内有n2 个原子，扩散原子浓度为C2。 则 n 1＝ C1b， n 2＝ C2b 在短时间内δt，跳离平面Ⅰ的原子数为 n1fδt，而平 面Ⅰ跳至平面Ⅱ的原子数为1/2 n1fδt，同样平面Ⅱ跳至 平面Ⅰ的原子数为1/2 n2fδt。
d 2c dc 即： 2 ＝－2 d d 2 2 dc dy dc 令y , 于是 ＝－2 d ，经积分有：y A1e ，则：dc A1e d d y d 再经积分为： C= A1e d ＋A 2
2

0
根据初始条件与所设＝
x ，可知t 0时x<0，C=C2，＝－ 2 Dt 且x>0，C=C1，＝
2
将高斯误差积分： e
0

d ＝ 且

2
带入以上积分 C2＝－A1
＋A 2 2 2 （ 2 C1－C2） C ＋C 2 于是：A1＝ ， 且 A 2＝ 1 2 2 C1＋C2 C1－C2 2 2 代入有： C＝ ＋ e d 0 2 2 2 2 2 上式中， e d 为误差函数 erf （ ），即 erf （ ）＝
原始态 C2
距离x
☻ 应用条件
菲克1855年指出，在单位时间内通过垂直扩散方向的 某一单位面积截面物质流量（扩散通量J）与此时的浓度 梯度成正比，条件是在稳态时，即一定区域内浓度梯度不 随时间而变化。 即：
c 0 t
c 时 J D( ) x
C ——体积浓度，即单位体积中扩散物质的质量， Kg/m3 D ——扩散系数，符号表示扩散物质流的方向与浓度下降 的方向相一致， m2 s－1 或 cm2 s－1
2

x=∞,β＝∞,C=C1
☻ 举 例
1. 渗 碳
一块0.1％C的钢在930℃渗碳，渗到0.5mm的地方 碳浓度达到0.45％，在t >0的全部时间内，渗碳气氛始终 保持在表面成分为1％，假设D＝1.4×10－7cm2/s。 a）计算渗碳时间。
b）若将渗层增加一倍所需时间。
c）设D＝0.25exp（－34500/RT）cm2/s。若在某 温度渗碳在0.1cm处为0.45%C与930℃在 0.05cm处达同样浓度所需时间相同，渗碳温度为多少？
三维扩散问题
＝
t
c
x
( Dx
c x
)
y
( Dy
c y
)
z
( Dz
c z
)
如果浓度梯度是球对称的，而D为恒量，则： c t D( c
2
r
2

2 c r r
)
通常把D当作恒量来处理，实际上是随浓度而变化。
☻应 用
两端成分不受扩散影响的扩散偶——误差函数解 设有两根很长，且截面相同的固溶体合金棒对焊 连接，形成扩散偶。其中，A棒的溶质浓度为C2，B 棒的为C1，各棒成分均匀。令垂直于扩散方向X轴的 对焊分界面为坐标原点（X＝0）。如图：
体积积存物质通量＝流入的物质量－流出的物质量
J2 J dx J1 x 流量表示积存速率 J Adx......⑴ x
物质积存速率为：J1A－J2A＝－ 稳态扩散时：J1＝J2，且
J ＝0 x J 非稳态扩散时：J1 J2，且 0 x 若用体积浓度c的变化速率表示物质积存速率 （CAdx） c 则： ＝ Adx......⑵ t t c J c 联系⑴和⑵两个方程，约去Adx， ＝－ , J D t x x c c 由此有： ＝ （D ），即扩散系数D与扩散物质浓度无关， t x x c 2c 则 ＝D（ 2 ）——扩散第二方程 t x