湖南省长郡中学2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题(含答案)
湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题
湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A ．13a b+B ．23a + 5．若函数(0x y a a =>，且1)a ≠的图象过点A ．．C ．．已知()()(2f x m x m x m =-+，若命题“R x ∀∈，()f x <二、多选题12．定义在R 上的函数()f x 满足()()()4,21f x f x f x -=-+为偶函数，()12f =，函数()()g x x ∈R 满足()()2g x g x =-，若()y f x =与()y g x =恰有2023个交点，从左至右依次为()()1122,,,,x y x y ，()20232023,x y ，则下列说法正确的是（）A ．()f x 为奇函数B ．2为()y f x =的一个周期C ．10122y =D ．12320232023x x x x ++++= 三、填空题四、解答题(1)求,,,A K ωϕ的值；(2)盛水筒出水后至少经过多少时间就可到达最高点？20．已知函数()sin f x ω=(1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)设()π,πx ∈-，求不等式21．已知函数()f x ，对于任意的()0f x <，且()112f =-.(1)判断()f x 的奇偶性和单调性；(2)设函数()(2g x f x m =-围.22．已知函数()e x f x =-(1)求k 的值；(2)设函数()()g x a f x ⎡=-⎣。
2019-2020学年湖南省长沙市长郡中学高一(上)期末数学试卷
2019-2020学年湖南省长沙市长郡中学高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共15小题，每小題3分，45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 已知集合U＝{1, 3, 4, 5, 7, 9}，A＝{1, 4, 5}，则∁U A＝（）A.{3, 9}B.{7, 9}C.{5, 7, 9}D.{3, 7, 9}2. 函数y=√x−1+lg(3−x)的定义域为（）A.(1, 3)B.[1, 3)C.(3, +∞)D.[1, +∞)3. 若函数f(x)＝x2+mx−4m在区间[−1, 4]上单调，则实数m的取值范围为（）A.(−∞, −8]∪[2, +∞)B.[2, +∞)C.(−∞, −8]D.(−∞, −2]∪[8, +∞)4. 函数y=3x3x+2x的值域为（）A.(0, +∞)B.(−∞, 1)C.(1, +∞)D.(0, 1)5. 已知函数f(x)是定义在(0, +∞)上的增函数，对于任意实数x，y∈(0, +∞)都满足f(xy)＝f(x)+f(y)，若f(3)＝1且f(m)<f(1−m)+2，则实数m的取值范围为（）A.(0, 1)B.(0, 2)C.(910,1) D.(0,910)6. 设a＝log1314，b＝(14)14，c＝(13)13，则a，b．c的大小关系是（）A.a<b<cB.c<b<aC.b<c<aD.c<a<b7. 幂函数的图象经过点(12,2)，若0<a<b<1，则下列各式正确的是（）A.f(a)<f(b)<f(1b )<f(1a) B.f(1a)<f(1b)<f(b)<f(a)C.f(a)<f(b)<f(1a )<f(1b) D.f(1a)<f(a)<f(1b)<f(b)8. 对于一个声强为I为（单位：W/m2）的声波，其声强级L（单位：dB）可由如下公式计算：L＝10lg II0（其中I0是能引起听觉的最弱声强），设声强为I1时的声强级为70dB，声强为I 2时的声强级为60dB ，则I 1是I 2的（ ）倍 A.10 B.100C.1010D.100009. 已知函数f(x)=3sin (2x −π3)，下列结论中正确的是（ ） A.函数f(x)的最小正周期为2π B.函数f(x)的图象关于直线x =π6对称 C.函数f(x)的图象关于点(−π6,0)对称 D.函数f(x)在(−π12,5π12)内是增函数10. 为了得到函数y ＝3sin 2x +1的图象，只需将y ＝3sin x 的图象上的所有点（ ） A.横坐标伸长2倍，再向上平移1个单位长度 B.横坐标缩短12倍，再向上平移1个单位长度 C.横坐标伸长2倍，再向下平移1个单位长度 D.横坐标缩短12倍，再向下平移1个单位长度11. 扇形周长为6cm ，面积为2cm 2，则其圆心角的弧度数是（ ） A.1或5 B.1或2 C.2或4 D.1或412. 若A 、B 是锐角△ABC 的两个内角，则点P(cos B −sin A, sin B −cos A)在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限13. 已知函数f(x)=3sin (π2x +2)，若对于任意的x ∈R ，都有f(x 1)≤f(x)≤f(x 2)成立，则|x 1−x 2|的最小值为（ ） A.4 B.1 C.12D.214. 已知平面向量a →=(1, −3)，b →=(4, −2)，若λa →−b →与a →垂直，则实数λ＝（ ） A.−1 B.1 C.−2 D.215. 如图，圆O 是边长为2的正方形ABCD 的内切圆，若P ，Q 是圆O 上两个动点，则AP →⋅CQ →的最小值为（ ）A.−6B.−3−2√2C.−3−√2D.−4二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分.）计算：(−8125)−23+log 3√2743−log 29⋅log 32=________．若f(x)对于任意实数x 都有2f(x)−f(1x )=2x +1，则f(12)=________．已知sin α+2cos αsin α−2cos α=5，则cos 2α+12sin 2α=________．已知sin (α2−π4)=√210，则sin α＝________．若存在正整数ω和实数φ使得函数f(x)＝sin 2(ωx +φ)的部分图象如图所示，则ω的值为________．三、解答题[本大题共5小题，每小题8分，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）若函数f(x)=ax 2+1bx+c是奇函数，(a, b, c ∈N)且f(1)＝2，f(2)<3．（1）求实数a ，b ，c 的值；（2）判断函数f(x)在(−∞, −1]上的增减性，并证明．设向量a →=(cos α, λsin α)，b →=(cos β, sin β)，其中λ>0，0<α<β<π2，且a →+b →与a →−b →相互垂直． （1）求实数λ的值；（2）若a →⋅b →=45，且tan β＝2，求tan α的值．已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2，点N 、M 满足AN →=λAB →，AM →=(1−λ)AC →，λ∈R ，设AC →=a →，AB →=b →．（1）试用向量a →和b →表示BM →，CN →；（2）若BM →⋅CN →=−32，求λ的值．将函数g(x)=4sin x cos (x +π6)的图象向左平移φ(0<φ≤π2)个单位长度后得到f(x)的图象．（1）若f(x)为偶函数，求f(φ)的值；（2）若f(x)在(π,76π)上是单调函数，求φ的取值范围．已知函数f(x)＝|x −a|−1，（a 为常数）．（1）若f(x)在x ∈[0, 2]上的最大值为3，求实数a 的值；（2）已知g(x)＝x ⋅f(x)+a −m ，若存在实数a ∈(−1, 2]，使得函数g(x)有三个零点，求实数m 的取值范围．参考答案与试题解析2019-2020学年湖南省长沙市长郡中学高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共15小题，每小題3分，45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.【答案】D2.【答案】B3.【答案】A4.【答案】D5.【答案】D6.【答案】B7.【答案】B8.【答案】A9.【答案】D10.【答案】B11.【答案】D12.【答案】B13.【答案】 D 14. 【答案】 B 15.【答案】 B二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分.） 