向量和向量的基本运算
向量的加减法运算法则
向量的加减法运算法则
在向量的加减法运算中，可以用向量的模量和方向来进行计算，并且有四种基本计算规则，分别是：
1、向量的加法：将两个向量在平面上以具有相同方向性的标准坐标系下把向量放在一起，然后把它们合并在一起，将每一个坐标轴上的分量所对应的向量分量累加在一起即可得到两个向量之和。
2、向量的减法：将两个向量以相反方向放在一起，然后把它们合并在一起，将每一个坐标轴上的分量所对应的向量分量累减在一起即可得到两个向量之差。
3、向量的乘法：将两个向量的模量乘在一起，然后乘以向量夹角的余弦值，即可得到两个向量之积。
4、向量的除法：将一个向量的模量除以另一个向量的模量，然后乘以向量夹角的余弦值，即可得到两个向量的商。
向量的加减法是数学中一个基本的操作，但是要掌握它就必须正确理解向量的含义，以及向量的模量和方向性。
如果运算错误，得到的结果可能是不正确的，因此一定要仔细检查计算的准确性，以保证求得的结果是正确的。
中学数学掌握向量的运算法则
中学数学掌握向量的运算法则向量是数学中常见的概念，掌握向量的运算法则对于数学学习至关重要。
本文将从向量的定义入手，介绍向量的基本运算法则，并深入探讨向量的数量积和向量积的计算方法。
一、向量的定义向量是具有大小和方向的量，用带箭头的字母表示。
常见的向量表示方法为大写拉丁字母如A、B，加上一个箭头，表示向量A、向量B。
二、向量的基本运算法则1. 向量的加法向量的加法满足交换律和结合律。
假设有向量A、B和C，其加法法则如下：A +B = B + A （交换律）(A + B) + C = A + (B + C) （结合律）向量加法的本质是将两个向量的对应分量相加。
2. 向量的减法向量的减法也满足交换律：A -B = -(B - A)向量的减法可以转化为加法，即A - B = A + (-B)。
3. 向量的数量乘法向量的数量乘法是将向量的每个分量乘以一个常数。
假设有向量A和一个实数k，其数量乘法法则如下：kA = Ak(k1k2)A = k1(k2A)k(A + B) = kA + kB数量乘法的本质是将向量的每个分量进行相应的数乘。
4. 向量的点乘（数量积）向量的点乘的结果是标量。
假设有向量A和向量B，其点乘法则如下：A ·B = |A| |B| cosθ其中，|A|表示向量A的模，|B|表示向量B的模，θ表示A和B的夹角。
点乘的结果表示了两个向量之间的相关程度。
5. 向量的叉乘（向量积）向量的叉乘的结果是一个新的向量，该向量垂直于原来的两个向量。
假设有向量A和向量B，其叉乘法则如下：A ×B = |A| |B| sinθ n其中，|A|表示向量A的模，|B|表示向量B的模，θ表示A和B的夹角，n是一个垂直于A和B的单位向量。
叉乘的结果表示了两个向量之间的垂直关系。
三、练习题1. 已知向量A = (2, 3) 和向量B = (4, -1)，求向量A + B和向量A - B 的结果。
2. 已知向量A = (3, -2) 和向量B = (5, 1)，计算向量A · B和向量A× B的结果。
向量的运算法则
向量的运算法则向量是数学中一个重要的概念，广泛应用于物理、工程、计算机等各个领域。
在实际应用中，我们常常需要对向量进行各种运算，而向量的运算法则则是我们进行这些运算的基础。
本文将介绍向量的基本运算法则，包括向量的加法、减法、数乘等。
1. 向量的加法设有两个向量a和b，表示为a=(a1, a2, a3)，b=(b1, b2, b3)。
则这两个向量的加法定义为：a +b = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3)即将两个向量对应分量相加，得到一个新的向量。
这个操作遵循向量加法的法则，不仅可以对二维向量进行加法，也可以对三维向量进行加法，甚至可以拓展到更高维度的向量。
2. 向量的减法与向量的加法类似，向量的减法也是将两个向量的对应分量相减得到一个新的向量。
设有两个向量a和b，则它们的减法定义为：a -b = (a1 - b1, a2 - b2, a3 - b3)向量的减法在几何意义上可以理解为将向量b沿着负方向平移后，再进行向量的加法操作。
3. 向量的数乘向量的数乘是指一个向量与一个标量相乘的操作。
设有一个向量a 和一个标量k，则向量a与标量k的乘积定义为：ka = (ka1, ka2, ka3)即将向量a的每个分量都乘以标量k，得到一个新的向量。
向量的数乘操作可以用来改变向量的大小和方向，是向量运算中一个非常重要的操作。
4. 向量的数量积向量的数量积，也称为点积，是向量运算中一个重要的概念。
设有两个向量a和b，则它们的数量积定义为：a ·b = a1 * b1 + a2 * b2 + a3 * b3数量积可以用来计算两个向量之间的夹角，还可以计算向量在某一方向上的投影长度，具有很多实际应用价值。
5. 向量的向量积向量的向量积，也称为叉积，是向量运算中另一个重要的概念。
设有两个向量a和b，则它们的向量积定义为：a ×b = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)向量积的结果是一个新的向量，它垂直于原来的两个向量所在的平面，其大小等于两个向量构成的平行四边形的面积。
