非周期信号频谱分析---三
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实验四非周期信号频域分析
实验四 非周期信号频域分析1 实验目的(1) 掌握傅里叶变换的分析方法及其物理意义。
(2) 掌握各种典型的连续时间非周期信号的频谱特征以及傅里叶变换的主要性质。
(3) 学习掌握利用MA TLAB 语言编写计算CTFT 的仿真程序，并能利用这些程序对一些典型信号进行频谱分析，验证CTFT 的若干重要性质。
2 实验原理及方法2.1连续时间信号傅里叶变换——CTFT傅里叶变换在信号分析中具有非常重要的意义，它主要是用来进行信号的频谱分析的。
傅里叶变换和其逆变换定义如下：⎰∞∞--=dt e t x j X t j ωω)()( 4-1 ⎰∞∞-=ωωπωd e j X t x t j )(21)( 4-2连续时间傅里叶变换主要用来描述连续时间非周期信号的频谱。
任意非周期信号，如果满足狄里克利条件，它可以被看作是由无穷多个不同频率(这些频率都是非常的接近)的周期复指数信号e j ωt 的线性组合构成的，每个频率所对应的周期复指数信号e j ωt 称为频率分量，其相对幅度为对应频率的|X(j ω)|之值，其相位为对应频率的X(j ω)的相位。
X(j ω)通常为关于ω的复函数，可以按照复数的极坐标表示方法表示为：X(j ω)=| X(j ω)|e j ∠ X(j ω)其中，| X(j ω)|称为x(t)的幅度谱， ∠X(j ω)称为x(t)的相位谱。
给定一个连续时间非周期信号x(t)，它的频谱是连续且非周期的。
对于连续时间周期信号，也可以用傅里叶变换来表示其频谱，其特点是，连续时间周期信号的傅里叶变换是由冲激序列构成的，是离散的——这是连续时间周期信号的傅里叶变换的基本特征。
2.2 用MA TLAB 实现CTFT 及其逆变换2.2.1 用MATLAB 实现CTFT 的计算MA TLAB 进行傅里叶变换有两种方法，一种利用符号运算的方法计算，另一种是数值计算，本实验采用数值计算的方法。
严格来说，用数值计算的方法计算连续时间信号的傅里叶变换需要有个限定条件，即信号是时限信号，也就是当时间|t|大于某个给定时间时其值衰减为零或接近于零，这个条件与前面提到的为什么不能用无限多个谐波分量来合成周期信号的道理是一样的。
03第1章_瞬变非周期信号与连续频谱
其中： j ( f ) X( f ) X( f )e
X ( f ) Re2 [ X ( f )] Im2 [ X ( f )] 幅值谱 ( amplitude spectrum )
Im[ X ( f )] ( f ) arctg 相位谱 Re[ X ( f )] ( phase spectrum )
T
T
n
x(t )
2 2 2 0
n 0 (n 1) 0 0
Cn
t
T
2 d 0 T
非周期信号的频谱分析
2, Fourier 变换
Fourier 变换的推导 ( 1 ) 由以上思路推导公式
x(t ) lim xT (t )
( x(t )e j 2ft dt)e j 2ft df
令为 X( f )
非周期信号的频谱分析
非周期信号是时间上不会重复出现的信号，一般 为时域有限信号，具有收敛可积条件，其能量为 有限值。这种信号的频域分析手段是傅立叶变换 （Fourier transform）。 傅立叶变换的定义
非周期信号的频谱分析
对比:方波谱
非周期信号的频谱分析
例：矩形脉冲信号(rectangular pulse signal) G(t ) （窗函数(window function)）
E, t T / 2 G(t ) 0, t T / 2
矩形脉冲信号的 Fourier 变换为
a
m 1
k
m m
x (t ) am X m ( f )
m 1
k
2.5信号的频域分析(非周期信号)2.6傅立叶变换的性质
能 量 谱
由此最后得
E = ∫ x2 (t )dt =
−∞ ∞
1 ∞ 2 X(ω) dω 2π ∫−∞
(16)
式（15）亦称巴塞伐尔方程或 能量等式。它表示，一个非周 期信号x(t)在时域中的能量可由 它在频域中连续频谱的能量来 表示。 式（15）亦可写成
E= 1 ∞ 2 X(ω) dω 2π ∫−∞ 1 ∞ 2 = ∫ X(ω) dω = ∫ S(ω)dω
证明： 由欧拉公式
X (ω) = ∫ x(t)e
−∞
∞ −∞
∞
− jωt
dt
∞ −∞
X (ω) = ∫ x(t) cosωtdt − j∫ x(t) sin ωtdt
= Re X (ω) + j Im X (ω)
若x(t)为实函数
Re X (ω) = Re X (−ω) Im X (ω) = − Im X (−ω)
x(t) = Arect
(t − t0 )
T
图2.30 具有时移t0的矩形脉冲
X( f ) = AT sin c(πfT) sin c(πfT) > 0 − 2πt0 f , ϕ( f ) = − 2πt0 f ±π , sin c(πfT) < 0
测试技术
2.6傅里叶变换的性质 2.6傅里叶变换的性质
∫
∞
−∞
x(t) dt < ∞
但上述条件并非必要条件 必要条件。因为当引入广义函数概 必要条件 念之后，许多原本不满足绝对可积条件的函数也能进行傅 里叶变换。 若将上述变换公式中的角频率ω用频率f来替代，则由 于ω=2πf，式（5）和（6）分别变为
X( f ) = ∫ x(t)e− j 2πft dt
信号分析基础非周期信号频域分析
浙江工业大学
矩形脉冲函数的表达式：
x(t)
?