【答案】 4【答案】 3【答案】 25【答案】2425【答案】 2三、解答题[本大题共5小题，每小题8分，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 【答案】根据题意，函数f(x)=ax 2+1bx+c是奇函数，(a, b, c ∈N)且f(1)＝2，则f(−1)＝−2，又由f(2)<3，则有{ a+1b+c =2a+1−b+c =−24a+12b+c <3 且a 、b 、c ∈N ，解可得a ＝1，b ＝1，c ＝0；由（1）可得：f(x)=x 2+1x=x +1x ，函数f(x)在(−∞, −1]上为增函数，设x 1<x 2≤−1，f(x 1)−f(x 2)＝(x 1+1x 1)−(x 2+1x 2)=(x 1x 2−1)(x 1−x 2)x 1x 2，又由x 1<x 2≤−1，则(x 1−x 2)<0且(x 1x 2−1)>0， 则有f(x 1)−f(x 2)<0，故函数f(x)在(−∞, −1]上为增函数． 【答案】由a →+b →与a →−b →互相垂直，可得(a →+b →)⋅(a →−b →)=a →2−b →2＝0， 所以cos 2α+λ2sin 2α−1＝0，又因为sin 2α+cos 2α＝1，所以(λ2−1)sin 2α＝0， 因为0<α<π2，所以sin 2α≠0，所以λ2−1＝0，又因为λ>0，所以λ＝1．由（1）知a →=(cos α, sin α)，由a →⋅b →=45，得cos αcos β+sin αsin β=45，即cos (α−β)=45，因为0<α<β<π2，所以−π2<α−β<0， 所以sin (α−β)=−√1−cos 2(α−β)=−35， 所以tan (α−β)=sin (α−β)cos (α−β)=−34，因此tan α＝tan (α−β+β)=tan (α−β)+tan β1−tan (α−β)tan β=12． 【答案】BM →=AM →−AB →=(1−λ)AC →−AB →=(1−λ)a →−b →； CN →=AN →−AC →=λAB →−AC →=λb →−a →； BM →⋅CN →=−32，即[＝(1−λ)a →−b →]•(λb →−a →)＝[λ(1−λ)+1]a →⋅b →−λb →2−(1−λ)a →2＝(λ−λ2+1)⋅2⋅2⋅12−4λ−4(1−λ)=−32， 化为4λ2+1−4λ＝0，解得λ=12．【答案】∵ g(x)=4sin x(√32cos x −12sin x)=√3sin 2x −(1−cos 2x)=2sin (2x +π6)−1， ∴ 函数g(x)＝2sin (2x +π6)−1的图象向左平移φ(0<φ≤π2)个单位长度后得到f(x)=2sin (2x +π6+2φ)−1的图象，又f(x)为偶函数，则π6+2φ=π2+kπ(k ∈Z)，∵ 0<φ≤π2，∴ φ=π6，∴ f(x)＝2sin (2x +π2)−1＝2cos 2x −1，f(φ)＝f(π6)＝2cos π3−1＝0． ∵ x ∈(π,7π6)，∴ 2x +π6+2φ∈(2π+π6+2φ,2π+π2+2φ)， ∵ 0<φ≤π2，∴ π6+2φ∈(π6,7π6]，π2+2φ∈(π2,3π2]，∵ f(x)在(π,7π6)上是单调函数．∴ π6+2φ≥π2，且0<φ≤π2，∴ φ∈[π6,π2]． 【答案】f(x)={x −a −1,x ≥a−x +a −1,x <a，当a ≥1时，f(x)max ＝f(0)＝3，∴ a ＝4； 当a <1时，f(x)max ＝f(2)＝3，∴ a ＝−2； 综上：a ＝4或−2．g(x)＝x|x −a|−x +a −m ＝0有三个零点，等价于ℎ(x)＝x|x −a|−x +a 和y ＝m 有三个不同的交点， ℎ(x)={x 2−ax −x +a,x ≥a−x 2+ax −x +a,x <a ，当1≤a ≤2时，ℎ(x)在(−∞, a−12)上递增，在(a−12, a+12)递减，在(a+12, +∞)递增；∴ 0<m <ℎ(a−12)，即0<m <(a+1)24∈(1, 94]，∴ 0<m <94．当−1<a <1时，ℎ(x)在(a−12, a+12)上递减，在(−∞, a−12)(a+12, +∞)上递增；∴ ℎ（(a+12)<m <ℎ(a−12)即−(a−1)24<m <(a+1)24，∴ −1<m <94．。
2019-2020学年湖南省高一(上)期末数学试卷
2019-2020学年湖南省高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）已知集合{|13}A x x =-<<，{|10}B x x =-<，则()(R A B =⋂ð ) A ．{|13}x x <„B ．{|11}x x -<„C ．{|12}x x <„D ．{|13}x x 剟2．（4分）函数()(1)f x lg x =+的定义域是( ) A ．[1-，2] B ．(1-，2]C ．(1，2]D ．(1,2)3．（4分）已知a =，b =c =，则( ) A ．b c a <<B ．a b c <<C ．a c b <<D ．c a b <<4．（4分）函数5()()42x f x =-的零点所在的区间是( )A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(0,1)5．（4分）已知l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且//l α，m β⊥，则下列命题中为真命题的是( ) A ．若//αβ，则//l β B ．若αβ⊥，则l m ⊥ C ．若l m ⊥，则//l βD ．若//αβ，则m α⊥6．（4分）若直线20x y ++被圆224x y +=截得的弦长为(m = )AB ．5C ．10D ．257．（4分）已知圆柱的底面圆的面积为9π，高为2，它的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为( ) A ．16πB ．20πC ．40πD ．403π8．（4分）函数2(31),1()3,1a log x x f x ax x a x +>⎧=⎨-++⎩„在R 上单调递增，则a 的取值范围是( )A ．3(1,)2B ．3[2C ．D ．3(1,]29．（4分）已知(2,0)A -，(2,0)B ，点P 是圆22:(3)(1C x y -+-=上的动点，则22||||AP BP +的最小值为( ) A ．9B ．14C ．18D ．2610．（4分）设1x ，2x ，3x 分别是方程3log 3x x +=，3log (2)x x +=-，4x e lnx =+的实根，则( ) A ．123x x x <+B ．213x x x <<C ．231x x x <<D ．321x x x <<二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 11．（4分）若直线220x y -+=与3(5)10x a y +-+=平行，则a 的值为 ． 12．（4分）已知点(3,1)A ，(1,3)B -，则以线段AB 为直径的圆的标准方程为 ． 13．（4分）若幂函数222()(22)mmf x m m x -=+-在(0,)+∞上为减函数，则m = ．14．（4分）已知圆221:(2)(1)10C x y -+-=与圆222:66C x y x y ++-=，则两圆的公共弦所在的直线方程为 ．15．（4分）如图，在ABC ∆中，AB BC ⊥，D ，E 分别为AB ，AC 边上的中点，且4AB =，2BC =．现将ADE ∆沿DE 折起，使得A 到达1A 的位置，且160A DB ∠=︒，则1A C = ．三、解答题：本大题共5小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（6分）已知直线l 的方程为43120x y ++=，1l 与l 垂直且过点(2,3)--． （1）求直线1l 的方程；（2）若直线2l 经过1l 与l 的交点，且垂直于x 轴，求直线2l 的方程． 17．（8分）（1）求值0.5021()(3)16π-+-；（2）求值21log 5400222lg lg +-+．18．（8分）已知圆C 的圆心在x 轴正半轴上，且圆C 与y 轴相切，点(2,4)P 在圆C 上． （1）求圆C 的方程；（2）若直线:(1)40l m x y m ++++=与圆C 交于A ，B 两点，且||8AB =，求m 的值． 19．（8分）如图，在三棱锥P ABC -中，AB BC ⊥，3AB =，4BC =，AC AP =，PA ⊥平面ABC ，过A 作AD PB ⊥于D ，过D 作DE PC ⊥于E ，连接AE ． （1）证明：AE PC ⊥． （2）求三棱锥P ADE -的体积．20．（10分）已知函数22()3x xe ef x -+=，其中e 为自然对数的底数．（1）证明：()f x 在(0,)+∞上单调递增； （2）函数25()3g x x =-，如果总存在1[x a ∈-，](0)a a >，对任意2x R ∈，12()()f x g x …都成立，求实数a 的取值范围．。
2020-2021学年湖南省长沙市长郡中学高一(上)期末数学复习卷 (解析版)