向量的基本运算
向量的基本运算在数学和物理中，向量是一个具有大小和方向的量。
向量可以进行多种基本运算，如相加、相减、数乘等。
本文将详细介绍向量的基本运算及其性质。
1. 向量的表示方法向量通常用带箭头的字母表示，例如$\vec{A}$，箭头表示向量的方向。
向量也可以用坐标表示，如$\vec{A}=(x，y，z)$表示三维向量。
在向量上还有一些常用记号，例如向量的模表示向量的大小，记作$|\vec{A}|$或$||\vec{A}||$。
2. 向量的加法向量的加法是将两个向量的对应分量相加。
设有两个向量$\vec{A}=(x_1，y_1，z_1)$和$\vec{B}=(x_2，y_2，z_2)$，则它们的和为$\vec{A}+\vec{B}=(x_1+x_2，y_1+y_2，z_1+z_2)$。
向量的加法满足交换律和结合律。
3. 向量的减法向量的减法是将两个向量的对应分量相减。
设有两个向量$\vec{A}=(x_1，y_1，z_1)$和$\vec{B}=(x_2，y_2，z_2)$，则它们的差为$\vec{A}-\vec{B}=(x_1-x_2，y_1-y_2，z_1-z_2)$。
求向量的差可以看作是求向量的和再乘以$-1$。
4. 数乘运算数乘是指将向量的每个分量都乘以一个实数。
设有一个向量$\vec{A}=(x，y，z)$和一个实数$k$，则$k\vec{A}=(kx，ky，kz)$。
数乘的运算性质包括交换律和结合律。
5. 内积内积是向量的一种重要的运算，它可以用来计算两个向量之间的夹角。
设有两个向量$\vec{A}=(x_1，y_1，z_1)$和$\vec{B}=(x_2，y_2，z_2)$，它们的内积表示为$\vec{A}\cdot\vec{B}=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2$。
内积满足交换律、结合律和分配律。
6. 外积外积是向量的另一种运算，它用于计算向量之间的垂直分量和面积。
设有两个向量$\vec{A}=(x_1，y_1，z_1)$和$\vec{B}=(x_2，y_2，z_2)$，它们的外积表示为$\vec{A}\times\vec{B}=(y_1z_2-y_2z_1，z_1x_2-z_2x_1，x_1y_2-x_2y_1)$。
10.1向量及其运算(1-30)
数乘运算的性质 :
例 设 AD , BE ,CF 是三角形 ABC 的中线 ,
求 解
AD BE CF
1 AD ( AC AB) 2
F A E
B
因为
D
C
1 BE ( BA BC ) 2 1 CF (CB CA) 2
1 AD BE CF ( AC AB BA BC CB CA) 2 1 ( AC AB AB BC BC AC ) 0 2
(5)
(b )a
a b cos (a ,ˆ b ) b cos (a ,ˆ b ) a
1 ab b a b a a a
ba (b )a
(6)
ab cos (a ,ˆ b ) ab
(5) 外积与混合积
外积: 两个向量 a 与 b 的外积 a b 是一个向量,
它的长度为
a b a b sin(a ,ˆ b )
b , a b ) 形成 右手系 . 若 a , b 中有一是零向量 , 则外积规定为
例 设 M 点是三角形 ABC 的重心 , 证明 : 对
任意一点 O , M 点相对于 O 的位置向量
1 OM (OA OB OC ) 3
F A E
O
C
B
M
D
解 由于 OM OA AM
OM OB BM OM OC CM
将三式相加得
3OM OA OB OC AM BM CM
OC OB (OA OB ) BC BA ( ) AB
向量的坐标表示与运算公式
向量的坐标表示与运算公式向量的坐标表示：1. 在二维平面中，一个向量可以用有序实数对 (x, y) 表示，其中 x 和 y 分别表示向量的横坐标和纵坐标。
2. 在三维空间中，一个向量可以用有序实数三元组 (x, y, z) 表示，其中 x、y 和 z 分别表示向量的三个坐标分量。
向量的运算公式：1. 向量的加法：- 定义：如果向量 A = (x₁, y₁) 和向量 B = (x₂, y₂)，则 A + B = (x₁ + x₂, y₁ + y₂)。
- 几何意义：向量加法就是把两个向量的起点放在一起，然后把两个向量终点连起来的向量。
2. 向量的数乘：- 定义：对于任意实数 k，如果向量 A = (x, y)，则 kA = (kx, ky)。
- 几何意义：数乘就是把向量按比例放大或缩小。
3. 向量的减法：- 定义：如果向量 A = (x₁, y₁) 和向量 B = (x₂, y₂)，则 A - B = (x₁ - x₂, y₁- y₂)。
- 几何意义：向量减法就是从第一个向量的终点指向第二个向量的终点的向量。
4. 向量的数量积（点乘）：- 定义：如果向量 A = (x, y) 和向量 B = (x', y')，则A · B = xx' + yy'。
- 几何意义：数量积等于两向量的长度之积和它们夹角的余弦值的乘积。