??1, t
? ??
0
,
t
?? ??
x(t)
1
t ?? 0 ?
矩形脉冲信号可视为一个周期 T趋近于无穷大的
方波信号 .
由于： T ? ? ，? w ? dw ， ? ? ? 所以：
非周期信号的频谱
浙江工业大学
?
? x(t) ?
Cne jn? 0t ,(n ? 0,? 1,? 2,...)
?T0 / 2
当T0→∞时， ①积分区间由[- T0/2,T0/2]变为(-∞,∞)；
② ω0=2π/T0 →0， →离散频率nω0→连续变量ω。
? lim
T0 ? ?
Cn
?T0
?
? x(t)e? j? t dt
??
浙江工业大学
? 非周期信号： ? 周期T0 →∞的周期信号 ? 周期信号 x(t)，周期为 T0，则其频谱是离散谱，而相邻谐波之间的
非周期信号的频谱
浙江工业大学
与周期信号相似，非周期信号也可以分解为 许多不同频率分量的谐波和，所不同的是，由于 非周期信号的周期 T?∞，基频 f?df，它包含了
从零到无穷大的所有频率分量，各频率分量的幅 值为 X(f)df ，这是无穷小量，所以频谱不能再用 幅值表示，而必须用幅值密度函数描述。
另外，与周期信号不同的是，非周期信号的谱
? ? 3? 0 ? 2? 0 ? ? 0 0
? 0 2? 0 3? 0 ? ?
非周期信号的频谱
浙江工业大学
? lim
T0 ? ?
Cn
?T0
?
? x(t)e? j? t dt
非周期信号的频谱分析第三节连续时间Fourier变换的课件.ppt
F( j)
πF (0)
()
若信号不存在直流分量即F(0)=0
则t
f
( )d
F
1
j
F( j)
18
例3 试利用积分特性求图示信号f(t)的频谱函数。
f(t) 1
y(t)=p(t0.5) 1
t
0
1
t
0
1
解： f (t) = t p(t 0.5)dt = t y(t)dt
由于 p(t 0.5) F Y ( j) = Sa (0.5)e j0.5
F F1 ( j)
1 Sa (0.5)e j0.5 j
利用修正的微分特性，可得
F( j) = π( f () f ()) () F1 ( j) j
= 3π () 1 Sa (0.5)ej0.5 j
与例4结果 一致！ 24
23
10. 频域微分积分特性
若f (t) F( j)
则( jt)n f (t) F (n) ( j)
由上式利用时域微分特性，得
2
F[ f '(t)] = (j)F(j) = A 2jsin( )
2
因此有
F( j) = 2A sin( ) = ASa( )
2
2
21
20
例6 试利用微分特性求图示信号f(t)的频谱函数。
f(t) 2 1
f '(t) 1
t
0
1
t
0
1
解： f '(t) = p(t 0.5) F Sa(0.5)e j0.5
f1(t) d n f (t
f )
2 (t) F F ( j)
1
2π n
[F1( j) F( j)
§305 典型非周期信号的频谱
lim E
e j e j
j
E
lim
2
sin
2E
lim
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
sin
2E
F
2E
O
E 2E
时域无限宽，频带无限窄
lim
Sa
( )
X
四．符号函数
不满足绝对
e te j t dt
0
1
j
1
j
2
j2 2
F
lim
0
F1
lim
0
2
j2
2
2
j
X
频谱图
sgnt
2
j 2
2
j
e2
j
F
2
2
2
F 是偶函数
信号与系统
§3.5 典型非周期信号的频谱
X
主要内容
本节将讨论如下信号的频谱密度函数 矩形脉冲 单边指数信号 直流信号 符号函数
重点 矩形脉冲的频谱密度函数 难点 不满足绝对可积条件信号的频谱
X
一．矩形脉冲信号
f t
E 2 0 2
F
2 2
Ee
j
t
dt
E
f
(t
)
第三节瞬变非周期信号与连续频谱
δ（t）。 δ函数也称为单位脉冲函数。
从函数值极限的角度看：
(t 0) (t ) 0(t 0)
从面积（通常也称其为δ函数的强度）的角度看：
(t )dt lim S (t )dt 1
0
（2）δ函数的性质
A、乘积特性
x(t ) (t ) x(0) (t )
C、δ函数为偶函数，即：
(t ) (t )
D、 δ函数与其它函数的卷积
x(t ) (t ) x(t )
x(t ) (t t 0 ) x(t t 0 )
（3）δ函数的频谱
将δ（t）进行傅立叶变换：
( ) (t )e
jt
z (t ) cos 0 t
因此被矩形窗函数截断的余弦函数可表示为：
x(t ) w(t ) z (t ) cos 0 t (T t T ) 0其它
其中：
W ( ) 2T sin c(T )
由于余弦函数不满足绝对可积条件，因此不 能用傅立叶变换公式直接计算它的频谱密度函数， 根据欧拉公式可知：
其中：
幅度频谱为：
X ( ) 1 a2 2
相位频谱为：
( ) arctg
a
|X(ω)|
0
ω
Φ(ω)
2
ω
2
例1-3
求被矩形窗函数截断的余弦函数的傅立叶变
换
解： 根据图可将矩形窗函数和余弦函数分别表示
为：
1(T t T ) w(t ) 0其它
T称为窗宽
w（t）的频谱为：
W ( ) w(t )e jwt dt
从函数值极限的角度看：
(t 0) (t ) 0(t 0)
从面积（通常也称其为δ函数的强度）的角度看：
(t )dt lim S (t )dt 1
0
（2）δ函数的性质
A、乘积特性
x(t ) (t ) x(0) (t )
C、δ函数为偶函数，即：
(t ) (t )
D、 δ函数与其它函数的卷积
