第三节 瞬变非周期信号及其

dt
T 2
T 2
e j 2ft dt
应用欧拉公式

e 2f
j
jfT
e
jfT

sinfT T fT
T sinc(fT )
W(f)中T称为窗宽 定义 sinc
j sin wt ( e jwt e jwt ) 2
sin

这个函数在信号分析中有很大的作用，将之称为抽样 信号，它以2为周期并随的增加作衰减振荡。
t
准周期信号 x(t)=Asin9t+ Asin[sqrt (31)t]
瞬变信号 在一定时间区间内 存在或随时间的增 长衰减至零 0
x(t)
x(t)
t
0
t 瞬变信号II
瞬变信号I x(t)=exp(-t)*sinw t
一、 瞬变非周期信号的谱密度与傅里叶变换
如前所述，对于周期为T的信号x(t),其频谱是离散的。其相

t 0 T
t0
| x ( t ) | dt
因此并不是所有的瞬变非周期信号都能够进行傅里叶变换， 有关这一点将在后面以例题的形式说明。
频谱反映信号的频率构成成分。对于周期信号，傅 里叶级数的系数组成了离散频谱，其幅值是各次谐波的
振幅。而对于非周期信号，其幅值频谱是连续的，幅值
谱实际上是幅值谱密度（幅值/频率），所以非周期信号 的频谱应该称为谱密度函数；相应的非周期信号的频谱 图实际上应该称为谱密度图。但一般文献把离散频谱和 连续频谱统统称为频谱，
Im X ( f ) ( f ) arctg Re X ( f )
X ( f ) ——信号 x(t ) 的连续幅值谱
( f )
——信号 x(t ) 的连续相位谱
用周期信号时来推导非周期信号的傅里叶变换对，这种推导 并不严格。因为傅里叶变换的存在条件除了满足狄里赫利条件外， 还应满足在无限区间上绝对可积的条件，即
通过傅里叶变换得到的 X ( f ) ，一般来说是实变量 f 的复函 数，可以写成实、虚部的形式，也可写成幅值与相角的形式。
X ( f ) Re X ( f ) j Im X ( f ) X ( f ) e j ( f )
X ( f ) [Re X ( f )]2 [Im X ( f )]2
j 1 x ( )e k
2 f k
F x ( kt )
1 x( )e k

j
2f k
d
1 f X k k
得证
时间尺度改变特性举例
又称为时间展缩原理
a) k=1
b) k=0.5
幅值增大 频带变窄
c) k=2
幅值减小 频带变宽
尺度改变性质举例–(直流信号/δ 函数信号？)
6、卷积性质（又称为褶积）
两个信号卷积定义为：
x1 ( t ) x 2 ( t ) x1 ( ) x 2 ( t )d x 2 ( ) x1 ( t )d
T0 / 2
x ( t )e jnw 0 t dt )e jnw 0 t
dw ( x ( t )e jwt dt )e jwt 2
1 2


x ( t )e jwt dt e jwt dw
X (w )
1 x( t ) 2

x(t )
n


C n e jn w 0 t
1 x( t ) 2



X (w )e jwt dw
w(t)
例 求矩形窗函数的频谱 1
1 w( t ) 0
解

t T 2 t T 2
j 2ft
-T/2
0 T/2 t
W ( f ) w( t ) e

2 。当周期信号的周期 T0 T0 时，周期信号就变成了非周期信号了， T 则频率间隔 0 2 w w 0 无穷小 ， A(w)
邻两条谱线间隔为 w w 0
T0 谱线无限靠近，最后成为
4A 4A 3 0 w0 3w0 4A 5 5w0
一条连续曲线。所以非周

余弦函数是偶函数 正弦函数是奇函数
若x(t)为实函数，则：ReX(f) = ReX(-f) ImX(f) = - ImX(-f) 若x(t)为实偶函数，则ImX(f)=0，X(f)为实偶函数 若x(t)为实奇函数，则ReX(f)=0，X(f)为虚奇函数 若x(t)为虚偶函数，则ReX(f)=0，X(f)为虚偶函数 若x(t)为虚奇函数，则ImX(f)=0，X(f)为实奇函数


(
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x ( t )e jwt dt )e jwt dw
这就是傅里叶积分表达式。 傅里叶变换(FT) ※

X (w )

x ( t )e jwt dt

傅里叶反（逆）变换(IFT)
1 x( t ) 2


X (w )e jwt dw
称为二者互为傅里叶级数对，记作：
X ( f )e j 2ft 0
此性质表明，在时域中信号沿时间轴平移一个常值时，频 谱函数将乘因子，即只改变相频谱，不会改变幅频谱。 频移性质
x ( t )e j 2ft0 X f f0
f0为常数
时移性质举例
产生相移
a) 时域矩形窗 c) 时移的时域矩形窗
b) 图a）对应的幅频和相频特性曲线 d) 图c）对应的幅频和相频特性曲线
x ( t )e jnw 0 t dt
T0
lim x ( t ) lim
T0 n