5. 向量的向量积（叉乘）：- 定义：如果向量 A = (x, y) 和向量 B = (x', y')，则A × B 是一个垂直于A 和B 的向量，其大小等于A × B × sin(θ)，其中θ 是 A 和 B 之间的夹角，方向按照右手定则确定。
- 几何意义：向量积表示一个向量相对于另一个向量的旋转。
以上是向量的基本坐标表示和运算公式，是解析几何和线性代数中的基础概念。
向量代数的基本概念及运算法则
向量代数的基本概念及运算法则向量代数是线性代数的重要部分，涉及了向量的基本概念及其运算法则。
本文将介绍向量的概念、向量的加法和减法运算法则、向量的数乘运算法则，并讨论一些常见的向量运算性质。
一、向量的概念向量是具有大小和方向的物理量，常用有向线段表示。
通常将向量用字母加箭头表示，例如，向量a用记号“→a”表示。
向量有两个重要的属性，即大小（模）和方向。
向量的大小表示向量的长度或大小，用|→a| 或||→a|| 表示，读作“模a”或“a的模”。
向量的方向表示指向何处，可以用角度、弧度或者其他方式进行表示。
二、向量的加法和减法运算法则向量的加法运算是指将两个向量进行求和的运算，其法则可以用平行四边形法则和三角法则表示。
平行四边形法则可以简要描述如下：设有向量→a和→b，取→a的起点作为平行四边形的一个顶点，将→b 平移至→a的终点，以→a和→b的起点为相对顶点形成平行四边形，平行四边形的对角线所表示的向量，即为向量→a和→b的和向量→a+→b。
三角法则可以简要描述如下：将→a和→b的起点相接，以→a的终点为直角，连接→b的终点和→a的起点，所得的向量即为向量→a和→b的和向量→a+→b。
向量的减法运算是指将两个向量进行相减的运算，可以通过向量的加法和取负得到。
设有向量→a和→b，向量→a减去向量→b即为向量→a加上向量→b的负向量，即→a-→b=→a+(-→b)。
三、向量的数乘运算法则向量的数乘运算是指将一个向量乘以一个实数的运算，用以改变向量的长度或方向。
设有向量→a和实数k，向量→a与k的乘积，记作k→a，即为把向量→a的长度伸缩为原来的|k|倍，并在原来的方向上（若k>0）或相反方向上（若k<0）。
四、常见的向量运算性质1. 交换律：向量加法满足交换律，即→a+→b=→b+→a。
2. 结合律：向量加法满足结合律，即(→a+→b)+→c=→a+(→b+→c)。
3. 分配律：向量的数乘运算满足分配律，即k(→a+→b)=k→a+k→b。
向量及向量的基本运算
4.下列算式中不正确的是( (A) AB+BC+CA=0 (C) 0· AB=0
B )
(B) AB-AC=BC (D)λ(μa)=(λμ)a
5. 已知正方形 ABCD 边长为 1 ， AB=a,BC=b,AC=c, 则 a+b+c 的模等于( C ) (A)0 (B)3 (C)22 (D)2
2）向量加法 ①求两个向量和的运算叫做向量的加法。设 a b+ AB ，则 = BC AC = AB a, BC b 。向量加法有“三角形法则”与“平行四边 0a 0 a 形法则”。 说明：（ 1a ） ； （2）向量加法满足交换律与结合律；
【课堂小结】 1）向量的有关概念: ①向量②零向量③单位 向量④平行向量（共线向量）⑤相等向量 2）向量加法减法: 3)实数与向量的积 4)两个向量共线定理
5)两个向量共线定理 a 向量 b与非零向量 共线 实数 ，使得 b = a 。
有且只有一个
例1、判断下列各命题是否正确 (1)零向量没有方向 (2)若 a b , 则a b (3)单位向量都相等 (4) 向量就是有向线段 (5)两相等向量若共起点 ,则终点也相同 a c (6)若a ， ，则 ； b b c (7)若a // b ，b // c ，则 a // c (8) 四边形ABCD是平行四边形,则 AB CD, BC DA (9)已知A（3，7），B（5，2），将 AB按向量 a =（1，2）平移后得到的向量 AB 的坐标为 （3，－3 ） (10） a b 的充要条件是| a || b | 且 a // b ；
向量的各种运算及其应用
向量的各种运算及其应用随着科技的发展，向量成为了许多学科中不可或缺的重要概念，如物理、计算机科学、数学等。
向量是具有大小和方向的量，可以用于描述空间中的物理量或者图形的位置等信息。
然而，向量不仅仅是一个抽象的概念，还可以进行各种运算并应用于实际问题中。
本文将介绍向量的各种运算及其应用。
一、向量的基本运算向量的基本运算包括加法、减法、乘法。
其中，向量的加法和减法可以用直角坐标系表示，向量乘法分为数量积和叉积。
1. 向量加法和减法向量加法指的是将两个向量相加得到一个新的向量，向量加法可以表示为： A + B = C，其中 A、B、C 为向量。
向量加法可以用平行四边形法则表示，即将两个向量首尾相接，作出第三个向量，第三个向量的起点即为第一个向量的起点，终点即为第二个向量的终点。
向量减法指的是将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量，向量减法可以表示为： A - B = C，其中 A、B、C 为向量。
向量减法可以用三角形法则表示，即将第二个向量取反，再将两个向量相加即可得到第三个向量。
