9非周期信号的频谱分析第一节连续非周期信号的频谱、第二节常见连续信号的频谱分析

讨论周期T增加对离散谱的影响：
周期为T宽度为t 的周期矩形脉冲的Fourier系数为
Cn
tA Sa( n0t
T
2
)
lim Cn T f 0

lim
T
TC
n
F(j)
3
一、从傅里叶级数到傅里叶变换
Cn

1 T
T
2T
fT (t)e jn0t dt
2
lim
T
C
n

f
(t)

lim
T
fT
(t)

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lim
T
n
=-
Cn
e jn0t

lim
F ( j)0 e jn0t
T n=-
2π
T , 记 n0 = , 0 = 2p/T = d,
f
(t)

1 2π

F( j)e
jt d
物理意义：非周期信号可以分解为无数个频率为，
10
常见连续时间信号的频谱
常见非周期信号的频谱(频谱密度) 单边指数信号 双边指数信号ea|t|
单位冲激信号d(t)
直流信号 符号函数信号 单位阶跃信号u(t)
常见周期信号的频谱密度 虚指数信号 正弦型信号 单位冲激串
11
一、常见非周期信号的频谱
1. 单边指数信号
f (t) e at u(t)，a 0，
23
二、常见周期信号的频谱密度
2. 正弦型信号
cos0t

1 (e j0t 2
ej0t ) F π[d (
0 ) d (
0 )]
cos 0t
1
F( j)
(π)
(π)
t 0
0
0

余弦信号及其频谱函数
24
二、常见周期信号的频谱密度
2. 正弦型信号
sin 0t
F( j) f (t)ejt dt 0 eat ejt dt
e (a j)t

1
(a j) 0 a j
幅度频谱为
F ( j) 1 a2 2
相位频谱为
() arctan( ) a
12
一、常见非周期信号的频谱
π/2
符号函数的幅度频谱和相位频谱
20
一、常见非周期信号的频谱
6. 单位阶跃信号 u(t)
u(t) 1 1 sgn(t) 22
F[u(t)] πd () 1 j
u(t) 1
t 0
F( j)
(π)
0
( )
π/2
0 π/2
阶跃信号及其频谱
21
二、常见周期信号的频谱密度
4
二、周期和非周期信号频谱函数的区别
（1）周期信号的频谱为离散频谱， 非周期信号的频谱为连续频谱。
（2）周期信号的频谱为Cn的分布，表示每个谐波 分量的复振幅； 非周期信号的频谱为T Cn的分布，
两者关系：
F
(
j)

lim
T
TCn
F( j)
Cn T
n0
5
三、傅里叶反变换
4. 直流信号f (t)
直流信号及其频谱 1
F ( j)
(2π)
0
t
0

对照冲激、直流时频曲线可看出:
时域持续越宽的信号，其频域的频谱越窄；
时域持续越窄的信号，其频域的频谱越宽。
17
一、常见非周期信号的频谱
广义傅里叶变换：可构造一函数序列 fa (t) 逼近 f (t)
即
f
(t)

lim
lim 1 T T
T
2T

fT
(t)e jn0t dt

lim
T
1 T

f (t)e jt dt
2
傅里叶变换：
F( j)

lim
T
TCn


f
(t)e jt dt
物理意义: F(j)是单位频率所具有的信号频谱，
称之为非周期信号的频谱密度函数，简称频谱函数。

1 (e j0t 2j

e j0t
) F jπ[d
(
0 )
d
(
0 )]
sin 0t 1
F ( j )
( )
(π)
t
0 0
π/2
(π)
0
0 0
0
π/2
正弦信号及其频谱函数 25
二、常见周期信号的频谱密度
3. 一般周期信号
fT (t)
a ,0
fa
(t)
而 fa (t) 满足绝对可积。并且 fa (t) 的傅里叶
变换所形成的序列 Fa ( j) 是极限收敛的，则可定义 f (t)
的傅里叶变换 F( j) 为
F
(
j)

lim
a ,0
Fa
(
j
)
18
一、常见非周期信号的频谱
5. 符号函数信号
符号函数定义为
1 t 0
1. 单边指数信号
F ( j) 1 a2 2
f (t) e at u(t)，a 0，
() arctan( ) a
单边指数信号及其幅度频谱与相位频谱
f (t)
F(j)
( )
1
1/a
π/2

0
0
t
0
π/2
13
一、常见非周期信号的频谱
2. 双边指数信号 ea|t|
F[1] lim F[1 e| t| ]
0
lim[ 2 ] 0 2 2
2πd ()
lim [
0
2 2
2
]

0
0 0

2 d 2 arctan( ) 2π
2 2

求面积
16
一、常见非周期信号的频谱
4. 单位冲激串

dT (t) d (t nT )
n
T
T
T
Cn
1 T
2 T
f (t)e jn0t dt
1 T
2 T
dT
(t)e
jn0t dt

1 T
2 T
d
(t)e
jn0t dt
1 T
2
2
2
F[dT
(t)]


2π
n
Cnd
(

n0
a
2
2
j
2
F[sgn(t)] lim 0
F[sgn(t)e t ]

lim
0

a
2
2
j
2

2
j
19
一、常见非周期信号的频谱
5. 符号函数信号
1 t 0
sgn(t)