C n e jnw 0 t
三个变化
w dw nw 0 w
1 lim ( T0 n T0

T / 2
0
第三节 瞬变非周期信号及其连续频谱
频率之比为有理数的多个谐波分量，其叠加后由于有公共周期， →周期信号 一般非周期信号是指瞬变非周期信号→ 简称为瞬变信号
当信号中各个频率比不是有理数时，则信号叠加后是准周期信号
右图就是一个典 型的瞬变信号。
前面已给大家举 了很多有关瞬变信号 的例子。
x(t) 准周期信号 信号中各简谐成分 的频率比为无理数 晑 具有离散频谱 非 周 期 信 号 0
续谱离散化，所得离散谱的包络线与连续谱的形状相同；
（如前面所举的周期方波→矩形窗的变化，图形在下一页）
T 2t0是满足采样定理的要求，在后面第7章中介绍。 |X(w)|与|cn|量纲不同。|cn|具有与原信号幅值相同的量 纲，|X(w)|是单位频宽上的幅值
非周期信号频域描述的基础（数学工具）是傅里叶变换。
4、时间尺度改变特性
如果 则有
x( t ) X ( f )
x ( kt ) 1 f X k k
证明 F x ( kt )



x ( kt )e j 2ft dt
2 f k
j 1 F x ( kt ) x ( )e k
d d 1 f X k k
T
3 T
2 T
1 T
0 (f )
1 T
2 T
3 T
f

1 0 T
1 2 T T
3 T
f
周 期 信 号 的 离 散 谱
非 周 期 信 号 的 连 续 谱
非周期信号频谱的特点
基频无限小，包含了从 0〜的所有频率分量；
频谱连续。当非周期信号为时限信号 t t0时x( t ) 0 ，可开拓成一周期信号（T 2t0），使连
5、时移和频移性质
如果
x( t ) X ( f )
x ( t t0 ) X f e j 2ft0
则有时移性质
t0为常数
与t无关
证明 F x ( t t ) x ( t t )e j 2ft dt 0 0




x ( t t 0 )e j 2f ( t t0 ) e j 2ft 0 d ( t t 0 )

X ( f ) 2X (w )
※※
x ( t )e j 2ft dt

X ( f )e j 2ft df
记为：
这两组式子分别以 w 和 f 为变量，后一组式子由于消除 了 2 这个因子，应用起来更 为方便，建议大家多使用后一 组。
傅里叶变换
X( f )


x ( t )e j 2ft dt
1 x( t ) 2



(


x ( t )e jwt dt )e jwt dw
X (w )


x ( t )e
jwt
dt
1 x( t ) 2



X (w )e jwt dw
dw 2 df
以
w 2f 代入得
X( f ) x( t )
几件事
1。每个班尽快确定课代表！ 课代表职责： 反馈听课意见； 收发作业； 联系和组织实验； 2。实验地点：学院测试实验室 3。今天尽快去见葛老师： 测试实验室，205房间，2545-8207
二、 傅里叶变换的主要性质
前面已经讲过，一个信号可以有时域描述和频域描述两种描述 方法。 时域描述：以时间 t做为独立变量的信号的描述方法。 频域描述：以频率f(或 w )做为独立变量的信号的描述方法。 频域描述能够揭示信号的频率结构和各频率成分的幅值与相位 的大小。 这两种描述方法彼此建立一一对应关系就是通过傅里叶变换来 实现的，即傅里叶变换起到了桥梁的作用。在信号分析中，傅里叶 变换有着举足轻重的地位，它是FFT（快速傅里叶变换）的基础。 因此要求我们掌握傅里叶变换的主要性质，有助于了解信号在某个 域中的变化和运算会对另一个域有何影响，产生何种的变化。傅里 叶变换的性质较多，我们主要要求大家掌握以下几点：
1/T
3/T 2/T
f
W(f )
sinfT W( f ) T fT
W(f)函数只有实部，没有虚部。 W(f)中T 称为窗宽。 抽样信号： W(f)以 2 / T为周期并随 f 的增加作衰减振荡。 W(f)是偶函数，在f=n/T （n=1, 2, ……）处 其值为0。 其幅频谱与相位谱如图示。 3 T 2 T
2、线性叠加性 如果
x( t ) X ( f ) y( t ) Y ( f )
那么 其中
ax(t ) by(t ) aX ( f ) bY ( f )
a, b均为常数
3、对称性
如果 则有
x( t ) X ( f ) X ( t ) x( f )
x ( t ) X ( f )e j 2ft df

证明： IFT定义 用-t代t 互换t和f
x ( t ) X ( f )e j 2ft df


x ( f ) X ( t )e j 2ft dt


这是傅里叶变换的定义，因此上述结论得到验证 即
X ( t ) x( f )
对称性举例
作用根据已知的傅里叶变换对推出未知的傅里叶变换对。
1、奇偶虚实性

e j 2ft cos( 2ft ) j sin(2ft )
X ( f ) x ( t )e j 2ft dt Re X ( f ) j Im X ( f ) Re X ( f ) x ( t ) cos 2ftdt Im X ( f ) x ( t ) sin 2ftdt
而无严格区分，工程测试中
为方便，也仍称为频谱。 在此我们也沿用这种说法。
再次强调，非周期信号的幅值谱和周期信号的幅值 很相似，但是两者是有差别的，其别突出表现在后者的
量纲为幅值量纲，而前者的量纲不是幅值量纲，而是振
幅/频率，即单位频带上的幅值。
周期信号———幅值量纲 非周期信号——幅值/频率 两个公式类比：单位频率的幅值
sinc
sin
sinc 以 2 为周期，随 的增加做衰减振荡； sinc 函数是偶函数，在 n 处的值是零 n 1,2,3,
sinc 的图象
sinc
sin

W( f )
T
sinfT W( f ) T fT
3/T
1/T
2/T
期信号的频谱是连续的。
以前述的方波为例。
w
若把非周期信号可以看成是周期T0 趋于无穷大的周期信号 2 T0 1 w dw w w 0 dw T0 T 2 2
0
x(t )
n


C ne
jn w 0 t
1 cn T0

T0 / 2
T0 / 2