2. 向量乘法向量乘法分为数量积和叉积。
数量积是指两个向量点乘而得到的一个标量，数量积可以表示为：A • B = |A| |B| cos∠(A,B)，其中 A、B 为向量，|A| 和 |B| 分别为对应向量长度，∠(A,B) 为 A、B 之间的夹角。
数量积可以用以下公式快速计算：A • B = Ax*Bx + Ay*By + Az*Bz。
叉积是指两个向量叉乘而得到的一个新的向量，叉积可以表示为：A × B = |A| |B| sin∠(A,B) n，其中 n 为符合右手定则的向量，∠(A,B) 为 A、B 之间的夹角。
叉积可以用以下公式快速计算：A× B = (AyBz − AzBy, AzBx − AxBz, AxBy − AyBx)。
二、向量的应用向量在物理、计算机科学和数学等学科中都有着广泛的应用。
向量代数的基本公式
向量代数的基本公式向量代数是数学中的一个分支，主要研究在向量空间中向量的代数运算及其相关性质。
向量代数中包括很多基本公式，这些公式不仅是向量代数研究中的重要内容，也是我们日常生活中常常用到的数学工具。
在这篇文章中，我们将介绍向量代数中的一些基本公式及其重要性。
1. 向量加法的基本公式向量加法是向量代数中最基本的运算之一，它表达了两个向量相加的结果。
对于任意两个向量a和b，它们的和向量c可以表示为：c = a + b该公式意味着，当我们把向量a和向量b相加时，向量c的大小和方向取决于a和b的大小和方向。
这个公式在计算中非常实用，因为在求解向量问题时，通常需要将多个向量相加或相减。
2. 向量数量积的基本公式向量数量积指的是两个向量的标量积，也称为点积。
对于向量a和向量b，它们的数量积可以表示为：a·b = |a||b|cosθ其中，|a|和|b|分别表示向量a和b的模长，θ表示它们之间的夹角，cosθ表示它们之间的夹角的余弦值。
该公式的意义在于，它为我们提供了两个向量之间的度量方法。
例如，我们可以使用该公式计算两个向量之间的夹角，也可以计算出它们之间的投影等。
3. 向量矢量积的基本公式向量矢量积指的是两个向量的向量积，也称为叉积。
对于向量a和向量b，它们的向量积可以表示为：a×b = |a||b|sinθn其中，|a|和|b|分别表示向量a和b的模长，θ表示它们之间的夹角，n表示一个垂直于a和b所在平面的单位向量，sinθ表示它们之间夹角的正弦值。
该公式的重要性在于它可以用于计算平面区域、体积和方向向量等问题。
例如，在计算三角形面积时，我们可以利用向量积的大小。
此外，在物理学、工程学等领域中，向量积的应用也非常广泛。
4. 向量三角函数的基本公式向量三角函数指的是向量和角度之间的关系。
与传统的三角函数类似，向量三角函数包括正弦、余弦、正切等。
对于向量a和向量b，它们的三角函数可以表示为：sinθ = |a×b|/|a||b| cosθ = a·b/|a||b| tanθ = |a×b|/a·b其中，sinθ表示向量a和b的夹角的正弦值，cosθ表示它们之间的夹角的余弦值，tanθ表示它们之间的夹角的正切值。
向量的基本运算法则
向量的基本运算法则向量是代数学重要的基础概念，它不仅在数学中有广泛的应用，还被应用于物理、计算机科学和工程领域。
本文将介绍向量的基本定义和运算法则。
一、向量的基本定义向量是具有大小和方向的量。
在二维空间中，向量通常表示为（a，b）；在三维空间中，向量通常表示为（a，b，c）。
向量可以用箭头表示，箭头的方向表示向量的方向，箭头的长度表示向量的大小。
二、向量的基本运算1. 向量的加法向量的加法是将两个向量相加的过程，它的计算方式是将两个向量的对应分量相加。
例如，设向量a＝（a1，a2），向量b＝（b1，b2），则向量a＋b＝（a1＋b1，a2＋b2）。
向量的加法满足交换律和结合律。
即：a＋b＝b＋a(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)2. 向量的减法向量的减法是将一个向量减去另一个向量的过程，它的计算方式是将被减向量的对应分量减去减向量的对应分量。
例如，设向量a＝（a1，a2），向量b＝（b1，b2），则向量a－b＝（a1－b1，a2－b2）。
向量的减法不满足交换律，即a－b≠b－a。
3. 向量的数量积向量的数量积是相乘得到一个实数的运算。
设向量a＝（a1，a2），向量b＝（b1，b2），则a·b＝a1b1＋a2b2。
向量的数量积在计算时需要注意下列性质：a·b＝b·aa·(b＋c)＝a·b＋a·c(k·a)·b＝a·(k·b)＝k(a·b)，其中k为实数4. 向量的向量积向量的向量积是相乘得到一个向量的运算。
向量的向量积只有在三维空间中存在。
设向量a＝（a1，a2，a3），向量b＝（b1，b2，b3），则向量a×b＝（a2b3－a3b2，a3b1－a1b3，a1b2－a2b1）。
向量的向量积在计算时需要注意下列性质：a×b＝－b×aa×(b＋c)＝a×b＋a×c(k·a)×b＝a×(k·b)＝k(a×b)，其中k为实数三、总结本文介绍了向量的基本定义和运算法则，包括向量的加法、减法、数量积和向量积。
向量知识点与公式总结