x(t ) (t ) x(t )
x(t ) (t t 0 ) x(t t 0 )
（3）δ函数的频谱
将δ（t）进行傅立叶变换：
( ) (t )e
jt
z (t ) cos 0 t
因此被矩形窗函数截断的余弦函数可表示为：
x(t ) w(t ) z (t ) cos 0 t (T t T ) 0其它
其中：
W ( ) 2T sin c(T )
由于余弦函数不满足绝对可积条件，因此不 能用傅立叶变换公式直接计算它的频谱密度函数， 根据欧拉公式可知：
其中：
幅度频谱为：
X ( ) 1 a2 2
相位频谱为：
( ) arctg
a
|X(ω)|
0
ω
Φ(ω)
2
ω
2
例1-3
求被矩形窗函数截断的余弦函数的傅立叶变
换
解： 根据图可将矩形窗函数和余弦函数分别表示
为：
1(T t T ) w(t ) 0其它
T称为窗宽
w（t）的频谱为：
W ( ) w(t )e jwt dt
2.4典型非周期信号的频谱
π −2 τ
O 2 τ π
4 τ π
ω
幅度 频谱
E τ
F(ω)
F(ω) = E Sa ωτ τ
ω
(
2
)
π −2 τ O
2 τ π
4 τ π
相位 频谱
ϕ(ω) π π −2 τ
0
2 τ4 τ π π
频宽： 频宽： 2 π 1 B ≈ 或f ≈ B ω τ τ
ω
X
−π
第
二．单边指数信号
E −α t t >0 α >0 e f ( t) = 0 t <0
E ↔2 E (ω) π δ
E
f (t)
不满足绝对可积 条件， 条件，不能直接 用定义求 F(ω)
t
0
τ →∞
f1(t) E
−τ
O
τ
t
X
第
推导
F(ω) =lim E −jωt dt ∫ e
τ→ ∞
−τ
6 页
τ
F(ω)
e−jωt τ = Elim − jω − ∞ τ→ τ
(2πE)
E
F(ω) = ∫ f ( t)e−jωt dt
−∞
∞
E 2
−τ
E π t −jωt =∫ 1+cos τ e dt τ − 2
τ
−
τ O
2
τ
2
τ
t
E τ −jωt E τ jπ t −jωt E τ −jπ t −jωt = ∫ e dt + ∫ e τ e dt + ∫ e τ e dt 2 −τ 4 −τ 4 −τ τ π E τ π E = E Sa(ω ) + Saω− τ + Saω+ τ τ τ 2 τ 2 τ
离散非周期信号的频谱
离散非周期信号的频谱频谱是任何信号的一个非常重要的特性，它决定了信号中能量的分布。
离散非周期信号的频谱研究一直是信号处理的重要领域之一。
本文将介绍离散非周期信号的频谱特性和分析方法，并以实际应用为例进行说明。
一、离散非周期信号的频谱特性频谱是一种信号分析方法，可用来确定信号中能量的分布，以便更好地描述信号的特性。
离散非周期信号指的是，信号永远不能重复，有时也叫离散调制信号。
离散非周期信号特别适合用傅立叶变换分析，其频谱具有特殊的结构，表现为频率峰峰值（频域谱线中的峰值）的带状构造。
这种带状结构是由信号的离散性造成的，因此，它决定了信号的能量集中在一定频率和其附近的带宽中。
理论上，对于离散非周期信号，频率峰值带状结构可以无限放大，这说明了离散非周期信号具有较大的带宽，因此，有关离散非周期信号频谱的研究非常有价值。
二、离散非周期信号的频谱分析方法离散非周期频谱分析通常采用傅立叶变换。
傅立叶变换可以将时域上的离散信号转换为频域上的离散信号，从而可以研究离散非周期信号的频谱特性。
傅立叶变换的另一个优点是，它可以将时域的正弦信号转换为频域的峰峰值形式。
另外，通过幅度谱和相位谱，可以更清楚地分析信号的频率特性，从而可以更轻松地分析信号中能量的分布情况。
三、实际应用离散非周期信号频谱的实际应用十分广泛，在通信、声学和多媒体中都有应用。
例如，图像处理的最终结果是一个离散非周期信号，它的傅立叶变换可以帮助我们更加准确地确定图像中能量的分布。
同样，在语音信号处理中，人类语音的本质也是一个离散非周期信号，可以利用傅立叶变换更加准确地分析语音特性，从而提高语音识别和合成的效果。
最后，离散非周期信号频谱在多媒体中也有重要作用，可以用来更准确地表示多媒体信号，帮助我们更好地处理多媒体信号。
综上所述，离散非周期信号的频谱分析是信号处理的重要内容，它的研究与实际应用都有很多价值。
不仅可以用来理论研究，还可以用来实际应用，并在各种领域中得到广泛应用。
§3-3 非周期信号的频谱分析
x(t)
E
T
2
2
T
t
x(t)
E
T
2
2
T
t
x(t)
E
2
2
t
TA k E
0 1
2
k1
TA k E
0 1
2
k1
TA k E
0
2
对应的傅里叶级数展开式
x(t)
Ak e jk1t
k
TAk e jk1t
我们将X(jΩ)表示非周期信号的频谱，即是傅里叶正变 换
X ( j) x(t)e jt dt
式
x(t)
1
X ( j)e jt d
2
即是傅里叶反变换。上两式称作傅里叶变换对，常表示为
x(t) FT X ( j) ℱ x(t)
x(t) ℱ -1 X ( j)
k
1 T
1 2
TAk e jk1t
k
2 T
当T→∞的时候，
lim x(t)
T
1 2
TAk e
k
jk1t
2 T
lim
T
1 2
TAk e
k
jk1t
1
1
X ( j)e jt d
2
T
E
T
2
2
T
t
0 1
2
k1
x(t)
E
T
2
2
非周期信号的频谱
(2) 若f(t)为t的奇函数，即f(-t)=-f(t)，则f(t)的频 谱函数F(jω)为ω的虚函数，且为ω的奇函数。
与周期信号类似，也可将非周期信号的傅里叶变
换表示式改写成三角函数的形式，即
.
