结构力学 第8章影响线

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8.4 影响线的应用
1. 利用影响线求固定荷载作用下的反力和内力
作影响线时，为了叙述方便起见用的是单位移动荷载。在实 际荷载作用下，利用叠加原理就可以计算出反力和内力的数值。 如果在一系列荷载P1、P2、L、Pn作用下，只需将结构的某一 量值影响线画出，对应于各荷载作用点处的纵坐标分别为y1、y2 、L、yn。则该量值S为：
载，然后每隔一跨布置活载，
如图8.8(e)所示。 (3)中间支座弯矩或剪力在该支 座左右相邻两跨布置活载，然
后每隔一跨布置活载，得相应
最小(或最大)内力的最不利荷 载位置，如图8.8 (c)、(d)所 示。
图8.8
结构力学 3. 连续梁的内力包络图
绘制连续梁弯矩包络图的步骤归纳如下： (1)绘出恒载作用下的弯矩图。 (2)按每一跨上单独布满活载的情况，逐一绘出其弯矩图。 (3)将各跨分为若干等份，对每一等分点处截面，将恒载弯矩图
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首先沿梁的轴线将梁分为若干等 分，计算出吊车移动时各截面的 最大弯矩值，并按同一比例画在 梁的轴线上，然后连成光滑曲线 ，得到的图形即为吊车梁的弯矩 包络图，如图8.6 (b)所示。同 样，可计算出梁上各截面的最大 和最小剪力值，画出剪力包络图 ，如图8.6(c)。
图8.6
结构力学 2. 简支梁的绝对最大弯矩
在位置固定的某集中荷载P作用下，可以利用影响线求截面C的弯 矩值。其步骤是： (1)画欲求弯矩的截面C的MC影响线图， (2)计算P作用点处，MC影响线图上的yK值，由图按比例求得。
(3)根据叠加原理计算弯矩MC。
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如果梁上作用有荷载集度不同或不连续的分布荷载时，则应 逐段计算，然后求其总和，即
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8.2 用静力法作单跨静定梁的影响线
1. 简支梁的影响线
(1) 支座反力影响线
先绘制支座反力RA的影响线 取梁的左支座A为坐标原点，x 表示单位荷载P=1到原点A的距 离，假设支座反力的方向以向 上为正，根据简支梁的平衡条 件，可得
画出RA的影响线如图8.1(b)所示 同理画出RB的影响线如图8.1(c) 所示
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8.5 简支梁的内力包络图和绝对最大弯矩
1. 简支梁的内力包络图
在设计承受移动荷载作用的结构时，一般需要求出构件在恒 载和移动荷载共同作用下各个截面的内力最大值和最小值。如果 把这些最大值和最小值按同一比例标在梁轴线上，并连成曲线， 这一曲线即称为梁的内力包络图。 梁的内力包络图有弯矩包络图和剪力包络图两种。由各截面的弯 矩最大值和最小值分别连成的图线，称为弯矩包络图；由各截面 的剪力最大值和最小值分别连成的图线，称为剪力包络图。
结构力学 2.机动法作简支梁的影响线
使用机动法绘制简支梁某截面弯矩 和剪力的影响线。 【例8.2】用机动法作图8.5(a)所示 简支梁C点的弯矩和剪力影响线。 解：(1)弯矩MC的影响线如图8.5(c)。 (2)剪力QC的影响线。图8.5(e)所 示即QC影响线的形状。
图8.5
结构力学 3.机动法作静定多跨梁的影响线
图8.1
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(2) 剪力影响线
现绘制简支梁上任一截面C的剪力 影响线。 当P=1在AC段上移动时，选取截 面C以右的CB部分为研究对象， 由平衡条件ΣY=0，可得C截面的 剪力影响线方程为
同理当P=1在BC段上移动时，得C 截面的剪力影响线方程为 画截面C的剪力影响线，如图 8.2(b)可见，是由两条平行线。
用机动法作静定多跨梁的支座反力和内力的影响线十分简 便。原理与步骤均同前。 静定多跨梁是由基本部分和附属部分组成，去掉约束后给出虚 位移时，应搞清哪些部分可以发生虚位移，哪些部分则不能发 生虚位移。属于附属部分的某量，去掉相应的约束后，体系只 能在附属部分发生虚位移，基本部分则不能动；因此，位移图 只限于附属部分。属于基本部分的某量，去掉相应的约束后， 在基本部分和其所支承的附属部分都能发生虚位移，位移图在 基本部分和其所支承的附属部分都有。
2. 连续梁最不利荷载位置
图8.8中示出了各量在控制截面的最不利荷载位置并得出如下几个重要 结论： (1)支座反力在该支座左右相邻两跨布置活荷载，然后每隔一跨布置活
载，可得到使连续梁的中间支座产生最大反力的最不利位置。如图
8.8(b)所示
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(2)跨中弯矩跨中最大弯矩的最 不利荷载位置为在本跨布置活
图8.3
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(2) 跨中截面弯矩和剪力的影响线