2020-2021学年湖南省长沙市长郡中学高一(上)期末数学复习卷一、选择题（本大题共15小题，共45.0分）1. 已知全集U ={0,1，2，3，4}，若A ={0,2，3}，B ={2,3，4}，则(∁U A)∩(∁U B)=( )A. ⌀B. {1}C. {0,2}D. {1,4} 2. 函数f(x)=√x+12x −1+lg(2−x)的定义域为( )A. [−1,2)B. (−1,0)∪(0,2)C. [−1,0)∪(0,2)D. (−1,0)∪(0,2]3. 已知扇形的弧长是4，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是( )A. 1B. 2C. 4D. 1或44. 下列各组向量中，可以作为基底的是( )A. e 1⃗⃗⃗ =(0,0),e 2⃗⃗⃗ =(1,2)B. e 1⃗⃗⃗ =(2,−3),e 2⃗⃗⃗ =(12,−34) C. e 1⃗⃗⃗ =(−1,2),e 2⃗⃗⃗ =(5,7) D. e 1⃗⃗⃗ =(3,5),e 2⃗⃗⃗ =(6,10) 5. 已知向量a ⃗ =(1,−2)，b ⃗ =(m,4)，且a ⃗ //b ⃗ ，那么2a ⃗ −b ⃗ 等于( )A. (4,0)B. (0,4)C. (4,−8)D. (−4,8)6. 函数f(x)=2x +3x 的零点所在的一个区间是( )A. (−2,−1)B. (−1,0)C. (0,1)D. (1,2) 7. 如图所示，M 是边AB 的中点，若CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，CA⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. 2b ⃗ −2a ⃗B. a ⃗ +2b ⃗C. 2a ⃗ −2b ⃗D. 2a ⃗ +b ⃗8. 函数y =x +cosx 的大致图象是( )A. B. C. D.9. 若a ⃗ 为任一非零向量，b ⃗ 为模为1的向量，下列各式： ①|a ⃗ |>|b ⃗ |; ②a ⃗ //b ⃗ ; ③|a ⃗ |>0; ④|b ⃗ |=±1.其中正确的是( )A. ① ④B. ③C. ① ② ③D. ② ③ 10. 函数y =2sin(2x +π3)的图象( )A. 关于原点对称B. 关于y 轴对称C. 关于直线x =π6对称D. 关于点(−π6,0)对称 11. 已知，则的值为( )． A. −√22 B. √22C. −1D. 1 12. 已知单位向量a ⃗ ，b ⃗ 的夹角为π3，那么|a ⃗ +2b ⃗ |=( )A. 2√3B. √7C. 2√7D. 4√3 13. 设函数f(x)={(12)x −1,x ≤0√x,x >0，若f(x 0)>1的取值范围是( )A. (−1,1)B. (−1,+∞)C. (−∞,−2)∪(0,+∞)D. (−∞,−1)∪(1,+∞) 14. 已知函数f(x)=√3cos (2x −π2)−cos 2x ，若要得到一个奇函数的图象，则可以将函数f(x)的图象( )A. 向左平移π6个单位长度B. 向右平移π6个单位长度 C. 向左平移π12个单位长度 D. 向右平移π12个单位长度15. 已知函数f(x)={2−x −1(x ≤0)f(x −1)(x >0)，若方程f(x)=x +a 有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是( )A. (−∞,1]B. (0,1)C. [0,+∞)D. (−∞,1)二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）16. 化简：(a √a)13=________． 17. 已知sinα−cosα=−54，则sinαcosα=______．18. 已知幂函数y =f(x)的图象过点(12,√22)，则f(4)的值为______． 19. 函数y =log 2(−x 2+4x +5)的单调递增区间是____________．20. 如图，半径为2的扇形的圆心角为120°，M ，N 分别为半径OP ，OQ 的中点，A 为P ̂Q 上任意一点，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是______ ． 三、解答题（本大题共5小题，共40.0分）21. 已知函数y =Asin (ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的图象过点P (π12,0)，图象上与P 点最近的一个最高点坐标为(π3,5)．(1)求函数解析式；(2)指出函数的增区间；(3)求使y ≤0的x 的取值范围．22. 已知函数f (x )=log 21−x1+x ．(1)求函数的定义域；(2)判断函数的奇偶性，并给予证明；(3)求不等式f(x)>1的解集．23.已知向量a⃗=(sinθ,−2)与b⃗ (1,cosθ)互相垂直，其中θ∈(0,π2).(1)求sinθ和cosθ的值；(2)若sin(θ−φ)=2√55，0≤φ<π2，求sinφ的值．24.某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨为3.00元．某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x吨，3x吨．(1)求y关于x的函数；(2)若甲、乙两用户该月共交水费26.40元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费．25. 定义在D 上的函数f(x)，如果满足：对任意x ∈D ，存在常数M >0，都有|f(x)|≤M 成立，则称f(x)是D 上的有界函数，其中M 称为函数f(x)的上界．已知函数f(x)=1+a ⋅(12)x +(14)x(1)当a =1，求函数f(x)在(−∞,0)上的值域，并判断函数f(x)在(−∞,0)上是否为有界函数，请说明理由；(2)若函数f(x)在[0,+∞)上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：考查列举法表示集合的概念，以及补集、交集的运算．进行交集、补集的运算即可．解：∁U A={1,4}，∁U B={0,1}；∴(∁U A)∩(∁U B)={1}．故选B．2.答案：C解析：本题考查了函数定义域的求法，解答的关键是使构成函数式的每一部分都要有意义，属基础题．根据“让解析式有意义”的原则，对数的真数大于0，偶次根式的根号内式子大于等于0，分母不等于0，建立不等式组，解之即可．解：要使原函数有意义，则{2−x>0 x+1≥0 2x−1≠0,解得{x<2x≥−1x≠0，即x∈[−1,0)∪(0,2)，∴函数f(x)的定义域为[−1,0)∪(0,2)，故选C．3.答案：C解析：解：因为扇形的弧长为4，面积为2，所以扇形的半径为：12×4×r=2，解得：r=1，则扇形的圆心角的弧度数为41=4．故选：C．利用扇形的面积求出扇形的半径，然后求出扇形的圆心角．。
湖南省2019-2020学年高一上学期期末数学试卷 (有解析)
湖南省2019-2020学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1. 已知集合A ={x|−2<x <2}，B ={x|(x −1)(3−x)>0}，则A ∩(∁R B)=( )A. (−2,3)B. (−2,1)C. (−2,1]D. (1,2)2. 函数f(x)=√x −3+log 3x 的定义域是( )A. (0,3)B. [0,+∞)C. [3,+∞)D. (−∞,3] 3. 已知a =√3，b =12516，c =log 47，则下列关系正确的是( )A. b <a <cB. a <b <cC. b <c <aD. c <a <b4. 函数f(x)=x +3x 的零点所在的区间为( )A. (−2,−1)B. (−1,0)C. (0,1)D. (1,2)5. 设m ，n ，l 为空间不重合的直线，α，β，γ是空间不重合的平面，则下列说法准确的个数是( )①m//l ，n//l ，则m//n ；②m ⊥l ，n ⊥l ，则m//n ；③若m//l ，m//α，则l//α； ④若l//m ，l ⊂α，m ⊂β，则α//β；⑤若m ⊂α，m//β，l ⊂β，l//α，则α//β⑥α//γ，β//γ，则α//β．A. 0B. 1C. 2D. 36. 直线x +y =1被圆x 2+y 2=4截得的弦长为( )．A. √14B. 2√14C. 2√7D. √77. 已知圆锥的高为5，底面圆的半径为√5，它的顶点和底面的圆周都在同一个球的球面上，则该球的表面积为( )A. 4πB. 36πC. 48πD. 24π8. 已知函数f(x)={x −1,x ≤1lnx,x >1，则满足f(1−t)<f(1+t)的t 的取值范围是( ) A. (−∞,0) B. (−1,0) C. (0,+∞) D. (0,1)9. 已知A(1,0)，B(−1,0)，点P 为圆x 2+y 2=1上的动点，则|PA|+|PB|的最大值是( )A. 2B. 2√2C. 4D. 4√210. 方程log 2x =7−x 的实根x 0∈(n,n +1)，则整数n =( )．A. 2B. 3C. 4D. 5二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）11. 