6
f(t)21
F(j)ejtd
21
F(j)ej[t()]d
2 1 F (j)co ts [()d ]
2
0
2
t
实偶
4
2
0
2
4
实偶
图 3.4-1 门函数及其频谱
一般而言，信号的频谱函数需要用幅度谱 F( j)和相位
谱 ( )两个图形才能将它完全表示出来。但如果频谱
函数是实函数或虚函数，那么只用一条曲线即可。
F(j) 为负代表相位为 ，
0
.
F(为j正) 代表相位为 。
11
由图可见，第一个零值的角频率为 2 （频率 1 ）。
为了描述非周期信号的频谱特性，引入频谱密度的 概念。
令
F(j)T l i m 1F /n TT l i m FnT
称 F(j)为频谱密.度函数。
2
如何求频谱密度函数？ F(j)T l i m 1F /n TT l i m FnT
由式
f(t) Fnejnt
n
，Fn
1 T
T
2 T
2
f(t)ej ntd t可得
可知
'(t)ejtd tdejt j
dt t 0
即 ℱ 'tj
同理可得 ℱ [(n)(t). ](j)n
23
例3.4-6 求单位直流信号的频谱
f(t)1 - t
显然，该信号不满足绝对可积条件，但其傅里叶变换
非周期信号的频谱分析
X
4．傅里叶变换对
F(
j )
f
(t)ej t
dt
F
f
(t)
正变换
f
(t)
1
2
F
j
e j
t
d
F
1 F
j
反变换
简写
f t F j
记做：
F f (t) F( j) F 1 F( j) f (t)
二、傅里叶反变换的物理意义——信号分解
f (t) 1 F j e j t d F j d e j t
π
2
O
π2
O π 2
注意：只有α＞0时傅里叶变换才存在， α＜0时f(t)不
满足绝对可积条件
8．升余弦脉冲信号（自学）
f
t
E 2
1
cos
π
t
0 t
f t
E
E
2
F j f t ejt d t
O
2
E 2
1
cos π t
e jt
dt
t
2
E
ejt d t E
2
(t)
Sa 2
(
w 2
)
1 f2τ△ (t)
注意对比两 者不同
F j
－τ 0 τ
t
2π O 2π 4π
X
第
五.非周期信号频谱的特点
34 页
1.连续性
特例：直流和阶跃信号的频谱含冲激。
2.收敛性
第 13 页
4）与周期信号傅立叶级数展开的收敛条件比较
f (t) d t （有限值或收敛）
T
傅里叶变换存在的条件与傅立叶级数展开的收敛条 件一样。 信号绝对可积； 任何有限区间里，只有有限个最大值和最小值； 任何有限区间里，有有限个不连续点，且不连续点有值。
实验3-信号的频域分析
一，实验目的四，心得体会了解信号频谱和信号频域，掌握其特性。
一，实验原理实验主要分为四个部分，分别分析了连续和离散信号的周期、非周期情况下特性。
1.连续周期信号的频谱分析首先手算出信号的傅里叶级数，得出信号波形，然后通过代码画出信号波形图。
2.连续非周期信号的频谱分析先由非周期信号的时域信号得到它的频谱X（w），再通过MATLAB求出其傅里叶变换并绘出图形。
X=fourier(x)x=ifourier(x)①符号运算法syms t②数值积分法quad（fun，a，b）③数值近似法3.离散周期信号的频谱分析X=fft（x）4.离散非周期信号的频谱分析可以化为两个相乘的矩阵，从而由MATLAB实现。
三，实验内容（1）已知x（t）是如图周期矩形脉冲信号。
1）.计算该信号的傅里叶级数。
2）.利用MATLAB绘出由前N次谐波合成的信号波形，观察随着N的变化合成信号波形的变化规律。
3）.利用MATLAB绘出周期矩形脉冲信号的频谱，观察参数T和τ变化时对频谱波形的影响。
思考下列问题：①什么是吉伯斯现象？产生吉伯斯现象的原因是什么？②以周期矩形脉冲信号为例，说明周期信号的频谱有什么特点。
③周期矩形脉冲信号参数τ/T的变化，其频谱结构（如频谱包络形状、过零点、频谱间隔等）如何变化？（2）已知x（t）是如图所示矩形脉冲信号。
1）.求该信号的傅里叶变幻。
2）. 利用MATLAB绘出周期矩形脉冲信号的频谱，观察参数T和τ变化时对频谱波形的影响。
3）. 让矩形脉冲宽度始终等于一，改变矩形脉冲宽度，观察矩形脉冲信号时域波形和频谱随矩形脉冲宽度的变化趋势。
①比较矩形脉冲信号和周期矩形脉冲信号的频谱，两者之间有何异同。
②让矩形脉冲的面积始终等于一，改变矩形脉冲的宽度，观察矩形脉冲信号时域波形和频谱波形随矩形脉冲宽度的变化趋势。
（1）已知x（t）是如图所示的周期矩形脉冲信号①，计算该信号的傅里叶级数答：由图中x（t）波形可知信号为通过计算，可以知道所以x（t）的傅里叶级数为。
第一章 瞬变非周期信号与连续频谱(3)
262内只有一个函数梳状函数的傅里叶级数的复指数函数形式为梳状函数的频谱也是梳状函数page
Page: 1
第一章 信号及其描述
• 信号的分类与描述 • 周期信号与离散频谱 • 瞬变非周期信号与连续频谱
• 随机信号
Page: 2
瞬变非周期信号
• 非周期信号
– 准周期信号 – 瞬变非周期信号
• 傅里叶变换 • 傅里叶变换的性质 • 几种典型信号的频谱
Page: 7
傅里叶变换
1 X 2
xt e