向量知识点与公式总结第一篇：向量基础知识与向量积一、向量的定义向量是由大小和方向两个量描述的，常用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
二、向量的表示向量a可以表示成a = (a1, a2, ……, an)，其中ai是向量a在第i个坐标轴上的分量。
向量的长度表示为|a|。
三、向量的基本运算1. 向量加法向量加法满足交换律和结合律，即a + b = b + a，a +(b + c) = (a + b) + c。
2. 向量数乘向量数乘就是一个向量与一个标量的积，用一个实数k乘以一个向量a得到新向量，记作ka。
若k > 0，则ka和a同向；若k < 0，则ka和a反向；若k = 0，则ka是零向量。
3. 向量减法向量减法指的是在向量加法的基础上，可看作是a减去向量b。
a - b = a + (-b)，即把向量b取反加到向量a上。
4. 点积向量a和向量b的点积表示为a·b = a1b1 + a2b2+ …… + anbn。
如果a·b = 0，则称向量a、b垂直或正交。
点积具有交换律和分配律，且a·a = |a|^2。
5. 叉积只有三维向量才可以进行叉积运算，叉积的结果是一个向量。
向量a和向量b的叉积表示为a×b，其大小为|a×b|= |a||b|sinθ，其中θ是向量a、b构成的平面的夹角。
向量a×b的方向沿着a、b所在平面的法线方向，满足右手法则。
四、向量的应用向量的应用广泛，如计算物体的速度、加速度、位移、位移速率等。
在计算机图形学中，向量被广泛应用于三维建模、平面计算、灯光计算等领域。
向量积向量积也称叉积，是一个向量与另一个向量在垂直于这两个向量所张成平面上的向量积。
叉积运算只适用于三维向量。
1. 向量积的定义向量a和向量b的向量积表示为a×b，其大小为|a×b| = |a||b|sinθ，其中θ是向量a、b构成的平面的夹角。
向量 运算顺序
向量运算顺序向量是数学中一个重要的概念，它是有方向和大小的量。
在向量运算中，我们需要考虑不同的运算顺序，这会影响到最终的结果。
本文将介绍向量的基本运算及其运算顺序，并详细阐述每一种运算的性质和规律。
首先，向量的基本运算包括加法和数乘。
加法是指将两个向量相加得到一个新的向量，而数乘是指将一个向量与一个标量相乘得到一个新的向量。
下面分别介绍这两种运算的运算顺序及其规律和性质。
1.加法运算向量的加法运算是满足交换律和结合律的，即对于任意向量a、b、c，有以下规律：a +b = b + a （交换律）(a + b) + c = a + (b + c) （结合律）根据交换律和结合律，我们可以改变加法运算的顺序，比如：a +b +c +d = (a + b) + (c + d) = ((a + b) + c) + d = a + (b + (c + d))在进行加法运算时，我们需要注意两个向量的大小和方向是否一致，只有当两个向量的大小和方向一致时才能进行加法运算。
否则，我们需要进行向量的放缩和平移操作，使得两个向量的大小和方向一致，然后再进行相加。
2.数乘运算向量的数乘运算是满足分配律和结合律的，即对于任意向量a、b 和标量k，有以下规律：k(a + b) = ka + kb （分配律）(k + l)a = ka + la （分配律）(kl)a = k(la) （结合律）1a = a （乘法单位元）根据分配律和结合律，我们可以改变数乘运算的顺序，比如：k(ab) = (ka)b = a(kb)在进行数乘运算时，我们需要注意数乘的顺序。
如果一个向量乘以一个小数，则表示向量的大小会相应地缩放。
如果一个向量乘以一个负数，则表示向量的方向会相反。
而如果一个向量乘以一个大于1的整数，则表示向量的大小会相应地扩大。
除了加法和数乘运算之外，向量还有叉乘和点乘两种特殊的运算，下面分别介绍这两种运算及其运算顺序和性质。
3.叉乘运算向量的叉乘运算是指将两个三维向量进行叉乘得到一个新的向量。
空间向量及基本运算
A2
An1
An A3
A4
⑵首尾相接的若干向量构成一个封闭图形， 则它们的和为零向量．即： A1 A2 A2 A3 A3 A4 An1 An An A1 0
A1
A2
An1
An A3
A4
二、空间向量及其加减与数乘运算
⒈空间向量： ⑴定义：空间中具有大小和方向的量叫做向量． ⑵表示方法： ①空间向量的表示方法和平面向量一样； ②同向且等长的有向线段表示同一向量或 相等的向量； ③空间任意两个向量都可以用同一平面 内的两条有向线段表示．
A1
A2
An1
An A3
A4
⑵首尾相接的若干向量构成一个封闭图形， 则它们的和为零向量．即： A1 A2 A2 A3 A3 A4 An1 An An A1 0
A1
A2
An1
An A3
A4
平行六面体
平行四边形ABCD平移向量 a 到A’B’C’D’ 的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体．记 作ABCD—A’B’C’D’． D’ C’
' '
A B
E C
D
(2) AE AA x AB y AD
'
A B C
D
练习二：在正方体ABCD-A’B’C’D’中,点E是面
AC’的中心,求下列各式中的x、y的值.