若直线l 1:2x +(m +1)y +4=0与直线l 2:mx +3y −2=0平行，则m 的值为____.12. 已知点A(−2,3)，B(6,−1)，则以线段AB 为直径的圆的标准方程是______．13.若幂函数f(x)=(m2−4m+4)·x m2−6m+8在(0,+∞)上为增函数，则m的值为________．14.已知两圆C1：x2+y2=10，C2：x2+y2−2x+2y−14=0，则经过两圆交点的公共弦所在的直线方程为________．15.已知PA垂直于△ABC所在的平面，AB=AC=5，BC=6，PA=8，则P到BC的距离为______三、解答题（本大题共5小题，共40.0分）16.设A、B为x轴上两点，点P的横坐标为2，直线PA的方程：x−y+1=0．(1)若|PA|=|PB|，求直线PB的方程．(2)若直线l:(m2−2)x+my+1=0与直线PA垂直，求m的值．17.化简求值：(1)(279)12−(2√3−π)0+0.25−32;(2)2lg5+23lg8+lg5⋅lg20+(lg2)2．18.已知点P(2,0)及圆C：x2+y2−6x+4y=0，若过点P的直线l与圆C交于M，N两点，且|MN|=4√2，求直线l的方程．19.如图，四棱锥P−ABCD的底面ABCD是矩形，侧面PAD是等腰直角三角形，∠APD=90°，平面PAD⊥平面ABCD．(1)求证：PA⊥PC．(2)若AD=4，AB=8，求三棱锥P−ABD的体积．(3)在(2)的条件下，求四棱锥P−ABCD的外接球的表面积．20.定义在[−4,4]上的奇函数f(x)，已知当x∈[−4,0]时，f(x)=14x +a3x(a∈R)．(1)求f(x)在[0,4]上的解析式．(2)若x∈[−2,−1]时，不等式f(x)≤m2x −13x−1恒成立，求实数m的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：可求出集合B ，然后进行补集、交集的运算即可．考查描述法、区间的定义，以及交集和补集的运算．B ={x|1<x <3}；∴∁R B ={x|x ≤1，或x ≥3}；∴A ∩(∁R B)=(−2,1]．故选：C ．2.答案：C解析：解：由{x −3≥0x >0，解得x ≥3． ∴函数f(x)=√x −3+log 3x 的定义域是[3,+∞)．故选：C ．由根式内部的代数式大于等于0，对数式的真数大于0联立不等式组得答案．本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．3.答案：D解析：本题考查对数值的大小比较，考查有理指数幂的运算性质及对数的运算法则，是基础题．利用有理指数幂的运算性质及对数的运算法则分别比较b ，c 与√3的大小得答案．解：∵b =12516=√5>√3，c =log 47=12log 27<32<√3，∴c <a <b ，故选：D ．4.答案：B解析：解：由函数的解析式可得f(−1)=−1+13=−23<0，f(0)=0+1=1>0，∴f(−1)f(0)<0，根据函数零点的判定定理可得函数f(x)=x+3x的零点所在的区间为(−1,0)，故选：B．由函数的解析式可得f(−1)f(0)<0，根据函数零点的判定定理可得函数f(x)=x+3x的零点所在的区间．本题主要考查求函数的值，函数零点的判定定理，属于基础题．5.答案：C解析：解：①若m//l，n//l，则m//n，根据公理4：平行于同一直线的两只线平行，所以①正确；②由m⊥l，n⊥l，在同一个平面可得m//n，在空间不成立，故错误；③若m//l，m//α则l//α或l⊂α，故错误；④若α∩β=a且m//a//l，此时α//β不成立．故错误；⑤若α∩β=a且m//a//l，此时α//β不成立．故错误；⑥α//γ，β//γ，利用平面与平面平行的性质与判定，可得α//β，正确．故选：C．要判断线线、线面、面面的位置关系，要根据线面平行(垂直)、面面平行(垂直)的判定和性质，八个定理来判断．此题考查学生对空间中点、线、面的位置关系的理解与掌握．重点考查学生的空间想象能力．6.答案：A解析：本题考查圆的弦长计算，求出圆心到直线的距离，运用勾股定理即可求解．解：d=√2=√22，则弦长为2(√22)=√14，故选A．7.答案：B解析：本题考查的知识点是球的体积和表面积，根据已知，求出球的半径，是解答的关键．设球的半径为R ，根据圆锥的几何特征，可得R 2=(R −ℎ)2+r 2，解出半径，可得答案．解：设球的半径为R ，∵圆锥的高ℎ=5，底面圆的半径r =√5，∴R 2=(R −ℎ)2+r 2，即R 2=(R −5)2+5，解得：R =3，故该球的表面积S =4πR 2=36π．故选B ．8.答案：C解析：本题考查分段函数的单调性和运用：解不等式，考查转化思想和运算能力，属于基础题．由分段函数f(x)，结合对数函数和一次函数的单调性，可判断f(x)在R 上递增，即可得到1−t <1+t ，求得t 的范围．解：函数f(x)={x −1,x ≤1lnx,x >1， 可得x >1时，f(x)=lnx 递增；x ≤1时，f(x)=x −1递增，且x =1处f(1)=0，可得f(x)在R 上为增函数，由f(1−t)<f(1+t)，即1−t <1+t ，解得t >0，即t 的范围是(0,+∞)．故选：C ．9.答案：B解析：本题考查点和圆位置关系的应用，考查三角函数的性质，是中档题．分两种情况讨论：①当点P 与点A 或点B 重合时，易得|PA|+|PB|=2；②当点P 与点A 和点B 都不重合时，设∠PAB =θ，得到|PA|+|PB|=2cosθ+2sinθ，结合两角和的正弦函数公式，辅助角公式和三角函数的性质可得|PA|+|PB|的最大值．解：∵点P为圆x2+y2=1上的一个动点，且点A(1,0)，B(−1,0)为此圆上两个定点，①当点P与点A或点B重合时，易得|PA|+|PB|=2；②当点P与点A和点B都不重合时，设∠PAB=θ，，则，所以当，即时，(|PA|+|PB|)max=2√2．综上|PA|+|PB|的最大值是2√2，故选B．10.答案：C解析：【分析】本题主要考查了函数的零点的定义，判断函数的零点所在的区间的方法，属于基础题．设函数f(x)=log2x+x−7，则f(x)是(0,+∞)上的增函数，x0是f(x)的零点，由f(4)f(5)<0，可得x0∈(4,5)，从而可求出n的值．解：由于x0是方程log2x=7−x的根，设f(x)=log2x+x−7，显然f(x)是(0,+∞)上的增函数，x0是连续f(x)的零点．∵f(4)=log24+4−7=−1<0，f(5)=log25+5−7=log25−2>0，故x0∈(4,5)，则n=4.故选C．11.答案：2或−3解析：本题考查了两直线平行，属于基础题．根据两直线平行，斜率相等即可求出m的值．解：∵直线l1:2x+(m+1)y+4=0与直线l2:mx+3y−2=0平行，∴m+1≠0，两条直线的方程可以化为：l1：y=−2m+1x+−4m+1，l2：y=−m3x+23，∴2m+1=m3，且−4m+1≠23，解得m=2或m=−3．故答案为2或−3．12.答案：(x−2)2+(y−1)2=20解析：本题考查了求圆的标准方程应用问题，是基础题．求出线段的中点和线段的长，得出圆心与半径，写出圆的标准方程．解：点A(−2,3)，B(6,−1)，则线段AB的中点为(2,1)，|AB|=√(6+2)2+(−1−3)2=4√5，∴r=2√5，∴以线段AB为直径的圆的标准方程是(x−2)2+(y−1)2=20．故答案为(x−2)2+(y−1)2=20．13.答案：1解析：本题考查了幂函数的定义与性质，由函数f(x)为幂函数可知m2−4m+4=1，解出m的值，再根据函数在(0,+∞)上为增函数判断出满足条件的m值．解：函数f(x)为幂函数，所以m2−4m+4=1，解得m=1或m=3，又因为f(x)=(m2−4m+4)·x m2−6m+8在(0,+∞)上为增函数，所以m2−6m+8>0，解得m>4或m<2，综上可知m=1，故答案为1．14.答案：x−y+2=0解析：联立两圆的方程，消去x与y的平方项，即可得到经过两圆交点的公共弦所在直线的方程．解：将两圆C1：x2+y2=10，C2：x2+y2−2x+2y−14=0方程相减，得x−y+2=0，就是两圆的公共弦所在的直线方程．故答案为x−y+2=0．15.答案：4√5解析：本题考查点到直线的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题．取BC中点O，连结AO，PO，推导出PO⊥BC，由此能求出P到BC的距离．解：取BC中点O，连结AO，PO，∵PA垂直于△ABC所在的平面，BC在平面ABC内，∴PA⊥BC，∵AB=AC=5，BC=6，PA=8，∴AO⊥BC，又AO、PA为平面PAO内两条相交直线，∴BC⊥平面PAO，又PO在平面PAO内，∴PO⊥BC，AO=√AB2−BO2=√25−9=4，∴P到BC的距离为PO=√PA2+AO2=√64+16=4√5．故答案为：4√5．16.答案：解：(1)根据|PA|=|PB|得到点P一定在线段AB的垂直平分线上，根据y=x+1求出点A的坐标为(−1,0)，由P的横坐标是2代入y=x+1求得纵坐标为3，则P(2,3)，过P做x轴的垂线交x轴于Q，则Q(2,0)，又因为Q为A与B的中点，所以得到B(5,0)，(x−5)化简后为x+y−5=0；所以直线PB的方程为：y−0=3−02−5(2)由题意得，(m2−2)×1−m=0，解得m=2或m=−1．