jt
dt
FT
xt X e d
jt
xt X
IFT
2f 代入上式
X f xt e
j 2ft
dt
xt X f e
Page: 11
矩形窗函数及其频谱
Page: 12
Sinc函数
sin c
def
sin
Page: 13
傅立叶变换的主要性质
Page: 14
对称性应用举例
Page: 15
时间尺度改变特性举例
a) k=0.5（磁带快录慢放） b) k=1
c) k=2（慢录快放）
Page: 16
时移和频移特性
Page: 9
特别提醒：
非周期信号幅值谱| X(f) |与周期信号的幅值谱| cn|是有区别的-----量纲不同 后者的量纲与幅值的量纲一样；而前者的量纲 则与幅值量纲不同，它是单位频宽上的幅值，确 切地说是频谱密度函数
Page: 10
矩形窗函数的频谱
T 1 t 2 ωt 0 t T 2
Page: 1
第一章 信号及其描述
• 信号的分类与描述 • 周期信号与离散频谱 • 瞬变非周期信号与连续频谱
• 随机信号
Page: 2
瞬变非周期信号
• 非周期信号
– 准周期信号 – 瞬变非周期信号
• 傅里叶变换 • 傅里叶变换的性质 • 几种典型信号的频谱
Page: 7
傅里叶变换
1 X 2
xt e
jt
dt
FT
xt X e d
jt
xt X
IFT
2f 代入上式
X f xt e
j 2ft
dt
xt X f e
Page: 11
矩形窗函数及其频谱
Page: 12
Sinc函数
sin c
def
sin
Page: 13
傅立叶变换的主要性质
Page: 14
对称性应用举例
Page: 15
时间尺度改变特性举例
a) k=0.5（磁带快录慢放） b) k=1
c) k=2（慢录快放）
Page: 16
时移和频移特性
Page: 9
特别提醒：
非周期信号幅值谱| X(f) |与周期信号的幅值谱| cn|是有区别的-----量纲不同 后者的量纲与幅值的量纲一样；而前者的量纲 则与幅值量纲不同，它是单位频宽上的幅值，确 切地说是频谱密度函数
Page: 10
矩形窗函数的频谱
T 1 t 2 ωt 0 t T 2
3 非周期信号讲解
分析： ① 图中用斜线标明该函数所对应的是三角形。 ② 该函数的积分便是这个三角形的面积。
第一章 信号及其描述
② 时域和频域的卷积
通过以上图解法可看出卷积的计算十分复杂，而利用卷积定 理我们可以方便地用简单频域的乘积来代替时域的卷积，反之可 用时域的乘积代替频域的卷积。
时域
频域 卷积积分是一种数学方法，在信号与系统的理论研究中占有重 要的地位。特别是关于信号的时间域与频率变换域分析，它是沟通 时域－频域的一个桥梁。
sin ② 并定义 它以 2π w 为周期并随 θ ↑ 幅值 w(f) 振荡衰减 ↓ (f ) T sin c( fT )为： sin c ③ sincθ 的函数值可通过专门数学表查得。
第一章 信号及其描述
分析： ① 窗函数可作为时域中对其信号的截断。 ② 所得信号的频谱将是原信号频域函数与sinc函数的卷积 即： ③ 频谱是连续的，频率无限延伸。 特点： a）具有主瓣、旁瓣。 b）主瓣宽度为 2/T 与时域窗 T 成反比， 即：当时域中 T↑
可改写为 代入w(f)式
1 ( e jt e jt ) 2 1 sin( fT ) ( e jfT e jfT ) 2j sin t j
w( f ) T sin fT T sin c( fT ) (T为窗宽) fT
第一章 信号及其描述
频谱图
特点 ① 该函数是偶函数，在nπ 为(n=±1,±2…)处其值为“0”且只有实 部。 幅值 相位 视其符号而定： A）当 sinc（πf T）为正值时相角为“ 0 ” B）当 sinc（πf T）为负值时相角为“π”
令：
x (t )e jt dt
FT
非周期信号的频谱
3.3.2 常用非周期信号的傅立叶变换
• 直流信号1可表示为： P110例3.4-6
f (t) 1 t
F( j)
1
e
jt
dt
（直接积分无法进行）
由傅立叶逆变换的定义式有： (t) 1
1
e
jt
d
令：t
2 () 1 1 e jt dt
2
冲激信号是偶函数： () () 1 1 e jt dt
F( j) F( j) e j() a() jb()
| F( j) | a2() b2()
() arctg b() a()
是ω的偶函数 是ω的奇函数
F( j) F( j) () ()
a( j) a( j) b() b()
3.3.1 傅立叶变换
• 关于连续谱的说明 具有离散频谱的信号，其能量集中在一些谐波分量中。
具有连续频谱的信号，其能量分布在所有的频率中， 每一频率分量包含的能量则为无穷小量。
• 几个重要结论：
当 f (t) 是实函数时：
3.3.1 傅立叶变换
(1) 若 f(t)为t的偶函数，即 f(t) = f(-t)，
则 f(t)的频谱函数 F(jω) 为ω的实函数， 且为ω的偶函数。
(2) 若f(t)为t的奇函数，即 f(-t) = -f(t)， 则f(t)的频谱函数 F(jω) 为ω的虚函数，且为ω的奇函数。
2
f (t) Fne jn1t
T
n
Fn T
2 T