截面C的弯矩MC和剪力QC的影响线，即将相应简支梁的弯矩、剪 力影响线向左、右外伸部分延长即得外伸梁的弯矩、剪力影响 线，如图8.3(d)、(e)所示。
(3) 外伸部分截面的内力影响线
外伸部分截面的内力影响线与跨中截面的内力影响线有所不同。 现以截面K为例，作弯矩MK和剪力QK的影响线。如图8.3(f)、(g) 所示。 静力法作静定结构某量值影响线的步骤为： (1)将单位移动荷载P=1放在结构上的任一位置，适当选择坐标原 点，以P=1作用位置x为变量。 (2)用截面法截取脱离体，通过平衡方程，或直接按内力算式， 求出所求量值的影响线方程。 (3)根据影响线方程，作影响线。
上式说明：在均布荷载作用下，某量值S的大小，等于荷载集度q 与该量值影响线在荷载分布范围内面积ω的乘积。
2. 利用影响线确定荷载的最不利位置
(1) 移动的均布荷载作用时
长度不定可以任意布置的均布荷载 对于长度不定可以任意布置的均布荷载，由于它可以任意断续布 置(例如人群、货物等活荷载)，所以最不利荷载位置是较容易确 定的。因此，可任意布置的均布荷载布满对应影响线正号面积的 部分时，则产生量值的最大值，反之，当可任意布置的均布荷载 布满对应影响线负号面积的部分时，则产生量值的最小值。
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定长的均布荷载 可以证明(略)，将均布荷载置于两端点对应的影响线纵坐标yA和 yB恰好相等的地方，ω达最大，此时的位置正是对应S量值影响线 的最不利荷载位置。
(2) 移动集中荷载作用时
一个移动集中荷载 在单个集中荷载作用下产生的某量值的数值，等于此力与其作用 点之下相应影响线纵坐标的乘积。因此，最不利荷载位置是这个 集中荷载作用在影响线的纵坐标最大处。 行列荷载 所谓行列荷载，一般是指一系列彼此间距不变的移动竖向集中荷 载或竖向均布荷载。当行列荷载在最不利位置时，必有一个集中 荷载作用在某量值影响线的顶点处，则可以采用试算法确定最不 利荷载位置。
简支梁在一组数值和间距不变的集中荷载作用(图8.7)下，求得 梁内绝对最大弯矩。 最大弯矩为： 当PK和合力R位于梁的中点两侧对称位置时，PK作用界面的弯矩达 到最大值。
图8.7
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8.6 连续梁的影响线及其应用简介
1. 利用挠度图作连续梁的影响线轮廓
用挠度图作连续梁某量S影响线轮廓的步骤如下： (1)去掉与所求反力或内力S相应的约束，代以约束反力或内力S。 (2)令S方向产生正向单位位移，作出体系的挠度图(一条满足约束条件 的平滑挠曲线)。基线上方为正，下方为负，这样就得到S影响线的大致 形状。
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8.3 机动法作静定梁的影响线
1. 机动法作影响线的原理和步骤
用机动法作影响线是以虚位移原理为依据的。现绘制如图 8.4(a)所示的外伸梁的支座反力的影响线。
图8.4 用机动法作影响线
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用机动法绘制静定结构某反力或截面内力影响线的步骤可 归纳如下： (1)去掉与所求影响线的反力或内力所对应的约束，代之以相 应的反力或内力。 (2)使所得的体系沿该反力或内力的正方向发生单位位移，作 出虚位移图，可定出影响线的形状。 (3)根据发生的单位虚位移，即沿着该反力或内力的正向位移等 于1，进一步定出影响线各纵坐标的数值。 (4)横坐标轴以上的图形，影响线纵坐标取正号；横坐标轴以下 的图形，则取负号。
中该截面的竖标值与所有活载弯矩图中对应的正(或负)值竖标
相加，便得到该截面的最大(或最小)弯矩值。 即
(4)将上述各截面的最大(或最小)弯矩值在同一图中按同一比例 画出，并连成曲线，即得到所求的弯矩包络图。
图8.2
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(3) 弯矩影响线
现绘制简支梁上任一截面C的弯 矩影响线。（如图8.2(c)所示） 利用影响线方程绘制影响线的 方法称为静力法。
2.外伸梁的影响线
现绘制图8.3(a)所示外伸梁 的影响线。
(1) 支座反力影响线
在外伸部分(注意当P=1位于支 座A以左时，x取负值)只需将直 线向两个伸臂部分延长，即得 到支座反力的整个影响线，如 图8.3(b)、(c)所示。
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8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6
影响线的概念 用静力法作单跨静定梁的影响线 机动法作静定梁的影响线 影响线的应用 简支梁的内力包络图和绝对最大弯矩 连续梁的影响线及其应用简介
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8.1 影响线的概念
竖向单位集中荷载Р ＝1沿结构移动时，表示某 量值变化规律的图形，称为该量值的影响线。 固定荷载是指荷载作用点在结构上的位置是固 定不变的。要求出某一反力或某一内力的最大值， 必须先确定产生这一最大值的荷载位置，这一荷载 位置称为最不利荷载位置。