(1) AC x( AB BC CC )
' '
A
E C
D
B
A B
D
C
练习二：在正方体ABCD-A’B’C’D’中,点E是面 AC’的中心,求下列各式中的x、y的值.
A
D B
1。向量及向量的基本运算
例4,设a , ,
b
是两个不共线的非零向量, 是两个不共线的非零向量,
⑴若 OA = 2a b, = 3a + b, = a 3b, OB OC 求证: , , 三点共线 三点共线; 求证:A,B,C三点共线; 变化: 是不共线的向量,已知向量 变化:设e1 , e2是不共线的向量 已知向量
AB = 2e1 + k e2 , CB = e1 + 3e2 , CD = 2e1 e2
AB// AC A, B,C三点共线
例1,判断下列各命题是否正确 , (1)零向量没有方向 错 (2)若 a = b , 则a = b 错 零向量没有方向 若 (3)单位向量都相等 错(4) 向量就是有向线段 错 单位向量都相等 (5)两相等向量若共起点 则终点也相同对 两相等向量若共起点,则终点也相同 两相等向量若共起点 (6)若a = b , = c,则 a = c ; 若 对 b (7)若a // b ,b // c ,则 a // c 错 若 错 (8) 四边形 四边形ABCD是平行四边形 则AB = CD, BC = DA 是平行四边形,则 是平行四边形 (9)已知 (3,7),B(5,2),将 AB 按向量 a = 已知A( , ) 已知 ( , ) 的坐标为( 错 ) (1,2)平移后得到的向量 A′B ′ 的坐标为(3,-3) ) - a (10) = b 的充要条件是| a |=| b | 且 a // b ; ) 错
2)向量加法:求两个向量和的运算叫 )向量加法: 做向量的加法.设 做向量的加法. 则 AB = a, BC = b . 向量加法有"三角形法则" 首尾相接) 向量加法有"三角形法则"(首尾相接) 平行四边形法则" +BC= AC 与"平行四边形法则" (起点相同) a+b = AB 起点相同) 说明:( :(1) 说明:( ) ; 2)向量加法满足交换律与结合律; )向量加法满足交换律与结合律;
2.向量及其运算
设 a 为一向量, 与 a 的模相同而方向相反 的向量叫做 a 的负向量 , 记作 a.
两个向量 b 与 a 的差
a ba b a
b a b (a ).
B
O
b a
ba
A
三角不等式 a b a b, a b a b.
10
其中等号在 a 与 b 同向或反向时成立.
如图知a M 1 M 2 M 1 P M 1Q M 1 R ( x 2 x1 )i ( y2 y1 ) j ( z 2 z1 )k a x i a y j az k 其中向量a x i，a y j，a z k 分别称为向量a在x轴, y轴, z轴上的分向量，
z
R
P
M1
M2
Q
o
x
y
27
z
R
M1
由图分析可知
o
x
P
M2
Q
y
a y | M 1 M 2 | cos | a | cos
a x | M1 M 2 | cos | a | cos
az | M1 M 2 | cos | a | cos
2
向量也可用粗体字母表示, 如 a , i , v , F 等等, 向量还可用在上面 加箭头的书写体字母 表示, 如a , i , v , F 等等.
向量的大小叫做向 量的模.向量 M1 M 2、a、a 的模依次记作 M1 M 2 、 a、 a.
向量的模
单位向量
模等于1 的向量叫做单位向量 , 用ea 表示与 非零向量a同方向的单位向量.
§2 向量及其运算
向量及其线性运算
向量的概念及其运算
坐标,记为 OA = x, y .