1 t 0
F( j)
( )
π/2

0
0

复振幅为[F(j)/2p]d
的虚指数信号ej
t的线性组合。 6
傅立叶正变换：
F ( j)



f
(t)ejt dt
傅立叶反变换：
f
(t)

1 2π

F( j)e
jωt d
符号表示：
或
F ( j) F[ f (t)] f (t) F 1[F ( j)] f (t) F F ( j)
7
狄里赫莱条件
（1）非周期信号在无限区间上绝对可积
f (t) dt
（2）在任意有限区间内，信号只有有限个最大值 和最小值。
（3）在任意有限区间内，信号仅有有限个不连续点， 且这些点必须是有限值。 狄里赫莱条件是充分不必要条件
8
例 试求图示非周期矩形脉冲信号的频谱 函数。
解： 非周期矩形脉冲信号f(t)的时域表示式为 f (t)
F ( j)
(2π)
由1 ejt dt 2πd ()
得F[e
j0t
]



e
j(0 )t
dt

2πd
(

0
)
0 0

虚指数信号频谱密度
同理:
F[e j0t
]



e j(0
)t
dt

2πd
(

0
)
也可由已知 1 2pd 再由频移特性得到
(t)]



f
(t )e jt
dt



d
(t )e jt
dt
1
取样性
d (t)
F ( j)
(1)
1
t 0
0

单位冲激信号及其频谱
15
一、常见非周期信号的频谱
4. 直流信号f(t)=1,<t<
直流信号不满足绝对可积条件，可采用极限的
方法求出其傅里叶变换。 0
周期信号：f (t) 傅里叶级数Cn 离散谱
非周期信号：f (t) 傅里叶变换F( j) 连续谱
周期信号的傅里叶变换如何求？ 与傅里叶级数的关系？
f (t)非 周周 期期统一的分析方法：傅里叶变换
22
二、常见周期信号的频谱密度
1. 虚指数信号 e j0t ( t )

0 2Sa(n0 )d ( n0 )
n
p Sa( np )d ( np )
n
2
2
1 0 1
4
t
0

2p
T
pt t t Sat / 2
29
傅里叶系数与傅里叶变换的关系：
设f0 t F0 j
T
F0 j
单位冲激串
(1)
及其频谱函数
F[dT (t)] (0 )

T 0 T
t

0 0 0
28
例 周期信号如图，求其傅里叶变换
解：周期信号f(t)也可看作一时
f (t)
限非周期信号f0(t)的周期拓展。 即
f (t) dT (t) * f0 (t)
4

F ( j) 0 d ( n0 )F0 ( j) n
非周期信号的频域分析
连续非周期信号的频谱 常见连续时间信号的频谱 连续时间Fourier变换的性质 离散周期信号的频域分析 离散非周期信号的频域分析
1
连续非周期信号的频谱
从傅里叶级数到傅里叶变换 周期和非周期信号频谱函数的区别 傅里叶反变换 非周期矩形脉冲信号的频谱分析
2
一、从傅里叶级数到傅里叶变换
sgn(t)


1 t 0
F[sgn(t)e t ] 0 (1)et ejt dt 0 et ejt dt
e( j)t
j
0 t
e ( j)t
j
t 0


1
j
1
j


2. 周期信号的离散频谱可以通过对非周期信号的 连续频谱等间隔取样求得
3. 信号在时域有限，则在频域将无限延续。
4. 信号的频谱分量主要集中在零频到第一个过零点 之间，工程中往往将此宽度作为有效带宽。
5. 脉冲宽度t越窄，有限带宽越宽，高频分量越多。
即信号信息量大、传输速度快，传送信号所占用
的频带越宽。
A，
| t | t / 2
A
f
(t)


0，
| t | t / 2
由傅里叶正变换定义式，可得
t
t
t
2
2
F ( j)
t
F ( j)


f (t)e jt dt

2t
A e jt dt
tA
2
At Sa(t )
2
2π
2π
t
t

9
分析：
1. 非周期矩形脉冲信号的频谱是连续频谱，其形状 与周期矩形脉冲信号离散频谱的包络线相似。


Cn
e
jn0t
n
(0

2π ) T
两边同取傅里叶变换

F[ fT (t)] F ( j) F[
Cne jn0t ]

Cn

F[e jn0t
]
n
n

F[ fT (t)] 2π Cnd ( n0 )
n
26
二、常见周期信号的频谱密度
a0
F ( j) 0 eate jtdt eate jtdt 1 1

0
a j a j

a
2a 2
2
幅度频谱为
F( j) 2a a2 2
相位频谱为
() 0
14
一、常见非周期信号的频谱
3. 单位冲激信号d(t)
F[d
2 T
f0 t e jtdt
2
Cn

1 T
T
2 T
fT
2
t e jn0t dt
一个周期内 f0 (t) fT (t)
比较以上两式得Cn

1 T
F0
j |n0
30
)


2π
n
1d
T
(

n0
)

0 d ( n0 )
n
27
二、常见周期信号的频谱密度
4. 单位冲激串

dT (t) d (t nT ) n
F[d T
(t)]


2π
n
1d
T
(

n0
)
0

d (
n

n0 )
dT (t)