解析：此题是一道基础题，要求学生会根据题中的条件利用数形结合的数学思想解决实际问题．考查学生会根据两点坐标写出直线的一般式方程．(1)把P 点的横坐标代入x −y +1=0求出纵坐标得到P 的坐标，然后根据|PA|=|PB|得到P 在线段AB 的垂直平分线上，则过P 作PQ ⊥x 轴即为AB 的中垂线，根据中点坐标公式求出点B 的坐标，然后根据P 和B 的坐标写出直线方程即可．(2)由题意得，直接运用两直线的关系化简即可求解．17.答案：解：(1)(279)12−(2√3−π)0+0.25−32 =53−1+8 =263；(2)2lg5+23lg8+lg5⋅lg20+(lg2)2 =2lg5+lg4+(1−lg2)(1+lg2)+(lg2)2=2+1−(lg2)2+(lg2)2=3．解析：(1)利用指数与指数幂的运算性质计算即可；(2)利用对数的运算性质计算即可．18.答案：解：由圆C：x2+y2−6x+4y=0，即(x−3)2+(y+2)2=13，故圆心C(3,−2)，半径r=√13，因为|MN|=4√2，设圆心到直线的距离为d，由|MN|=4√2=2√r2−d2，得d=√5．①当l的斜率k存在时，设直线方程为y−0=k(x−2)．又圆C的圆心为(3,−2)，半径r=√13，由|3k+2−2k|√1+k2=√5，解得k=12．所以直线方程为y=12(x−2)，即x−2y−2=0．②当l的斜率不存在时，l的方程为x=2，经验证x=2不满足条件．综上所述，直线l的方程为：x−2y−2=0解析：求出圆的标准方程，利用直线和圆相交的弦长公式求出圆心到直线的距离即可求出直线方程．本题主要考查直线方程的求解，根据直线和圆相交的弦长公式是解决本题的关键．19.答案：证明：(1)∵平面PAD平面ABCD，底面ABCD是矩形，∴CD⊥平面PAD．∵PA⊂平面PAD，∴CD⊥PA．∵∠APD=90°，∴PA⊥PD．∵PD∩CD=D，∴PA⊥平面PCD．∵PC⊂平面PCD，∴PA⊥PC；(2)过点P作PF⊥AD于F，∵侧面PAD是等腰直角三角形，平面PAD⊥平面ABCD．平面PAD∩平面ABCD=AD，∴DF ⊥面ABD ，PF =2．∴三棱锥P −ABD 的体积：V P−ABD =13×12×4×8×1=323；(3)根据题意，O 为球心，球的半径OD =12√42+82=2√5，∴四棱锥P −ABCD 的外接球的表面积为S =4π⋅OD 2=80π．解析：(1)推导出CD ⊥平面PAD ，CD ⊥PA.由∠APD =90°，得PA ⊥PD.从而PA ⊥平面PCD.由此能证明PA ⊥PC ；(2)过点P 作PF ⊥AD 于F ，则DF ⊥面ABD ，PF =2.由此能求出三棱锥P −ABD 的体积；(3)O 为球心，球的半径OD =12√42+82=2√5，由此能求出四棱锥P −ABCD 的外接球的表面积． 本题考查线线垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查四棱锥的外接球的表面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题． 20.答案：解：(1)f(x)是定义在[−4,4]上的奇函数，∴f(0)=1+a =0，∴a =−1，∵f(x)=14x −13x ，设x ∈[0,4]，∴−x ∈[−4,0]，∴f(x)=−f(−x)=−[14−x −13−x ]=3x −4x ，∴x ∈[0,4]时，f(x)=3x −4x ,(2)∵x ∈[−2,−1]，f(x)≤m 2x −13x−1，即14−13≤m 2−13，即14x +23x ≤m 2x ，x ∈[−2,−1]时恒成立，∵2x >0，∴(12)x +2⋅(23)x ≤m ，∵g(x)=(12)x +2⋅(23)x 在R 上单调递减，∴x ∈[−2,−1]时，g(x)=(12)x +2⋅(23)x 的最大值为：g(−2)=(12)−2+2⋅(23)−2=172， ∴m ≥172．解析：本题考查函数的奇偶性及其应用，不等式恒成立的问题，考查学生解决问题的能力，属于中档题．(1)根据奇函数的性质即可求出a ，设x ∈[0,4]，−x ∈[−4,0]，易求f(−x)，根据奇函数性质可得f(x)与f(−x)的关系；(2)分离参数，构造函数，求出函数的最值问题得以解决．。
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. 在判定符号
19．（本小题满分 12 分）已知函数 f (x) 2 | x 2 | ax( x R) 有最小值． （1）求实数 a 的取值范围； （2）设 g( x) 为定义在 R 上的奇函数，且当 x 0 时， g(x) f ( x) ，求 g (x) 的解析式．
以及其几何意义， 两个向量的数量积的运算，
6．函数 f ( x) A sin( x ) （其中 A＞ 0， | | ）的图象如图所示，为了得到 2
图象，则只需将 g( x)= sin2x 的图象（ ）
f (x) 的
A．向右平移 个长度单位
6
C．向右平移 个长度单位
3
【答案】 B
【解析】
B．向左平移 个长度单位
【答案】 2
________
17．（本题满分 10 分）已知 x 的方程 x2+( m+3) x+3=0 的两个实根都大于 1, 求实数 m 的取值
范围 .
【答案】 【解析】试题分析：已知
x 的方程 x2+(m +3)x+3=0 的两个实根都大于 1，根据方程的根可转
化为函数图像与 x 轴交点的横坐标，研究二次函数图像可得解 .
2
是函数 y = f ( x) 的一个零点，那么下列不等式中不可能．．．成立的是 （ ）
A． x0 a
B． x0 a
C． x0 b
D． x0 c
【答案】 D
【解析】 f ( x) 是定义域上的增函数，所以 x x0 时， f ( x) 0 ， x x0 时， f (x) 0 ，对于
D 选项，可得 f (a) f (b) f (c) 0 ，故不成立。
个单位长
度
湖南省长沙市长郡中学2019-2020学年高一上学期入学考试数学试题
湖南省长沙市长郡中学2019-2020学年高一上学期入学考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．9的算术平方根是（ ） A ．3B ．3-C ．3±D ．812．2019年4月23日是中国海军70华诞的日子，我国宣布中国海军现役军人约为24万人，舰船300余艘，现役舰艇总吨位仅次于美国，将24万用科学记数法表示为（ ） A ．42410⨯B ．52.410⨯C ．42.410⨯D ．72.410⨯3．过正方体上底面的对角线和下底面一顶点的平面截去一个三棱锥所得到的几何体如图所示，它的左视图是（ ）A ．B ．C ．D ．4．下列运算正确的是（ ） A ．666422n n n --=- B ．236(3)27n n -= C ．22(4)416n n n -=-+D ．2(2)(2)4n n n +-=-5．在下列事件中，是必然事件的是（ ） A ．买一张电影票，座位号一定是偶数 B ．随时打开电视机，正在播新闻C ．将ACB △绕点C 旋转50°得到A CB ''，这两个三角形全等D ．阴天就一定会下雨6．不等式组2233(51)72x x x x-⎧≥-⎪⎨⎪--<-⎩的整数解的个数是（ ）A ．5B ．4C ．3D ．27．如图，正五边形ABCDE 放入某平面直角坐标系后，若顶点A ，B ，C ，D 的坐标分别是(0,)a ，(3,2)-，(,)b m ，(,)c m ，则点E 的坐标是（ ）A ．(3,2)B ．(2,3)C ．(2,3)-D ．(3,2)-8．如图，在物理课上，老师将挂在弹簧测力计下端的铁块浸没于水中，然后缓慢匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧测力计的读数y （单位：N ）与铁块被提起的高度x （单位：cm ）之间的函数关系的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．9．《九章算术》记载了一个方程的问题，译为：今有上禾6束，减损其中之“实”十八升，与下禾10束之“实"相当；下禾15束，减损其中之“实”五升，与上禾5束之“实”相当.问上、下禾每束之实各为多少升?设上下禾每束之实各为x 升和y升，则可列方程组为（ ）A ．618101555x y y x +=⎧⎨+=⎩B ．618101555x yy x -=⎧⎨-=⎩C ．6181515510x y y x -=⎧⎨-=⎩D ．6181515510x y y x +=⎧⎨+=⎩10．如图，ABC 中，90BAC ︒∠=，3AB =，4AC =，点D 是BC 的中点，将ABD △沿AD 翻折得到AED ，连接CE ，则线段CE 的长等于（ ）A ．2B ．54C ．53D ．7511．如图，边长为4cm 的正方形ABCD ，点F 为正方形的中心，点E 在FA 的延长线上，4cm EA =．