注:向量既有代数特征,又有几何特征,它是数形兼备的好工具.
3.相等向量:长度相等且方向相同的向量. 向量可以自由平移,平移前后的向量相等.两向量
a 与 b 相等,记为 a b .
课堂练习:
4.正方形 PQRS 对角线交点为 M，坐标原点 O 不在正方形内部，
A 且
OP
=（0，3），
OS
=（4，0），则
RM
=(
)
(A)（ 7 , 1 ） (B)（ 7 , 1 ） (C)（7，4） (D)（ 7 , 7 ）
22
22
22
5.已 知 a (1，2)，b x，1 ,且 a 2b 与 2a b 平 行,则 x 等 于
OA AB OB
实数与 向量的 乘积
三角形法则
两个向 量的数 量积
AB =λ a
λ ∈R
记 a =(x,y)
则 a =(λ x,λ y)
ab a b cos a,b 记 a (x1, y1),b (x2, y2)
则 a · b =x1x2+y1y2
向量的加减法,实数与向量的乘积,两个向量 的数量积运算.
当基底 i, j 是两个互相垂直的单位向量时,
就建立了平面直角坐标系.如图
a xi y j 一一对应(x, y)
⑴当向量起点在原点时,定义向量坐标
为终点坐标,即若 A(x，y),则 OA =（x,y）;
⑵当向量起点不在原点时,向量 AB 坐标为终点坐标减
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向量及向量的基本运算一、教学目标：1．理解向量的有关概念，掌握向量的加法与减法、实数与向量的积、向量的数量积及其运算法则，理解向量共线的充要条件. 2．会用向量的代数运算法则、三角形法则、平行四边形法则解决有关问题．不断培养并深化用数形结合的思想方法解题的自觉意识.二、教学重点：向量的概念和向量的加法和减法法则．三、教学过程：（一）主要知识： 1）向量的有关概念①向量：既有大小又有方向的量。
向量一般用c b a,,……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB 。
向量的大小即向量的模（长度），记作|AB |。
②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0与任意向量平行。
<注意与0的区别>③单位向量：模为1个单位长度的向量。
④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量。
任意一组平行向量都可以移到同一直线上。
相反向量：我们把与向量a 长度相等，方向相反的向量叫做a 的相反向量。
记作-a。
⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量。
相等向量经过平移后总可以重合，记为b a =。
2）向量加法①求两个向量和的运算叫做向量的加法。
设b BC a AB==,，则a +b =BC AB +=AC 。
向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”。
说明：（1）a a a=+=+00；（2）向量加法满足交换律与结合律； 3)向量的减法① 相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量。
记作a-,零向量的相反向量仍是零向量。
关于相反向量有： （i ）)(a --=a； (ii)a +(a -)=(a -)+a =0 ；(iii)若a 、b是互为相反向量，则a =b -,b =a -,a +b =0 。
②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b的差，记作：)(b a b a -+=-。
求两个向量差的运算，叫做向量的减法。
b a -的作图法：b a -可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b有共同起点）。
注：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。
（2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。
4)实数与向量的积①实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：（Ⅰ）a a⋅=λλ；（Ⅱ）当0>λ时，λa 的方向与a 的方向相同；当0<λ时，λa 的方向与a的方向相反；当0=λ时，0=a λ，方向是任意的。
②数乘向量满足交换律、结合律与分配律。
实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，则①λ(μa )=(λμ) a②(λ+μ) a =λa +μa③λ(a +b )=λa+λb 5)两个向量共线定理向量b 与非零向量a共线⇔有且只有一个实数λ，使得b =a λ。
6)平面向量的基本定理如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数21,λλ使：2211e e a λλ+=其中不共线的向量21,e e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。
7)特别注意:（1）向量的加法与减法是互逆运算。
（2）相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件。
（3）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况。
（4）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关。