f (t)e jn1t dt
2
周期信号趋于非周期信号。
• 当 T 时： 谱线无限密集，1 d
幅度 Fn 趋于无穷小， n1
令：F
典型非周期信号的频谱
at
(t 0)
e
at
1 u (t ) a j
1 a Fe ( j ) 2 j 2 2 2 a j a a A( ) jB ( )
A( ) lim A( ) 0
a 0
( 0)
( 0)
ห้องสมุดไป่ตู้
A( ) lim A( )
) 单个矩形脉冲的变换
n1 E 1 Sa( ) ( n1 ) 2 n
E f (t ) T1
n1 jt Sa( 2 )e n
F ( j ) 2 Fn ( n1 )
n
2 2 1 8 秒 T 1 s 1 令: T1 0.25 4 20
B( ) lim B( )
1
§3.9 周期信号的傅立叶变换
• 一般周期信号的傅立叶变换 • 傅立叶级数FS与其单脉冲的傅立叶 变换FT的关系 • 正余弦信号的傅立叶变换FT • 复指数信号的傅立叶变换 • 周期单位冲激序列的FS和 FT • 周期矩形脉冲的FS和FT • 周期矩形脉冲与单矩形脉冲的关系
d (t )
1 f1 (t ) 2
[ e
j ( t )
d ] f 2 ( )d
(t ) f 2 ( )d f 2 (t )
f1 (t ), f 2 (t ) 在积分意义上相等。
傅立叶变换的唯一性表明了信 号及其频谱的唯一对应关系。
a0
( j )
2
2
.... 0
1 f (t ) 2
非正弦周期信号的频谱
减小的。
2006-1-1
！
5
非正弦周期信号的频谱(5)
• 图9.7 幅值频谱和相位频谱
• 采用PSpice进行仿真，仿真用电路图如图9.8所示。其中电压源使用VPLUSE 模型，图中表格分别给出了T = 2τ、T = 4τ和T = 8τ时的参数值。
2006-1-1
！
6
非正弦周期信号的频谱(6)
• 采用瞬时仿真，其中还提供了傅立叶分析，参数设置为：Print Step = 0.01s，Final Time = 12s，Step Ceiling = 0.01；选中Enable Fourier，Center Frequency = 0.5Hz，Output Vars = V(1)。对于T = 2τ时，其仿真结果如图9.9所示。对于进行傅立叶分析，可在图9.9界面上点击 按钮，分析结果如图9.10所示。
3 j
0.4
1 j2
• 那么对其进行傅立叶反变换，得到输出电压的 t− e−3 t) ε(t)
2006-1-1
！
15
2006-1-1
！
11
傅立叶变换在电路分析中 的应用 (5)
例9.3 如图9.14所示，一个矩形脉冲v(t)，幅值V = 5，脉冲宽度τ = 2。请求其傅 立叶变换。
v(t) V
τ 2
τ 2
ωt
θ(ω)
(b)
π
−4π−3π−2π −π O π 2π 3π 4π ω
−π
图9.14 矩形脉冲
图9.15 矩形脉冲的幅值频谱
)e
jk1t
dt
2
2 T
2Ve jk1t dt 2
2V
k
sin
k1
2
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！
5
非正弦周期信号的频谱(5)
• 图9.7 幅值频谱和相位频谱
• 采用PSpice进行仿真，仿真用电路图如图9.8所示。其中电压源使用VPLUSE 模型，图中表格分别给出了T = 2τ、T = 4τ和T = 8τ时的参数值。
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！
6
非正弦周期信号的频谱(6)
• 采用瞬时仿真，其中还提供了傅立叶分析，参数设置为：Print Step = 0.01s，Final Time = 12s，Step Ceiling = 0.01；选中Enable Fourier，Center Frequency = 0.5Hz，Output Vars = V(1)。对于T = 2τ时，其仿真结果如图9.9所示。对于进行傅立叶分析，可在图9.9界面上点击 按钮，分析结果如图9.10所示。
3 j
0.4
1 j2
• 那么对其进行傅立叶反变换，得到输出电压的 t− e−3 t) ε(t)
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傅立叶变换在电路分析中 的应用 (5)
例9.3 如图9.14所示，一个矩形脉冲v(t)，幅值V = 5，脉冲宽度τ = 2。请求其傅 立叶变换。
v(t) V
τ 2
τ 2
ωt
θ(ω)
(b)
π
−4π−3π−2π −π O π 2π 3π 4π ω
−π
图9.14 矩形脉冲
图9.15 矩形脉冲的幅值频谱
)e
jk1t
dt
2
2 T
2Ve jk1t dt 2
2V
k
sin
k1
2
3 非周期信号讲解
j 2ft0
x( S )e j 2fs dS e j 2ft0 x( f )
所以就有
② 由于时间位移而引起了相角Φ (f)的变化,即:
第一章 信号及其描述
没有时移时：xcosωt
时移450
时移900
时移1800
分析:
时移时,并不改变富氏变换频域的幅值大小.