O 的半径为1cm ，圆心O 在线段EF 上从点E 出发向点F 运动，小明发现：当EO 满足①35EO <<；①35EO ≤≤；①4EO =①4EO =+O 与正方形ABCD 的边只有两个公共点，你认为小明探究结论正确的是（ ）A ．①①B ．①①C ．①①D ．①①①12．已知二次函数22y x mx =-（m 为常数），当12x -时，函数值y 的最小值为2-，则m 的值是（ ）A ．32B C ．32D ．32-二、填空题13．分解因式：2288a a -+=________．14．设a ，b 是一元二次方程250x x k ++=的两个实数根，且2a ab b -+=，则实数k 的值是________．15．已知0a b >>，223a b ab +=，则22-a b ab的值为________．16．如图，在Rt ACB △中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点O 是Rt ACB △内部一点，ABO BCO CAO ∠=∠=∠．设OA a =，OB b =，OC c =，则a bc+=________．17．在纸上剪下一个圆和一个扇形纸片，使它们恰好围成一个圆锥（如图对所示），如果扇形的圆心角为90°，扇形的半径为4，那么所围成的圆锥的高为_______．18．已知矩形OABC 中，O 为坐标原点，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，B 的坐标为(10,5)，点P 在边BC 上，点A 关于OP 的对称点为A '，若点A '到直线BC 的距离为4，则点A '的坐标可能为________．三、解答题19．计算：2201912cos 45|(1)2-⎛⎫-+--︒- ⎪⎝⎭．20．先化简22242⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭mm m m m m ，再从2-，0，1，2中选取一个符合要求的数代入求值．21．某校为了提高学生的阅读能力，准备出台一项计划，为使计划更具针对性，对全校九年级学生进行了“1分钟默读速度”测试，现随机抽取20名学生的成绩进行分析，过程如下：收集数据 20名学生的“1分钟默读速度”成绩如下（单位：个）： 210 225 234 235 315 246 248 324 253 316 258 260 262 262 305 318 272 228 327 230整理数据 请你按如下表格分组整理、描述样本数据，并把下列表格补充完整．（说明：1分钟默读字数达到300个及以上者为达标）分析数据 请将下列表格补充完整：得出结论(1)用样本中的统计量估计全校九年级学生“1分钟默读速度”等级为________； (2)估计该校九年级300名学生中测试“1分钟默读速度”达标的人数．22．如图1是一种客厅放置创意书架，共分三层，忽略其厚度，其基本结构可简化为图2．量得ABC 为等边三角形，100cm AB =，DE FG BC ∥∥，AD DF BF ==．(1)求书架的高度；(2)现有一种圆柱形茶叶盒的底面直径为10cm ，高为15cm ，若要将此茶叶盒按图中所示方式自然摆放在下层，一排可摆放多少个这样的茶叶盒？（结果精确到整数．参考1.7≈） 23．如图，A 与ABCD 的CD 边交于点F ，DE 是A 的直径，BF 与A 相切于点(1)求证：BE 是A 的切线；(2)若A 的半径为5，2FC =，求AB 的长．24．如图，以原点O 为中心的正方形ABCD 与反比例函数2104k y k AB x ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭的图象交于点E ，F ，G ，H ，双曲线在正方形内部被截出两段曲线．(1)如图AB y ∥轴，若点E 的横坐标是m ，则点F ，G ，H 的坐标可用含m ，k 的代数式表示为________，________，________；(2)在图1中，AB y ∥轴，若点E 的坐标为(2,5)，求GF 的长；(3)在图2中，若8AB =，点A 与点E 重合，AB 与y 轴交于点M ，1AM =，求k 的值．25．我们定义：如果三角形上两点，其中一点为一边的中点，如果这两点的连线将三角形分成周长相等的两部分，我们称这条线段为该三角形的“等分周线”．如图1，在ABC 中，D 是BC 的中点，点E 在AB 上，若BD BE CD AC AE +=++，则DE 为ABC 的一条“等分周线”．(1)任意三角形的“等分周线”有________条，若某三角形的“等分周线”的一个端点是三角形的顶点，则这个三角形是________．(2)如图1，在ABC 中，D 是BC 的中点，点E 在AB 上，DE 为ABC 的一条“等分周线”．若AB AC >，设A n ∠=︒，AC m =，求DE 的长（用含m ，n 的代数式表示）．(3)如图2，在四边形ABCD 中，2BC CD =，AC 平分BCD ∠，BA AC ⊥，点E 在AC上，连接ED ，EB ，AB =1EC =，120∠=︒BEC ，求ED 的长． 26．如图1，直线:(0,0)l y mx n m n =+<>与x 轴，y 轴分别相交于A ，B 两点，将AOB 绕点O 逆时针旋转90°得到COD △，过点A ，B ，D 的抛物线P 叫做l 的关联抛物线，而直线l 叫做P 的关联直线．(1)若直线:22l y x =-+，则抛物线P 表示的函数解析式为________；若抛物线2P :34y x x =--+，则直线l 表示的函数解析式为______．(2)求抛物线P 的对称轴（用含m ，n 的代数式表示）；(3)如图2，若直线:24l y x =-+，抛物线P 的对称轴与CD 相交于点E ，点F 在l 上，点Q 在抛物线P 的对称轴上．当以点C ，E ，Q ，F 为顶点的四边形是以CE 为一边的平行四边形时，求点Q 的坐标；(4)如图3，若直线:4l y mx m =-，G 为AB 中点，H 为CD 中点，连接GH ，M 为GH中点，连接OM ．若OM =l ，抛物线P 表示的函数解析式．参考答案：1．A 【分析】利用算术平方根的定义可得结果.【详解】93=. 故选：A.2．B 【分析】利用科学记数法表达24万即可. 【详解】24万=5240000 2.410=⨯ 故选：B3．C 【分析】根据三视图的定义判断.【详解】从左边看，是一个正方形，其对角线是虚线，故C 选项符合， 故选：C4．D 【分析】根据幂的运算法则、乘法公式判断． 【详解】由同类项合并，66664262n n n n --=-≠-，A 错； 由积的乘方与幂的乘方法则得236(3)27n n -=-，B 错； 由完全平方公式得22(4)816n n n -=-+，C 错； 由平方差公式得2(2)(2)4n n n +-=-，D 正确． 故选：D ．5．C 【分析】根据必然的定义判断．【详解】A. 买一张电影票，座位号可能是是偶数也可能是奇数，A 不是必然事件； B. 随时打开电视机，可能在播新闻，也可能不在播放新闻，B 不是必然事件； C. 将ACB △绕点C 旋转50°得到A CB ''，这两个三角形一定全等，C 是必然事件； D. 阴天不一定下雨，D 不是必然事件． 故选：C ．6．C 【分析】分别解不等式得不等式组的解，再在其中确定整数解． 【详解】223x x -≥-，即2(2)0x -≤，2x ≤， 3(51)72x x --<-，即33x >-，1x >-，所以原不等式组的解为12x -<≤，其中整数有0,1,2共3个． 故选：C ．7．A 【分析】根据题意可知点A 在y 轴，CD 平行x 轴，从而得B 与E 关于y 轴对称，从而可求出点E 的坐标.【详解】因为正五边形ABCDE 放入某平面直角坐标系后，顶点A ，B ，C ，D 的坐标分别是(0,)a ，(3,2)-，(,)b m ，(,)c m ，所以点A 在y 轴，CD 平行x 轴， 所以B 与E 关于y 轴对称， 所以点E 的坐标是(3,2)， 故选：A8．D 【分析】结合物理知识分析判断.【详解】在铁块被提起的过程中，分如下情况：当物体完全浸没在水中时，此时浮力不变，弹簧测力计的读数y 不变； 当物体部分浸没在水中时，此时浮力减小，弹簧测力计的读数y 变大； 当物体完全脱离水面，此时不受浮力，弹簧测力计的读数y 不变； 故选：D.9．B 【解析】由题意，一束为一个整体，减损为在原基础上减掉，根据题意列出方程组即可.【详解】解：上下禾每束为,x y 升，上禾6束有6x ，减损18，即618x -，下禾10束之“实"相当，即61810x y -=，同理有1555y x -=，所以方程组为618101555x yy x -=⎧⎨-=⎩. 故选：B.10．D 【分析】连接BE 交AD 于O ，作AH BC ⊥于H ，由勾股定理和等面积法求出AH ，证得AOE AOB ≅，得出BCE 是直角三角形，等面积法求出OB ，再由勾股定理求得CE 即可.【详解】连接BE 交AD 于O ，作AH BC ⊥于H ，在Rt ABC △中，3AB =，4AC =，则5BC =，又点D 是BC 的中点，52AD DC DB ∴===，1122BC AH AB AC ⋅=⋅，125AH ∴=，,,AE AB EAD BAD AO AO =∠=∠=，AOE AOB ∴≅，90,AOE AOB OE OB ∴∠=∠==，又D 是BC 的中点，OD EC ∴，90BEC ∠=，BCE ∴△是直角三角形， 1122AD BO BD AH ⋅=⋅，1224,255OB BE OB ∴===，在Rt BCE 中，75EC ==. 