（二）主要方法：1．充分理解向量的概念和向量的表示； 2．数形结合的方法的应用；3．用基底向量表示任一向量唯一性； 4．向量的特例0和单位向量，要考虑周全． （三）例题分析：例1、判断下列各命题是否正确(1)零向量没有方向 (2)b a ==则 (3)单位向量都相等 (4) 向量就是有向线段(5)两相等向量若共起点,则终点也相同 (6)若b a =，c b =，则c a=； (7)若b a //，c b //，则c a// (8)若四边形ABCD 是平行四边形,则DA BC CD B ==,A(9)已知A （3，7），B （5，2），将AB 按向量a =（1，2）平移后得到的向量B A ''的坐标为（3，－3）(10）b a =的充要条件是||||b a=且b a //；解：(1) 不正确，零向量方向任意, (2) 不正确，说明模相等,还有方向 (3) 不正确，单位向量的模为1,方向很多 (4) 不正确，有向线段是向量的一种表示形式 (5)正确， （6）正确，向量相等有传递性 （7）不正确，因若0=b ，则不共线的向量ca ,也有0//a，c //0。
(8) 不正确, 如图DA BC CD B ≠=,A （9）不正确，∵a =（1，2），∴平移公式是⎩⎨⎧+='+='21y y x x ，将A （3，7），B （5，2）分别代入可求得)4,6(),9,4(B A ''，故B A ''=（6,4）－（4,9）=（2,－5）。
（10）不正确，当b a //，且方向相反时，即使||||b a=，也不能得到b a =；[点评]正确理解向量的有关概念例2、如图平行四边形ABCD 的对角线OD,AB 相交于点C ，线段BC 上有一点M 满足BC=3BM,线段CD 上有一点N 满足CD ＝3CN,设MN ON OM b a b OB a OA ,,,,,表示试用==解：()()b a OB OA BA BM BA BC BM -=-==∴==616161,6131 b a BM OB OM 6561+=+=∴ . OD CD ON CD CN 3234,31==∴=()()b a OB OA OD ON +=+==∴323232 b a OM ON MN 6121-=-=∴[点评]根据向量的几何加减法则,能对图形中的向量进行互相表示练习: △ABC中,.,//,32N DE BC AM E AC BC DE AB AD 于边上中线交是于交=,,b AC a AB ==设 用AN AM DN DE BC AE b a ,,,,,,分别表示向量.如图 解：()()a b DN a b DE a b BC b AE -=-=-==31,32,,32 ()()a b AN a b AM +=+=31,21例3、一条渔船距对岸4km ，以2km/h 的速度向垂直于对岸的方向划去，到达对岸时，船的实际航程为8km ，求河水的流速．解：设AB 表示垂直于对岸的速度,BC 表示水流速度,则AC 为实际速度 航行时间为4km ÷2km/h=2h在△ABC 中3242===BC AC AB所以, 河水的流速为h km /32[点评]求合力或分力,合速或分速问题用向量解是一种常见问题,要善于运用平行四边形和三角形法则例4、在△ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 的中点，用向量的方法证明： DE 平行且等于0.5BC分析:要证明DE 平行且等于0.5BC,只要BC DE 21= 解：如图AB Ac BC AD AE DE -=-=, 又D,E 为中点AC AE AB AD 21,21==∴ 即()BC AB AC AD AE DE 2121=-=-=所以DE 平行且等于210.5BC[点评]几何问题可以转化为向量问题的证明,往往会变的简单明了练习: 已知G 是△ABC 的重心，求证：0=++GC GB GA证明：以向量GC GB ,为邻边作平行四边形GBEC ，则GD GE GC GB 2==+，又由G 为△ABC 的重心知GD AG 2=，从而GD GA 2-=，∴022=+-=++GD GD GC GB GA 。
例5、设21,e e 是不共线的向量,已知向量2121212,3,2e e CD e e CB e k e AB -=+=+=,若A,B,D 三点共线,求k 的值 分析:使BD AB λ=解：214e e CB CD BD -=-=, 使BD AB λ=)4(22121e e e k e -=+∴λ 得84,2-=⇒-==k k λλ[点评]共线或平行问题,用向量或坐标平行的充要条件解决例3． 经过OAB ∆重心G 的直线与,OA OB 分别交于点P ，Q ，设,OP mOA OQ nOB ==，,m n R ∈，求11n m+的值。
解：设,OA a OB b ==，则1()3OG a b =+，PQ nb ma =-11()33PG OG OP m a b =-=-+G •QOBPA由,,P G Q 共线，得存在实数λ，使得PQ PG λ=，即11()33nb ma m a b λλ-=-+从而1()313m m n λλ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，消去λ得：113n m +=（四）巩固练习：1．已知梯形ABCD 中，||2||AB DC =，M ，N 分别是DC 、AB 的中点，若AB 1e =，2AD e =，用1e ，2e 表示DC 、BC 、MN ．解：（1）1122eDC AB ==（2）211122BC BA AC AB AC AD DC AB AD AB e e =+=-+=+-=-=- （3）1211114244MN MD DA AN AB AD AB AB AD e e =++=--+=-=-2． （1）设两个非零向量1e 、2e 不共线，如果12121223,623,48AB e e BC e e CD e e =+=+=-, 求证：,,A B D 三点共线.（2）设1e 、2e 是两个不共线的向量，已知1212122,3,2AB e ke CB e e CD e e =+=+=-,若,,A B D 三点共线，求k 的值.（1）证明：因为1212623,48BC e e CD e e =+=- 所以121015BD e e =+ 又因为1223AB e e =+ 得5BD AB =即//BD AB又因为公共点B所以,,A B D 三点共线；（2）解：121221324DB CB CD e e e e e e =-=+-+=-122AB e ke =+ 因为,,A B D 共线所以//AB DB 设DB AB λ=AM D CNB所以212kλ=⎧⎪⎨=-⎪⎩即12k=-；四、小结：1）向量的有关概念: ①向量②零向量③单位向量④平行向量（共线向量）⑤相等向量2）向量加法减法:3)实数与向量的积4)两个向量共线定理5)平面向量的基本定理, 基底五、作业：。