第一章 信号及其描述
第一章 信号及其描述`
函数 x(t) 与 x(ω) 称为富氏变换偶对
㈣ 非周期信号的频谱
① 频谱函数-----富氏变换将一个时域函数变换为频域的函数，故
称 x（ω）为 x（t）频谱函数。
② 幅频谱(特性) -----频谱函数的模│x(ω)│称为幅频谱 (简称频谱)。
③ 相频谱（特性）
第一章 信号及其描述
可改写为 代入w(f)式
1 ( e jt e jt ) 2 1 sin( fT ) ( e jfT e jfT ) 2j sin t j
w( f ) T sin fT T sin c( fT ) (T为窗宽) fT
第一章 信号及其描述
频谱图
特点 ① 该函数是偶函数，在nπ 为(n=±1,±2…)处其值为“0”且只有实 部。 幅值 相位 视其符号而定： A）当 sinc（πf T）为正值时相角为“ 0 ” B）当 sinc（πf T）为负值时相角为“π”
周期信号中，相邻频率间隔为：
信号了。
第一章 信号及其描述
x(t )
( 0 2
1 ( 2
x(t )e jn 0t dt )e jn 0t
因为 1/T=ω0/2π当 T→∞，ω0=△ω→dω，nω0→ω
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即在时域乘以因子
e
j0t
导致频谱产生平移。
⊙卷积特性
F[ x(t )] X ( j )
F[ x(t ) y(t )]
，F [
y( t )] Y ( j )
X ( j ) Y ( j )
证明： 令
z (t ) x(t ) y (t )
x( ) y (t )d
主瓣将变“矮”变胖，若
变成近似水平的带宽。
0，则主瓣
Aτ
π
-4π
τ
-2π
τ
0 2π
τ
4π
τ
-6π -4π
τ
τ
-2π
τ
0 2π
τ
4π
τ
6π
τ
2）将周期矩形脉冲的频谱
An
2A n A sa ( ) sa (n0 ) n T0 T0 2
A 与单个脉冲频谱 X ( j ) 2作比较： sa( )
dt
1 x(kt )e k 1 j X( ) k k
j
kt k
dkt
例子：求下图波形的频谱
用线性叠加定理简化 X1(f)
+
X2(f)
频谱分析的应用
频谱分析主要用于识别信号中的周期分量，是 信号分析中最常用的一种手段。
案例：在齿轮箱故障诊断 通过齿轮箱振动信号频谱分析， 确定最大频率分量，然后根据 机床转速和传动链，找出故障 齿轮。
j ( )
X ( j ) Re（ω）、Im(ω）分别为 的实部和虚部。 为幅值。 X ( j) . ( ) Re（ω） -ω为实频函数（实频曲线） Im(ω）-- ω为虚频函数（虚频曲线）
X ( j ) Re ( ) I m ( )
2 2
( ) arctg
T 2
T 2
x(t )e jn 0 t d t
0 d T0 , 时，有n0 求和运算变成积分运算
该式积分后将是频率的函数，且一般为复数
记为
X ( j ) lim
2π
0 0
0
X ( n0 ) lim X ( n0 )T
T
将 称之为随机过程 X（t ) 状态。
i
时刻的
X（t )在t t i
2、随机过程的分类 1）均值（数学期望） (t ) lim X (t ) E X t 随机变量的 集合特性，指集合的平均。 2）自相关函数 Rx (ti , ti )
N x i N 1 N k 1 k i i
[ x( )e
j
d ] [ y( t )e j ( t )d ( t )]
X ( j ) Y ( j )
⊙尺度变换证明
x(t ) X ( j )
F [ x(kt )] x(kt )e
jt
■从能量角度上看： 周期信号用功率谱表示； 时限信号用能量谱表示。 ■周期信号幅值谱纵坐标表示相应的谐波 分量的幅值； 时限信号幅值谱纵坐标表示幅值谱密度； ■周期信号采用傅立叶级数（FS）分析； 时限信号采用傅立叶积分分析。
2.4.5傅里叶变换的主要性质
⊙延时性：若
f (t )
证明：
F ( )
即
（3）乘积（抽样）特性 若函数 在 处连续，则有
（4）卷积特性 两个信号 与 卷积的定义： 即定义 为信号 与 的卷积，记 作 ，写成
对于时延单位脉冲
，有
3.