故选：D.11．A 【分析】根据给定的图象，确定O 与正方形ABCD 边的两个公共点位置，结合点A 与圆的位置关系求出EO 范围作答.【详解】依题意，AF =4EO EF EA AF ≤=+=+①不正确；因O 与正方形ABCD 边有两个公共点，则这两个公共点只能在边,AB AD 上，当且仅当点A 在O 内或O 与AB 相切，当点A 在O 内时，1EO EA OA -=<，即|4|1EO -<，解得35EO <<，①正确，①不正确；当O 与AB 相切时，圆心O 在线段AF 上，到AB 的距离为1，则AO =4EO EA AO =+=，①正确，所以小明探究结论正确的是①①. 故选：A12．D 【分析】易知22y x mx =-的图像的对称轴为x m =，开口向上，分类讨论对称轴x m =不同位置时函数的最小值即可求得结果.【详解】因为22y x mx =-的图像的对称轴为x m =，开口向上，所以当1m ≤-时，22y x mx =-在1x =-时取得最小值，即()()21212m --⨯-=-，解得32m =-，故32m =-；当2m ≥时，22y x mx =-在2x =时取得最小值，即22222m -⨯=-，得32m =，与2m ≥矛盾，舍去；当12m -<<时，22y x mx =-在x m =时取得最小值，即2222m m -=-，解得m =m综上，32m =-或m故选：D.13．22(2)a -【分析】利用提公因式法及公式法分解因式作答. 【详解】2222882(44)2(2)a a a a a -+=-+=-. 故答案为：22(2)a -14．7-【分析】由韦达定理可得5a b ab k +=-⎧⎨=⎩，代入条件可解得7k =-.【详解】因为a ，b 是一元二次方程250x x k ++=的两个实数根，所以5a b ab k +=-⎧⎨=⎩，代入2a ab b -+=，得52k --=，解得7k =-.故答案为：7-.15at b=，结合22111,,t t t t t t +-+之间的关系运算求解.【详解】①223a b ab +=，则3a bb a+=令1a t b =>，则22113,a ab a b t t b a t b a t b ab --=+=+==- ①2221129t t t t ⎛⎫+=++= ⎪⎝⎭，则2217t t +=①2221125t t t t ⎛⎫-=+-= ⎪⎝⎭又①11,01t t><<，则10t t ->①1t t -=22a b ab-=16．22+【分析】根据等腰直角三角形的性质以及相似三角形得相似比即可求解.【详解】由90ACB ∠=︒，AC BC =知AB =,45ABC CAB ∠=∠=, 因为ABO BCO CAO ∠=∠=∠，所以∠=∠BAO CBO ,因此BO AO AB b aABO BCO CO BO BC c b⇒==⇒==,a b ==，故)112b a b c cc+===+故答案为：217222R r ππ=，，求得1r =，进而由h =.【详解】由图可知，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，设扇形半径为4R =，圆锥底面圆的半径为r ，则有222R r ππ=，解得1r =，又因为圆锥的母线长为4R =，故圆锥的高h =18．(-，(，【分析】设出点A '的坐标，根据给定条件，列出方程组，解方程组并判断作答.【详解】依题意，点(10,0)A ，直线BC ：5y =，而点P 在边BC 上，则直线OP 的斜率51102k ≥=或OP 在y 轴上， 设点(,)A a b '，由点A '到直线BC 的距离为4，得|5|4b -=，即1b =或9b =， 又点A 关于OP 的对称点为A '，则||||10OA OA '==，即22210a b +=，当1b =时，a =-a =a =-(A '-，点A '与A 的中点1)2在直线OP 上，此时直线OP 斜率1102k ==+>，符合题意，则(A '-，若a =A '，点A '与A 的中点101()22+在直线OP 上，此时直线OP 斜率1102k ==-<，不符合题意，当9b =时，a =a a =(A '，点A '与A 的中点9)2在直线OP 上，此时直线OP斜率12k =>，符合题意，则(A '，若a =，有A '，点A '与A的中点9)2在直线OP 上， 此时直线OP斜率12k =>，符合题意，则A '，所以点A '的坐标可能为(-，(，.故答案为：(-，(，19．5【分析】根据指数的运算法则以及特殊角的锐角三角函数值即可求解.【详解】原式421=+5=． 20．2m m -，m 等于1，值为-1【分析】利用通分运算与分式的除法运算易得原式2mm =-，再由分母不为0分析得m 只能等于1，代入即可求得结果. 【详解】原式(2)22(2)(2)m m m m m m m +-+=⋅+-2mm =-，由于分母不为0，故当2,0m =±时，分式无意义，故m 只能等于1， 当1m =时，原式1112==--． 21．(1)表格见解析，C (2)90人【分析】（1）数据分析，补充完整表格，并根据中位数的定义得到样本的中位数落在C 组，从而得到答案；（2）求出样本中“1分钟默读速度”达标的人数的比例，从而计算出九年级300名学生中测试“1分钟默读速度”达标的人数. （1）补充表格如下：其中从小到大排列，第10和第11位学生均落在第三组，即等级为C 的组. 用样本中的统计量估计全校九年级学生“1分钟默读速度”等级为C （2）①“1分钟默读速度”达到300个及以上的人数为6人， 000061003020⨯=， ①达标率为30%，30%30090⨯=．①估计该校九年级300名学生中测试“1分钟默读速度”达标的人数为90人． 22．(1)85cm (2)8盒【分析】（1）根据直角三角形中的锐角三角函数即可求解，（2）根据锐角三角函数可求MC 长度，进而根据等边三角形的性质可得MN 长度，结合圆柱的特征即可求解. （1）过点A 作AH BC ⊥，垂足为H ．ABC 为等边三角形，100cm AB =，sin 100AH AHB AB ∴===．85cm AH ∴=≈．（2）如图，设靠右侧摆放的茶叶盒的右侧与书架交于点M ，P ，则有MP BC ⊥，15cm MP =，15sin 60MP MC ===︒．过点M 作BC 的平行线，交AB 于点N ．AMN ∴为等边三角形，MN AM =．10083cm MN AM AC MC ∴==-=-．838.310=， ∴在下层，底面直径为10cm ，高为15cm 的圆柱形茶叶盒最多能摆放8盒．23．(1)证明见解析(2)1AB =【分析】（1）连接AF ，先证得90AFB ︒∠=，再证得ABE ABF ≌，即可得到90AEB ︒∠=，即可证得BE 是A 的切线；（2）先证得AFG BAF △∽△，设AB x =，表示出FG ，再由GF AFAF AB=求解即可. （1）证明：如图，连接AF ．BF 是A 的切线，90AFB ︒∴∠=．四边形ABCD 是平行四边形，AB CD ∴∥．BAE D ∴∠=∠，BAF AFD ∠=∠．AD AF =，D AFD ∴∠=∠．BAE BAF ∴∠=∠．在ABE △和ABF 中，AE AF BAE BAF AB AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ABE ABF ∴△≌△． 90AEB AFB ︒∴∠=∠=．BE AE ∴⊥．AE ∴是A 的切线；（2）如图，过点A 作AG CD ⊥于G ．AD AF =，12DG DF ∴=．AFG FAB ∠=∠，90AGF AFB ︒∠=∠=．AFG BAF ∴△∽△．设AB x =．四边形ABCD 是平行四边形，2FC =，CD AB x ∴==，22x FG -=．A的半径为5，即5AF =．∴由AFG BAF △∽△可得GF AFAF AB=，即2525x x -=．解得1x =，即1AB =． 24．(1),k F m m ⎛⎫⎪⎝⎭，,k G m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，,k H m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭(2)(3)11225【分析】（1）结合图形求点的坐标；（2）先求反比例函数解析式，再求相应点的坐标，进而求GF 的长；（3）结合图形利用三角形相似求解AK ，确定点A 的坐标求k 的值． （1）,k F m m ⎛⎫⎪⎝⎭，,k G m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，,k H m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．（2）当(2,5)E 时，则2510k =⨯= ①(5,2)F ，(2,5)G --，(5,5)C -，7CF ∴=，7CG =．GF ∴（3）如图，过点O 作ON AB ⊥，垂足为N ，连接OA ．O 为正方形ABCD 的中心，8AB =，4BN AN ON ∴===，OA = 1AM =，413MN AN AM ∴=-=-=．5OM ∴．过点A 作y 轴的垂线，垂足为K ， 则有MAK MON △∽△． 145AK AM AK ON OM ∴===． 则45AK =．285OK ∴==，即428,55A ⎛⎫ ⎪⎝⎭点A 在反比例函数ky x=的图象上， 4281125525k AK OK ∴=⨯=⨯=．25．(1)3；等腰三角形 (2)cos 2n m ︒⋅【分析】(1)根据三角形的“等分周线”的定义可求解；(2)延长BA 至点F ，构造等腰三角形，利用中位线及“等分周线”的定义可求解；(3)根据题中的条件，取BC 的中点H ，连接EH ，可得HE 为ABC 的一条“等分周线”，再利用（2）中的结论可求解. （1）根据三角形的“等分周线”的定义可知，任意三角形的“等分周线”有3条， 若某三角形的“等分周线”的一个端点是三角形的顶点，根据三角形的“等分周线”的定义可知这个三角形是等腰三角形. （2） 如图所示，延长BA 至点F ，使得AF AC =， 连接FC ，作AG CF ⊥于点G ， AF AC =，A n ∠=︒，2n ACG ︒∴∠=． cos2n CG m ︒∴=⋅． AF AC =，AG CF ⊥，1cos 22n CF CG m ︒∴==⋅． DE 为ABC 的一条等分周线，BD BE CD AC AE ∴+=++． D 点是BC 的中点，BD CD ∴=．BE AC AE ∴=+．AF AC =，BE AF AE EF ∴=+=．E ∴点是BF 的中点．DE ∴为BCF △的中位线． 1cos 22n DE CF CG m ︒∴===⋅．（3）BA AC ⊥，120∠=︒BEC ，AB =60BEA ∴∠=︒．1tan 60AB AE ∴===︒．取BC 的中点H ，连接EH ，2BC CD =，CH CD ∴=．AC 平分BCD ∠，ECD ECH ∠=∠，EC EC =，EDC EHC ∴△≌△．ED EH ∴=．31EC =，AB =1AE =，AB AE BH EC CH ∴++=+．HE ∴为ABC 的一条“等分周线”．90cos2ED EH AB ︒∴==⋅==． 26．(1)22y x x =--+；44y x =-+ (2)2mn mx n+=-(3)71,2⎛⎫- ⎪⎝⎭或1,217⎛⎫- ⎪⎝⎭．(4)2184y x x =--+【分析】（1）由直线l 求出()(),1,0,20A B ，()2,0D -，进而求出抛物线P 的解析式；由抛物线P 求出()()()1,0,0,4,4,0A B D -，进而求出直线l 的解析式；（2）由直线:l y mx n =+求出,0n A m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(0,)B n ，(,0)D n -，再利用对称轴的性质易得抛物线P 的对称轴为2mn mx n+=-； （3）由直线:24l y x =-+易得(2,0)A ，(0,4)B ，(0,2)C ，(4,0)D -，再由FQ CE ∥得到FQ 为12y x b =+，接着利用点E ，点C 的横坐标相差1得到(1)11F F x x --=+=，求出点F 坐标后，易得点Q 的坐标；（4）通过平面几何的性质推导出OMG 为等腰直角三角形，即OG =，进而得到2AB OG =，再由勾股定理求得2m =-，故直线l ，抛物线P 可求.（1）由直线:22l y x =-+，易得()(),1,0,20A B ，故()2,0D -，故设抛物线P 为()()12y a x x =-+，代入()0,2B ，得()()01022a -+=，即1a =-，故抛物线P 为()()2122y x x x x =--+=--+；由抛物线2P :34y x x =--+，易得()()()1,0,0,4,4,0A B D -，故04410l k -==--，故直线l 为()4144y x x =--=-+；（2）直线:(0,0)l y mx n m n =+<>， 令0y =，即0mx n +=，得n x m=-． 令0x =，得y n =， ,0n A m ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，(0,)B n ，(,0)D n ∴-．设抛物线对称轴与x 轴的交点为(,0)N x ，DN AN =，()nx x n m∴--=--， 2n x n m∴=--， P ∴的对称轴为直线2mn mx n+=-． （3）:24l y x =-+，(2,0)A ∴，(0,4)B ， (0,2)C ∴，(4,0)D -．∴直线CD 的解析式为122y x =+．P 的对称轴为直线1x =-． 以点C ，E ，Q ，F 为顶点的四边形是以CE 为一边的平行四边形，FQ CE ∴∥，且FQ CE =．设直线FQ 的解析式为12y x b =+．点E ，点C 的横坐标相差1， 则(1)11F F x x --=+=，解得0F x =或2F x =-．点F 在直线24y x =-+上，∴点F 坐标为(0,4)或(2,8)-． 若(0,4)F ，则直线FQ 的解析式为142y x =+， 当1x =-时，72y =， 171,2Q ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭； 若(2,8)F -，则直线FQ 的解析式为192y x =+， 当1x =-时，172y =， 2171,2Q ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭． ∴满足条件的点Q 有2个，点Q 坐标为71,2⎛⎫- ⎪⎝⎭或1,217⎛⎫- ⎪⎝⎭． （4）如图所示，连接OG ，OH ．点G 为Rt AOB △斜边中点，点H 为Rt COD 斜边中点，12OG AB ∴=，12OH CD =． 由旋转性质可知，AB CD =，OG OH ⊥，OG OH =，OGH ∴为等腰直角三角形．点M 为GH 中点，OMG ∴△为等腰直角三角形，OG ∴===2AB OG ∴==4y mx m =-，(4,0)A ∴，(0,4)B m -．在Rt AOB △中，由勾股定理得222OA OB AB +=，即：2224(4)m +-=，解得2m =-或2m =．点B 在y 轴正半轴，2m ∴=-．l ∴表示的函数解析式为28y x =-+．(0,8)B ∴， (8,0)D -．又(4,0)A ，P ∴表示的函数解析式为2184y x x =--+． 【点睛】关键点点睛：此题考查了一次函数和二次函数的综合应用，考查了抛物线与直线的交点问题，考查了几何图像旋转问题，考查利用勾股定理求两点间的距离，解题的关键是根据图形，利用数形结合的思想解题.。
湖南省长沙市长郡中学2020年高一数学文上学期期末试卷含解析
湖南省长沙市长郡中学2020年高一数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数的图像大致是…………………………………()参考答案：D2. 的值是 ( )A .B . C.D.参考答案：B略3. 设集合，集合,若中恰含有一个整数，则实数的取值范围是（）A. B.C． D. 参考答案：B略4. 已知A={x|x+1＞0}，B={﹣2，﹣1，0，1}，则A∩B=（）A．{﹣2，﹣1} B．{﹣2} C．{﹣1，0，1} D．{0，1}参考答案：D【考点】交集及其运算．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集即可．【解答】解：由A中不等式解得：x＞﹣1，∵B={﹣2，﹣1，0，1}，∴A∩B={0，1}．故选D5. 若一系列函数的解析式和值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数与函数就是“同族函数”．下列有四个函数：①；②；③；④；可用来构造同族函数的有_ ▲参考答案：①②6. 已知，，那么的值是（）．A．B．C．D．参考答案：B 解析：7. 设向量与的夹角为θ，定义与的“向量积”：是一个向量，它的模，若，则=（）A． B． 2 C． D． 4参考答案：B考点：平面向量的综合题．专题：新定义．分析：设的夹角为θ，由向量的数量积公式先求出cosθ==﹣，从而得到sinθ=，由此能求出．解答：解：设的夹角为θ，则cosθ==﹣，∴sinθ=，∴=2×2×=2．故选B．点评：本题考查平面向量的综合运用，解题时要正确理解向量积的概念，认真审题，注意向量的数量积的综合运用．8. 用秦九韶算法计算函数当时的函数值时.的值为( )A．3 B.-7 C.34 D.-57参考答案：C略9. 函数的定义域为（★）A．R B．[1，10] C．D．（1，10）参考答案：D略10. 在△ABC中，AC=，BC=2，B =60°，则BC边上的高等于（）A． B. C. D.参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 定义运算min。