信号的频谱
单位脉冲信号的频谱为常数，说明信号 包含了 所有频率成分，且任一 频率的频谱密度函数相等。这种频谱为“均 匀频谱”，或“白色谱”。
随机过程 所有样本函数的集合,是依赖于时间t上的 一簇随机变量或以时间t作为参量的随机函数.
x1 (t ) x (t ) 用X (t ) 2 表示 x3 (t ) 或X(t) x k (t) (k 1, 2,3.....N)
很显然，信号在时域平移，相当于信号中各个频率成分产生 了相移，所以频谱中应反映出相移的大小。
例： sin[0 (t t0 ) ] sin(0t 0t0 ) 延迟时间t0导致产生相移ω0t0。
⊙频移性：若
f (t )
F ( )
j0t f ( t ) e F ( 0 ) 则：
x(t )
1 2Leabharlann x(t ) e jt dt e jt d
jt x(t ) 1 x ( j ) e d 2 有 jt x( j ) x(t ) e d
记为：X ( j ) x(t ) x (t ) F 1 X ( j)
F
x( j ) x( t ) e jt d
x( t )
1 2
x( j ) e jt d
X ( j ) 意义：1） 称为信号的傅立叶积分变换，为 x(t ) 的频谱密度函数。 x(t ) X ( j ) 2） 称为 的傅立叶积分逆变换 3） 构成一对傅立叶变换对。 x(t ) X ( j ) 4） 能被分解为连续的无限个频率为ω的， 并且有无限个小幅值的频率分量组成。 x(t )
2
2 当 n=1， 0 时，在周期脉冲的基波圆频率下， T0
2 A A1 sa ( ) T0
2 T0 AT0 2 2A X(j ) sa ( ) sa ( ) 2 T0 2 T0 T0
2 AT0 2 2 A1 sa( ) X( j ) 有： T0 T0 T0 T0
2.5.1 冲激函数及其谱分析
1. 冲激函数 定义1 （1）图中的矩形脉冲G(t)，宽为 ，高 为 ，其面积为1。保持脉冲面积不变，逐渐 减小 ，则脉冲幅度逐渐增大，当 时，矩形脉冲的极限称为单位冲激函数，记 为 ，即 函数，表达式为
表示只在 点有“冲激”；在 点 以外各处，函数值均为0，其冲激强度 （脉 冲面积）是1。一个强度为E倍单位值的函数. 用 来表示。
I m ( ) Re( )
称为 x(t) X ( j ) 的幅值谱密度函数 θ（ω）-- ω为x(t)相位谱密度函数
--ω为 X ( jx(t) ) 幅值谱密度曲线
讨论： ●瞬态量的频谱是连续的，它的形状为周期量的离 散谱的包络线是相似的，有一个主瓣和一些副瓣 组成。 1） 主瓣将变“高”变瘦；
(a)
(b)
（2）狄拉克（Diract）定义 狄拉克给出的冲激函数定义为
对于在任意点 示为
处出现的冲激，可表
2. 冲激函数的性质 （1）积分筛选特性 当单位冲激函数 与一个在 处连续且有 界的信号 相乘时，其积的积分只有在 处得到 ，其余各点之乘积及积分均为零， 从而有
类似地，对于
当连续时间函数 与单位冲激信号 或 者 相乘，并在 时间内积分，可得 到 在点 的函数值 或者点 的函数 值 ，即筛选出 或者 。 （2）冲激函数是偶函数
条件①是充分但不是必要条件； 条件②、③则是必要而不是充分条件。 因此对于许多不满足条件①，即不满足 绝对可积的函数，如周期函数，但满足 条件②、③的也能进行傅里叶变换。
3、时限信号的几点说明： X ( j ) 是一个复数，可写成
X ( j ) Re( ) jI m ( ) X ( j ) e
2、傅立叶变换存在的条件 不是所有的时限信号都可进行傅里叶变换， 时限信号是否存在傅里叶变换同样需要 满足下述狄里赫利条件： ①信号 绝对可积，即： x(t ) x(t ) dt x(t ) ②在任意有限区间内，信号 只有有限 个最大值和最小值； x(t ) ③在任意有限区间内，信号 仅有有限 个不连续点，而且在这些点的跃变都必 须是有限值。
案例：螺旋浆设计 可以通过频谱分析确定螺旋浆 的固有频率和临界转速，确定 螺旋浆转速工作范围。
工程信号及其可测性分析
在选择测量仪器时，测量仪器的工作频率范
围必须大于被测信号的频宽。
2.5典型激励信号描述
激励信号在测试信号的分析中起着重要的作用。 工程测试中常通过施加激励信号来求取系统的 冲激响应或阶跃响应等，以获得系统的动态特 性参数或传感器的灵敏度等。
Rx (ti , ti ) lim
N
1 N
x (t )x (t )
2.6 随机信号 2.6.1 随机信号的分类 1、几个基本概念
对随机信号在有限时间内的观测结果称之为样 本，所有可能样本的集合称之为总体。总体描述 了一个随机过程。比如：对每日气温的观测，地 球上温度的变化，只能以天为单位，或以年为单 位来进行分析。每天的观测构成一个样本函数。
x1 (t ), x2 (t ), x3 (t )
f (t t0 ) e jt0 F ()
jt
F[ f (t t0 )]
f (t t0 )e
dt
f (t t0 )e j (t t0 ) e jt0 d (t t0）
jt0 ＋ e
f (u )e ju du e jt0 F[ f (t )]
z( j ) z( t ) e jt dt
[ x( t ) y( t )e jt ]dt
x( )y( t )dte jt d
x( )[ y( t )e j ( t )d ( t )e j ] d
2.4.1 瞬态量的频谱
由周期量的幅值谱可知，相邻两条谱线间的 T0 2 圆频率间隔为 ，随着 T T的增大， 即周期量的周期愈长，则谱线间隔愈小，相 邻两谱线则愈靠近，愈密集。 当 T0 时，则有 0 离散谱线则变成了连续谱。 瞬态信号可以是周期 为无限大的量 T0 可见瞬态量的频谱是连续谱。